七年级数学下册解题技巧专题平行线中作辅助线的方法新版新人教版201911193118
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
人教版七年级下册数学5.平行线中作辅助线的方法
A
H
13
B
2 C
G
E FD
∴∠EGF=180°-110°=70° ∴∠GEF =180°-∠EGF-∠EFG=180°-70°-50°=60°
∴∠3=∠GEF= 60°
学习探究
主问题二：含两（或多）个拐点的平行线问题
13
B
F
方法一：过点E作EF∥AB. ∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD.2来自ECD
G
∴∠2+∠FEG=180°，∠1=∠HEF.
又∵∠1=50° ∠2= 110° ∴ ∠FEG=70°，∠HEF=50° ∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF=60°
学习探究
如图,AB∥CD,∠1=50°, ∠2=110°则∠3=____6_0_°____.
如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于
540°
解：分别过点E和点F作EM//AB，FN//AB，
∴AB//EM//FN//CD.
∴∠A+∠AEM=180°
M
∠MEF+∠EFN=180°
∠NFC+∠C=180° ∴∠A+∠AEM+∠MEF+∠EFN+∠NFC+∠C
N
=∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°
即： ∠A+∠E+∠F+∠C=540°
针对训练
变式训练
课堂小结
理解平行线中添加辅助线的方法，会利用平行线 的性质进行解答是解决问题的关键.
学习检测
学习检测
人教版七年级下册 第五章 平行线中辅助线的作法 讲义
平行线中辅助线的作法辅助线在几何证明中起着重要的作用，如何添加辅助线对于几何刚入门的七年级学生来说是难点。
一、例题例1 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P= °．解：过P作PM∥直线a，∵直线a∥b，∴直线a∥b∥PM，∵∠1=45°，∠2=30°，∴∠EPM=∠2=30°，∠FPM=∠1=45°，∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°+45°=75°，故答案为：75．例2 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（） A.20° B.30° C.40° D.70°过点C作CG∥AB，则∠BCG=∠ABC=70°，又∵AB∥DE，∴DE∥CG∴∠CDE+∠DCG=180°，∵∠CDE=140°，∴∠DCG=40°，∴∠BCD=30°.故选B.二、练习（一）选择题1、如图，将一副三角形和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角析的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°2、直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°3、如图，把一块含45°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的—边上，如果∠1＝33°，那么∠2为（ ）A ．33°B ．57°C ．67°D ．60°4、如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF 于点D ，若∠ABC=40°，则∠BCD=（ ） A ．140° B ．130° C ．120° D ．110°5、如图，∠BCD =90°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足（ ）A ．∠α+∠β=180°B ．∠β－∠α=90°C ．∠β=3∠αD ．∠α+∠β=90°6、学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是多少度？请你帮小明求出（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ． 150°ABCDE α β7、如图，AB ∥CD ，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ） A ．α+β+γ=180° B ．α-β+γ=180° C ．α+β-γ=180° D ．α+β+γ=3608、如图，∠BCD=90°，AB ∥DE ，则α与β一定满足的等式是（ ） A ．α+β=180°B ．α+β=90°C ．β=3αD ．α-β=90°9、如图，直线l 1∥l 2,∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=A. 30°B. 35°C. 36°D. 40°10、如图，直线a ‖b ，直角三角形ABC 的顶点B 在直线a 上，∠C ＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为（ ）A ．o 15B ．o 25C ．o 35D ．o 552l 1A 125° 85°B l 21（二）填空题1、如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC =50°，则∠ACD=2、如图，AB ∥CD ，则∠1、∠2、∠3的关系是3、如图，直线l 1∥l 2，∠α=∠β, ∠1=40°，则∠2= °．4、一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，那么∠ABC+∠BCD=5如图，AB ∥CD ，ED ∥BC ．∠A=20°，∠C=120°，则∠AED 的度数是6如图，AB ∥CD ，⊥于C ，CF 交于B ，已知∠2=29°，则∠1的度数是2βα1l 1l 2 C32βα1l 1l 2BADE7、如图所示，AB∥CD，CE⊥CD．若∠E=20°，则∠ABE的度数为8、如图所示，一条公路修到湖边时，为了保护生态环境，需拐弯绕湖而过，如果图中的拐角∠A=150°，∠B=120°，三次拐弯后的道路CE与原来公路DA平行，则∠C＝（三）解答题１、已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=（2）∠1+∠2+∠3=（3）∠1+∠2+∠3+∠4=（4）探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=2、问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD=问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上（点P与点E，F不重合）运动．（1）当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由；（2）当点P不在线段EF上运动时，（1）中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD 之间的数量关系．3、如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）练习答案（一）选择题ACBBBDCBAC（二）填空题1、140°2、∠3=∠1+∠23、1404、2705、 80°6、61°7、110°8、150°(三)解答题1解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．2 解：∵过点P作PE∥AB，则PE∥CD∴∠B+∠BPE=∠D+∠DPE=180°，∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，故答案为：360；，；证明：如图②，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD，（2）∠ABP+∠CDP=∠BPD理由：如图4，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD，∠BPQ=∠B-∠D．如图5，同理∠D-∠B=∠BPD．3、解：（1）①过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=30°，∠D=40°，∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，∴∠AED=∠1+∠2=70°；②过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=20°，∠D=60°，∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，∴∠AED=∠1+∠2=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．理由：过点E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．（2）如图2，当点P在①区域时，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；当点P在区域②时，如图3所示，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．。
人教版七年级下课件平行线中作辅助线的方法
A
H
1
B
3
∠2=110°则∠3=__________. F
2
E
方法一：过点E作EF∥AB.
C D
G
∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠2+∠FEG=180°，∠1=∠HEF.
∴FEG=70°，∠HEF=50°.
∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF=60°.
典例精讲
N
=∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°.
课堂小结
理解平行线中添加辅助线的方法，会利用平行线 的性质进行解答是解决问题的关键.
典例精讲
类型二：含两（或多）个拐点的平行线问题
如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等 于_______
解：分别过点E和点F作EM//AB，FN//AB，
∴AB//EM//FN//CD.
∴∠A+∠AEM=180°，
M
∠MEF+∠EFN=180°，
∠NFC+∠C=180°.
∴∠A+∠AEM+∠MEF+∠EFN+∠NFC+∠C
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平行线中作辅助线的方法
平行线中添加辅助线的常见图形：
典例精讲
类型一：含一个拐点的平行线问题
如图,AB∥CD,∠1=50°,
A
H
∠2=110°则∠3=__________.
1
B
3
E 2 C
D
G
典例精讲
如图,_______.
七年级数学人教版下册第五章平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型课件
再见
∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. ∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
9．如图，AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∠BFD＝ 120°.求∠BED 的度数． 解：如图，过点 F 作 FG∥AB， ∴∠BFG＝∠ABF. ∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
【点拨】如图，延长 BC 交 EF 于点 G. ∵AB∥EF， ∴∠CGD＝∠ABC＝40°. ∵CD⊥EF，∴∠CDG＝90°. ∴∠GCD＝180°－∠CDG－∠CGD＝180°－90°－40°＝50°. ∴∠BCD＝180°－∠GCD＝180°－50°＝130°.
答案：B
3．如图，AB∥CD，P 为 AB，CD 之间的一点，已知∠2＝28°， ∠BPC＝58°.求∠1 的度数． 解法一：过点 P 作射线 PN∥AB，如图①所示． ∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD. ∴∠4＝∠2＝28°. ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
平平行行线 线∴中中常常∠见见作作B辅辅E助助H线线的的＋技技巧巧∠的的九九D种种E类类H型型 ＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型 平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
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解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题
◆类型一含一个拐点的平行线问题
1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( )
A．30° B．32° C．42° D．58°
第1题图第2题图
2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°
3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】
◆类型二含多个拐点的平行线问题
4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】( ) A．20° B．30° C．40° D．70°
第4题图第5题图
5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．
6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．
已知：______________，结论：______________．
解：
7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】
(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.B
3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.
(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
4．B 解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE ＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.
5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．
7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P向右作PN∥CD.∵AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.。