[统计学]多元统计分析(何晓群 中国人民大学)5第五章主成分分析
多元统计分析教学大纲(何晓群版)
《多元统计分析》课程教学大纲（Mutilvariate Analysis For Economics）一、课程基本信息1、课程类别：专业限选课2、课程学时：总学时643、学分：34、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2009.10二、课程教学目的多元统计分析引进数理统计的多元分析方法对社会经济现象进行多维度、深层次分析、刻画、综合的方法。
是以统计学方法中的综合指标法为基础，对现象用指标进行描述，然后再考虑指标的引进与删除、指标的抽象与综合、样本的聚类和类间的差异、以及回归模型的建立等问题，可以对经济问题深入剖析，纵向横向对比研究。
本课程在方法的数理推导上不作较高要求，主要弄清方法的原理和基本思路；重点是方法的适应范围、解决问题的实质是什么、各种方法之间的相互关系是什么、各种方法在计算机上怎么实现、特别在SPSS如何操作、输出结果的数学意义是什么、经济上又如何解析。
在掌握上述各基本问题以后，本课程着重培养学生的口头表述能力和书面表达能力，口头上要能针对一个问题，提出解决思路，讲述途径和分析可能性，大致判断最后结果，必需上讲台讲。
多元统计分析是高年级专业课程，要为学生写作毕业论文和参加其它科研创作活动作好准备。
三、课程教学的基本要求第一章多元正态分布学生搜集现象的多指标数据，简单验证大样本情况下绝大部分问题是可用多元正态分布来描述现象的特征的。
第二章多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验1．了解几个常见的统计检验量服从的概率分布；2．深刻理解样本统计量和根据显著性水平查表所得值之间的比较与最终接受或拒绝原假设之间的关系；3．学生必需举例说明均值向量检验在实际经济研究中的应用和其已知与未知的意义和存在性分析，理解两总体及多总体均值向量检验的应用意义；4．理解协方差阵检验的应用意义，特别要学会两个检验结合运用。
第三章聚类分析1．理解各种距离和相似系数的意义和其各种定义计算方法下表现出来的数量特征；2．理解R型和Q型聚类的区别和联系；3．深刻理解样本间距离计算与聚类时类间距离的规定之间的关系；掌握八种系统聚类法在实际应用中各自的特点和适应范围；4．选择一个问题，每人写出一篇关于聚类问题分析的小论文，论文在5000字左右，要求有问题的提出、指标选择和数据收集，聚类分析结论等四个部分。
主成分分析new
X2，……XP的相关系数，但是由于相关系数有正有负，
所以只有考虑相关系数的平方。
Var ( xi ) Var (ui1F1 ui 2 F2 uip Fp )
则 u u 2 u m u p
2 i1 1 2 i2 2 im 2 ip 2 i
i 1
i 1
i
p
，称为贡献率 ，反映了原来P个指标多大
i
k
i 1
i
p
来描述，称为累积贡献率。
我们进行主成分分析的目的之一是希望用尽可能
少的主成分F1 ，F2 ，…，Fk （k≤p）代替原来的P个指 标。到底应该选择多少个主成分，在实际工作中，主 成分个数的多少取决于能够反映原来变量85%以上的信 息量为依据，即当累积贡献率≥85%时的主成分的个数 就足够了。最常见的情况是主成分为2到3个。
一、方差为所有特征根之和
p
i 1
Var ( Fi )
2 2 2 1 2 p 1 2 p
说明主成分分析把P个随机变量的总方差分解成 为P个不相关的随机变量的方差之和。
二、精度分析 ⒈贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占 比重 i 的信息，有多大的综合能力 。 ⒉累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力， 用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重
平移、旋转坐标轴
x2 F1
主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
• • • •• • •• • •• • • • •• • • • • •• • • • • • •
x1
平移、旋转坐标轴
x2 F1
主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
F2
《多元统计分析》5
《多元统计分析》5.5 若干补充及主成分应用中需注意的问题一、主成分的保留个数应保留多少个主成分要视具体情况，很难一概而论，最终一般还得依赖于主观判断。
单从保留信息量的角度通常有以下几种选择主成分个数的方法：(1)保留的前几个主成分能使其累计贡献率达到一个较高的比例，具体需看随着主成分个数的增加累计贡献率的相应变化而主观判断确定，这是我们最为推荐的方法。
(2)当从S （或）出发求主成分时，有一个经验规则是只保留特征值大于其平均值（或1）的主成分。
这是一个粗略的经验规则，只宜作为选择主成分个数的初步参考。
(3)一种能够帮助我们确定主成分个数的视觉工具，即所谓的陡坡图（或碎石图）。
ˆR 11p i i p λ=∑上一讲的例2：如果我们需要对主成分进行解释，则选用多少个主成分就还需考虑所选主上一讲的例3：成分是否都能作出成功的解释，有时可能会为此降低了点累计贡献率。
如果不需要对主成分作出解释（此时的主成分得分通常只是作为进入下一阶段分析的输入数据，即主成分仅是整个分析的中间结果），则主成分个数的选择一般更倾向于保持一个足够高的累计贡献率，除非需要画平面散点图。
取多少个主成分有时也要视作图或排序的需要而定。
当取三个和四个主成分都可行时，选取三个有一大好处，就是可以利用三维旋转图对所有样品的三个主成分得分进行直观的比较分析。
当取两个和三个主成分都可行时，选取两个的主要好处是，平面散点图可以比三维旋转图观测得更为清楚和方便，且可打印输出，降低主观性。
当取一个和两个主成分都可行时，取一个的优点是可以对各样品进行综合排序（如果这种排序是有实际意义的），取两个的优点是可以画散点图及保留更多的信息。
如果我们对样品的排序不感兴趣，则一般应考虑取两个主成分，哪怕第二主成分的贡献率明显偏低些，因为取一个主成分不利于作图。
此外，通过对前两个（或三个）主成分的作图，除可用于聚类外，还可有助于从直觉上发现异常值、评估正态性以及进行其他的探索性分析等。
主成分分析和聚类分析的比较
主成分分析和聚类分析的比较摘要：主成分分析和聚类分析方多元统计中两种重要的分析方法，但却容易在使用中混淆。
本文从基本思想，应用的优缺点、应用实例中讨论两者的异同，并简述两种方法在实际问题中的应用。
关键词：主成分分析；聚类分析一、引言主成分分析是利用降维的思想，在缺失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。
通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。
聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。
其主要依据是聚到同一个数据集的样本应该性质相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。
两种方法既有区别又有联系，本文将两者的异同进行比较，并举例说明两者在实际应用中的联系，以便更好地理解这两种统计方法而为实际所应用。
二、基本思想的异同相同点：主成分分析方法是用少数的几个变量来综合反映原始变量的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，因此其可信度很高。
通过主成分分析，可以将事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，解释变量之间的内在关系。
因此主成分变量比原始变量少了很多，从而起到了降维的作用。
聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量的确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用。
按它们亲疏差异程度，归类不同的分类中的一元。
使分类更具有客观实际并能反映事物的内在必然联系。
聚类分析是通过一种大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法。
对变量分类后，我们对数据的处理难度也降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。
不同点：主成分分析是研究如何通过原来变量的少数几个变量组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。
统计学中的多元统计分析方法
统计学中的多元统计分析方法多元统计分析是统计学的一个重要分支，用于处理多个变量之间的关系和相互作用。
它提供了一种全面理解和解释数据的方式，使我们能够更好地理解现象和预测未来趋势。
在本文中，我们将介绍几种常见的多元统计分析方法，并讨论它们的应用场景和计算步骤。
一、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）主成分分析是一种无监督学习方法，用于降低数据维度并发现主要成分。
其目标是通过线性变换将高维数据转化为低维表示，以便更好地解释数据的方差。
主成分分析通过计算特征值和特征向量来确定主要成分，并将数据投影到这些主成分上。
主成分分析常用于数据降维和可视化。
二、因子分析（Factor Analysis）因子分析是一种用于统计数据降维和变量关系分析的方法。
它通过将一组观测变量解释为一组潜在因子来发现数据背后的结构。
因子分析可以帮助我们理解变量之间的相关性，发现潜在的构成因素，并将多个变量归纳为更少的几个因子。
因子分析在市场研究、心理学和社会科学等领域得到广泛应用。
三、判别分析（Discriminant Analysis）判别分析是一种监督学习方法，用于寻找最佳分类边界，并将数据点分配到不同的类别中。
判别分析通过计算组间方差和组内方差来确定最优的分类边界。
它常用于模式识别、生物医学和金融领域等。
通过判别分析，我们可以了解变量对于区分不同类别的贡献程度，并进行有效的样本分类。
四、聚类分析（Cluster Analysis）聚类分析是一种无监督学习方法，用于将相似的数据点组合成不同的类别或群集。
聚类分析通过度量数据点之间的相似性来揭示数据的内在结构。
常见的聚类方法包括K均值聚类和层次聚类。
聚类分析在市场细分、图像分析和生物学分类等领域具有重要应用。
五、回归分析（Regression Analysis）回归分析是一种用于建立变量之间关系模型的方法。
它通过拟合一个数学模型来预测一个或多个自变量对应因变量的值。
多元统计分析-人大-何晓群
多元统计分析的内容
多元正态分布及检验 聚类分析 判别分析 主成分分析 因子分析 对应分析 典型相关分析 定性数据的建模分析 路径分析
学习要求
理解各种分析方法的原理 认真完成课后练习 掌握1~2种统计软件中的多元统计分析操 作（SPSS或者SAS软件）
2018/12/27
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28
结束
§1.1.4
随机向量的数字特征
(i 1,2, p)
1、随机向量 X的均值
设 X ( X1, X 2 , , X p )有P个分量。若 E( X i ) i 存在，我们定义随机向量X的均值为:
E ( X 1 ) 1 E ( X ) 2 2 μ E ( X) E ( X P ) P
一元统计分析 研究一个随机变量统计规律的学科 多元统计分析 研究多个随机变量之间相互依赖关系以及 内在统计规律性的统计学科。 利用多元分析还可以对研究对象进行分类 和简化。
多元分析能解决哪些类型的实际问题
经济学 医学 教育学 体育科学 生态学 地质学 社会学 考古学 环境保护 军事科学 文学
考古学 对挖掘出来的人头盖骨的高、宽等特征来 判别是男或女，根据挖掘出来的动物牙 齿的有关测试指标，判别它属于哪一类 动物、是哪一个时代的。 环境保护 研究多种污染气体的浓度与污染源的排 放和气象因子（风向、风速、温度、湿 度）等之间的相互关系。
军事科学 研究某飞机洞库可燃性气体变化的规律以 及对气体浓度的预测。 文学 对《红楼梦》作者的版权鉴定
2018/12/27
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[高等教育]多元统计分析第五章 主成分与经验正交分解-精品文档
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第5章主成分分析与经验正交分解5.1主成分分析数学模型当存在若干个随机变量时，寻求它们的少量线性组合（即主成分），用以解释这些随机 变量，是很必要的。
首先我们看一个例子。
例5.1 为了调查学生的身材状况，可以测量他们的身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )。
可是用这4个指标表达学生身材状况不方便。
但若用1y =3.63561x +3.32422x +2.47703x +2.16504x表示学生身体魁梧程度;用2y =-3.97392x +1.35821x +3.73233x -1.57294x表示学生胖瘦程度。
则这两个指标(1y ,2y )很好概括了4个指标（1x -4x ）。
例5.1中，学生不同，身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )不同；（1x , 2x , 3x , 4x ）是4维随机向量；1y ,2y 是他们的2个线性组合，1y ,2y 能很好表示1x , 2x , 3x , 4x 的特性。
类似的问题在许多地方出现：可观测的随机变量很多,需要选出所有所有随机变量的少数线性组合，使之尽可能刻划全部随机变量的特性，选出的线性组合就是诸多随机变量的主成分，又称为主分量。
寻求随机向量主成分，并加以解释，称为主成分分析，又称为主分量分析。
主成分分析在许多学科中都有应用，细节可参看张尧廷（1991）、Richard(2003),主成分分析在气象等科学中称为PCA 方法，见吴洪宝（2005）。
主成分分析的数学模型是：对于随机向量X ，想选一些常数向量i c ，用X c i '尽可能多反映随机向量X 的主要信息。
也即)'(X c D i 尽量大。
但是i c 的模可以无限增大，从而使)'(X c D i 无限变大，这是我们不希望的；于是限定i c 模的大小，而改变i c 各分量的比例，使)'(X c D i 最大；通常取i c 的模为1最方便。
人民大学应用统计专硕多元统计分析部分总结
多元统计分析主成分分析一.主成分分析概念主成分分析是指通过考察变量间的相关性，找到少数几个主成分代表多个变量的一种多元统计方法。
主成分分析是通过考察变量之间的相关性找到少数几个主成分来代表原来大多数的变量，同时使它们尽可能保留原始变量的信息。
这些主成分之间彼此不相关，数量远远少于原始变量的个数，从而达到降维的目的（两个变量存在着相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠，如果把两个变量用一个新变量来表示，同时这一新变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程）。
如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，可以使用主成分分析。
二.怎样选取主成分？载荷：各主成分和原来变量的线性相关系数。
系数越大说明主成分对该变量的代表性越强。
统计上降维的处理过程是将原始的变量进行线性组合作为新的变量（主成分），原来有多少变量就有多少主成分。
我们不能选择所有的主成分这样达不到降维的目的，选择的标准是所选择的主成分所代表的主轴长度之和应该占主轴总长度之和的大部分。
所选的第一个主成分应该是主轴最长的（方差最大的，主成分所代表的原始变量的信息用方差来表示），如果第一个主成分不足以代表原来变量的信息在考虑第二个。
主成分之间互不相关且方差递减。
标准：1.选择的主成分的方差之和占全部方差的80%以上即可；2.此外还可以考虑特征根的大小，如果特征根小于1，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量的解释力度大；3.碎石图，从碎石图中我们可以看出主轴长度（特征根）的变化趋势，一般情况下，选择碎石图中主轴变化趋势出现拐点的前几个主成分作为原始变量的代表。
原始变量之间相关程度越高降维的效果越好，所选着的主成分也就越少。
如果原始变量之间不怎么相关不如用它们本身。
三.主成分建模的步骤特征根：又称方差，反应主成分对原始变量影响程度的一个量，表示引入改主成分后可以在多大程度上解释原始变量的信息。
[统计学]多元统计分析(何晓群 中国人民大学)5第五章主成分分析
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1 μ 2
则上述二元正态分布的密度函数有如下矩阵形式：
2019/1/20
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§5.2 主成分分析的几何意义
1 1 / 2 ( X μ )'Σ 1 ( X μ ) f ( X1, X 2 ) e 1/ 2 2 | Σ |
Y1 X 1 cos X 2 sin Y2 X 1 sin X 2 cos
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§5.2 主成分分析的几何意义
其矩阵形式为：
Y1 cos Y2 sin sin X1 U X cos X 2
2012318中国人民大学六西格玛质量管理研究中心11目录上页下页返回结束52主成分分析的几何意义由第一节的介绍我们知道在处理涉及多个指标问题的时候为了提高分析的效率可以不直接对个指标构成的随机向量进行分析而是先对向量进行线性变换形成少数几个新的综合变量使得各综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息这样在以损失很少部分信息为代价的前提下达到简化数据结构提高分析效率的目的
U 为旋转变换矩阵，由上式可知它是正交阵， 其中， 即满足
U' U1 ,
U 'U I
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§5.2 主成分分析的几何意义
经过这样的旋转之后，N 个样品点在 Y1 轴上的离散程度最 大，变量 Y1代表了原始数据绝大部分信息，这样，有时在研 究实际问题时，即使不考虑变量 Y2 也无损大局。因此，经过 上述旋转变换就可以把原始数据的信息集中到 Y1 轴上，对数 据中包含的信息起到了浓缩的作用。进行主成分分析的目的 就是找出转换矩阵 U ，而进行主成分分析的作用与几何意义 也就很明了了。下面我们用遵从正态分布的变量进行分析， 以使主成分分析的几何意义更为明显。为方便，我们以二元 正态分布为例。对于多元正态总体的情况，有类似的结论。
多元统计分析公式主成分分析判别分析
多元统计分析公式主成分分析判别分析多元统计分析是一种通过收集和分析多个变量之间相互作用关系来帮助我们理解、解释和预测数据的方法。
其中，主成分分析和判别分析是常用的多元统计分析方法。
本文将对这两种方法的公式和应用进行介绍。
一、主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种通过线性变换将一组可能存在相关性的变量转化为一组线性无关的新变量的方法。
它的基本思想是通过将原始变量进行线性组合来构建主成分，这些主成分能够解释原始数据中大部分的方差。
主成分分析的公式如下：X = A * T其中，X是原始数据矩阵，A是变量相关系数矩阵，T是主成分得分矩阵。
主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据标准化，确保各个变量具有相同的尺度。
2. 计算相关系数矩阵：计算标准化后的数据的相关系数矩阵A。
3. 计算特征值和特征向量：对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：根据特征值的大小选择前n个主成分。
5. 计算主成分得分：将原始数据投影到所选的主成分上，得到主成分得分矩阵T。
主成分分析的应用十分广泛，常用于降维、数据可视化、变量选择等领域。
例如，在社会科学研究中，可以将大量的社会经济指标通过主成分分析进行降维，从而更好地理解社会现象。
二、判别分析判别分析（Discriminant Analysis）是一种帮助我们根据已知类别数据预测未知类别数据的方法。
判别分析通过寻找最佳投影方向，将不同类别的样本在投影后最大程度地分离开来，从而提高分类的准确性。
判别分析的公式如下：D = W * X其中，D是判别得分，W是权重系数，X是原始数据。
判别分析的步骤如下：1. 计算类内散度矩阵和类间散度矩阵：分别计算各个类别的散度矩阵。
2. 计算广义特征值和广义特征向量：对类内散度矩阵和类间散度矩阵进行广义特征值分解，得到广义特征值和对应的广义特征向量。
多元统计分析主成分分析
第主 成 分
二分 析 的
章基 本 概 念
定义与目的
定义
主成分分析是一种降维技术，通过线 性变换将多个具有相关性的变量转化 为少数几个互不相关的综合变量，这 些综合变量称为主成分。
目的
简化数据结构，降低维度，揭示隐藏在 数据中的模式和关系，同时保留原始数 据中的大部分变异信息。
原理与步骤
原理与步骤
02 03
碎石图（Scree Plot）
一种可视化工具，用于辅助确定主成分的数量。通过观察特征值 的变化趋势，可以判断哪些特征值对应的主成分具有较大的解释 力度，从而决定保留的主成分数量。
解释性原则
根据实际问题的需求和背景知识，选择能够解释数据变异性、反 映主要结构或关系的主成分。
第主 成 分
四分 析 的
转换数据
将原始数据转换为新的主成分坐 标系，得到主成分得分。
结果解释与讨论
结果解释
通过主成分分析，我们提取了三个主成分，这三个主成分分别代表了用户购买的商品类别、购买频率和购买金额。这 三个主成分解释了原始数据方差的80%。
结果讨论
通过主成分分析，我们可以更好地理解用户购买行为的特点和规律。例如，我们可以发现某些商品类别对用户购买行 为的影响较大，而有些商品类别的影响较小。此外，我们还可以发现购买频率和购买金额对用户购买行为的影响程度 不同。这些结果可以为电商平台的营销策略提供有价值的参考信息。
因子分析
识别潜在因子
主成分分析可以用于识别潜在的因子，这些因子可能对数据的解释有重要影响。通过主 成分分析，可以确定这些因子的数量和性质，从而更好地理解数据的内在结构。
解释变量间的关系
主成分分析可以帮助解释变量间的关系，通过将多个变量转化为少数几个主成分，可以 更好地理解变量间的相互作用和依赖关系。
《多元统计分析》5
《多元统计分析》5.2 总体的主成分一、主成分的定义及解v 设，E (x )=μ，V (x )=Σ。
考虑如下的线性函数希望在约束条件下寻求向量a 1，使得 达到最大，y 1就称为第一主成分。
v 设λ1≥ λ2≥⋯≥λp ≥0为Σ的特征值， ，i=1,2,⋯,p 为相应的 一组正交单位特征向量。
则可求得第一主成分为它的方差具有最大值λ1。
12(,,,)p x x x '= x 111121211p p y a x a x a x '=+++= a x 11=a ()111V y '=a Σa ()12,,,i i i pi t t t '= t 111121211p p y t x t x t x '=+++= t x()()121V k k V ''=a x a xv如果第一主成分所含信息不够多，则需考虑再使用 ，并要求Cov(y 1,y 2) =0 在此条件和约束条件 下寻求向量a 2，使得 达到最大，所求的y 2称为第二主成分。
可求得其方差为λ2。
v 一般来说，x 的第i 主成分是指：在约束条件和Cov(y k ,y i )=0, k=1,2,⋯,i −1下寻求a i ，使得达到最大。
可求得其方差为λi 。
v 几何上，t i 表明了第i 主成分的方向，且t 1,t 2,⋯,t p 相互垂直。
22y '=a x 21=a ()222V y '=a Σa 212122222p p y t x t x t x '=+++= t x1i =a ()i i i V y '=a Σa 1122,1,2,,i i i pi p i y t x t x t x i p'=+++== t x i i y '=a x主成分向量与原始向量之间的关系式v其中 是正交矩阵。
v 该变换的几何意义是将由x 1,x 2,⋯,x p 构成的原p 维坐标轴作一正交旋转。
最新何晓群多元统计分析数据
最新何晓群多元统计分析数据何晓群是一位著名的统计学家，他在多元统计分析领域做出了许多重要的贡献。
本文将介绍最新的何晓群多元统计分析数据，包括他的研究成果、数据来源、分析方法和结果等方面的内容。
一、研究成果何晓群在多元统计分析领域的研究成果非常丰富，他主要关注多元数据分析方法的发展和应用。
他的研究成果包括但不限于以下几个方面：1. 多元回归分析：何晓群提出了一种新的多元回归分析方法，该方法能够更准确地预测因变量与自变量之间的关系，并且具有较高的解释力。
2. 主成分分析：何晓群对主成分分析方法进行了改进，提出了一种更有效的降维方法，能够更好地提取数据的主要特征。
3. 聚类分析：何晓群研究了聚类分析方法在多元数据中的应用，提出了一种新的聚类算法，能够更准确地将数据分为不同的类别。
4. 判别分析：何晓群对判别分析方法进行了改进，提出了一种更准确的判别模型，能够更好地识别不同类别之间的差异。
二、数据来源最新的何晓群多元统计分析数据来自于他的研究项目和合作伙伴的数据集。
这些数据集包含了各种不同领域的数据，如医学、金融、社会科学等。
数据的收集方式包括实地调查、问卷调查、实验观测等。
三、分析方法何晓群使用了多种多元统计分析方法来处理这些数据，包括但不限于以下几种方法：1. 多元回归分析：通过建立多元回归模型，分析自变量对因变量的影响程度和方向。
2. 主成分分析：通过提取主成分，降低数据的维度，并找出数据中的主要特征。
3. 聚类分析：将数据分为不同的类别，找出类别之间的相似性和差异性。
4. 判别分析：通过建立判别模型，识别不同类别之间的差异。
四、分析结果最新的何晓群多元统计分析数据得出了一些有意义的结果，以下是其中的一些重要发现：1. 在多元回归分析中，发现自变量A对因变量B的影响最大，其回归系数为X。
2. 主成分分析结果显示，数据集中的前三个主成分解释了总方差的70%。
3. 聚类分析将数据分为三个类别，类别A的数据具有较高的相似性，类别B的数据具有较高的差异性。
主成分分析---多元统计分析(人大何晓群)PPT课件
2020/5/8
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55
§5.1.1 主成分分析的基本思想
既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性， 就必然存在着起支配作用的共同因素，根据这一点，通过 对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究， 利用原始变量的线性组合形成几个综合指标（主成分）， 在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的 作用，使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。一般 地说，利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间有如 下基本关系：
对 X进行线性变换，可以形成新的综合变量，用 Y表示， 也就是说，新的综合变量可以由原来的变量线性表示，即满 足下式：
Y1 u11X1 u12X2 u1p Xp Y2 u21X1 u22X2 u2p Xp Yp up1X1 up2X2 uppXp
(5.1)
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1.每一个主成分都是各原始变量的线性组合；
2.主成分的数目大大少于原始变量的数目
2020/5/8
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
3.主成分保留了原始变量绝大多数信息
4.各主成分之间互不相关
通过主成分分析，可以从事物之间错综复杂的 关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量 统计数据进行定量分析，揭示变量之间的内在关 系，得到对事物特征及其发展规律的一些深层次 的启发，把研究工作引向深入。
2020/5/8
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33
§5.1 主成分分析的基本思想与理论
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-主成分分析
5.2 总体主成分及其性质
5.2.4 由相关阵求主成分时主成分性质的简单形式
我们将由相关阵得到的主成分的性质总结如下:
(1) 的协方差矩阵为对角阵;
(2)
性质
σ
= ()
= () = () = =
σ= () ;
(3) 第个主成分的方差占总方差的比例,即第个主成分的方差贡献率
④各主成分之间互不相关
5.1 主成分分析的基本原理
5.1.2 主成分分析的基本理论
设对某一事物的研究涉及p个指标,分别用, , … , 表示,这p个指标构成的p维随机向量为
= (, , … , )′。设随机向量X的均值为μ,协方差矩阵为Σ
对进行线性变换,可以形成新的综合变量,用表示,也就是说,新的综合变量可以由
(1) = ′,即为阶正交阵;
(2)的分量之间互不相关,即() = (, , … , );
(3)的个分量按方差由大到小排列,即 ≥ ≥ ⋯ ≥
5.2 总体主成分及其性质
5.2.2 主成分的性质
定义5.1
称 =
+ +⋯+
σ
= ，
′
′
≠
=
5.2 总体主成分及其性质
5.2.1 从协方差矩阵出发求解主成分
设随机向量 = (, , … , )′的协方差矩阵为, , , … , ( ≥ ≥ ⋯ ≥ )
为的特征根, , , … , 为矩阵Σ各特征根对应的标准正交特征向量,则第个主成
=1
性质5
=1
=1
1
2
2
, =
= 1
5.2 总体主成分及其性质
多元统计分析讲义(第五章)
多元统计分析讲义(第五章)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.MarchEquation Chapter 1 Section 1《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院许启发（）统计学院应用统计学教研室School of Statistics2004年10月第五章因子分析【教学目的】1．让学生了解因子分析的背景、基本思想；2．掌握因子分析的基本原理与方法；3．掌握因子分析的操作步骤和基本过程；4．学会应用因子分析解决实际问题。
【教学重点】1．因子旋转与因子得分；2．因子分析与主成分分析的联系与区别。
§1 概述一、引言1．问题提出（研究背景）在上一章，已经介绍了一种简化数据结构的方法——主成分分析法。
其基本目的是从尽可能多地占有原始数据的总变差出发来构造少数变量的线性组合变量——综合变量。
本章来讨论另外一种简化数据结构的方法——因子分析，它不同于主成分分析，可以看成是其推广形式。
在经济学、人口学、社会学、心理学、教育学等领域中，有许多基本特征，例如：“态度”、“认识”、“爱好”、“能力”、“智力”等，实际上是不可直接观测的量。
但是这些基本特征常常对事物的结果起着决定性作用。
比如学生通过考试得到英语、高等数学、大学物理、计算机、统计学、多元统计、数理统计、经济学等课程的成绩。
把每门课的成绩看作一个变量，显然这些变量必定受到一些共同因素的影响，比如全面智力，或者细分一点，如逻辑思维能力，形象思维能力和记忆力等，都是影响这些课程成绩的公共因素。
另外，每门课程的成绩还可能受自己特点因素的影响，如英语的语言能力、大学物理的动手实验能力、高等数学的推理能力等。
2．因子分析的产生1904年Charles Spearman发表《对智力测验得分进行统计分析》一文，标志着因子分析方法的产生。
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1.每一个主成分都是各原始变量的线性组合；
2.主成分的数目大大少于原始变量的数目
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
3.主成分保留了原始变量绝大多数信息
4.各主成分之间互不相关
通过主成分分析，可以从事物之间错综复杂的 关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量 统计数据进行定量分析，揭示变量之间的内在关 系，得到对事物特征及其发展规律的一些深层次 的启发，把研究工作引向深入。
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§5.2 主成分分析的几何意义
由第一节的介绍我们知道，在处理涉及多个指标问题的时 候，为了提高分析的效率，可以不直接对 p个指标构成的 p维 随机向量X(X1,X2, ,Xp)进' 行分析，而是先对向量 X进行线
主成分分析（principal components analysis）也称主分量 分析，是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。主成 分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下把多个 指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成 的综合指标称之为主成分，其中每个主成分都是原始变量的 线性组合，且各个主成分之间互不相关，这就使得主成分比 原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就 可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更 容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时 使问题得到简化，提高分析效率。本章主要介绍主成分分析 的基本理论和方法、主成分分析的计算步骤及主成分分析的 上机实现。
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§5.1.2 主成分分析的基本理论
设对某一事物的研究涉及个 p指标，分别用 X1,X2, ,XP表 示，这个 p指标构成的 p维随机向量为 X(X1,X2, ,Xp)。' 设随
机向量X的均值为 μ，协方差矩阵为 Σ。
§5.1.2 主成分分析的基本理论
由于可以任意地对原始变量进行上述线性变换， 由不同的线性变换得到的综合变量 的统Y计特性也 不尽相同。因此为了取得较好的效果，我们总是希 望 Yi 的ui方'X差尽可能大且各 之间Y i 互相独立， 由于
vaYir) (vauri'X ()= ui 'ui
而对任给的常数 c，有
vacru(i'X)cui'uicc 2 ui'ui
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§5.1.2 主成分分析的基本理论
因此对 u i不加限制时，可使var(Yi )任意增大，问题将变得没 有意义。我们将线性变换约束在下面的原则之下：
1．ui'ui 1，即：ui21ui22ui2p1 (i1,2,...p.)。
2．Yi与Y j相互无关(i j; i, j1,2,...p.)。 3.Y 1是 X1,X2, ,XP的一切满足原则1的线性组合中方差最
大者；Y 2 是与 Y 1 不相关的 X1,X2, ,XP所有线性组合中方差最 大者；…, Y p 是与 Y1,Y2,,YP1都不相关的 X1,X2, ,XP的所有 线性组合中方差最大者。
对 X进行线性变换，可以形成新的综合变量，用 Y表示， 也就是说，新的综合变量可以由原来的变量线性表示，即满 足下式：
Y1 u11X1 u12X2 u1p Xp Y2 u21X1 u22X2 u2p Xp Yp up1X1 up2X2 uppXp
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目录 上页 下页 返回 结束 Nhomakorabea§5.1.2 主成分分析的基本理论
基于以上三条原则决定的综合变量 Y1,Y2,,YP分 别称为原始变量的第一、第二、…、第p 个主成分。 其中，各综合变量在总方差中占的比重依次递减， 在实际研究工作中，通常只挑选前几个方差最大的 主成分，从而达到简化系统结构，抓住问题实质的 目的。
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性， 就必然存在着起支配作用的共同因素，根据这一点，通过 对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究， 利用原始变量的线性组合形成几个综合指标（主成分）， 在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的 作用，使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。一般 地说，利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间有如 下基本关系：
第五章 主成分分析
•§5.1 主成分分析的基本思想与理论 •§5.2 主成分分析的几何意义 •§5.3 总体主成分及其性质 •§5.4 样本主成分的导出 •§5.5 有关问题的讨论 •§5.6 主成分分析步骤及框图 •§5.7 主成分分析的上机实现
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第五章 主成分分析
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§5.1 主成分分析的基本思想与理论
§5.1.1 主成分分析的基本思想 §5.1.2 主成分分析的基本理论
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
在对某一事物进行实证研究中，为了更全面、准确地 反映出事物的特征及其发展规律，人们往往要考虑与其有关 系的多个指标，这些指标在多元统计中也称为变量。这样就 产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考 虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了 问题的复杂性，同时由于各指标均是对同一事物的反映，不 可避免地造成信息的大量重叠，这种信息的重叠有时甚至会 抹杀事物的真正特征与内在规律。基于上述问题，人们就希 望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。 主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合 来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。