回溯法举例【动态演示】
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算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 – 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
– 实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点（也是 E-结点：expansion node） – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将
权衡：限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– （1）—（3）与实例无关 – （4）与实例相关
有可能只生成O(n)个结点，有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n)，p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!)，q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计（1）
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况， 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题（2） 子集和数问题
第六章 回 溯 法
第七章 回 溯 法§1. 回溯法的基本思想回溯法有“通用的解题法”之称。
应用回溯法解问题时，首先应该明确问题的解空间。
一个复杂问题的解决往往由多部分构成，即，一个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组成。
很多时候它们构成一个决策序列。
解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。
解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。
一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标达优的可行解称为该问题的最优解。
在解空间中，前k 项决策已经确定的所有决策序列之集称为k 定子解空间。
0定子解空间即是该问题的解空间。
例1．旅行商问题: 某售货员要到若干个城市去推销商品。
已知各个城市之间的路程（或旅费）。
他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使得总的路程（或总旅费）最小。
我们用一个带权图G(V, E)来表示，顶点代表城市，边表示城市之间的道路。
图中各边所带的权即是城市间的路程（或城市间的旅费）。
求赋权图G 的 具有最小权的 Hamilton 圈则旅行商问题即是：在带权图G 中找到一条路程最短的周游路线，即权值之和最小的Hamilton 圈。
如果假定城市A是驻地。
则推销员从A地出发，第一站有3种选择：城市B、C 或城市D；第一站选定后，第二站有两种选择：如第一站选定B，则第二站只能选C、D两者之一。
当第一、第二两站都选定时，第三站只有一种选择：比如，当第一、第二两站先后选择了B和C时，第三站只能选择D。
最后推销员由城市D返回驻地A。
推销员所有可能的周游路线可由下面的图反映出来。
},,,{21n w w w A "=例2．定和子集问题： 已知一个正实数的集合 和正实数M．试求A 的所有子集S，使得S 中的数之和等于M。
这个问题的解可以表示成0/1数组，依据是否属于S，分别取值1或0。
故解空间中共有2),,,(21n x x x "1w 1x n 个元素。
回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯法ppt课件
1
x1=2
1
3
4
x2=4 123
1
23 4 1 2 3 4
x3=1
2
4
1 23 4
1 2 x4=3 1
3
3 1
4 2
36
例1： n后问题
法2：4后问题的解空间（排历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int i) { if (i>n) output(x);
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
个数的组合。
12 5
要求： 输入：m,n＝5 3 输出：
13 4 13 5 14 5 23 4
23 5
24 5
34 5
Total＝10种
24
例： 排列与组合
分析：
设（x1,x2, ……,xn）一组解 约束条件：
显约束：1≤xi≤m 隐约束：x1＜x2＜ ……＜xn
i≤ xi ≤m－n＋i
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
11回溯法
23
搜索代价-空间代价
如果要把整个树存储下来的话，那空间代价是惊人的； 在回溯算法中，并不需要真正创建一个空间树； 树的深度优先搜索策略的空间代价一般为最长路径的长 度。
24
2 回溯法应用-例3 素数环问题
素数环问题： 把从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻 两个数的和是一个素数。
问题分析： 搜索从1开始，每个空位有2~20共19种可能； 填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的 数的和是一个素数； 第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。
25
2 回溯法应用-例3 素数环问题
算法流程： 1、数据初始化； 2、递归地填数： 判断第i种可能是否合法？ A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填 完）：是，打印结果；不是，递归填下一个； B、如果不合法：选择下一种可能； 与前面的数不相同； 与左边相邻的数的和是一个素数；
int a[n],i; 初始化数组a[ ]； i=1; While (i>0(有路可走)) and (未达到目标) //还未回溯到头 { if (i=n) 搜索到一个解，输出; //搜索到叶结点 else //正在处理第i个元素 {a[i]第一个可能的值； while (a[i]不满足约束条件且在搜索空间内) a[i]下一个可能的值； if (a[i]在搜索空间内) {标识占用的资源; i=i+1;} //扩展下一个结点 else {清理所占的状态空间；i=i-1;} //回溯 } }
13
2 回溯法应用-例1 d非递归回溯算法
backdate (int n) { int k; a[1]=0; k=1; while( k>0 ){ a[k]=a[k]+1; while ((a[k]<=n) and (check(a,k)=0)) //搜索第k个皇后位置 a[k]=a[k]+1; if（ a[k]<=n） if(k=n ) output(n); //找到一组解 else {k=k+1; //继续为第k+1个皇后找到位置 a[k]=0;} //注意下一个皇后一定要从头开始搜索 else k=k-1; //回溯 } }
搜索代价-空间代价
如果要把整个树存储下来的话，那空间代价是惊人的； 在回溯算法中，并不需要真正创建一个空间树； 树的深度优先搜索策略的空间代价一般为最长路径的长 度。
24
2 回溯法应用-例3 素数环问题
素数环问题： 把从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻 两个数的和是一个素数。
问题分析： 搜索从1开始，每个空位有2~20共19种可能； 填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的 数的和是一个素数； 第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。
25
2 回溯法应用-例3 素数环问题
算法流程： 1、数据初始化； 2、递归地填数： 判断第i种可能是否合法？ A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填 完）：是，打印结果；不是，递归填下一个； B、如果不合法：选择下一种可能； 与前面的数不相同； 与左边相邻的数的和是一个素数；
int a[n],i; 初始化数组a[ ]； i=1; While (i>0(有路可走)) and (未达到目标) //还未回溯到头 { if (i=n) 搜索到一个解，输出; //搜索到叶结点 else //正在处理第i个元素 {a[i]第一个可能的值； while (a[i]不满足约束条件且在搜索空间内) a[i]下一个可能的值； if (a[i]在搜索空间内) {标识占用的资源; i=i+1;} //扩展下一个结点 else {清理所占的状态空间；i=i-1;} //回溯 } }
13
2 回溯法应用-例1 d非递归回溯算法
backdate (int n) { int k; a[1]=0; k=1; while( k>0 ){ a[k]=a[k]+1; while ((a[k]<=n) and (check(a,k)=0)) //搜索第k个皇后位置 a[k]=a[k]+1; if（ a[k]<=n） if(k=n ) output(n); //找到一组解 else {k=k+1; //继续为第k+1个皇后找到位置 a[k]=0;} //注意下一个皇后一定要从头开始搜索 else k=k-1; //回溯 } }
第五章 回溯法
• Cr=C=30，V=0
C为容量，Cr为剩余空间，V为价值。 • A为唯一活结点，也是当前扩展结点。
H D 1 0 I 1
1 B 0 E 1 0 J K
A
0 C 1 F 1 0 L M N 0 G 1 0 O
5.1 回溯法的算法框架
• n=3, C=30, w={16,15,15}, v={45,25,25}
理论上
寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个， 在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
但是
当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方
法是可行的。
若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能 解决规模很小的问题。
显约束
对分量xi的取值限定。
隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该 实例的一个解空间。 注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所需状态空间更小（存储 量少，搜索方法简单）。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合
对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么解是满足某些
约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解题法”之称。 回溯法的基本做法 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点（L-结点,Live Node）
一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
《算法8回溯法》课件
八皇后问题
使用回溯法找到八个皇后的摆 放位置，使得它们不会互相攻 击。
0/1背包问题
利用回溯法找到最优的物品选 择方案，使得总价值最大且不 超过背包容量。
八皇后问题
八皇后问题是一个经典的回溯法应用，要求在8x8的棋盘上放置8个皇后，使 得它们不会互相攻击。
解决方法是使用递归的回溯法，在每一行放置一个皇后，然后递归地处理下 一行。
回溯法和动态规划的比较
回溯法和动态规划都可以用来解决搜索问题，但它们在求解方式和效率上有 一些区别。
回溯法通过试错的方式搜索解空间，可能需要遍历大量的解空间；而动态规 划则通过状态的存储和复用来避免重复计算，提高效率。回溯法的优化1
剪枝
通过判断条件和提前终止搜索，剪掉不必要的分支。
2
双向搜索
从目标状态和初始状态同时进行搜索，减少搜索空间。
回溯法的代码实现
回溯法的实现可以使用伪代码或具体的编程语言。 以下是伪代码示例：
procedure backtrack(c) is if reject(P, c) then return if accept(P, c) then output(P, c) s <- first(P, c) while s != NULL do backtrack(s) s <- next(P, s)
欢迎通过示例代码进一步学习回溯法的实现细节。
总结
回溯法是一种强大的搜索算法，广泛应用于各种问题领域。 了解回溯法的应用场景和技巧，可以帮助我们解决更加复杂的问题。 在使用回溯法时，需要注意剪枝和双向搜索等优化方法，以提高求解效率。
《算法8回溯法》PPT课 件
探索回溯法的魅力，从算法基础到应用实例，让我们一起深入了解回溯法的 奥秘。
第十一章_回溯法
1第13章回溯法13.1 回溯法简介?有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。
?回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
13.2 问题的解空间?问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2, , ,xn)的形式。
?显约束：对分量 xi 的取值限定。
?隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
?解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
n=3 时的 0-1 背包问题用完全二叉树表示的解空间213.3 生成问题状态的基本方法?扩展结点 : 一个正在产生儿子的结点称为扩展结点?活结点 : 一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点?死结点 : 一个所有儿子已经产生的结点称做死结点?深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把 C当做新的扩展结点。
在完成对子树C（以 C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成 R的下一个儿子（如果存在）?回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法13.4 回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
第7讲-回溯法
– 解的表示：假定第i个皇后放在第i行，用4-元组 (x1,x2,…,x4)表示解，其中xi表示放置皇后i的列号。
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
回溯法
状态空间树
子集和数问题的状态空间树 图6.3和图6.4显示了在n=4的情况下两种表示 的树结构形式。 图6.3所示的树对应于元组大小可变的列式表 示，树边的标记方式是，由i级到i+1级的一条 边用xi来表示，在每一个结点处，解空间被分 成一些子解空间，解空间则由树中的根结点到 任何结点的所有路径所确定。 最左子树确定了包含w1的所有子集，下一棵子 树则确定了包含w2但不包含w1的所有子集。
子集和数问题
子集和数问题的另一种列式表示是，每一个解 的子集由这样一个n-元组(x1,…,xn)所表示，它使 得xi∈{0,1},1≤i≤n。如果没有选择wi，则 xi=0；否则xi=1。 于是上例的解可以表示为(1,1,0,1)和 (0,0,1,1)。 这种列式表示使用大小固定的元组表示所有的 解。 一个问题的解可以有多种表示形式，而这些表 示形式都使得所有的解是满足某些约束条件的 多元组。
6.1 一般方法
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的 搜索算法。 它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深 度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判 断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统 搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该 子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
状态空间树
几个概念：
– 问题状态(problem state)：树中的每一个 结点确定所求解问题的一个问题状态。 – 状态空间(state space)：由根结点到其他结 点的所有路径则确定了这个问题的状态空间。 – 解状态(solution states)：是这样一些问题 状态S，对于这些问题状态，由根到S的那 条路径确定了这解空间中的一个元组。在图 6.3中所有的结点都是解状态，而图6.4中只 有叶结点才是解状态。 – 答案状态(answer states)：是这样的一些 解状态S，对于这些解状态而言，由根到S 的这条路径确定了这问题的一个解。
《算法设计与分析》-第五章 回溯法
回溯法的应用—n后问题 后问题
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.