全国卷1理科数学分类汇编 坐标系与参数方程(解析版)

13．坐标系与参数方程（解析版）

一、解答题

【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t y t =+⎧⎨

=-⎩

（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l

a ．

【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．曲线C 的标准方程是2219

x y +=，

联立方程22

43019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪

⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则P 到l

距离

d =

=

，其中3

tan

4

ϕ=

． 依题意得：max d =，解得16a =-或8a =．

【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩

⎨⎧+==,sin 1,

cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标

原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，

求a ．

【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t

=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2

221x y a +-= ①

∴1C 为以()01，

为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=

即为1C 的极坐标方程

⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，

224x y x ∴+=,即()2

224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =

由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=,∴1a =

【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.

解析：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.

（Ⅱ）将=

4

π

θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得2

3240ρρ-+=，解得1

ρ=22，2ρ=2，|MN |=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=1

2

.

【2014，23】已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩

（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ=⎧⎨=⎩

（θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-=

（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为5

4cos 3sin 65

d θθ=

+-， 则()025

||5sin 6

sin 305

d PA θα=

=+-，其中α为锐角．且4

tan 3

α=

. 当()sin 1θα+=-时，||PA 225

当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25

5

.

【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

解：(1)将45cos ,

55sin x t y t

=+⎧⎨

=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，

即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.

将cos ,sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.

由2222

810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩

解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π2,4⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.

【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

sin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。正方形ABCD 的顶点都在2C 上，

且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3

π）。 （1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。

【解析】（1）曲线1C 的参数方程⎩

⎨⎧==ϕϕ

sin 3cos 2y x 化为

直角坐标方程为22149

x y +=， 曲线2C 的极坐标方程2=ρ化为 直角坐标方程为2

2

4x y +=，

因为点A 的极坐标为（2，

3π

）， 所以点B 的极坐标为（2，56π），点C 的极坐标为（2，43π），点D 的极坐标为（2，116

π

），

因此点A 的直角坐标为（1，3），点B 的直角坐标为（3-，1），

点C 的直角坐标为（－1，－3），点D 的直角坐标为（3，－1）。