61 能带理论布洛赫定律PPT课件
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
《布洛赫定理》PPT课件 (2)教学提纲
黄昆（1919年9月2日－2005年7月6日）。
国际著名的中国物理学家、教育家、中国固体物理学先驱、中国半
导体技术奠基人。
黄昆1919年9月出生学理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布
里斯托大学获得博士学位。
黄昆获得博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论 1907: 独立振子的量子理论(Einstein) 1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye) 1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性 (1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科
学提供了量子力学基础. (2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,
固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通 信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技 术也产生了深刻的影响.
波矢空间的基本单元: Brillouin区
焦点: Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢 色散关系
晶格动力学+固体能带理论
3. 范式的定量表述
标量波
波
矢量波
张量波
(电子) (电磁波） (晶格波）
(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下, 电子在周期场中的运动
(de Broglie波)方程:
5 Dielectrics and Ferroelectrics
第六章 能带理论 ppt课件
引入矢量
ur k
h1 N1
r b1
h2 N2
r b2
h3 N3
r b3
ur r
rr
eika
a b 2
r ur
rr r r
r Rl r l 1a1 l 2a2 l 3a3
r
r
T1l
T1 l 2
在周期场中，描述单电子运动的Schrödinger方程为
h2 2m
2
V
r r
r r
E
r r
V
r r
V
r ur r Rl
ur r r r 为周期性势场，Rl l 1a1 l 2a2 l 3a3 为格矢
方程的解为：r
r
r ur ur
ur r eikruur r
k
k
r
r ur
uk r uk r Rl
—— （1） —— （2）
由(1)、(2)式可知，布洛赫定理也可以表示为：
ur k
rr r + Rl
rr
eik Rl ur k
r r
—— （3）
→一个多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。
于是，多电子系统的薛定谔方程可简化为
i
h2 2m
i2
1 2
i j
e2
40r rij
U
r r1
,
rHale Waihona Puke i,;
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
最新版整理ppt
12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
《布洛赫定理》课件
证明中的难点和关键点
难点分析
在证明过程中，如何正确运用相关数学公式和定理，以及如何处理复杂的逻辑 推理是主要的难点。
关键点总结
首先，准确理解和运用相关数学工具和概念是至关重要的；其次，构建清晰、 严密的证明逻辑是关键；最后，对定理的深入理解和分析也是不可或缺的。
04
定理的应用
在物理中的应用
量子力学
布洛赫定理在量子力学中有着广泛的应用，它为描 述粒子的波函数提供了重要的数学工具。
固体物理学
在固体物理学中，布洛赫定理常被用于研究晶体的 电子结构和性质，特别是在能带理论中。
粒子物理学
在粒子物理学中，布洛赫定理用于描述粒子的传播 和散射现象，特应用
80%
算法设计
布洛赫定理在算法设计中有着重 要的应用，特别是在动态规划和 图算法中。
100%
数据结构
通过应用布洛赫定理，可以设计 出更高效的数据结构，例如哈希 表和二叉搜索树等。
80%
计算复杂性
布洛赫定理在计算复杂性理论中 也有所应用，它有助于理解不同 算法的时间复杂度和空间复杂度 。
在其他领域的应用
经济学
布洛赫定理在经济学的某些领 域也有所应用，例如在博弈论 和决策理论中。
在实践中，布洛赫定理被广泛应用于组合数学、图论、计算机科 学等多个领域。例如，在计算机科学中，布洛赫定理可以用于解 决图形的布局和优化问题，以及网络设计和路由问题等。此外， 布洛赫定理在物理学、化学和工程学等领域也有广泛的应用。
03
定理的证明
证明的思路和步骤
思路概述
首先，明确定理的定义和要求，然后 通过数学推导和逻辑推理，逐步构建 证明的框架。
对物理学的贡献
布洛赫定理在物理学领域也有着 广泛的应用，它为研究物质波、 量子力学和相对论等领域提供了 重要的理论支持。
第四章 能带理论.ppt
可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。
1 单电子所受的势场为： U (r ) u (r ) e
Rn
Ze 2 4 0 r Rm
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r ) 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子 问题，单电子薛定谔方程为：
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷的离子实，相应地有 NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为:
2 2 N 1 1 e ˆ H ' 2 n 2 m 2 4 2 M r r i 1 i, j n 1 0 i j NZ 2 i NZ N 1 1 ( Ze) 2 1 Ze 2 ' 2 m ,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn 2
H ' V ( x) V V
0 (1) ( 2) E E E E 根据微扰理论，电子的能量本征值 k k k k .
一级能量修正
Ek(1) k | H ' | k k | V ( x) V | k
Ek(1)
0 L
1 ikx 1 e [V ( x ) V ] eikx dx L L 1 ikx 1 e V ( x ) eikx dx ] V L L
k r e
ikr
uk r
—— Bloch函数
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
它确定了波动方程解的基本特点。
4.1
布洛赫定理
二. Bloch 定理的物理证明（定性说明）：
固体物理--能带理论 ppt课件
e
i
a 2
E
at s
A
J
ia
kx ky kz
ia
e 2
ia
kx ky kz
e 2 kx k y kz e 2 kx k y kz
e
i
a 2
kx ky kz
a
a
于是
eikna 1 n
因此得 kna 2s 1nπ 所以 k 2s 1 π s 0,1,2...
a
（2）
icos
π a
x
a
icos
π a
x
π
eikna cos
x a
即
eikna i n
得
kna 2s 3 nπ
ia
e 2
kx ky kz
E sat
A
2J
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza 2
e
i
a 2
k
x
ky
cos
kza 2
i a
e2kx ky源自coskza 2
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza 2
E
at s
A
4J
α
年高二物理竞赛第六章能带理论课件
＝1, 2, 3
：平移算符T的本征值。
引入周期性边界条件：
设N是晶体沿基矢a（＝1，2，3）方向的原胞数， 晶体的总原胞数：N＝N1N2N3
周期性边界条件： r r N a
r N a TN r N r r
N
1 ei 2h
h＝整数， ＝1, 2, 3
exp i
❖ Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电 子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和 禁带相间组成的能带，所以这种理论称为能带论。
§6.1 Bloch定理
一、周期场模型
考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的 模型称为周期场模型。
THf
r
T
2
2m
2 r
U
r f
r
2
2m
2 ra
U
r a
f
r a
2
2m
2 r
U
r T f
r
HT f
r
因为f(r)是任意函数，所以，T与H也可对易。
T和H有共同本征态
设(r)为T和H的共同本征态
{ H r E r
（设为非简并）
T r r + a r
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
❖ 简约波矢：k限制在简约区中取值
❖ 广延波矢：k在整个k空间中取值
每一个量子态k在k空间中所占的空间大小:
1 N1
《能带理论一》ppt课件
第六章 能带实际〔一〕
第六章 能带实际
6.1 周期场中单电子形状的普通特征〔Bloch定理〕 6.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.3 三维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.4 紧束缚近似〔TBA〕 6.5 克勒尼希-彭尼〔Kronig-Penny〕 模型 6.6 能带构造的计算方法 6.7 晶体能带的对称性 6.8 能态密度和费米面 6.9 晶体中电子的运动特征 6.10 在恒定电场作用下电子的运动 6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 6.12 在恒定磁场中电子的运动 6.13 能带构造的实验研讨
k rRn eikRn k r
它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
eikRn， 它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的
对应点上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
Bloch 定理的物理证明〔定性阐明〕： 周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程
能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应 地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
Hˆ
NZ
i1
2
2mi2
1 2
i, j
'1
40
e2 ri rj
N2
n1 2M n2
1 ' 1
(Ze)2
NZ N
1
Ze2
2 m,n 40 Rn Rm
黄昆 书 4.1节 p154-157
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细 问题才干进展求解。
第六章 能带实际
6.1 周期场中单电子形状的普通特征〔Bloch定理〕 6.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.3 三维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.4 紧束缚近似〔TBA〕 6.5 克勒尼希-彭尼〔Kronig-Penny〕 模型 6.6 能带构造的计算方法 6.7 晶体能带的对称性 6.8 能态密度和费米面 6.9 晶体中电子的运动特征 6.10 在恒定电场作用下电子的运动 6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 6.12 在恒定磁场中电子的运动 6.13 能带构造的实验研讨
k rRn eikRn k r
它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
eikRn， 它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的
对应点上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
Bloch 定理的物理证明〔定性阐明〕： 周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程
能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应 地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
Hˆ
NZ
i1
2
2mi2
1 2
i, j
'1
40
e2 ri rj
N2
n1 2M n2
1 ' 1
(Ze)2
NZ N
1
Ze2
2 m,n 40 Rn Rm
黄昆 书 4.1节 p154-157
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细 问题才干进展求解。
第四章 能带理论ppt课件
m
m
i (r Rm ); i (r Rm ) j (r Rm ) ij
a m n e ikR n a m
a
-
m
Ce ikR m
1 C2N
-
-
-
-
-
-
-
-
En(k) En(k G)
n,k
n,kG
倒空间中周期性!
可作为晶体波函数的一个表- 象—wannier表象.
VneiG n•r
！布氏区边界，由于简并能级之- 间的“排斥”作用，能隙打开。
-
简约波矢，（布里渊区内）
利用E(k)在倒空间的周期性， 对于同一能带，k与k+Gn表同一能态。
En(k) En(k G)
n,k
n,kG
-
简约布里渊区图象
扩展布里渊区图象
-
E n,k - n,k
n ,k ( r ),
n eikna 表相位差
a•ba b 2
k mb;mint. N
k倒空间中一点
故当k改变一个倒格失
kk0m;m bint
e i k n e i(s a N m b) nb a e i( 2 s N m n2 )n e i2 n N se i0 n ka
对应同一Tn本征值!
T ˆ n( x ) n( x ) e ik( n x )a e i0 n ka ( x )
E n,k
-
4.5 紧束缚方法—原子轨道线性组合
例: H原子轨道H分子轨道
-
-
H ˆ H ˆ0 H ˆ' 2 m 2 2 U 2 m 2 2 V (U V )
？
-
对于εi有N个简并的能态
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道的电子就会相互作用，以致不能再维持在相同的能级。 当固体中有N个原子，这N个原子的2s轨道的电子都会相
互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。
2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
2
电子数量增加时能级扩展成能带
3
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
5
能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场中运动，
满足薛定谔方程
晶格周期性势场
2 [
2V(r)] E
2m
V (r)V (rR n)
在这样一个具有晶格周期性的等效 势中, 薛定谔方程的解有什么特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研 究周期场中电子的运动问题。他们的工 作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。
6
能带理论的建立
7
能带理论是一个近似的理论
1. 单电子近似 将价电子看成独立地在一个等效势场中运动, 它包 括离子实的势场, 其它价电子的平均势场以及考虑 电子波函数反对称性而带来的交换作用。采用哈特 里－福克(Hartree-Fock) 自洽场方法处理等效势场
2. 绝热近似 讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平 衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
12
§3.3 布洛赫定理
1.定理表述
表述一：对于周期性势场
V (rR n)V (r)
其中，Rn为布拉维格子的所有格矢，单电子薛定谔方程
2m 2 2V(r)(r)(r)
的本征波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k(r)eikruk(r)
且
uk(rR n)uk(r)
表述二：对于上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k， 使得对于属于布拉维格子的所有格矢Rn都有：
第三章 金属电子论
经典自由电子论 量子自由电子论
能带理论
1
对能带的初步认识
能带理论
固体：每立方1029数量级的原 子核和电子的多粒子系统
根据原子结构理论，每个电子都占有一个分立的能级。泡
利(Pauli)不相容原理指出，每个能级只能容纳2个电子。
当N个原子相互靠近形成一个固体时，泡利不相容原理仍
然成立，即在整个固体中，也只能有2个电子占据相同的能级。 当这两个原子的距离足够近时，它们的同能级(例如2s)轨
(rR n)eikR n (r)
布洛赫定理
(r R n) e ik R n
(r)
当平移晶格矢量
R
，波函数只增加了位相因子
n
eikRn
电子的波函数 晶格周期性函数
(r)eikruk(r)—— 布洛赫函数
u k(rR )u k(r)
—— 布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积。
17
2 布洛赫定理的证明
4
在Na的3s价带上，当温度为绝对零度时，只有一半的低能 级被电子占据，另一半的(高)能级没有电子占据。
能带中有一半的能级被电子占据，最高的占据能级称为费密能级。
而当温度大于绝对零度时，有一些电子获得了能量，跳到价 带里的较高能级，而在相对应的较低的能级上失去了电子，产 生了相同数量的空穴。
能带中电子随温度升高而进行能级跃迁 (a)绝对零度时，所有外层电子占据低的能级； (b)温度升高，部分电子被激发到原未被填充的能级
—— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者 具有相同的本征函数
—— 利用周期Biblioteka 边界条件确定平移算符的本征值，最后 给出电子波函数的形式
18
势场的周期性反映了晶格的平移对称性：
3. 周期场近似 对于理想晶体, 原子规则排列成晶格, 晶格具有周 期性, 因而等效势场 V(r) 也应具有周期性
这样，晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场 中运动，满足薛定谔方程为：
2 [
2V(r)] E
2m
晶格周期性势场
V (r)V (rR n)
任意晶格矢量。
9
V (r )
+
+
+
+
r
周期势场示意图
布洛赫定理
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。
互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。
2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
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电子数量增加时能级扩展成能带
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例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
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能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场中运动，
满足薛定谔方程
晶格周期性势场
2 [
2V(r)] E
2m
V (r)V (rR n)
在这样一个具有晶格周期性的等效 势中, 薛定谔方程的解有什么特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研 究周期场中电子的运动问题。他们的工 作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。
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能带理论的建立
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能带理论是一个近似的理论
1. 单电子近似 将价电子看成独立地在一个等效势场中运动, 它包 括离子实的势场, 其它价电子的平均势场以及考虑 电子波函数反对称性而带来的交换作用。采用哈特 里－福克(Hartree-Fock) 自洽场方法处理等效势场
2. 绝热近似 讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平 衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
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§3.3 布洛赫定理
1.定理表述
表述一：对于周期性势场
V (rR n)V (r)
其中，Rn为布拉维格子的所有格矢，单电子薛定谔方程
2m 2 2V(r)(r)(r)
的本征波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k(r)eikruk(r)
且
uk(rR n)uk(r)
表述二：对于上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k， 使得对于属于布拉维格子的所有格矢Rn都有：
第三章 金属电子论
经典自由电子论 量子自由电子论
能带理论
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对能带的初步认识
能带理论
固体：每立方1029数量级的原 子核和电子的多粒子系统
根据原子结构理论，每个电子都占有一个分立的能级。泡
利(Pauli)不相容原理指出，每个能级只能容纳2个电子。
当N个原子相互靠近形成一个固体时，泡利不相容原理仍
然成立，即在整个固体中，也只能有2个电子占据相同的能级。 当这两个原子的距离足够近时，它们的同能级(例如2s)轨
(rR n)eikR n (r)
布洛赫定理
(r R n) e ik R n
(r)
当平移晶格矢量
R
，波函数只增加了位相因子
n
eikRn
电子的波函数 晶格周期性函数
(r)eikruk(r)—— 布洛赫函数
u k(rR )u k(r)
—— 布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积。
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2 布洛赫定理的证明
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在Na的3s价带上，当温度为绝对零度时，只有一半的低能 级被电子占据，另一半的(高)能级没有电子占据。
能带中有一半的能级被电子占据，最高的占据能级称为费密能级。
而当温度大于绝对零度时，有一些电子获得了能量，跳到价 带里的较高能级，而在相对应的较低的能级上失去了电子，产 生了相同数量的空穴。
能带中电子随温度升高而进行能级跃迁 (a)绝对零度时，所有外层电子占据低的能级； (b)温度升高，部分电子被激发到原未被填充的能级
—— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者 具有相同的本征函数
—— 利用周期Biblioteka 边界条件确定平移算符的本征值，最后 给出电子波函数的形式
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势场的周期性反映了晶格的平移对称性：
3. 周期场近似 对于理想晶体, 原子规则排列成晶格, 晶格具有周 期性, 因而等效势场 V(r) 也应具有周期性
这样，晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场 中运动，满足薛定谔方程为：
2 [
2V(r)] E
2m
晶格周期性势场
V (r)V (rR n)
任意晶格矢量。
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V (r )
+
+
+
+
r
周期势场示意图
布洛赫定理
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。