三3奥林匹克训练题库·整除性
初三数学奥林匹克竞赛题及答案
初三数学奥林匹克竞赛题及答案已知3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求……已知实数a、b满足3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求u=9a^2+72b+2的最小值答案：分解因式(a-2b)(3a-4b)+5a-10b=0即(a-2b)(3a-4b+5）=0从而a=2b或4b=3a+5带入u就可做了。
a=2b的u=-344b=3a+5的u=11即u最小为-34***从1，2，3，4……2010这2010个正整数中，最多有多少个数，可以在这些数中任选三个数的乘积都能被33整除？答案：33的倍数共有60个所以{3，11，33，66，99……1980,任意一个数}所以最多63个数***(1)五位数 abcde 满足下列条件它的各位数都不为0(2)它是一个完全平方数(3)它的万位上的数字 a 和 bc de 都是完全平方数求所有满足上诉条件的5位数***怎样的四个点可以共圆，初三奥数题这题奥数题的答案说。
∠APB=∠BQR=90°，∴BQRP四点共圆，这是为什么？？这是因数四边形BQRP的两个对角BRP和PBQ的和是90°依据是对角互补的四边形是圆内接四边形！***如图，圆O中，AB,AC为切线分别切圆与D,E且BC过O点，F为弧DE 上一点，过F作圆O的切线交AB,AC于M,N。
求证，△MBO∽OCN答案：少一个条件：AB=AC（△MBO∽△OCN 就意味着∠B=∠C，但是题目只说BC过O）1) 显然∠DOB=90°-∠B，∠EOC=90°-∠C，于是∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=∠B+∠C=2∠B2) 显然∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON，于是∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2(∠FOM+∠FON)=2∠MON3) 比较1)、2)的结论可知∠MON=∠B=∠C4) 根据3)的结论，以及∠BMO=∠OMN可知△MBO∽△MON5) 根据3)的结论，以及∠CNO=∠ONM可知△OCN∽△MON6) 由4)、5)的结论可知△MBO∽△OCN证毕***绝对值用（）表示。
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征
第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。
要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。
经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。
（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有 b-a=8，或者a-b=3。
①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。
例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。
奥数题：数的整除性
数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.11.1，2，3，…2004，这2004个自然数中，最多能取出_____个数，使得在取出的数字中，任意两个数的和都能被100整除。
12.五个连续偶数的和是7的倍数，这五个数之和最小等于_______。
13.如果三位数3□2是4的倍数，那么□里能填的最小的数是_____，最大的数是_________。
二、解答题14. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？15．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？16．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？17．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除, B=0或5.当B=0时,6910因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
初中数学竞赛：数的整除性
一，知能概述
对于整数a和不为零的整数b,总存 在整数m,n使得a-bm+n(0≤n<b),其中 m称为商,n称为余数,特别地,当n=0 时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b 的倍数或b是a的约数),记为b/a整除 有以下基本性质
1.若a|b,alc,则a|(b±c)2.若ab,b1c,则a|c;3.若ab,且 (aC)=1,则ab,特别地,若质数pb,则必有pb或pl;4.若 ba,ca,且(b,c)=1,则bea解整除有关间题常用到数的 整除性常见特征被2整除的数:个位数字是偶数
三，练习
1.(第14届五羊杯竞赛题)2002的不大于100的
正约数有( )
A.8个 B.9个
C.10个
D.11个
20 02=2×7×11×13.易见它的不大于 100的约数是 1,2,7,11,137,2×11,2×13,7×11,7×13,共 10个
2.(2005年河北初中数学竞赛题)在小于 1000的正整数中,能被5整除或能被7整除, 但是不能被35整除的数的个数为( )
6.(首届华杯赛试题)一个六位数3434ab能同时 被8和9整除,已知a+b=c,求c的最小值
由n=3434ab是9的倍数,知 3+4+3+4+a+b=14+a+b是9的倍数故a+b=4或13 由n是8的倍数,知4ab是8的倍数,从而ab是8的 倍数,易见a==0符合条件,且使a+b=c取最小值 4.
如果用[x]表示正数x的整数部分,那么,在小 于1000的999个正整数中,有[999/5]个数能被 5整除, [999/7]个数能被7整除.而既能被5整 除,又能被7整除的数有[999/35]个故所求数 的个数为[999/5]+ [999/7]-2 [999/35]=285
小学数学奥数测试题整除_人教版-精选学习文档
2019年小学奥数数论专题——整除1．整除1．173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，1l，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?2．如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?3．某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?6．在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?7．已知四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少? 9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？10．1～9九个数字按下图所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？11．1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?12．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．13．有20位同学，每位同学都有编号，他们是1号到20号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．14．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?15．试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．16．把若干个自然数l，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?17．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？18．如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零?第 1 页19．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？20．六位数2008能被99整除，是多少？21．六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？22．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？23．已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？24．一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.25．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？26．各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？27．张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？28．某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？29．在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
数的整除性质练习题
数的整除性质练习题1. 数的整除性质在数学中，我们经常研究数的整除性质。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数的除法。
在解决问题时，理解和熟悉数的整除性质是非常重要的。
下面是一些数的整除性质的练习题，通过解答这些题目，我们可以更好地掌握数的整除性质。
2. 练习题一已知数a能够被数b整除，数b能够被数c整除，那么数a能否被数c整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数。
同时，数b能够被数c整除，即b=mc，其中m为整数。
将b代入第一个等式中得到a=k(mc)。
根据乘法结合律，可以得到a=(km)c。
根据定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
因此，数a能够被数c整除。
3. 练习题二已知数a能够被数b整除，数a能够被数c整除，那么数b能否被数c整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数。
同时，数a能够被数c整除，即a=mc，其中m为整数。
将b代入第二个等式中得到kb=mc。
根据乘法结合律，可以得到k(b-c)=0。
根据乘法的性质，当两个数的乘积等于0时，至少有一个数为0。
因此，根据k(b-c)=0，可以得出结论b-c=0，即b=c。
所以，数b能够被数c整除。
4. 练习题三已知数a能够被数b整除且b不为0，数c能够被数a整除且c不为0，那么数c能否被数b整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数，且b不为0。
同时，数c能够被数a整除，即c=ma，其中m为整数，且a不为0。
将a代入第二个等式中得到c=mkb。
根据定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
数的整除问题的奥数试题及答案
关于数的整除问题的奥数试题及答案
如何在充满激烈竞争的竞赛中取得好的成绩，为大家提供了五年级关于数的整除问题的奥数试题及答案，希望能够真正的帮助到大家。
试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答：“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：“不能”，则需给出说明.
考点：数的整除特征.
分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能.
解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，
按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.
从而一共会有不少于40个数是3的.倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，
导致矛盾，所以不能.
答：不能.
点评：此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少。
以上就是为大家推荐的五年级关于数的整除问题的奥数试题及答案，希望大家学习愉快。
奥数题及参考答案：整除解法
奥数题及参考答案：整除解法
奥数题及参考答案:整除解法
有3个连续自然数，最小数能被5整除，中间的数能被4整除，最大数能被3整除。
则符合上述条件的最小的三位自然数是哪三个?
解答：符合题意的'最小三个三位数为115、116、117.
因中间数是4的倍数，显然为偶数，所以最小数和最大数都是奇数。
最小数能被5整除，且要满足它是奇数的话，则最小数的末位只能是5.故中间数末位为6，最大数末位为7.最大数末位为7，且满足被3整除，则最小可取117，这时中间数为116，满足被4整除。
故符合题意的最小的3个三位连续数是 115、116、117.
小结：本题是整除性质的综合应用。
5、4均是尾数判定，3是和系判定。
最小数末位可取0、5，但为了满足中间数被4整除，只能取5，这是一个突破点。
【精品】五年级下册数学试题-竞赛专题：第2讲-整除性(含答案)人教版
知识概述1.2.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数除以整数b （ b 0），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）,记为b|a，如15能被3整除，即为3|15 。
整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果c|a , c| b，那么c |（a b）;（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果bc| a ,月S么b | a , c| a ;（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a- 定能被b与c的乘积整除，即如果 b | a , c | a，且（4）如果c能整除b , b能整除a，那么c能整除（b,c） 1，那么bc |a。
a。
即：如果c| b , b |a ,那么 c | a。
3.整除的特征：R特征1 :能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。
“特征”包含\两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0 ）。
（下同）1特征2:能被5整除的数的个位是0或5。
特征3:能被3 （或9）整除的数，各个数位数字之和能被 3 （或9）整除。
特征4:能被4 （或25）整除的数其末两位数能被 4 （或25）整除。
,特征5:能被8 （或125 ）整除的数其末三位数能被8 （或125）整除。
I 特征6: 一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11 整除，这个数也能被11整除。
Wi数的整除是数论的基础，而数论又是数学竞赛必考知识点， 所以掌握好数的整除顼0基础闻关例1请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。
【解析】 这些数字组成的最大三位数是 975,但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“ 0、2、4、6、8”。
所以能被2整除的最大三位数为 972。
奥数数的整除练习题
奥数数的整除练习题奥数是指奥林匹克数学竞赛，是一种考察学生数学思维能力和解决问题能力的竞赛。
在奥数中，整除是一个重要的数学概念。
整除运算是指整数 a 能够被整数 b 整除的情况，也就是a除以b的余数为零。
在奥数的整除练习题中，通常会涉及到整数的性质、剩余定理等内容，考察学生对整除运算的理解和应用能力。
下面将给大家分享几道奥数整除练习题。
1. 小杰手里有一串连续的整数，其中最小的整数是25，最后一个整数是100，小杰选择其中的一个整数将这串整数分成两部分，其中一部分的和能够被9整除，另一部分的和能够被13整除，问小杰最少需要选择哪个整数？解析：根据题意可得，最少选择的整数与9和13的最小公倍数有关。
9和13的最小公倍数为117，所以小杰最少需要选择117的整数倍，即选择奇数整数。
答案为奇数整数中最小的整数为25，即小杰最少需要选择整数25。
2. 小明把一个整数从1开始连续累加，问若累加到何时，和能够被7整除，又可以被8整除？解析：当我们在奥数中遇到这种题型时，可以采用逆向思维的方式解决。
考虑到题目要求的条件，我们可以假设这个整数为k。
根据题意可得，k(k+1)/2既是7的倍数，又是8的倍数。
因为7和8互质，所以k+1必须同时是7和8的倍数。
7和8的最小公倍数为56，所以最小满足条件的k为55。
因此，累加到55时，和能够同时被7和8整除。
3. 小华有一堆石头，他想把这堆石头分成两堆，其中一堆的数量能够被5整除，另一堆的数量能够被7整除，问至少有多少个石头？解析：同样地，我们可以采用逆向思维的方式解答这道题。
设石头的数量为n。
根据题意，n既是5的倍数，又是7的倍数。
因为5和7互质，所以n必须同时是5和7的倍数。
5和7的最小公倍数为35，所以最小满足条件的n为35。
因此，小华至少有35颗石头。
通过以上几道奥数整除练习题，我们可以看出整除是奥数中常见的题型之一。
掌握整除的定义和性质，理解整除运算的应用场景，对于解决整数问题具有重要意义。
小学数学竞赛三 整除与余数
三整除与余数在整数范围内，对于一个除法运算来说，通常会出现四个量：被除数、除数、商数和余数（除数不为零）.这四个量满足下列两个关系式：被除数÷除数＝商…余数被除数＝除数×商+余数当余数为零时，我们就称被除数能被除数整除，或除数整除被除数.这一类问题在各类数学竞赛中非常多见.例1 一个两位数被7除余1，交换这个两位数的十位与个位数字，得到的新两位数被7除也余1.已知原两位数的十位数字大于个位数字，求原两位数.并且a＞b.根据已知条件，下列关系式是分析的依据：其中m与k均为整数.解根据上面的分析，可以知道：应该是7的倍数，又由于9与7这两个数互质，所以a-b是7的倍数.由于a＞b，所以a-b≠0；由于a与b都是数字，所以a-b＜10，只有a-b＝7，满足这个条件的两位数只有92，81和70三个数，而其中除以7余1的只有92.所以本题答案为92.说明本题中用到了下列重要结论：1.一个多位数可以表示为如下形式：以下依此类推.2.两个数除以同一个数的余数相等时，这两个数之差是这个数的倍数.3.如果两个整数a与b之积能被一个自然数c整除，并且a与c互质，那么b一定被c整除.例2 两个自然数之和为50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数之差.分析两个自然数之和为50，可以列举出25种情况，再根据最大公约数为5这个条件，排除掉不满足的情况.解法一列举两个自然数之和为50的情况：1+49，2+48，3+47，4+46，5+45，6+44，7+43，8+42，9+41，10+40，11+39，12+38，13+37，14+36，15+35，16+34，17+33，18+32，19+31，20+30，21+29，22+28，23+27，24+26，25+25.逐个检验发现只有5+45和15+35中两个加数的最大公约数为5.所以这两个自然数之差有两种可能.45-5＝40或35-15＝20解法二上面解法列举的情况太多，过繁.由于这两个加数都是5的倍数，可以设它们分别为5a和5b，由于5是最大公约数，所以a与b互质，从而有：5a+5b＝50a+b＝10列举两个数之和为10的所有情况：1+9，2+8，3+7，4+6，5+5其中两个加数互质的只有：1+9和3+7这两个自然数之差为：5×9-5×1＝40或5×7-5×3＝20说明设法缩小列举范围是简化解题过程的关键.例3 在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？分析这个问题主要依赖同学们熟知的两个事实：（1）除2之外，偶数都是合数；（2）最小数为奇数的九个连续自然数中，一定含有5的倍数，而且这个数个位数字为5.解分两种情况讨论：（1）九个连续自然数中最小的数大于5，这时其中至多有5个奇数，而且这5个奇数中一定有一个是5的倍数，这就说明其中质数的个数不超过4个.含有4个质数的九个连续自然数存在不存在呢？请看下例：11，12，13，14，15，16，17，18，19其中 11、13、17、19是质数.（2）如果九个连续自然数中最小的数不超过5，有下面几种情况：1，2，3，4，5，6，7，8，92，3，4，5，6，7，8，9，103，4，5，6，7，8，9，10，114，5，6，7，8，9，10，11，125，6，7，8，9，10，11，12，13这几种情况中，其中质数个数均不超过4.综合上述，可知本题答案为4.例4 已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c 的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？（例如：a＝12，b＝30O，c＝300与a＝300，b＝12，c＝300是不同的两个自然数组）分析这道题应采用列举法，首先应确定列举范围.根据已知条件，不难分析出以下几个条件：（1）a与b均为12的倍数；（2）a，b，c均为300的约数；（3）c不能是小于300的12的倍数的约数.解根据上面的分析可以知道，c的取值只能是300，150，100，75，50，25.当c＝300时，a与b的相应取值为p：a＝12，b＝12；a＝12，b＝60；a＝60，b＝12；a＝12，b＝300；a＝300；b＝12.一共有5组，当c取其它值时，a与b的取值不变，所以本题答案为5×6＝30（组）。
小学奥数数的整除问题题目及答案
【导语】奥数是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第xx届国际数学奥林匹克竞赛。
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1.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 （1）2673135 （2）8990615496 【解题】（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。
2.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 从左向右编号为1⾄1991号的1991名同学排成⼀⾏，从左向右1⾄11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1⾄11报数，报数为11的'留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1⾄11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第⼀个⼈的最初编号是（）号。
考点：整除问题。
分析：第⼀次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的继续报数，那么再留下的学⽣最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学⽣的最初编号． 解：第⼀次报数后留下的同学最初编号都是11倍数； 第⼆次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数； 第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数； 所以最后留下的只有⼀位同学，他的最初编号是1331； 答：从左边数第⼀个⼈的最初编号是1331号。
3.⼩学奥数数的整除问题题⽬及答案 试问，能否将由1⾄100这100个⾃然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都⾄少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出⼀种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明。
小学三年级奥数数的整除练习题5篇
小学三年级奥数数的整除练习题5篇1.小学三年级奥数数的整除练习题18÷3= 2÷2= 10÷5= 63÷9= 54÷6=8÷1= 36÷9= 12÷2= 24÷3= 17÷8= 54÷9= 7÷7= 6÷1= 2÷9= 6÷9=3÷4= 20÷4= 2÷1= 11÷1= 20÷4=8÷8= 21÷7= 21÷7= 48÷6= 15÷5=5÷6= 5÷1= 3÷2= 15÷3= 49÷7=6÷5= 48÷8= 6÷6= 24÷6= 9÷9=54÷9= 6÷6= 7÷8= 4÷3= 4÷1=8÷7= 6÷6= 6÷3= 21÷7= 7÷6=48÷6= 24÷3= 16÷2= 2÷8= 6÷1=7÷6= 8÷1= 2÷2= 54÷6= 1÷3=12÷6= 54÷9= 15÷3= 8÷8= 9÷6=9÷2= 21÷7= 63÷9= 21÷7= 63÷9=72÷9= 72÷9= 36÷6= 18÷3= 5÷1=9÷1= 56÷8= 30÷6= 20÷4= 54÷6= 2.小学三年级奥数数的整除练习题(1）12÷2= (2）12÷2= (3）5÷5= (4）54÷9= (5）48÷6=(6）7÷7= (7）36÷9= (8）6÷1= (9）21÷3= (10）42÷6=(11）81÷9= (12）42÷6= (13）54÷6= (14）16÷8= (15）72÷9=(16）8÷2= (17）20÷4= (18）12÷6= (19）36÷6= (20）16÷4=(21）48÷8= (22）12÷6= (23）14÷7= (24）48÷6= (25）10÷5=(26）45÷5= (27）4÷4= (28）2÷1= (29）8÷2= (30）42÷7=(31）45÷5= (32）63÷7= (33）30÷5= (34）36÷9= (35）72÷8=(36）54÷9= (37）45÷9= (38）49÷7= (39）8÷2= (40）3÷1=(41）42÷6= (42）6÷6= (43）18÷2= (44）36÷6= (45）54÷6=(46）40÷5= (47）24÷3= (48）14÷2= (49）14÷7= (50）30÷6=3.小学三年级奥数数的整除练习题一、填空题1、a与b是互质数，它们的公约数是（），它们的最小公倍数是（）。
数学竞赛-整数的整除性
数学竞赛-整数的整除性整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在⼀个整数p，使得成⽴，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。
（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的⾮零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，⽽（a，b）=1（（a，b）=1表⽰a、b互质，则b|c；5）若b|ac，⽽b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这⼀性质还可以推⼴到更多项的和）例1 （1987年北京初⼆数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)⽽ 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)⼜ (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明⽅法(1) 利⽤数的整除性特征（见第⼆讲）例2（1980年加拿⼤竞赛题）设72｜的值。
解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。
（2）利⽤连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是⼀个奇数与⼀个偶数之⼀积，因此⼀定可被2整除。
②任意三个连续整数之中⾄少有⼀个偶数且⾄少有⼀个是3的倍数，所以它们之积⼀定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推⼴到任意个整数连续之积。
例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且⽤3除时余2。
证明∵为连续⼆整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整数,即原式为整数.⼜∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，⽽2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 ⼀整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为⼆个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.⼜∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利⽤整数的奇偶性下⾯我们应⽤第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解⼏个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④证明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a （bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数⽭盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，x n，其中每⼀个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则y i不是+1就是-1，但y1+y2+…+y n=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.⼜y1y2y3…y n=1，即（-1）k=1，故k 为偶数，∴n是4的倍数.其他⽅法：整数a整除整数b，即b含有因⼦a.这样,要证明a整除b,采⽤各种公式和变形⼿段从b中分解出因⼦a就成了⼀条极⾃然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最⼤值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.⽽且,当n+10的值为最⼤时,相应地n的值为最⼤.因为900的最⼤因⼦是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年⾼⼆数学竞赛)设a、b、c为满⾜不等式1＜a ＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜⽭盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代⼊②中得2b+2c-1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从⽽易得c=5.说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从⽽逐步确定a、b、c是⼀项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表⽰式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q 能被1987整除.练习⼆1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最⼩质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）⾮上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平⽅数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最⼩整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿⼤数学竞赛题）把100000表⽰为两个整数的乘积，使其中没有⼀个是10的整倍数的表达式为__________.(2) ⼀个⾃然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的⾃然数中最⼩的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在⼗进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最⼩⾃然数是________.3.求使为整数的最⼩⾃然数a的值.4.(1971年加拿⼤数学竞赛题)证明:对⼀切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初⼆数学竞赛题)设是⼀个四位正整数,已知三位正整数与246的和是⼀位正整数d的111倍,⼜是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满⾜⽅程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为⾮负整数.(2)若将(1)中的11改为任意⼀个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,⾄少有⼀个能被10整除.9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最⼤公约数的最⼤可能值是多少?证明你的结论.练习参考答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为⼀整数平⽅可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；⼜是１８的倍数，∴只能是１９８．⽽１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第⼀项可被１３３整除．⼜１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．⼜∵在ａ、ｂ、ｃ中若有⼀个是５的倍数，则题中结论必成⽴．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从⽽ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表⽰的数⾄少有⼀个被５整除，⼜２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最⼤公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从⽽ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满⾜ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最⼤可能值为１００１。
奥数数的整除讲义,理解练习含答案解析
数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b ）或差（a - b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a 必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4 （或25 ）整除，则这个数能被4 （或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8 （或125 ）整除，则这个数能被8 （或125 ）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3 （或9）整除，则这个数能被3 （或9）整除。
（4 ）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 （或13）整除，则这个数能被7 （或13）整除。
奇偶性：（1 ）奇数土奇数=偶数（2）偶数土偶数=偶数（3 ）奇数土偶数=奇数（4）奇数X奇数=奇数（5）偶数X偶数=偶数（6）奇数X偶数=偶数（7）奇数一奇数=奇数（8）•••【典型例题】例1 :」个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几?例2 : 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?例3 :任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?例4 :有“ 1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个?例5如果41位数芳…299…9能被7整除，那么中间方格内的数字杲几？【精英班】屏20“【竞赛班】例6 :某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】1、判断306371A组：入门级能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
奥林匹克训练题库·整除性
奥林匹克训练题库·整除性75°假如四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？76°假如四位数5□□6能被34整除，那么能够有多少个不同的商？77个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？78三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。
80求各位数字差不多上 7，并能被63整除的最小自然数。
81用1，2，3，4这四个数码能够组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？82从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？83一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，如此的三位数有哪些？84求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。
85已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？86已知四位数 7**1能被9整除，问：*代表数码几？88把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。
如此的三位数共有多少个？89在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
91在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使那个六位数能被783整除，应当如何样补？92在 5678那个数的前面或后面添写一个数 2，所得到的两个五位数都能被2整除。
现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被那个三位数整除。
满足题意的三位数有哪几个？93一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？94一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。
95一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。
961×2×3×…×15能否被 9009整除？97A=61×62×63×…×87×88，A能否被6188整除？98从1～ 9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出如此的六位数中最大的与最小的两数之和。
奥赛经典 第三章 整除问题
第三章 整除问题【典型例题与基本方法】例1 (2000年江苏省竞赛题)能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 例2 (第10届“希望杯”全国邀请赛题)数1272-能被500与600之间的若干整数整除，请找出这样的整数，它们是_______.例3 (第14届“五羊杯”竞赛题)已知正整数n 大于30，且使得14-n 整除n 2002，则n 等于_______.例4 (1990年列宁格勒数学奥林匹克竞赛题)设a 和b 为自然数，使得12++ab a 可被12++ba b 整除，证明：b a =.【解题思维策略分析】1.灵活运用整除的基本性质求解问题例5 若782x N =是一个能被17整除的四位数，求x .例6 已知x ，y ，z 均为整数，若()z y x 52711-+，求证：()z y x 127311+-.例7 已知a ，b 为整数，且()229b ab a ++，求证：a 3，b 3.2.善于将问题归结到运用整除的基本性质例8 (1992-1993学年广州等五个城市联赛题)有10个数：1983219833198323⨯+⨯+，1984219843198423⨯+⨯+，...，1991219913199123⨯+⨯+，1992219923199223⨯+⨯+.下列的整数中，能整除上述10个数中的每一个数的最大整数是（ ）A. 2B. 3C. 6D. 12 例9 (《中等数学》2007(12)训练题)设x 、y 、a 、m 、n 均为正整数，且m a y x =+，n a y x =+22.求300a 是多少位数.例10 (2008年“数学周报杯”竞赛题)从1,2,...,9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除.求n 的最小值.【模拟实战】A 组1.（第7届“五羊杯”竞赛题）能整除任意5个连续整数之和的最大整数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 52.（1992年江苏省竞赛题）已知1724-可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）.A. 41,48B. 45,47C. 43,48D. 41,473.有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同，则较大的四位数有（ ）种可能.A. 1B. 2C. 3D. 44.证明：对任何正整数n ，95323+++n n n 总能被3整除.5.已知x ，y 为整数，()y x 95+，求证：()y x 785+.6.求证：若()y x -43，则()222749y xy x -+.7.求证：若a 为整数，则()()[]1216++a a a .B 组1.求证：若()161828757+，则()163838757+2.求证：若()b ma n -，()d mc n -，则()bc ad n -.3.求证：若()()pq mn p m +-，则()()np mq p m +-.4.（第8届“祖冲之杯”邀请赛题）已知两个三位数abc ，def 的和def abc +能被37整除.证明：六位数abcdef 也能被37整除.5.（1996年安徽省竞赛题）已知1996个自然数199621,,,a a a 满足条件：其中任意两数的和能被它们的差整除，现设1996321a a a a n ⋅⋅⋅⋅= .求证：199621,,,,a n a n a n n +++ 这1997个数仍满足上述条件.6.张华写了一个五位数，它能被9和11整除.如果去掉第一、三、五位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能被9整除；如果去掉后三位，得到的数也能被9整除.那么，这个数是多少？7.（2008年天津市竞赛题）已知m ，n 都是正整数，若301≤≤≤n m ，且mn 能被21整除，求满足条件的数对()nm,的个数.8.（2006年广东省竞赛题）三个互不相同的正整数，如果任何两个的乘积与1的和都恰好被第三个数整除，则称这样的三个正整数为“玲珑三数组”.⑴求证：玲珑三数组中的三个正整数两两互质；⑵求出所有的玲珑三数组.9.如果将自然数N放在任一个自然数的右面所得的新数总可被N整除，则称N为“魔术数”.试求出所有的魔术数.。
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整除性
75°如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？
76°如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？
77个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？
78三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。
80求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。
81用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？
82从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？
83一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？
84求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。
85已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？
86已知四位数 7**1能被9整除，问：*代表数码几？
88把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。
这样的三位数共有多少个？
89在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
91在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？
92在 5678这个数的前面或后面添写一个数 2，所得到的两个五位数都能被2整除。
现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。
满足题意的三位数有哪几个？
93一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？
94一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。
95一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。
961×2×3×…×15能否被 9009整除？
97A=61×62×63×…×87×88，A能否被6188整除？
98从1～ 9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。
99用1～ 9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。
101能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？
102用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小的数是几？
103用1—9这九个数码各一次，组成三个分别能被7，9，11整除的三位数，并要求这三个数的和尽可能大。
104将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。
例如将2写在任一自然数的右面，得到的新数都能被2整除。
在1～100中，满足条件的自然数N有哪几个？
105111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的那个数。
107已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数码只有0和8两种。
问：A最小是几？
109在三位数abc中， 2b＋c=12，求必定能整除这个三位数的最大自然数。
110一个四位数减去它的各位数字的和得到19□9，□中的数字是几？
111用1～9这九个数码各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，求这三个数。
A和B。
113用1，3，5，7，9中的任意一个数与2，4，6，8中的任意一个数相乘，在所有不同的积中有多少个能被6整除？
114在1～13中任意取两个不同的数相乘，可以得到许多不相等的乘积，在所有这些不同的乘积中有多少个能被6整除？
115☆有一个2000位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a 的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c。
c等于多少？
116☆已知自然数A的各个数位上的数码之和与3×A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除。
117小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。
你能帮助小马虎找出不明数字吗？
118小明买了6支铅笔、 2支圆珠笔、 3本笔记本和7块橡皮，总共用去2元9角钱。
已知圆珠笔3角9分1支，橡皮6分1块，售货员算错帐了吗？
119商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱。
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。
问：商店剩下的一箱货物重多少千克？
120有一水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为8，9，16，20，22和27千克。
当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。
问：这天水果店进了多少千克香蕉？
12155个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少但也多于10个。
问：三人各得多少苹果？
122四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字(不等于0)拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为172535，568741，620708，845267，其中只有一名同学做对了。
问：正确答案是几？
123证明：任意两个连续奇数的和一定是4的倍数。
124证明：任意两个连续偶数的乘积是8的倍数。
125证明：任意三个连续偶数的和一定是6的倍数。
126证明：任意三个连续奇数的和一定是3的倍数。
127证明：任意三个连续自然数的乘积是6的倍数。
128证明：任意两个自然数的和、差、积中，至少有一个能被3整除。
129甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，试说明三数之和、三数之积都能被3整除。
130至少给出多少个自然数，才能使给出的数中总能选出3个，使得它们的和是3的倍数。
131证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13整除。
132能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
133☆1—9九个数字按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数。
如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开？
134用六个2和若干个0组成的整数是否有可能是平方数？
135111111111111111是平方数吗？为什么？
136从1～1000中选出一些数，使得这些数中任意两个数的和都能被18整除。
这样的数最多能选出多少个？。