2018全国初中数学联合竞赛试题Word版
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第一试（A ）一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.设二次函数2
222
a y x ax =++ 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C.当△ABC 为等边三角时，其边长为（ ）
B.
C.
D..
2.如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，AB=1，∠CAE=15°，则BE=（ ）
.
.
1-.
1. 3.设p ，q 均为大于3的素数，则使p 2+5pq+4q 2为完全平方数的素数对（p ，g ）的个数为（ ）
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
4.若实数a.b 满足a －b=2，()()22114a b b a
-+-= ，则a 5－b 5=（） A.46. B.64. C.82. D.128.
5.对任意的整数x ，y ，定义x@y=x+y －xy ，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组（x ，y ，=）的个数为（）
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
6.设11112018201920202050M =++++L ，则1M
的整数部分是（） A.60. B.61. C.62. D.63.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC=24B ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=
2.若实数x ，y 满足()3311542
x y x y +++= ，则x+y 的最大值为 . 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 .
4.已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，a 2+b 2+c 2=1，则555
a b c abc
++=
第二试（A ）
一、（本题满分20分）设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d=0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b=0的根，求a+b+c+d 的值.
C
D
二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，OA=12，点C 在OA 上，AC=4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F.
（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；
（2）求CE+2DE 的最小值.
三、（本题满分25分）求所有的正整数m ，n ，使得
()3322
2m n m n m n +-+ 是非负整数
第一试（B ）
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.满足()2211x x x ++-= 的整数x 的个数为（ ）
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
2.已知x 1，x 2，x 3（x 1 22211234x x x x -++= （ ） A.5. B.6. C.7. D.8. 3.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠ABF=（ ） A. 12. B.35. C. . D. . B E D 4. 的实数根的个数为（） A.0. B.1. C.2. D.3. 5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组（a ，b ，c ）的个数为（ ） A.4. B.5. C.6. D.7. 6.已知实数a ，b 满足a 3－3a 2+5a=1，b 3－3b 2+5b=5，则a+b=（） A.2. B.3. C.4. D.5. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.已知p ，q ，r 为素数，且pgr 整除pq+qr+rp=1，则p+q+r= . 2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 3.已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD ，∠EDC=∠ABD ，则DE= . 4.已知二次函数 y=x 2+2(m+2n+1)x+(m 2+4n 2+50)的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对 （m ，n ）的个数为 . 第二试（B ） 一、（本题满分20分）若实数a 、b 、c 满足()11195555 a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭ 求()111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 的值. 二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB=AC ，DE=DC. （1）证明：AD ∥BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果∠ACE=30°，求DP PE A 三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.