典中点相交线与平行线专训4 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

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北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。

【典中点】2016春七年级数学人教版下册配套课件5.3.2平行线的判定和性质的应用

∠1＋∠2＝ 90°.
基础课堂·精讲精练
2
平行线的判定的应用
精讲
平行线的判定是解决其他几何问题的基础，但更多的是作为其他问题的工具，在大多数几何题中，都可能用到这个知识.
基础课堂·精讲精练
2
平行线的判定的应用
精练
5．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1 ＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是平行．
提升拓展·考向导练
3
利用平行线的判定与性质解阅读探究问题 15．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB.
则AB∥CD∥EF（平行公理的推论）. ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠B＝35°. ∵CD∥EF， ∴∠2＝∠D＝32°. ∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
∠3，AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由． AD是∠BAC的平分线．理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴EG∥AD. ∴∠3＝∠1，∠E＝∠2. 又∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD是∠BAC的平分线．
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14．（探究题）已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE， CN⊥CM，猜想∠B与∠DCN的关系，并说明理由．
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精练
∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋ ∠DEF＝180°.如图④， ∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF， ∴∠EPC＋∠DEF＝180°. ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. 综上，可知∠ABC与∠DEF相等或互补．
本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种情况．
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平行线与相交线的性质与判定

平行线与相交线的性质与判定平行线和相交线是几何学中常见的两种线的情况。

它们各自具有一些独特的性质和判定方法。

本文将就平行线和相交线的性质以及判定方法进行详细探讨。

一、平行线的性质与判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。

平行线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：平行线的夹角相等。

如果两条平行线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。

2. 性质二：平行线的对应线段成比例。

如果一条平行线上有两个点，与另一条平行线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。

3. 性质三：平行线与平行线之间的关系。

如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与两条平行线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。

4. 判定方法一：两条直线的斜率相等。

如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。

5. 判定方法二：一组平行线的倾斜角度相同。

如果两条直线的倾斜角度相同，那么这两条直线是平行线。

二、相交线的性质与判定相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。

相交线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：相交线形成的对应角相等。

如果两条相交线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。

2. 性质二：相交线的对应线段成比例。

如果一条相交线上有两个点，与另一条相交线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。

3. 性质三：相交线与相交线之间的关系。

如果一条直线与两条相交线相交，那么它将与这两条相交线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。

4. 判定方法一：两条直线的角度和为180度。

如果两条直线的角度和为180度，那么这两条直线是相交线。

5. 判定方法二：一组相交线的交点坐标相同。

如果两条直线的交点坐标相同，那么这两条直线是相交线。

三、平行线与相交线的应用举例平行线和相交线的性质与判定方法在实际应用中具有广泛的应用。

初中数学知识归纳平行线与相交线的性质与应用

初中数学知识归纳平行线与相交线的性质与应用初中数学知识归纳：平行线与相交线的性质与应用平行线和相交线是初中数学中常见的几何概念，它们具有一些重要的性质和应用。

本文将对平行线与相交线的性质进行归纳，并探讨其在解决几何问题中的应用。

1. 平行线的性质平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线。

平行线具有以下性质：1) 平行线上的任意两点与第三条直线的交点与第四条直线的交点所连接的线段，长度比等于原线段长度比。

2) 平行线上的任意两点与第三条直线的交点所连接的线段，长度比等于原线段长度比。

3) 平行线之间的距离是始终相等的。

2. 相交线的性质相交线是指在同一平面内相交于一点的两条直线。

相交线具有以下性质：1) 相交线之间的夹角等于对应的相交线之间的对顶角。

2) 相交线之间的垂直角是相等的。

3) 相交线上的任意一点与第三条直线的交点所连接的线段，长度比等于原线段长度比。

3. 平行线与相交线的应用平行线与相交线的性质可以应用于许多几何问题的解决中。

1) 判定平行线：根据平行线的性质，可通过已知的线段或角度之间的关系来判定两条线是否平行。

例如，若两个对应角相等，则可以判定两条线平行。

2) 平行线的引申：平行线的性质可以应用于解决平行线引申的问题。

例如，已知一条直线与一组平行线之间的关系，可以通过这些已知条件来求解出其他线段或角度的尺寸。

3) 利用平行线求解比例问题：根据平行线的性质，可以利用线段的长度比例来求解比例问题。

例如，已知两条平行线，并且已知一条线段的长度，可以通过线段长度比例的相等关系来求解其他线段的长度。

4) 平行线与相交线的角度关系：根据平行线和相交线的性质，可以求解出各种角度之间的关系。

例如，已知两条平行线与一条相交线之间的夹角，可以通过对应角等于夹角来求解其他角度的尺寸。

总之，平行线与相交线是初中数学中重要的几何概念，它们具有一些独特的性质与应用。

我们可以应用这些性质解决几何问题，例如判定平行线、引申平行线、比例问题以及角度关系问题等。

七年级下册《相交线与平行线》解题技巧

典例精讲
类型二：与垂直结合证明平行
例：已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF ．证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，（已知） ∴∠ABC=∠DCB=90°，（垂直的定义） ∵∠1=∠2，（已知） ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，（等式的性质） ∴∠CBE=∠BCF，（等量代换） ∴BE∥CF．（内错角相等，两直线平行）
变式图
内错角为Z型，内错角变式图如下：
变式图
同旁内角为U型，同旁内角角变式图如下：
典例精解
例1：如图，下列说法错误的是（ D ）
AC√√．．∠∠A2与与∠∠3B是是内同错旁角内角
B．√ ∠3与∠1是同旁内角 D×．∠1与∠2是同位角
变式题
1.下列各图中，∠1、∠2不是同位角的是（ B）
A．
√
（2）设∠AOC=x°，则∠EOF= x°，∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOE=∠COF=90°；∴∠COE=90°-x°， ∴∠EOF=（90°-x°）+90°=180°-x°；又∵∠EOF= x°，∴180°-x°= x°；解得x=40．即∠AOC=40°．
课堂小结
直接计算求角度利用方程思想求角度
解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，
∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°，
∴∠BOE=90°÷3=30°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°，
又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=
1 2
∠AOE=
1 2
×150°=75°，
∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，∴∠BOD=∠AOC=75°．
典例精讲
类型二：利用方程思想求角度
例：如图，直线AB与CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD. （1）图中与∠COE互补的角是___________________；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC的度数．

七年级下数学培训资料相交线与平行线知识点归纳

第五章：《相交线与平行线》知识点归纳一、相交线1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。

（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。

）2.对顶角----特点：（1）有一个公共顶点（2）两边互为反向延长线-----性质：对顶角相等3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。

要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

----特点：（1）有一个公共顶点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线-----性质：邻补角互补（和为180°）4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。

垂直是两直线相交的特殊情况。

注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

垂直时，一定要用直角符号表示出来。

---性质：（1）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。

注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。

反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。

二、平行线1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。

-----特点：没有交点，平行线永不相交。

2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。

3.三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。

名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型

平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。

初中数学做辅助线的方法总结

初中数学做辅助线的方法总结初中数学中，辅助线是解题的一种重要方法，可以帮助我们清晰地理解题意和问题，并找到解题的思路。

下面是关于初中数学做辅助线的方法总结。

一、直线法1.作垂线：当题目中出现垂直关系时，我们可以通过作垂线来解决问题。

例如，求两个直线的垂直平分线、两个线段的中垂线等。

2.作平行线：当需要证明两条直线平行时，可以通过作一条与已知直线平行的辅助线，再应用平行线的性质进行证明。

二、角度法1.作角平分线：当需要求一个角平分线时，可以通过作一个角的辅助线将该角分成两个相等的角，进而求出角平分线。

2.作等角：当题目中需要证明两个角相等时，可以通过作一条等角的辅助线，将两个角变成等角，然后再应用等角的性质进行证明。

三、三角形法1.作高：当需要求一个三角形的高时，可以通过作条辅助线，形成一个矩形或直角三角形，从而利用高的性质求解。

2.作中线：当需要求一个三角形的中线时，可以通过作条辅助线，形成一个平行四边形或直角三角形，从而利用中线的性质求解。

3.作角平分线：当需要求一个三角形的角平分线时，可以通过作条辅助线，将该角分成两个相等的角，进而求出角平分线。

四、平行四边形法1.作对角线：当题目中出现平行四边形时，可以通过作对角线来将该平行四边形分成两个相等的三角形，进而利用三角形的性质进行求解。

五、轴对称法1.关于对称轴作对称点：当题目中出现轴对称图形时，可以通过作关于对称轴的对称点，将原图形和对称点所成的线段连结起来，形成对称图形，从而利用对称性进行求解。

六、相似三角形法1.作比例：当需要求解两个三角形相似的比例时，可以通过作条辅助线，形成相似三角形，并利用相似三角形的性质求解。

七、图形拓展法1.分割图形：当需要对一个复杂的图形进行分析时，可以通过作一些辅助线，将复杂图形分割成若干个简单的图形，进而分别求解。

总之，在初中数学中，辅助线是解题的有力工具，可以帮助我们合理分析题目，找到解题的思路，解决数学问题。

初一数学平行线与相交线的性质与应用总结

初一数学平行线与相交线的性质与应用总结数学中的几何知识是学习数学的基础，而初一数学中的平行线与相交线是一个重要的几何知识点。

理解并掌握平行线与相交线的性质与应用，能够帮助我们解决与平行线与相交线相关的问题，提高数学解题能力。

本文将对初一数学中的平行线与相交线的性质与应用进行总结。

1. 平行线的性质与判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

在初一数学中，我们需要了解以下平行线的性质与判定方法：1.1 具有相同斜率的直线是平行线。

当两条直线的斜率相等时，它们就是平行线。

1.2 若两条直线与第三条直线分别平行，则它们之间也是平行关系。

1.3 若两条直线分别与同一条直线平行，则它们之间也是平行关系。

1.4 平行线的判定方法：a. 若两条直线上的任意两个角相等，则这两条直线是平行线。

b. 若一条直线与另外两条平行线所夹的两个对应角相等，则这两条直线是平行线。

2. 平行线的应用平行线在生活中的应用非常广泛，其中包括以下几个方面。

2.1 平行线的应用于地理中的纬线。

地球表面上的纬线是平行线，纬线帮助我们确定地球表面上不同地区的位置，并在航海、航空等领域发挥重要的作用。

2.2 平行线的应用于城市规划。

在城市规划中，平行线常常用于确定道路的走向，使得道路之间保持一定的距离和方向一致，便于交通的流通和规划。

2.3 平行线的应用于建筑设计。

在建筑设计中，平行线可以用于确定建筑物的方向、结构和布局，提高建筑物的美观与实用性。

3. 相交线的性质与判定方法相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。

在初一数学中，我们需要了解以下相交线的性质与判定方法：3.1 相交线的性质：a. 相交线的交点是两条直线上所有点的公共点。

b. 相交线的两条直线上的任意两个相对应的角互补，即角的和为180度。

3.2 相交线的判定方法：a. 若两条直线的斜率不相等，则它们相交于一点。

b. 若两条直线的斜率相等但截距不相等，则它们永远不相交。

平行线常用辅助线知识点_概述说明以及解释

平行线常用辅助线知识点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

对于平行线的研究，人们发现通过引入一些辅助线能够更好地理解和证明平行线的性质，从而简化许多几何问题的解决过程。

1.2 说明平行线的性质平行线具有一些重要的性质。

首先，它们具有共面性，即两条平行线存在于同一个平面上。

其次，在给定直线外，与该直线平行的直线只有唯一一条。

此外，在给定直线上，存在无数与该直线平行且互不相交的直线。

利用这些性质，我们可以快速判断两条直线是否平行，并进行相关推断和证明。

1.3 辅助线的重要性辅助线在几何推导和证明中起到了至关重要的作用。

通过合理选择和应用辅助线，我们可以将原本复杂的几何问题转化为更简单、直观且易于解决的形式。

辅助线还能够帮助我们揭示隐藏在复杂图形背后的规律和特点，并为后续分析提供有效途径。

总之，在本文中，我们将重点介绍平行线常用的辅助线知识点，并通过实例来解析其应用。

通过全面理解和熟练运用这些辅助线知识点，读者将能够更好地理解平行线的特性，并在几何学习和问题解决中获得更高的效率和成果。

2. 平行线的辅助线知识点：2.1 垂直平分线:垂直平分线是指一个线段的中垂线与另一个线段相交于垂直平分线上。

在平行线的几何证明中，使用垂直平分线可以帮助我们得到一些有用的性质和结论。

例如，如果两条平行线被一条垂直平分线所截断，则截断处所形成的各对应角相等。

2.2 角平分线:角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分为两个相等的角，并且其划分位置在这个角的内部。

在证明平行关系时，使用角平分线能够帮助我们找到具有特定性质的几何图形。

例如，在证明两条直线平行时，当一条辅助角平分线与已知直线及其延长线相交时，可以推导出其他相关性质。

2.3 对称线:对称线是指将一个图形折叠成两半时能完全重合的折痕所在的那根过对称中心点（通常为一条直线）。

在使用对称性进行几何证明时，对称辅助会被广泛应用。

专训1 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

专训1 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．加截线（连接两点或延长线段相交）1．【中考·河北】如图，∥，⊥，∠＝50°，则∠＝（）A．120°B．130°C．140°D．150°（第1题）过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，∥，P为，之间的一点，已知∠2＝28°，∠＝58°，求∠1的度数．（第2题）b．“”形图（2）如图①，在∥的条件下，你能得出∠B，∠，∠D之间的数量关系吗？请说明理由；（3）如图②，∥，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．（第3题）c．“”形图4．如图，∥，则∠，∠B，∠D有何关系？为什么？（第4题）d．“”形图5．如图，已知∥，∠＝30°，∠＝138°，求∠的度数．（第5题）e．“”形图（2）如图，∥，探究∠B，∠C，∠三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．（第6题）平行线间多折点角度问题探究7．（1）在图①中，∥，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若∥，又能得到什么结论？（第7题）答案1．C2．解：方法一：过点P作射线∥，如图①.∵∥，∥，∴∥.∴∠4＝∠2＝28°.∵∥，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.方法二：过点P作射线∥，如图②.∵∥，∥，∴∥.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵∥，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第2题)3．解：(1)过点C向左作∥，则∠B＋∠＝180°.又∵∥，∴∥，∴∠＋∠D＝180°，∴∠B＋∠＋∠＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠＋∠D＝360°，∴∠＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.(2)∠B＋∠＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作∥，则∠B＋∠＝180°.又∵∥，∴∥，∴∠＋∠D＝180°，∴∠B＋∠＋∠＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.4．解：∠＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作∥.∵∥，∴∠B＝∠(两直线平行，内错角相等)．∵∥，∥，∴∥(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠－∠.∵∠＝∠－∠，∴∠＝∠B－∠D.点拨：已知图形中有平行线和折线时，常过折点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．(第4题)(第5题)5．解：如图，过点C作∥.∵∥，∥，∴∥.∴∠＝180°－∠＝180°－138°＝42°.∴∠＝∠＋∠＝30°＋42°＝72°.又∵∥，∴∠＝∠＝72°.6．解：(1)过E点向左侧作∥，则∠B＋∠＝180°，∴∠＝180°－∠B＝50°，又∵∥，且∥，∴∥，∴∠＝∠C＝30°，∴∠＝∠＋∠＝50°＋30°＝80°.(2)∠B＋∠－∠C＝180°.理由如下：过E点向左侧作∥，又∵∥，∴∥，∴∠＝∠C，又∵∠＝∠－∠，∴∠＝∠－∠C.∵∥，∴∠B＋∠＝180°，即∠B＋∠－∠C＝180°.(第7题)7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作∥，∥，∥，如图所示，由∥，得∥∥∥∥，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠＋∠＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠＋∠D.(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠－1＋∠D.。

相交线与平行线知识点总结

相交线与平行线知识点总结在我们的数学世界中，相交线和平行线是非常基础且重要的概念。

它们不仅在几何图形的研究中起着关键作用，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一下相交线与平行线的相关知识点。

一、相交线1、邻补角两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

邻补角的特点是：它们的和为 180°。

比如，直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，∠AOC 和∠AOD 就是一对邻补角。

2、对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

对顶角一定相等。

还是以上面的直线 AB 和直线 CD 相交于点 O 为例，∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角。

3、垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质非常重要：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

需要注意的是，这里的距离是指垂线段的长度，而不是点到直线的连线的长度。

二、平行线1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

这里要强调“在同一平面内”，因为在空间中，不相交的直线不一定平行。

2、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、平行线的判定方法（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

5、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

三、平移1、平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、平移的性质（1）平移不改变图形的形状和大小。

相交线与平行线考点及题型总结

相交线与平行线考点及题型总结第一节相交线一、知识要点：（一）当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。

（二）余角、补角、对顶角1、余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3、对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4、互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.5、互为补角的有关性质：①若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C ＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C .6、对顶角的性质：对顶角相等.（三）垂直：相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90 。

1、经过直线外一点，作直线垂线，有且只有一条； 2、点到直线上各点的距离中，垂线段最短。

（四）两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：1、同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；2、内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；3、同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二、题型分析：题型一：列方程求角例1：一个角的余角比它的补角的21少20°.则这个角为（） A 、30° B 、40° C 、60° D 、75° 答案：B分析：若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解求解：设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x .则根据题意，得21(180°－x )－(90°－x )＝20° ；解得：x ＝40°. 故应选B . 说明：处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下还要引进未知数，构造方程求解.习题演练：1、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（）A 、42138、 B 、都是10 C 、42138、或4210、 D 、以上都不对答案：A分析：两个条件可以确定两个角互补，列方程即可解得A 。

北师版七年级下册数学第2章相交线与平行线阶段核心归类平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型

6．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB，所以∠B＝∠BCF. 因为AB∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE. 所以∠DCF＝∠D.所以∠B－∠D＝∠பைடு நூலகம்CF－∠DCF. 因为∠BCD＝∠BCF－∠DCF，所以∠BCD＝∠B－∠D.
7．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°. 求∠ABC的度数．
解：如图，过点C作CF∥AB. 因为AB∥DE，CF∥AB，所以DE∥CF. 所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°. 所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°. 因为AB∥CF，所以∠ABC＝∠BCF＝72°.
（ 2 ）如图 ① ，在 AB ∥ DE 的条件下，你能得出 ∠ B ， ∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：因为CF∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°. 因为AB∥DE，所以CF∥DE. 所以∠FCD＋∠D＝180°. 所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋ 180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
3．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2 ＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
解法一：如图①，过点P作射线PN∥AB. 因为PN∥AB，AB∥CD，所以PN∥CD. 所以∠4＝∠2＝28°. 因为PN∥AB，所以∠3＝∠1. 因为∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，所以∠1＝30°.
8．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．（1）试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
解：如图①，过O作OM∥AB，所以∠1＝∠BEO. 因为AB∥CD，所以OM∥CD. 所以∠2＝∠DFO. 所以∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.