2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质

一、选择题1. （2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．【知识点】圆周角定理及其推论2. (2019山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°第8题图【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理3. （2019山东省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=35，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=35求得BC的长度．【解题过程】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在R t△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．【知识点】圆周角，锐角三角比4. （2019四川省凉山市，7，4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论5. （2019四川省眉山市，10，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．62B．32C．6 D．12【答案】A【思路分析】【解题过程】解：∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴2OC＝32，∴CD=2CE=62 D.【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数6.（2019浙江省衢州市，8，3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4 dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。

【知识点】垂径定理勾股定理7. (2019山东泰安,9题,4分) 如图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°第9题图【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角三角形两锐角互余8. （2019四川南充，6，4分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒【答案】D【解析】解：四边形ABCD 内接于O ，180C A ∴∠+∠=︒，18040140C ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．【知识点】圆内接四边形的性质9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D ＝80°， ∴∠ACB ∠DCB （180°﹣∠D ）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB ＝∠D ＝80°，∴∠EAC ＝∠AEB ﹣∠ACE ＝30°，故选：C ．【知识点】菱形的性质；圆周角定理10. （2019甘肃武威，9，3分）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB ∠的度数是( )A ．22.5︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【解析】解：设圆心为O ，连接OA 、OB ，如图，∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍，即2AB OA =，∴222OA OB AB +=，∴OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒， ∴1452ASB AOB ∠=∠=︒， 故选C ．【知识点】圆周角定理11. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠= )A ．54︒B ．64︒C ．27︒D ．37︒【答案】C 【解析】解：∵126AOC ∠=︒，∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒，∴1272CDB BOC ∠=∠=︒，故选C ． 【知识点】圆的有关概念及性质12.（2019湖北宜昌，12，3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】A【解析】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A∠BOC＝50°．故选：A．【知识点】圆周角定理13.（2019江苏连云港，8，3分）如图，在矩形ABCD中，22AD AB=．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①CMP∆是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③6PC MP=；④2BP AB=；⑤点F是CMP∆外接圆的圆心，其中正确的个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴DMC EMC∠=∠，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，AMP EMP ∴∠=∠，180AMD ∠=︒，1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒， CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，90D MEC ∴∠=∠=︒，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，90MEG A ∴∠=∠=︒，180GEC ∴∠=︒，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误； 2AD =，∴设AB x=，则AD =，∵将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；12DM AD ∴=，CM ∴==， 90PMC ∠=︒，MN PC ⊥，2CM CN CP ∴=，2CP ∴==，2PN CP CN x ∴=-=，PM ∴==，∴PC PM ==PC ∴=，故③错误； 2PC =，PB ∴==，∴2ABPBx=，2PB AB∴=，故④，CD CE=，EG AB=，AB CD=，CE EG∴=，90 CEM G∠=∠=︒，//FE PG∴，CF PF∴=，90PMC∠=︒，∵CF PF MF==，∴点F是CMP∆外接圆的圆心，故⑤正确；故选B．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外接圆与外心；矩形的性质；直角三角形的性质14.（2019山东德州，9，4分）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若40ABC∠=︒，则ADC∠的度数是()A．130︒B．140︒C．150︒D．160︒【答案】B【解析】解：由题意得到OA OB OC OD===，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，180ABC ADC∴∠+∠=︒，40ABC ∠=︒，140ADC ∴∠=︒，故选B ．【知识点】圆内接四边形的性质15. （2019山东菏泽，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．OC ∥BDB ．AD ⊥OC C ．△CEF ≌△BED D ．AF ＝FD【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ，∴∠ADB ＝90°，∠OBC ＝∠DBC ，∴AD ⊥BD ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠DBC ＝∠OCB ，∴OC ∥BD ，选项A 成立；∴AD ⊥OC ，选项B 成立；∴AF ＝FD ，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立，故选C ．【知识点】圆周角定理16.（2019台湾省，24，3分）如图表示A 、B 、C 、D 四点在O 上的位置，其中180AD =︒，且AB BD =，BC CD =．若阿超在AB 上取一点P ，在BD 上取一点Q ，使得130APQ ∠=︒，则下列叙述何者正确？A ．Q 点在BC 上，且BQ QC >B ．Q 点在BC 上，且BQ QC <C ．Q 点在CD 上，且CQ QD > D ．Q 点在CD 上，且CQ QD <【答案】B【解析】解：连接AD ，OB ，OC ，180AD =︒，且AB BD =，BC CD =，45BOC DOC ∴∠=∠=︒，在圆周上取一点E 连接AE ，CE ， 167.52E AOC ∴∠=∠=︒，122.5130ABC ∴∠=︒<︒，取BC 的中点F ，连接OF ，则67.5AOF ∠=︒，123.25130ABF ∴∠=︒<︒，Q ∴点在BC 上，且BQ QC <，故选：B ．【知识点】圆心角，弧，弦的关系；圆内接四边形的性质；圆周角定理二、填空题1. （2019四川省凉山市，15，4）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A =30°，CD 3，则⊙O 的半径是 ．第15题图【答案】2【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=23，∴CH=3，∴OH=1，∴OC=2.第15题答图【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；勾股定理2.（2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上，（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如图，Rt △ABD 中，AD=2，BD=21,由勾股定理可得AB=（2）由于点A 在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC 上，所以取圆与网格线的交点E,F 连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，则点D 为AB 的中点，连接DO 并延长，根据垂径定理可得则DO 垂直平分AB ，连接BO ，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO 的延长线交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B,O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理3. （2019浙江湖州，12，4）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是 ．【答案】30°．【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．【知识点】圆周角定理．4. (2019浙江台州,14题,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC ＝64°,则∠BAE 的度数为________.第14题图【答案】52°【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D ＝180°,∵∠B ＝64°,∴∠D ＝116°,又∵点D 关于AC 的对称点是点E,∴∠D ＝∠AEC ＝116°,又∵∠AEC ＝∠B+∠BAE,∴∠BAE ＝52°.【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性5. （2019安徽省，13，5分）如图，ABC ∆内接于O ，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若O 的半径为2，则CD 的长为 ．【答案】2【解析】解：连接CO 并延长交O 于E ，连接BE ，则30E A ∠=∠=︒，90EBC ∠=︒，O 的半径为2，4CE ∴=，122BC CE ∴==， CD AB ⊥，45CBA ∠=︒，22CD BC ∴==. 故答案为2．【知识点】圆周角定理6.（2019江苏连云港，13，3分）如图，点A、B、C在O上，6∠=︒，则O的半径BACBC=，30为．【答案】6【解析】解：260∠=∠=︒，又OB OC=，BOC BAC∴∆是等边三角形BOCOB BC∴==，6故答案为6．【知识点】圆周角定理7.（2019江苏泰州，16，3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A 作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．【答案】y x．【解析】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴，∴y x，故答案为：y x．【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定和性质8.（2019江苏盐城，14，3分）如图，点A、B、C、D、E在O上，且AB为50︒，则E C∠+∠=°．【答案】155【解析】解：连接EA，AB为50︒，∴∠=︒，25BEA四边形DCAE为O的内接四边形，DEA C∴∠+∠=︒，180∴∠+∠=︒-︒=︒，DEB C18025155故答案为：155．【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质9.（2019山东德州，17，4分）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．【答案】485【解析】】解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，AB CD ⊥，132AE BE AB ∴===， 设O 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =，在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，AB BF =，OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，① 在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，②解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485． 【知识点】垂径定理；勾股定理 10. 15. （2019四川宜宾，15，3分）如图，O 的两条相交弦AC 、BD ，60ACB CDB ∠=∠=︒，23AC =则O 的面积是 ．【答案】16π【解析】】解：A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ∠=∠=︒，60A ACB ∴∠=∠=︒，ACB ∴∆为等边三角形， 23AC =， ∴圆的半径为4，O ∴的面积是16π，故答案为：16π．【知识点】圆周角定理11. （2019浙江嘉兴，14，4分）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为 ．【答案】12【解析】解：连接OD ，如图，CD OC ⊥，90COD ∴∠=︒，2222CD OD OC r OC ∴=-=-，当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC AB ⊥时，OC 最小，此时221()2OC r AB =-， CD ∴的最大值为2221111()14222r r AB AB --==⨯=， 故答案为：12． 【知识点】垂径定理；勾股定理三、解答题1. (2019浙江宁波,26,14分)如图1,O 经过等边三角形ABC 的顶点A,C(圆心O 在△ABC 内),分别与AB,CB 的延长线交于点D,E,连接DE,BF ⊥EC 交AE 于点F.(1)求证:BD ＝BE;(2)当AF:EF ＝3:2,AC ＝6时,求AE 的长;(3)设AF EF＝x,tan ∠DAE ＝y. ①求y 关于x 的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍,求y 的值.第26题图【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED ＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG 长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE 的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH 的代数式,进而求得y 关于x 的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y 的值.【解题过程】(1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC ＝∠C ＝60°,∠DEB ＝∠BAC ＝60°,∠D ＝∠C ＝60°,∠DEB ＝∠D,BD ＝BE.(2)如图,过点A 作AG ⊥EC 于点G,∵△ABC 为等边三角形,AC ＝6,∴BG ＝12BC ＝12AC ＝3,在Rt △ABG 中,AG ＝3＝33∵BF ⊥EC,∴BF ∥AG,∴=AF BG EF EB ,∵AF:EF ＝3:2,∴BE ＝23BG ＝2,∴EG ＝BE+BG ＝3+2＝5,∴在Rt △AEG 中,AE 22213AG EG +=;第26题答图(1)(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,EHEB＝sin60＝32,EH＝32BE,BH＝12BE,=BG AFEB EF＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+12BE＝(2x+12)BE,Rt△AHE 中,tanEAD＝332=14122BEEHAH xx BE=+⎛⎫+⎪⎝⎭,∴y＝341x+;第26题答图(2)②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵=BG AFEB EF＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝12EC＝12a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－12a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴1===1BF BE aAG EG a ax x++,∵AG＝3BG＝3ax,∴BF＝11x+AG＝3ax,△OFB的面积＝131222BF BM axax a⋅⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭,△AEC的面积＝()13222EC AGax a ax⋅=⨯+,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴1311022axax a⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝()1322ax a ax⨯+,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝32,y＝3或3.第26题答图(3)【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程2.（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）；（2）AE=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到；（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴.（2）∵，∴AD=BC，∵，∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.3. （2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y 3x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。