复变函数与积分变换第五版答案第五章

1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1)

()

2

2

11+z z

解：

2． 31

z z sin 1123+−−z z z ()z z lz 1+()()z e z z π++11211−z e ()112+z e z n n z z +12，n 为正整数2

1z

sin 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f

'

的1−m 级零点。验证：2

i z π=是chz 的

一级零点。0=z 是函数()2

2−−+z shz z sin 的几级极点？如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么

()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim

→→=（或两端均为∞）设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什么性质：

3． ()

()z z ψϕ；()()z z ψϕ；()()z z ψϕ+；函数()()

2

11

−=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：

()

()()()3

45211

111111−+−−−+=−z z z z z ，11>−z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()1

1−−z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。这些说法对吗？求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：

4． z z z 212−+421z e z −()

3241

1++z z z z cos z −11cos z z 12

sin z z sin 1chz shz 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）

5． ⎰=2

3

z dz

z z sin ()

⎰=−2221z z

dz z e ⎰=

−2

31z m dz

z z

cos ， 其中

m

为整数

⎰=−1

2i z thzdz

⎰=3

z zdz

tg π()()

⎰=−−1

1

z n

n

dz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）

。[提示：试就a ，b 与1的大小关系分别进行讨论。 ]判定∞=z 是下列各函数的什么奇点？并求出在∞的留数：

1) 2

1

z e 解：

6． z

z sin cos −2

32z

z

+求()[]∞,Re z f s 的值，如果

7． ()12−=z e z f z

()()()

414

−+=z z z e z f z 计算下列各积分，C 为正向圆周： 8． ()()⎰++C dz z z z 342215

21，C ：3=z ⎰+C

z

dz e z z 1

31，C ：2=z ⎰+C n n dz z z 12（n 为一正整数），C ：1>=r z 计算下列积分：

9．

⎰

+∞

+0

351

ϑ

ϑ

d sin ⎰

∞

++0

2ϑ

ϑ

ϑ

d b a cos sin ，

()0>>b a ()

⎰+∞

∞

−+dx x 2

211

⎰∞

+∞−+dx x x 4

2

1⎰

+∞

∞

−++dx

x x x

542cos ⎰+∞

∞−+dx x x

x 21sin 试用图5.10中的积分

路线，求例4中的积分：⎰

+∞

dx x

x

sin 利用公式()145..计算下列积分： 1)

⎰=3

1z dz z 解：

⎰=−3

21z dz z z

⎰=3

z tgzdz

()⎰=+3

11

z dz z z 设C 为区域D 内的一条正向简单闭曲线，0z 为C 内一点。如果()z f 在D 内解析，且()00=z f ，()00≠z f '

。在C 内()z f 无其他零点。试证：()()

⎰=C z dz z f z zf i 021'π设()z ϕ在C ：1=z 上及其内部解析，且在C 上()1

明：当e a >时，方程0=−n

z

az e 在单位圆1=z 内有n 个根。证明方程0123

7

=+−z z 的根都在圆环域21≤≤z 内。