高一数学必修五基本不等式

4
1
2a)的最 _大__ 值为__8__;
5.已知0

a

2 1 3
,
则2a(1

3a)的最
_大__
值为
1
__6__;
6.已知a 0,b 0, ab 9,则a b的最 _小__ 值为 _6___;
7.已知ab 9,则a2 b2的最 _小__ 值为 _1_8__;
8.已知ab 9,则a2 2b2的最 _小__ 值为1_8__2_;
练习
1.已知a 0,b 0, a b 8,则ab的最 _大__ 值为 _1_6__;
2.已知a 0,b 0, a 2b 8,则ab的最大___ 值为__8__;
3.已知0 4.已知0

a a
1, 则a(1 1 ,则a(1
a)的最
_大__
值为__1__;
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab


a
2
b
2

a2
2
b2
(a,b R)
1
2
1

ab
ab a b 2
a2 b2 ,
2
(a, b R，当且仅当a b时取“=”）
小结：
几种利用基本不等式求最值的技巧: 1.凑项 2.凑系数 3.分离 4.“1”的妙用
xy 81 2
当且仅当2x y即x 9 , y 9时取等号。 2
基 1、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的
础
1
1
1
练 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3 。
习
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的
最大值是__2__.
结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36 , x+ y =18
矩形菜园的面积为xy m2

xy

x
2
y =18/2=9
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例
3
解：∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
3
构造和为定值
∴y=x（1-3x）=
1• 3
3x（1-3x）
1 (3x 1 3x)2 1
32
12
凑系数
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1 6
时 ymax=
质 数.
注意：（1）不等式使用的条件不同；
（2）当且仅当a=b时取等号；
例 题
例1、(1)当x>0时，x 1 x
2
，当且仅当
讲 x= 1 时取等号。
解 2若x 0，y 0且x • y 9,则x y的最小值是 6 ，
此时x y 3 .
解： x 0，y 0 x y 2 x • y 6
_4__2_;
1
13.函数y

x2

8 x2
x 1
的最 小___ 值为 _2___;
4
14.若x 0,则函数y x2 4 的最 _小__ 值为 __4__;
15.若x
0,则函数y

x
x x 2
的最 1
_大__
值为
1 __2__;
16.若x 1,则函数y x2 2 x 3的最小___ 值为2___2_;
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9.已知a 0,b 0, ab 9,则a 2b的最 _小__ 值为 _6__2_;
10.已知x

3, 则函数y

x

8 的最 x
_小__
17
值为 __3__;
练习
11.函数y 12.已知x

x2

8 x2
的最
1,则函数y
_小__
x
值为 _4__2_;
8 的最 小___
值为
1 12
你会了
巅
小结评价
吗？
峰
回 1、本节主要学习了基本不等式的证明与 眸 初步应用。
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
小结：运用 a b ab(a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
① x 0 2,
② x 0 ,2
③ x 0 ,22,
④ x2

5 2
,

一正 、二定 、三等
一不正,需变号
二不定,需变形 三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab a b (a 0, b 0)
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
由x 2y 2 x 2y得xy 162,S xy 162
当且仅当x=2y,即x=18，y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是,162m2
y x1 x
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. Q x y xy 2
Q x y 2 100 Q 2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
当且仅当 x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
利用a b 2 ab
变式：判断以下命题是否正确
(1)因为y x 4 2 x
x•
4 x

4, 所以ymin

4.
错。因为x和 1 不一定是正数

x

一正
(2)设x

R ,则y

x2

8 中,当x2 x
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
和
最
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
小
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2.两个正数和为定值，则积有最大值
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
3.4基本不等式: ab a b 2
基 本 不 等 式 的 几A 何 背 景
D
a2 b2
b
G aF
C
A HE
B
D
a
Ob
C
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 ba 0,b 0代替a,b会得到什么？
x 1
17.若x 1,则函数y x2 3x 3的最 _小__ 值为 _3___;
x 1
18.若x

1, 则函数y

x2
x 1
的最
大___
值为
1
____;
3x 6
5
19.已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值. xy
20.已知x 0, y 0,且2x y 1,求 1 1 的最小值. xy
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当 x y 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
你还有其他的解法吗？
公式变形：
ab


a
2
b
2
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
【基础训练3】
1、 求函数 y 1 x(x 3) 的最小值.
x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
解法二： x 0, y 0
xy


x

y
2


81
2
当且仅当 x y 9时取等号。
解法三分析
令xy=z,则 Z=-x2+18x， 利用二次函数求某一区间的最值
变式1、若正数x, y满足2x y 18,求xy的最大值。
解： x 0, y 0
2xy 2x y 2 81 2
深
基本不等式：a b aba 0,b 0
入
2
探
当且仅当a=b时，等号成立。
究
揭 基本不等式的几何解释：
示
D
本
半径不小于半弦
质
A
aCb B
E
剖析公式应用
深
入 探
a b ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为:
本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

8 x
,
x

2时,
ym in

8;
错。因为x2 • 8 不是定值

x

二定
3若0 x ,则y sinx 9 2 9 6,
sinx
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9

sin x
三相等
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。