计算机控制技术-10离散系统的数学分析基础
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《离散化控制系统》课件
离散化控制系统的性能分析
了解离散化控制系统的稳定性和性能指标分析对优化系统表现至关重要。还 将介绍实现系统最优性的方法。
离散化控制系统的应用实例
探索离散化控制系统在实际应用中的案例。我们将看到温度控制系统、电机控制系统和智能交通控制系统等多 种应用场景。
总结
通过本课程，您对离散化控制系统有了全面的了解。窥探离散化控制系统的未来发展和重要性，以及其在各行 各业的应用前景。
《离散化控制系统》PPT 课件
欢迎来到《离散化控制系统》PPT课件，通过本课程，您将深入了解离散化控 制系统的概念、应用和设计方法，以及控制器设计、性能分析和应用实例。 准备好开始学习吧！
概述Байду номын сангаас
什么是离散化控制系统？离散化控制系统是将连续时间系统转换为离散时间系统进行控制的方法。它在许多领 域都有广泛的应用，具有许多优势。
离散化控制系统的基础知识
在学习离散化控制系统之前，了解一些基础知识非常重要。这些知识包括采样定理、Z变换以及信号的时域和 频域表示。
离散化控制系统的设计方法
掌握离散化控制系统的设计方法是实现系统性能的关键。时域法设计、频域法设计以及非线性系统设计都是常 用的方法。
离散化控制系统的控制器设计
选择适合离散化控制系统的控制器是保证系统稳定和性能的重要因素。PID控制器设计、自适应控制器设计以 及鲁棒控制器设计都值得掌握。
离散系统的基本概念课件
第二节 信号的采样与保持
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。
eh (t ) = e(kT)， kT≤ t ≤(k + 1)T
零阶保持器的输入输出特性
e*(t)
eh(t)
e*(t) 零阶 eh(t)
保持器
0
k (k+1) t
0
k (k+1) t
第二节 信号的采样与保持
实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。
2、信号复现
在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为信号复现过程。相当于D/A转换过程。
实现复现过程的装置称为保持器。
最简单的保持器是零阶保持器。
第一节 离散系统的基本概念
三、数字控制系统
系系统统中中的如A果/D用转计换算器机相来当代于替一脉个冲采控样制开 关器，，D实/A现转对换偏器差相信当号于的一处个理保，持就器构。成了数 字控制系统，也称为计算机控制系统。
连续频谱⏐E ( jω )⏐形状一致，幅值上变化了1/T倍。
其余频谱（n=±1, ± 2, ···）是采样频谱的补分量。
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
0
采样信号的频谱（ωs< 2ωh） 可见，当ωs< 2ωh时，采样信号发生频率混叠，致
使输出信号发生畸变。 此时，不能通过滤波器恢复原来的连续信号。
⏐E( jω )⏐
-ωh 0 ωh
连续信号频谱
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
2
1 1/T
2
-2ωs
-ωs -ωh 0ωh ωs
2ωs
-ωs/2 ωs/2
离散控制系统
由于在控制系统中，当 时， ，所以序列 取从 到 。式中 为两个阶跃函数之差，表示一个在 时刻，高为 、宽为 、面积为 的矩形，如图7－4所示。由于 很小，比采样开关以后系统各部分的时间常数小很多， 即可认为 ，则此矩形可近似用发生在 时刻的 函数表示：
（7－2）
式中 为 处的 函数。于是式（7－1）可表示为：
第七章 离散控制系统
从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。随着计算机被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。
二、 数字控制系统
例如图7－2所示的数字闭环控制系统，控制器只能处理数字（离散）信号，控制系统内必有 、 转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似系统称为数字控制系统。显然，由数字计算机承担控制器功能的系统均可归属于数字控制系统。随着计算机技术的日益普及，数字控制系统的应用会越来越多。
无论是采样控制系统还是数字控制系统，它们均面临一个共同的问题：怎样把连续信号近似为离散信号，即“整量化”（连续信号在时间和幅值上均具有无穷多的值，而在计算机上是用有限的时间间隔和有限的数值取代之，这种近似的过程称为整量化。简称量化）问题。
（7－3）
由于 为常数，为了方便，把 归到采样开关以后的系统中去，则采样信号可描述为
（7－4）
由于 处的 的值就是 ，所以式（7－4）可写作
（7－5）
式中 称为单位理想脉冲序列，若用 表示，则式（7－5）可写作
（7－6）
式（7－6）就是信号采样过程的数学描述。它表示在不同的采样时刻有一个脉冲，脉冲的幅值由该时刻的 的值决定。
（7－2）
式中 为 处的 函数。于是式（7－1）可表示为：
第七章 离散控制系统
从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。随着计算机被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。
二、 数字控制系统
例如图7－2所示的数字闭环控制系统，控制器只能处理数字（离散）信号，控制系统内必有 、 转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似系统称为数字控制系统。显然，由数字计算机承担控制器功能的系统均可归属于数字控制系统。随着计算机技术的日益普及，数字控制系统的应用会越来越多。
无论是采样控制系统还是数字控制系统，它们均面临一个共同的问题：怎样把连续信号近似为离散信号，即“整量化”（连续信号在时间和幅值上均具有无穷多的值，而在计算机上是用有限的时间间隔和有限的数值取代之，这种近似的过程称为整量化。简称量化）问题。
（7－3）
由于 为常数，为了方便，把 归到采样开关以后的系统中去，则采样信号可描述为
（7－4）
由于 处的 的值就是 ，所以式（7－4）可写作
（7－5）
式中 称为单位理想脉冲序列，若用 表示，则式（7－5）可写作
（7－6）
式（7－6）就是信号采样过程的数学描述。它表示在不同的采样时刻有一个脉冲，脉冲的幅值由该时刻的 的值决定。
第2章离散系统分析数学基础
1.信号的分类
图2.2 信号分类
Page 3
采样器、保持器和数字控制器的结构形式和控制规律 决定系统动态特性，是研究的主要对象。控制系统的稳态 控制精度由A/D、D/A转换器的分辨率决定。这说明A/D和 D/A转换器只影响系统稳态控制精度，不影响动态指标。 为了突出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。 为了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控制系 统时，常常假定A/D、D/A转换器的精度足够高，使得量化 误差可以忽略，于是A/D、D/A只存在物理上意义而无数学 上意义。
对照Z变换定义式，求Z变换得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
*
Page 26
1
2
k
例．单位阶跃信号
f (t ) 1 (t )
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
1 z 1 z 2 1 1 1 z z z 1
Za1 f1 (t ) a2 f2 (t ) a1F 1 ( z) a2 F 2 ( z)
2．延迟定理（右移定理） 设连续时间函数在 t ＜ 0 时， f(t)=0 ，且 f(t) 的 Z 变换为 F(z)，则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
Page 32
3．超前定理：注意零初始条件
f (kT )e kTs
k 0
f (0)e 0Ts f (T )e Ts f (2T )e 2Ts
Page
24
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉 氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数 不便于计算，故引一个新变量z=eTs， 并将F*(s) 记为F(z)则
图2.2 信号分类
Page 3
采样器、保持器和数字控制器的结构形式和控制规律 决定系统动态特性，是研究的主要对象。控制系统的稳态 控制精度由A/D、D/A转换器的分辨率决定。这说明A/D和 D/A转换器只影响系统稳态控制精度，不影响动态指标。 为了突出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。 为了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控制系 统时，常常假定A/D、D/A转换器的精度足够高，使得量化 误差可以忽略，于是A/D、D/A只存在物理上意义而无数学 上意义。
对照Z变换定义式，求Z变换得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
*
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1
2
k
例．单位阶跃信号
f (t ) 1 (t )
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
1 z 1 z 2 1 1 1 z z z 1
Za1 f1 (t ) a2 f2 (t ) a1F 1 ( z) a2 F 2 ( z)
2．延迟定理（右移定理） 设连续时间函数在 t ＜ 0 时， f(t)=0 ，且 f(t) 的 Z 变换为 F(z)，则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
Page 32
3．超前定理：注意零初始条件
f (kT )e kTs
k 0
f (0)e 0Ts f (T )e Ts f (2T )e 2Ts
Page
24
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉 氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数 不便于计算，故引一个新变量z=eTs， 并将F*(s) 记为F(z)则
离散系统分析
用时间多项式逼近两个采样时刻之间的信号
enT t a0 a1t apt p
当取多项式中的阶次p=0时称为零阶保持器，两 个采样时刻之间保持采样值不变
e nT t a0
a0 e(nT ) e(nT t) e(nT ) 0 t T
使采样信号变成阶梯信号
以 ght 表示零阶保持器，在幅值为１的理想脉冲 t
单位阶跃
e(t) 1(t) 理想脉冲序列
T (t) (t nT ) n0
Z[1(t)] z z 1
Z[T
(t)]
z
z 1
为何相同？
1
0.8
在每个采样点
0.6
处的值相同
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2. 部分分式法
【例4】 求下面传递函数的Z变换 E(s) a s(s a)
是二进制编码的数字信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出都是连续信号，所以
需要应用模/数转换器和数/模转换器。
（2）A/D转换器、D/A转换器 1） A/D转换 A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。 2）D/A转换 D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。
A/D转换 采样：每隔T秒对连续信号e(t)进行一次采样，得到离散信号e (t ); 量化：将离散信号量化后变成数字信号 e (t )。 D/A转换 解码：离散数字信号转换为离散模拟信号； 复现：经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
1
1.5 理想单位脉冲序列，其中 (t nT )是出现在时刻t nT时、
e* t e0 t eT t T e 2T t 2T 强度为1的单位脉冲。
enT t a0 a1t apt p
当取多项式中的阶次p=0时称为零阶保持器，两 个采样时刻之间保持采样值不变
e nT t a0
a0 e(nT ) e(nT t) e(nT ) 0 t T
使采样信号变成阶梯信号
以 ght 表示零阶保持器，在幅值为１的理想脉冲 t
单位阶跃
e(t) 1(t) 理想脉冲序列
T (t) (t nT ) n0
Z[1(t)] z z 1
Z[T
(t)]
z
z 1
为何相同？
1
0.8
在每个采样点
0.6
处的值相同
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2. 部分分式法
【例4】 求下面传递函数的Z变换 E(s) a s(s a)
是二进制编码的数字信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出都是连续信号，所以
需要应用模/数转换器和数/模转换器。
（2）A/D转换器、D/A转换器 1） A/D转换 A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。 2）D/A转换 D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。
A/D转换 采样：每隔T秒对连续信号e(t)进行一次采样，得到离散信号e (t ); 量化：将离散信号量化后变成数字信号 e (t )。 D/A转换 解码：离散数字信号转换为离散模拟信号； 复现：经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
1
1.5 理想单位脉冲序列，其中 (t nT )是出现在时刻t nT时、
e* t e0 t eT t T e 2T t 2T 强度为1的单位脉冲。
自动控制原理--离散系统
① 给出E*(s)与E(s)之间的联系；
② 一般写不成封闭形式；
③ 用于e*(t)的频谱分析。
6.2 信号采样与保持 E*(s)
1 T
E(s
n
jns )
例3 e(t) 1(t)，求 E*(s)
解 E*(s) 1
1
T n s jns
eTs eTs 1
例4 e(t ) eat，求 E*(s)
T (t) (t nT )
n0
e*(t) e(t) T (t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n0
n0
(2) L : E*(s) L e*(t)
L e(nT) (t nT) e(nT ) enTs
n0
n0
6.2 信号采样与保持6.来自 离散系统离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码
离散系统类型：
采样系统 数字系统
— —
时间离散，数值连续 时间离散，数值量化
计算机控制系统的优缺点
(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。
D/A: 用 ZOH 实现
Shannon定理
s
2
T
2h
或
T<
h
6.2 信号采样与保持
E * (s) e(nT ) e-nTs n0
① 给出E*(s)与e(t)在采样点上取值之间的关系； ② 一般可写成封闭形式；
③ 用于求e*(t)的z变换或系统的时间响应。
E*(s)
1 T
E(s
n
jns )
(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降；
《计算机控制技术》教学大纲
《计算机控制技术》课程标准（执笔人：韦庆审阅学院：机电工程与自动化学院）课程编号：0811305英文名称：Computer Control Techniques预修课程：计算机硬件技术基础B、自动控制原理B、现代控制理论学时安排：36学时，其中讲授32学时，实践4学时。
学分：2一、课程概述（一）课程性质地位本课程作为《自动控制理论》的后续课程，是控制科学与工程、机械工程及其自动化和仿真工程专业本科学员理解和掌握计算机控制系统设计的技术基础课。
（二）课程基本理念本课程作为一门理论与工程实践结合紧密的技术基础课，结合自动控制原理技术、微机接口技术，以学员掌握现代化武器装备为目的。
本课程既注重理论教学，也注重教学过程中的案例实践教学环节，使学员在掌握基本理论的基础上，通过了解相关实际系统组成，综合培养解决工程实际问题的能力。
（三）课程设计思路本课程主要包括计算机控制原理和计算机控制系统设计两大部分。
在学员理解掌握自动控制原理的基础上，计算机控制原理部分主要介绍了离散系统的数学分析基础、离散系统的稳定性分析、离散系统控制器的分析设计方法等内容；计算机控制系统设计部分结合实际的项目案例，重点介绍了计算机控制系统的组成、设计方法和步骤、计算机控制原理技术的应用等内容。
二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，学员应该了解计算机控制系统的组成，理解计算机控制系统所涉及的采样理论，掌握离散控制系统稳定性分析判断方法，掌握离散控制系统模拟化、数字化设计的理论及方法，掌握一定的解决工程实际问题的能力。
（二）过程与方法通过本课程的学习和实际系统的演示教学，学员应了解工程实际问题的解决方法、步骤和过程，增强积极参与我军高技术武器装备建设的信心。
（三）情感态度与价值观通过本课程的学习，学员应能够提高对计算机控制技术在高技术武器装备中应用的认同感，激发对自动化武器装备技术的求知欲，关注高技术武器装备技术的新发展，增强提高我军高技术武器水平的使命感和责任感。
《离散系统理论》课件
Hale Waihona Puke 状态方程0102
03
状态方程是描述离散时间动态系 统的一种方式，它包含了系统的 当前状态和未来状态之间的关系 。
状态方程通常表示为 x(n+1) = Ax(n) + Bu(n), 其中 x(n) 表示系 统在时刻 n 的状态向量，A 和 B 是系统的状态矩阵和控制矩阵， u(n) 是系统在时刻 n 的输入向 量。
对于能控性和能观性的判定，通常采用Gramian矩阵方法 ，通过计算系统的Gramian矩阵来判断系统的能控性和能 观性。
03
离散控制系统
离散控制系统的基本概念
离散控制系统
由离散输入信号和离散输出信号组成的控制系统，通 常由离散状态变量描述。
离散时间
离散控制系统中状态变量随时间变化的步长，通常以 时间间隔表示。
离散系统理论的最新研究进展
01
离散系统理论的数学基础研究
深入探讨离散系统的数学性质，包括离散函数的性质、离散微积分、离
散概率论等。
02
离散系统在计算机科学中的应用
研究离散系统在计算机科学中的实际应用，如离散算法设计、离散数据
结构、离散概率计算等。
03
离散系统在物理和工程领域的应用
探讨离散系统在物理、工程、生物等领域的应用，如离散物理模型、离
3
如果一个离散系统是稳定的，那么它的所有解都 是有界的，并且随着时间的推移，系统的状态会 逐渐收敛到平衡状态。
离散系统的能控性和能观性
能控性和能观性是离散系统理论中的两个重要概念，它们 决定了系统是否可以通过控制输入和观测输出实现特定的 控制目标。
能控性是指系统是否可以通过控制输入将状态从任意初始 状态转移到任意目标状态，能观性是指系统是否可以通过 观测输出准确地估计系统的初始状态。
离散控制系统PPT课件
[e(i) 2e(i
e(i 1)] 1) e(i
2)]
中心
e(t
e(t )
)
1 T2
1 [e(i 2T [e(i 1)
1) e(i 1)] 2e(i) e(i
1)]
例7-3 试将PID控制器离散化
u(t
)
K
p
e(t
)
1 Ti
展开式
或② 或③
n
n
y(k) ai y(k i) bi x(k i)
i 1
i 1
n
n
y(k) bi x(k i) ai y(k i)
i0
i0
级数和式 计算机算式
2、与脉冲传递函数的关系
对②两边Z变换：
Y (z)(1 a1z1 a2 z2 an zn ) X (z)(b0 b1z1 b2 z2 bn zn )
1 0.2s
1
解：代入 s 2 z 1
T z 1
G(z)
2
z
12
1 0.2
2
z
1
1
T z 1
u(k)
u(k
1)
K
p e(k)
e(k
1)
T Ti
e(k )
Td e(k) 2e(k 1) e(k 2)
T
或整理为
u(k) u(k 1) b0e(k) b1e(k 1) b2e(k 2)
b0
K
p
3 离散系统分析基础
k 0
由Z变换的定义得到
F z f kT z K f 0 f T z 1 f 2T z 2 f 3T z 3
k 0
由上式可以看出采样函数 f * t 的Z变换F z 与采样函数在采 样点的值有关，所以当知道F z 时，便可求得时间序列 f kT
(一)、部分分式法
部分分式法求取Z反变换的过程跟用部分分式法求取拉氏 反变换的过程十分相似。 设有
F z b0 z m b1 z m 1 bm a0 z Pi
i 1 n
展开成
F z z
Ai i 1 z P i
n
F z Ai z Pi z z pi
部分分式法常用的Z变换对如下表
F z
z z 1 1 za
z
f kT
1
ak 1
0 k≥1 k≤0
z za
a
2
k
z a
ka k 1
用部分分式法求Z反变换可以得到脉冲序列或数值序列的 数学解析式
(二)、长除法
将 F z 用长除法展开成Z的降幂级数，再根据Z变换的定 义，可以得到 f kT 的前若干项。 设
其中 n≥m
在初始静止条件下，也可以写成
y KT bi r KT iT ai y KT iT
i 0 i 1 m n
其Z变换形式 Y z bi R z z aiY z z i
i i 0 i 1
m
n
可以用Z变换求解差分方程，使得差分运算变成了代数运 算，大大简化了系统的分析和综合。
对差分方程进行Z变换，并代入初始条件 求得 y z 的表达式 做 y z 解的反变换
由Z变换的定义得到
F z f kT z K f 0 f T z 1 f 2T z 2 f 3T z 3
k 0
由上式可以看出采样函数 f * t 的Z变换F z 与采样函数在采 样点的值有关，所以当知道F z 时，便可求得时间序列 f kT
(一)、部分分式法
部分分式法求取Z反变换的过程跟用部分分式法求取拉氏 反变换的过程十分相似。 设有
F z b0 z m b1 z m 1 bm a0 z Pi
i 1 n
展开成
F z z
Ai i 1 z P i
n
F z Ai z Pi z z pi
部分分式法常用的Z变换对如下表
F z
z z 1 1 za
z
f kT
1
ak 1
0 k≥1 k≤0
z za
a
2
k
z a
ka k 1
用部分分式法求Z反变换可以得到脉冲序列或数值序列的 数学解析式
(二)、长除法
将 F z 用长除法展开成Z的降幂级数，再根据Z变换的定 义，可以得到 f kT 的前若干项。 设
其中 n≥m
在初始静止条件下，也可以写成
y KT bi r KT iT ai y KT iT
i 0 i 1 m n
其Z变换形式 Y z bi R z z aiY z z i
i i 0 i 1
m
n
可以用Z变换求解差分方程，使得差分运算变成了代数运 算，大大简化了系统的分析和综合。
对差分方程进行Z变换，并代入初始条件 求得 y z 的表达式 做 y z 解的反变换
计算机控制技术-10离散系统的数学分析基础
4,Z平面与s平面的映射 平面与s
Ts 已知Z变换中, 已知 变换中,令 e = z 变换中
平面中的点为: 如果s平面中的点为: s = σ + jω , 则z = eσT e jωT 即: | z |= eσT , ∠z = ωT
| 当σ = 0 ~ ∞(ωT任意 )时,z |= 1 ~ 0
结论: 的左半平面映射为 结论: s的左半平面映射为 平面中以原点为圆心的单位圆 的左半平面映射为z平面中以原点为圆心的单位圆 的内部. 平面的虚轴映射为 平面的单位圆. 平面的虚轴映射为z平面的单位圆 的内部.s平面的虚轴映射为 平面的单位圆.
(a) 连续时间信号 (b) 离散模拟信号(采样信号) (c) 连续时间量化信号 (d) 离散数字信号
f(t) f(t) f(t) f(t)
0
t
(a)
0
(b)
t
0
(c)
t
0
(d)
t
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
◆ 采样与保持
△ 采样:把时间上连续的信号转换成时间上离散的脉冲或 数字序列的过程. △ 保持:将离散的采样信号恢复到原连续信号的过程.
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
◆ 计算机控制系统的信号变换
△ 计算机获取和输出信息的过程.
连续模拟 离散模拟 离散数字 离散数字 离散模拟 连续模拟 连续模拟
采样器
A/D
CPU
D/A A/D
保持器 采样器
被控对象
离散数字
离散模拟
△ 采样器和A/D转换器的功能由输入通道完成;D/A转换器 和保持器的功能由输出通道的模拟输出部件来完成. △ 采样器,保持器和作为控制的计算机的结构形式和控制规 律决定着控制系统的稳态特性和动态特性. △ A/D和D/A只起信号的测量和转换作用,其分辨率在很大 程度上决定系统的稳态精度,但对系统的动态特性影响不大.
第2章 离散系统分析的数学基础
12
第2章 离散系统分析的数学基础
3. 保持器的数学描述
保持器实际上是一种时域外推装置，当离散信号输入时，
该装置能把输入脉冲在采样间隔时间内按某种规律保持到下 一个采样时刻，并由下一个采样时刻的采样值所取代，也就 是说现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。
通常采用如下多项式外推公式描述m阶保持器：
1
第2章 础
2.1 信号的采样与保持（复现）
2.2 Z变换理论
2
第2章 离散系统分析的数学基础
2.1 信号的采样与保持（复现）
一、采样过程
1. 采样过程：就是把连续信号变成离散信号的过程，简称 采样。简言之，就是将连续信号(系统)离散化的过程。 2. 采样开关(采样器)：采样过程由采样器来完成，将连
如果把一个理想单位脉冲 (t ) 作为零
g h (t )
1 0 T （a） t
阶保持器的输入，则其脉冲响应 g h (t ) 是
幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲。 其表达式可分解为两个单位阶跃函 数的和，即：
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器 的传递函数
取拉氏变换
1 T t -1 （b） 图2-9 零阶保持器的时域特性
5
第2章 离散系统分析的数学基础
4．采样过程的数学表示：
理想采样：采样开关闭合时间τ= 0；
T 2T
图2-2 理想采样过程
e* (t ) e(t ) T (t )
n
e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )
n
e(t ) 0(t 0)
中的最高角频率；
-3ωs -2ωs -ω -ωh 0 ωh ωs s
第二章-计算机控制系统的数学基础(1)
小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采用周 期的整数倍。
— 考虑对象所要求的控制质量，精度越高，采 样周期越短，以减小系统的纯滞后。
常见被控量的经验采样周期
被测参数 流量 压力 液位 温度
成分
采样周期 1—5 3—10 6—8
15—20
15—20
说明 优先选用1—2s 优先选用6—8s
优先选用7s
量化过程
所谓量化，就是采用 一组数码（如二进制 码）来逼近离散模拟 信号的幅值，将其转 换成数字信号。经量 化使采样信号成为数 字信号,该过程称为 量化过程。
f (t)
6 5
A4
A3
A5 A6
4
A2
3
A7 A8
2 A1
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
f *(t)
6 5
4 3
A
' 4
为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚 设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来 获得输出信号的采样信号。
y(nT)zn
G(z)
Y(z) R(z)
n0
r(nT )z n
n0
如果已知 R(z) 和 G(z) ，则在零初始条件下，线性 定常离散系统的输出采样信号为
y*(t) Z 1Y (z) Z 1G(z)R(z)
A3'
A5'
A
' 2
A
' 6
A
' 7
A8'
2
A1'
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
图3 量化过程
q t
t
采样定理
— 考虑对象所要求的控制质量，精度越高，采 样周期越短，以减小系统的纯滞后。
常见被控量的经验采样周期
被测参数 流量 压力 液位 温度
成分
采样周期 1—5 3—10 6—8
15—20
15—20
说明 优先选用1—2s 优先选用6—8s
优先选用7s
量化过程
所谓量化，就是采用 一组数码（如二进制 码）来逼近离散模拟 信号的幅值，将其转 换成数字信号。经量 化使采样信号成为数 字信号,该过程称为 量化过程。
f (t)
6 5
A4
A3
A5 A6
4
A2
3
A7 A8
2 A1
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
f *(t)
6 5
4 3
A
' 4
为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚 设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来 获得输出信号的采样信号。
y(nT)zn
G(z)
Y(z) R(z)
n0
r(nT )z n
n0
如果已知 R(z) 和 G(z) ，则在零初始条件下，线性 定常离散系统的输出采样信号为
y*(t) Z 1Y (z) Z 1G(z)R(z)
A3'
A5'
A
' 2
A
' 6
A
' 7
A8'
2
A1'
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
图3 量化过程
q t
t
采样定理
[工学]第9章 离散控制系统
![[工学]第9章 离散控制系统](https://img.taocdn.com/s3/m/1b2c4385dd3383c4bb4cd27f.png)
图示为理想的单位脉冲序列 T (t )
T (t )
-3 T -2T -T 0 T 2T 3T
t
k
(t kT )
t kT t kT
式中
0 (t kT ) 1
采样过程可以看作是理想单位脉冲δT(t)被输入信号e(t) 进行幅值调制的过程。 δT(t)为载波信号，e(t)为调制信号。采样开关的输出信号 e*(t)可表示为δT(t)和e(t)这两个函数的乘积。
1 H ( j ) 0
max max
则可无失真地将连续信号 的频谱提取出来，即使采 样信号恢复为连续信号。
保持器就是一种基于时域外推原理，把采样信号
转换为连续信号的元件。 “外推”指：保持器在t=KT时的输出信号，取决于过 去前一时刻t=(k-1)T时信号值的外推。 在采样系统中，最简单又应用最广泛的保持器是 零阶保持器
第十章 离散控制系统
第一节 概 述
如果控制系统中的所有信号都是时间t的连续函数， 则这样的系统称为连续时间系统。 如果控制系统中某一处或几处的信号是脉冲序列 或数字序列，则这一类系统称为离散系统。
离散控制系统包括采样控制系统和数字控制系统。
采样控制系统
是指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
Z [ x(t )] Z [ x* (t )] X ( z ) x(kT ) z k
k 0
x(0) z 0 x(T ) z 1 x(2T ) z 2
上式表明，采样函数的z变换是变量z-1的幂级数。 其一般项 x(kT)z-k的物理意义为：
x(kT)表示采样脉冲的幅值，
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列
计算机控制系统设计离散控制系统
c[( k
1)t]
t
e T c(kt)
t
K0e T
t
r (kt
t
t)eT d (
t
)
0
T
设在0 t 上t r(kt 相t)当于r(在k采t)样开关后 记了一个一阶保持器，则
t
t
c[(k 1)t ] e T c(kt ) K0 (1 e T )r (kt )
续2
有时为了强调是序列，而不是作为时间的变量
转换精度为 0.1%
孔径时间 tA/ D 10s
则允许转换的正弦波模拟信号的最大频
率为
f
2tA/ D
0.1/100
2 10 10 6
16 Hz
香农(Shannon)采样定理
2
S
max
其中 为信号所含的最高频率， 为采
样频率。max
S
工程上，一般取 S (5 10，)过max程惯量
续2
dU
可见，t 0时， d最t 大，孔径时间 定，这时 就U最大。
则有
U t
Um 2f
一 t A / D
取 t tA/，D 则得 时t转 换0 的不确定电压误
差为
U U m 2ft A/ D
相对误差为
U 100 /Um 2ft A/ D 100
结论
一个10位的A／D转换器，若要求:
化简
(z 2 3z 2)C(z) (z 2 3z)c(0) zc(1)
代入初始条件
(z 2 3z 2)C(z) z
所以
C(z)
z
z
E(z) e(kT) (4z-k28)1 z0 1 k 0
(2)单位阶跃信号
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t0
t
1(t T )
1(t T )
1 t 0
0
1
t0
T
t
H (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器的频谱
由于
H (t ) 1(t ) 1(t T )
1 e jwT H ( jw ) jw
1 e ST H (S ) S 频谱特性如下：
3、常用函数的Z变换与拉氏变换表： x (t ) X (s )
1 s
X (z )
z z 1
1(t )
1
1 s2 1 sa
a s( s a )
(t )
1
Tz ( z 1) 2 z z e aT
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT ) z za
k 0 k 0
z 1 Tz T ＝ 1 2 (1 z ） ( z 1) 2
例题2.3
s 已知F ( s) ，求它对应的z变换式F ( z ) s( s a)
z 注意 : F ( z ) z ( z a)
s 1 1 F ( s) s( s a) s s a
2将
f (t ) f (t ) (t kT ) 进行拉氏变换得
k
k
1 F ( s jk ) F ( s) s T k
3 进一步求得f (t)的付氏变换
＊
1 F ( j jk ) F ( j ) s T k
4 可知，f ＊ (t)的付氏变换使f (t)的付氏变换以s为周期的延拓。 5 f ＊ (t)的主辅频谱不产生混叠的条件是 s 2 max
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
◆ 计算机控制系统的信号变换
△ 计算机获取和输出信息的过程。
连续模拟 离散模拟 离散数字 离散数字 离散模拟 连续模拟 连续模拟
采样器
A/D
CPU
D/A
A/D
保持器 采样器
被控对象
离散数字
离散模拟
△ 采样器和A/D转换器的功能由输入通道完成；D/A转换器 和保持器的功能由输出通道的模拟输出部件来完成。 △ 采样器、保持器和作为控制的计算机的结构形式和控制规 律决定着控制系统的稳态特性和动态特性。 △ A/D和D/A只起信号的测量和转换作用，其分辨率在很大 程度上决定系统的稳态精度，但对系统的动态特性影响不大。
理想滤波器
2 奈奎斯特频率 3 假频频率
定义：0 = s - 1为假频 频率
-2s
-s
-s/2
0
s/2
s
定义N = s /2为奈奎斯特频率
|F＊(j)|
0
-s
0
1
s
2s
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
△ 假频现象及前置滤波
图中表示用1Hz的采样 频率图中的两个频率分别为 1/8和7/8的正玄信号时，他们 具有完全相同的采样值，仅 根据采样值无法区别它们， 若频率为7/8的信号为原信号， 则假频频率为1-7/8=1/8。
H ( jw )
T
ws
2ws
3ws
4ws
5ws
w
argH ( jw)
第二节 z 变换
连续控制系统 离散控制系统 时域法 频域法 时域法 频域法
方法
描述 手段
数学 工具
微分方程 传递函 差分方 脉冲传 数 程 递函数 拉氏变换 拉氏变 Z变换 Z变换 换
离散系统与连续系统比较
1、z变换的定义
对采样函数进行拉氏变换
第六章 离散系统的数学分析基础 由于计算机只能处理数字量，而被 控量一般为模拟量。因此，为了实现 计算机控制就必须要进行数字信号 模拟信号的转换。即 连续信号离散化：采样量化，A/D转 化 离散信号连续化：D/A转化，保持器
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
第一节 采样与保持
◆有关信号几个概念
(a) 连续时间信号 (b) 离散模拟信号（采样信号） (c) 连续时间量化信号
(d) 离散数字信号
f(t) f(t) f(t) f(t)
0
t
(a)
0
(b)
t
0
(c)
t
0
(d)
t
第二章 离散系统分析数学基础
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◆ 采样与保持
△ 采样：把时间上连续的信号转换成时间上离散的脉冲或 数字序列的过程。 △ 保持：将离散的采样信号恢复到原连续信号的过程。
j
s平面
Im
z平面
0
Re
1
2、Z变换性质： ⑴线性性质：Z[x1 (t ) x2 (t )] X 1 ( z ) X 2 ( z ) ⑵超前定理：Z [ x( t mT )] z m X ( z ) z m x( kT ) z k
k 0
m ⑶滞后定理： Z[ x( t mT )] z X ( z )
利用部分分式法求解
f (t ) 1(t ) e at
1 1 e aT z 1 z z e aT
Z (e at ) e akT z k (e aT z 1 ) k
k 0 k 0
Z [1(t )]
z z 1
z z z (1 e aT ) F ( z) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
二、延迟定理
若Z [ f (t )] F ( z )，则Z [ f (t nT )] z n F ( z )
一般采样函数的变量直接用k表示： f (k ) f (kT), 记为f k
F ( z )＝ f (kT) z
k 0 k
f (k ) z
k 0
k
f k z k
k 0
2、必须强调的几点
1、z变换是对f (t )的拉氏变换，对f (t )进行z变换是 指对f (t )进行z变换。对F ( z )的z变换是指对它的原 函数f (t )的f (t )作z变换。
对于具有有限频谱（ max ）的连续信号f(t)进行连 续采样，若采样频率满足 s 2 max ，则采样函数f ＊ (t) 能无失真地复现原来的连续信号f (t)。 △定理推导： 1 e jk t 1 将单位脉冲序列展开成付立叶级数得 (t kT ) T
s
k
2、F ( z )＝ f (k ) z k f (0) f (1) z 1 f (2) z 1
k 0
f (k )决定幅值，z k 决定时间，可见z变换和离散序列 之间有着明确的幅值和定时关系。
3、不能直接用z代替s，来求解z变换
2、必须强调的几点
4、F ( z ) 不唯一 f (t )
△ 用理想单位脉冲描述实际采 样过程的理论依据。
通常，脉冲的频谱很宽，而采 样对象的频带则很窄，在采样 对象的通频带内，实际脉冲和 脉冲的频谱几乎相同，即均 近似等于脉冲冲量。
1
c
b
a
0
1
2
3
4
5
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
3 采样定理
△采样周期T对采样信号的影响：
k 0
Z [1(t )] z
k 0
k
1 z z
1
2
1 z z 1 1 z z 1
3
例题2.2
求f(t)=t, 的z变换。t<0时，f(t)=0。
用定义求解
解：
F ( z ) f (kT) z k kTzk T ( z 1 2 z 2 3z 3 )
1
2
3 4
5
6
7
8
实际信号往往具有无限频谱，由于假频效应，高频成 分在离散域中有可能以低频成分出现。
在工程中，消除假频现象的方法是在采样前设置前置 滤波器对模拟信号进行滤波，使滤波器的输出信号不含有 高于s/2的分量。
信号恢复
通过一个滤波器，将离散的采样信号恢复到原 连续信号。
f (t ) (非周期 ) 采样
z
⑻时间反转： Z { x( n)} X ( z 1 )
⑼时移性质： Z { x( n n0 )} z n X ( z )
0
一、线性性质
对于任意常数a、b， 若Z [ f1 (t )] F1 ( z )，Z [ f 2 (t )] F2 ( z )
则：Z [af1 (t ) bf2 (t )] aF ( z ) bF2 ( z ) 1
f (t )
k k
f (k T) (t k T)
则
F ( s)＝ f (kT)e kTs
k 0
令e Ts＝z
F ( z )＝ f (kT) z k
k 0
F ( z )是f (t )的z变换，记作：F ( z )＝Z f (t )
唯一
z变换对应唯一的采样函数，但并不对应唯一的连续函数
g (t )
f (t )
但是f (t ) g (t )，即采样函数相等
T
2T
t
3、z变换的方法
直接利用定义（级数求和）
部分分式法 留数法
例题2.1
求1(t)的z变换
用定义求解
解：
1 (t ) (t kT)
对一个连续时间信号进行采样时， 1. 如果采样周期足够小，则经采样后原来连续信号的特征可 以完整地保留下来。 2. 如果采样周期太大，那么原信号的许多信息就可能丧失。 f(t) f＊ (t) T