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2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案

2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求 的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（ ）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（ ） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（ ）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（ ）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（ ） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ； （2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值． （2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =． （1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ． （1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间； （3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值； （2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误； 对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误； 对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时,63k a -≤-成立 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立 故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立； 设当n k =时,67k a <≤成立 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列 又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立 则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立； 设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值 即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析 （2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角 所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在； 若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变 【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析 【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析 （3）3个 【小问1详解】 因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】 由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点； 当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点； 当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解 【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =； 当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =； 当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =； 当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =； 综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立 所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+； （①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。

2023年北京市高考英语试卷(原卷版)

2023年北京市高考英语试卷(原卷版)

2023年北京市高考英语试卷第一部分知识运用（共两节，30分）第一节（共15分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

1．（15分）I was always timid（羞怯的）.Being new to the school made me even （1） ，so it was surprising I'd （2） to anyone around me.Now I was paying the price﹣to write a five﹣page essay on"Why I Should Not Talk in Class".That would takeall night!After I got home，though.I took my time petting the cat﹣postponing the pain.When I finally sat down to （3） ，I began with the reasons Ms Black would want to hear.Talking kept me and my neighbours from （4） .One paragraph down；nowwhat？I chewed on my pencil.Aha!What if talking were the first step towards life as acriminal？Without the education I was throwing away，I'd turn to theft and go to prison.WhenI got out，people would say，"She used to talk in class."The pages began （5） .But when mum got home from work，I was still （6） ，"Five pages!That's impossible!""Well，you'd better get back to work，" she said."and I want to read it when you're through."Soon after dinner，I handed the essay to mum.I half expected a（7） ﹣at least an"I hope you've learned your lesson". （8） ，mum laughed and laughed as she read.The next day，when Ms Black read the essay to the class，everyone laughed.I could （9） they weren't making fun of me：they laughed because I had the power to tell a funny story.My（10） still needed some nudging（激发），but I did learn I wasn't shy in print.（1） A.freer B.shyer C.calmer D.happier（2） A.nod B.point C.listen D.chat（3） A.weep B.rest C.write D.read（4） A.learning B.playing C.planning ughing（5） A.standing out B.flying by C.breaking up D.checking in（6） A.celebrating B.longing plaining D.warning（7） A.lecture B.reason C.reward D.solution（8） A.Therefore B.Moreover C.Meanwhile D.Instead（9） A.hope B.imagine C.tell D.predict（10） A.patience B.confidence C.tolerance D.independence第二节（共15分）阅读下列短文，根据短文内容填空。

2023年北京高考英语真题卷及答案

2023年北京高考英语真题卷及答案

2023北京高考真题英语第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

I was always timid(羞怯的). Being new to the school made me even ____1____ , so it was surprising I’d____2____ to anyone around me. Now I was paying the price﹣to write a five﹣page essay on “Why I Should Not Talk in Class”. That would take all night!After I got home, though. I took my time petting the cat﹣postponing the pain.When I finally sat down to ____3____, I began with the reasons Ms Black would want to hear.Talking kept me and my neighbours from ____4____. One paragraph down; now what? I chewed on my pencil. Aha! What if talking were the first step towards life as a criminal? Without the education I was throwing away, I’d turn to theft and go to prison. When I got out, people would say, “She used to talk in class.” The pages began ____5____.But when mum got home from work, I was still ____6____, “Five pages! That’s impossible!”“Well, you’d better get back to work,” she said. “and I want to read it when you’re through.”Soon after dinner, I handed the essay to mum. I half expected a____7____﹣at least an “I hope you’ve learned your lesson”. ____8____, mum laughed and laughed as she read.The next day, when Ms Black read the essay to the class, everyone laughed. I could ____9____ they weren’t making fun of me: they laughed because I had the power to tell a funny story. My____10____ still needed some nudging(激发), but I did learn I wasn’t shy in print.1. A. freer B. shyer C. calmer D. happier2. A. nod B. point C. listen D. chat3. A. weep B. rest C. write D. read4. A. learning B. playing C. planning D. laughing5. A. standing out B. flying by C. breaking up D. checking in6. A. celebrating B. longing C. complaining D. warning7. A. lecture B. reason C. reward D. solution8. A. Therefore B. Moreover C. Meanwhile D. Instead9. A. hope B. imagine C. tell D. predict10. A. patience B. confidence C. tolerance D. independence第二节(共15分)A阅读下面短文，根据短文内容填空。

2024年北京卷数学高考试卷(原卷+答案)

2024年北京卷数学高考试卷(原卷+答案)

1. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的第一部分（选择题共403．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京绝密★启用前卷）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

.分）一项．已知集合 M x x =−<<{|31}，N x x =−≤<{|14}，则M N ⋃=（）A. x x −≤<11}{ B. {x x >−3}C. x x −<<|34}{D.x x <4}2. {已知zi=−−1i ，则z =（）．A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 圆x y x y +−+=26022的圆心到直线x y −+=20的距离为（）A.B. 2C. 3D.4.在x4x 3(的展开式中，的系数为（）A.6 B.−6 C. 12 D. 5. 设−12a ，b 是向量，则“(a b a b +−=)·)0”是(“a b =−或a b =6. B. 必要不充分条件D. A. 充分不必要条件C. ”的（）．充要条件既不充分也不必要条件设函数ωω(()f x 1=−f x x =>sin 0).已知1()，f x 2)=1(，且x x −12的最小值为2π，则D. C. B. ω=（）234A. 17. 生物丰富度指数ln d =NS −1是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由 2.1提高到 3.15，则（）A. 32=N N 21 B. 23=N N 21C.N N =2123D.N N =218. 32如图，在四棱锥−P ABCD 中，底面是边长为4ABCD 的正方形，PA PB ==4，PC PD ==，该棱锥的高为（ B. A. ）.12C.D.9. 已知),(x y 11，),(x y 22是函数y =2x 的图象上两个不同的点，则（）A. < ++y y x x 22log 21212B. > ++y y x x 22log 21212C. +2log 212y y 12<+x x D. +2log 21210. y y 12>+x x 已知==+−≤≤≤≤2)(){(,|,12,01M x y y x t xx x t }是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值， S 是 M 表示的图形的面积，则（）A. S <d =3，1 B. S >d =3，1C.d =S <1D.d =，11. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分第二部分（非选择题共110S >1分）.抛物线y x 12. 的焦点坐标为________2=16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角为始边，它们终边关于原点对称.β均以Ox 若⎣⎦α⎡⎤∈63,π13. 的最大值为________cos ，则π⎢⎥β．若直线(y k x =−3)与双曲线4y 2−=1x 2只有一个公共点，则k 的一个取值为230mm ，则斗量器的高为65mm,325mm,325mm 状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为1014. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”________．是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为______mm ，升量器的高为________的．15. mm 设}{a n 与}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.{b n 记集合k k M k a b k ==∈|,N *结论：①}，给出下列4{个若}{a n 与}{b n 均②等差数列，则M 中最多有1个元素；若} {a n 与}③均为等比数列，则M 中最多有2{b n 个元素；若} {a n 为等差数列，}④为等比数列，则M 中最多有3{b n 个元素；若}{a n 为递增数列，}16. 其中正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程为递减数列，则M 中最多有1个元素{b n ..在ABC 中，内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，∠A 为钝角，a =7， =7sin 2cos B B （1）．求（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得∠A ；ABC 存在，求ABC 条件①的面积．：；条件②b =7：14cos B =；条件③13：=c A sin 17. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥−P ABCD 中，BC AD //，AB BC ==1，AD =3,点E 在AD 上，且（1）PE DE ==2⊥PE AD ，．若PE F 为线段中点，求证：PCD BF //平面．为（2）若PAB PAD AB ⊥平面，求平面与平面18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录PCD 夹角的余弦值．并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：（i 假设：一份保单保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望（ⅱE X )(；）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加的数学期望估计值与（i 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润）中19. E X )(估计值的大小．（结论不要求证明）已知椭圆E ：a b22(x y 22a b E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形+=>>10)，以椭圆.过点t t >0,)((且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和C (0,1)的直线AC 与椭圆E的另一个交点为（1）D ．求椭圆（2）若直线BD 的斜率为0，求t E 的方程及离心率；的值．的20. 设函数)f x x k x k =++≠ln 10)((()，直线l 是曲线 =y f x )(在点,（1）(t f (t ))(t >0)处的切线．当 k =−1时，求(（2）f x )的单调区间.求证：l 不经过点k =(0,0).1时，设点A t f t t >,0)(())(，(0,C f t ))(，O (0,0)，B 为l 与y 轴的交点，SACO 与SABO分别△（3）当表示ACO 与ABO 的面积．是否存在点 A 使得△△215S S ACO ABO =成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：<<1.09ln31.10，<<1.60ln51.61，21. <<1.94ln71.95）已知集合=∈∈∈∈+++{}{}{}{}){(,,,1,2,3,4,5,6,7,8,且:,,,M i j k w i j k w i j k w 为偶数}．给定数列128A a a a ，和序列T T T s Ω:,,12,,,1,2,,，其中T i j k w M t s )=∈=t t t t t ()(，对数列A 进行如下变换：将A 的第i j k w ,,,1111项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1T (A )；将1(A )的第i j k w ,,,2222项均加1，其余项不变，得到数列记作21(T T A )；……；以此类推，得到(21T T T A )s，简记为（1）Ω(A )．给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7)()(（2）Ω(A )(，写出)；是否存在序列Ω，使得Ω(A )为a a a a a a a a 2,6,4,2,8,2,4,412345678++++++++，若存在，写出一个符合条件（3）Ω；若不存在，请说明理由；若数列A 的各项均为正整数，且+++a a a a 1357为偶数，求证：“存在序列Ω，使得等”的充要条件为Ω(A )的各项都相“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．的1. 答案解析已知集合 M x x =−<<{|31}，N x x =−≤<{|14}，则M N ⋃=（）A. {x x −≤<11}B. {x x >−3}C. −<<{x x |34}D.【答案】C 【详解】{x x <4}由题意得−<<N 2. 故选：M ⋃={x x |34}.C.已知zi=−−1i ，则z =（）．A.−−1i B.−+1i C.−1i D. 【答案】C 【详解】+1i 由题意得i 1i 3. 故选：z =−−=−(1i ).C.圆 22x y x y +−+=260的圆心到直线x y −+=20的距离为（）A.B. 2C. 3D.x y x y +−+=【答案】D 【详解】由题意得26022，即x y −++=131022))((，则其圆心坐标为−(1,3)，则圆心到直线x y −+=20=故选：D.4. 在x 4x (的展开式中，3的系数为（）A.6B.−6 C. 12 D. 【答案】−12A【详解】x 4(的二项展开式为==−=r rr rrr +T xxr r C C 1,0,1,2,3,414424−4−(())(，令−= r243，解得r =2，故所求即为22)5. 设故选：C 16(−=4.A.a ，b 是向量，则“(a b a b +−=)·)0”是“(a b =−或a b =”的（）．B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【详解】A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】B 因为a b a b a b 22)()0+⋅−=−=(，可得a b 22=，即a b =，可知a b a b +⋅−=)()0(等价于a b =若，a b =或a b =−，可得a b =，即a b a b +⋅−=)()0 (，可知必要性成立；若a b a b +⋅−=)()0(，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()(a b ==1,0,0,1)，满足a b =，但a b ≠且a b ≠− 综上所述，，可知充分性不成立；“a b a b +⋅−=)()0”是(“a b ≠且a b ≠−故选：B.6. ”的必要不充分条件.设函数ωω(()f x f x x =>sin 0).已知1)=−1(，f x 2)=1(，且x x −12的最小值为2π，则D. C. B. ω=（）234x A. 1【答案】B 【详解】由题意可知：1为f x )(的最小值点，x 2为f x )(的最大值点，则T 22πminx x 12−==，即T =π，且ω>0，所以T故选：B.7. ω==22π.生物丰富度指数ln d =NS −1是河流水质的一个评价指标，其中总数.生物丰富度指数d S N ,分别表示河流中的生物种类数与生物个体越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为 N 2，生物丰富度指数由 2.1提高到3.15，则（）A. 32=N N 21 B. 23=N N 21C. N N =2123D. N N =21【详解】【答案】32D 由题意得N N S S ln ln ==2.1, 3.15−−1112，则=122.1ln 3.15ln N N ，即122ln 3ln =N N ，所以N N =218. 故选：32.D 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，，该PC PD ==.棱锥的高为（ B. A. ）.12C.D.【答案】D 【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设PA PB AB PC PD =====4,，分别取AB CD ,的中点E F ,，连接,,PE PF EF ，则⊥⊥PE AB EF AB ,，且 PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面 PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作 EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得： 2,4PE PF EF PE PF EF ===，则+=222，即PE PF ⊥，则⋅=⋅22PE PF PO EF 11，可得 ⋅EFPO ==PE PF ，当相对的棱长相等时，不妨设PA PC ==4，PB PD ==因为==+BD PB PD ，此时不能形成三角形PBD 9. 故选：，与题意不符，这样情况不存在.D.已知,)(x y 11，,y =2x )(x y 22是函数的图象上两个不同的点，则（）A. <++y y x x 22log 21212B. >++y y x x 22log 21212C. +2log 212y y 12<+x x D. +2log 212y y 12>+xxx x 12【答案】B 【详解】由题意不妨设<，因为函数022y =2x是增函数，所以<<x x 12，即对于选项AB 0<<y y 12，：可得++2>=222x x 212x x 12，即++2 2y y 12>>20x x 12，根据函数y x =log 2是增函数，所以>=+++y y x x 22log log 22221212对于选项D ，故B 正确，A x x 12错误；：例如x x ==0,112，则y y 12==1,2，可得+22322y y 12=∈(log log 0,1)，即 +2对于选项C log 1212，故D y y 12<=+x x 错误；：例如x x =−=−1,212，则y y ==24,1112，可得+282223==−∈−−y y 12(log log log 332,1)，即 +2故选：B.10. log 3212，故C y y 12>−=+x x 错误，已知==+−≤≤≤≤2)(){(,|,12,01M x y y x t xx x t }是平面直角坐标系中的点集.设d 是 M 中两点间距离的最大值，S 是 M 表示的图形的面积，则（）A. d =3， S <1 B. d =3，S >1C. d =S <1D.d =，x ∈[1,2【答案】C 【详解】S >1对任意给定]，则xx x x −=−≥102)(，且t ∈[0,1]，可知x x t x x x x x x ≤+−≤+−=222)(，即⎩再结合x x y x 2≤≤，的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域≤≤⎪≥≤x ⎪⎨y x 12⎧y x 2，如图阴影部分所示，其中()()(A B C 1,1,2,2,2,4)，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积△ABC 2y x 的焦点坐标为________2=故选：C.11. S S <=⨯⨯=1211.抛物线16．【答案】【详解】(4,0)由题意抛物线的标准方程为y x2=16，所以其焦点坐标为(4,0).故答案为：12. (4,0).在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以为始边，它们的终边关于原点对称.Ox 若⎣⎦⎢⎥α⎡⎤∈63,πcos β的最大值为________π，则．【答案】 −21##【详解】−0.5由题意βα=++∈,Z ππ2k k ，从而=++=−cos cos cos βαα(π2k π)，因为⎣⎦⎢⎥α⎡⎤∈63,ππ，所以cos α的取值范围是⎣⎦⎢⎡22,1，cos β的取值范围是⎣⎦−− ⎡⎤22⎢⎥1，当且仅当α=3π，即3π2k k β=+∈,Z 4π时，cos β取得最大值，且最大值为 −21.故答案为： −213. 1.若直线(y k x =−3)与双曲线 4y −=12x 2只有一个公共点，则k 的一个取值为________．【答案】21（或 −2【详解】1，答案不唯一）联立⎩⎨⎪4y −=12⎪y k x =−3⎧x 2)(，化简并整理得：−+−−=k x k x k2222)(14243640，由题意得140k −=2或2222)kk k )(()Δ=++−=(244364140，解得k =±21或无解，即 k =±2，经检验，符合题意1.故答案为：21（或−2230mm ，则斗量器的高为65mm,325mm,325mm 14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10，答案不唯一）1.的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为______mm ，升量器的高为________②. ①. ．mm 【答案】2357.5##2【详解】115设升量器的高为h 2h 1，斗量器的高为（单位都是mm ），则⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫h h ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪22ππ⎝⎭⎝⎭==1022⨯230 ⎪ ⎪ππ12 6532522h 232532522，故h 2=23mm ， 2mm h 1115=.故答案为： 223mm,mm 15. 115.设}{a n 与}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.{b n 记集合k k M k a b k ==∈|,N *①}，给出下列4{个结论：若}{a n 与②}均为等差数列，则M 中最多有1{b n 个元素；若} {a n 与}③均为等比数列，则M 中最多有2{b n 个元素；若}{a n 等差数列，}④为等比数列，则M 中最多有3{b n 个元素；若}{a n 为递增数列，} 其中正确结论的序号是______.【答案】①③④【详解】对于①为递减数列，则M 中最多有1个元素{b n .，因为n n },{{a b }均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故对于②中至多一个元素，故①正确M .，取n n n −1n −1a b ==−−2,2,()则a b n n ,{}{}均为等比数列，但当n n n 为偶数时，有22n −1对于③M 中有无穷多个元素，故②错误n −1a b ===−−)(，此时.，设n n(b AqAq q =≠≠±0,1)，n (a kn b k =+≠0)，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程Aq kn b 至少有4n=+个不同的正数解，若q q >≠0,1，则由y Aq n=和y kn b =+的散点图可得关于Aq kn b nn 的方程=+至多有两个不同的解，矛盾；若q q <≠±0,1，考虑关于n 的方程Aq kn b n=+奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq kn b n=+有偶数解，此方程即为 A q kn b n=+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Ak q ln 0>，为否则Ak q <ln 0，因 ==+y A q y kn b n,单调性相反，方程A q kn b n=+至多一个偶数解，当Aq kn b n=+有奇数解，此方程即为−=+A q kn b n，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时Ak q −>ln 0即 Ak q <ln 0否则Ak q ln 0>，因 =−=+y A q y kn b n,单调性相反，方程A q kn b n=+至多一个奇数解，因为Ak q >ln 0，Ak q <ln 0不可能同时成立，故对于④Aq kn b 不可能有4个不同的整数解，即M 中最多有3个元素，故③正确n =+.，因为}{a n 为递增数列，}16. 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：{b n 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，①③④.在ABC 中，内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，∠A 为钝角，a =7，=7（1）sin 2cos B B ．求（2）从条件①、条件②、条件③∠A ；这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 条件①的面积．：；条件②b =7：14cos B =；条件③13：=c A sin 【答案】（1注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） A =3（2）选择①无解；选择②和③△ABC 2π；面积均为 4【解析】【小问1.详解】由题意得 =B B b B 72sin cos cos ，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则=2sin B，则===BA A b a sin sin sin 7，解得 2sin A =，因为A 为钝角，则A =3选择【小问22π.详解】①b =7，则B sin 7===A =32π，则B 为锐角，则B π=3，此时选择A B +=π，不合题意，舍弃；②14cos B =13，因为B为三角形内角，则14B sin ==，则代入=72sin B得b 1472⨯=，解得b =3， ⎪=+=+=+333⎛⎫C A B B B B ⎝⎭sin sin sin sin cos cos sin 2π2π2π)(⎝⎭ ⎪ =+−⨯=⎛⎫21421414131,则ABCSab C ==⨯⨯⨯=22144sin 73选择11.③=c A sinc ⨯=2c =5，则由正弦定理得=sin sin a c A C=sin C 5，解得 14sin C =，因为C为三角形内角，则C 14cos ==11，则 ⎪=+=+=+333⎛⎫B AC C C C ⎝⎭sin sin sin sin cos cos sin 2π 2π2π)(⎝⎭ ⎪ =+−⨯=⎛⎫21421414111，则 △S ac B ==⨯⨯⨯=ABC 22144sin 7517. 11如图，在四棱锥−P ABCD 中，//BC AD ，AB BC ==1，E AD =3,点在AD 上，且PE DE ==2PE AD ⊥，．（1）若F 为线段PE 中点，求证：（2）PCD BF //平面．若AB ⊥平面 PAD ，求平面PAB 与平面（2【答案】（1）PCD 夹角的余弦值．证明见解析）30【解析】【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则 ==2SF ED SF ED //,11，而 =ED BC ED BC //,2，故=//,SF BC SF BC ，故四边形SFBC 为平行四边形，故BF SC //，而BF ⊄平面 PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以BF //平面【小问2PCD .详解】因为ED =2，故AE =1，故//,=AE BC AE BC ，故四边形 AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而PE ED ⊂,平面PAD ，故⊥⊥,PE ED CE PE CE ED ，而⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A B C D P () )()−−)((则PA PB PC PD (0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2)，()()()(0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,=−−=−−=−=− )设平面PAB 的法向量为(,,m x y z=)，则由m PA ⋅=0m PB ⋅=0⎩⎪⎨⎪⎧可得⎩⎨x y z −−=y z 20⎧−−=20，取m =−(0,2,1)，设平面PCD 的法向量为n a b c =(,,)，则由n PC ⋅=0n PD ⋅=0⎩⎪⎨⎪⎩b c ⎧可得−=⎨220⎧a b −=20，取n =(2,1,1)，1故cos ,m n −==−⨯ 530，故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为3018. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：（i 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望（ⅱE X )(；）如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加的数学期望估计值与（i 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润）中【答案】（1E X )(估计值的大小．（结论不要求证明））10（2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i 1）中【解析】【小问1E X )(估计值详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得++++ ++80010060301010（ⅰ【小问2P A )6030101==(.详解】）设0,0.8,1.6,2.4,3ξξ为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得10005100010P P ξξ0,0.880041001) ()(======，ξ100050P ( 1.6)===603， ξ1000100P ( 2.4)===303，ξ1000100P (3)===101，故 51050100100E (ξ)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4133100.8 1.6 2.430.278故（ⅱ（万元）E X )=−=0.40.2780.122(.）由题设保费的变化为 ⨯⨯+⨯⨯=550.496%0.4 1.20.4032 41，故E Y =+−=0.1220.40320.40.1252()（万元），从而()<(19. E X E Y ).已知椭圆E ：a b a b+=>>1022E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形)x y 22(，以椭圆.过点t t >0,)((且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A B ,，过点A 和C (0,1)的直线AC 与椭圆E的另一个交点为（1）D ．求椭圆【答案】（1（2）若直线BD 的斜率为0，求t E 的方程及离心率；的值．）+==4221,e （2x y 22）【解析】【小问1t =2详解】由题意b c ===，从而 a ==2，所以椭圆方程为42+=1x y 22，离心率为e =2【小问2；详解】直线AB AB 斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设AB y kx t k t =+≠>:,0,(，,,,1122)((A x y B x y )，联立⎩=+⎪⎪y kx t ⎨42+=1⎧x y 22，化简并整理得+++−=k x ktx t 222)(124240，由题意k t k t k t1682128420Δ=−+−=+−>222222)()()(，即k t ,应满足420kt 22+−>，所以++−−k k x x x x +==1221, 424221212kt t 2，若直线斜率为0BD ，由椭圆的对称性可设 D x y 22)(−,，所以+x x −AD y x x y 12:=−+11y y 12)(，在直线AD 方程中令x =0，得+x x x x x x kt ty t +++−x y x y 42121212122112211212k t 2−(x kx t x kx t kx x t x x )42)()2()C ====+==1(+++++，所以t =2，此时k 应满足⎩⎨k ≠k t k +−=−>0⎧42420222，即k应满足k <−2或k >2，综上所述，t =2满足题意，此时k <2或 k >220. .设函数f x x k x k =++≠ln 10)(()()，直线l 是曲线 =y f x )(在点, （1）(t f (t ))(t >0)处的切线．当k =−1时，求（2）的单调区间f x )(.求证：l 不经过点k =1(0,0).时，设点A t f t t ,0)(())(>，C f t 0,O (0,0)(())，，B 为l 与Sy 轴的交点，ACO 与SABO分别△（3）当表示ACO 与ABO 的面积．是否存在点 A 使得△△215S S ACO ABO =成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据： 1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<， 【答案】（1）1.94ln71.95<<）单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为（3）+∞(0,).2（2）证明见解析【解析】【小问1详解】=−+=−=>− 'f x x x f x x 11++xx x()ln(1),()1(1)1，当('x ∈−1,0)时，(f x )<0；当(0,x ∈+∞)，fx∴f x ()；在(1,0)−上单调递减，在(0,)上单调递增+∞.则f x ()的单调递减区间为(1,0)−，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】'1+k x f x ()1=+，切线l 的斜率为 1+k t1+，则切线方程为⎝⎭⎪ −=+−>1+⎛⎫k t y f t x t t ()1()(0)，将(0,0)代入则⎝⎭⎝⎭−=−+=+ f t t f t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪11k k t t ()1,()1++，即t k t t t+++=+t k 1ln(1)，则t 1+t t ln(1)+=， +−=t 1+tt ln(1)0，令F t t =+−1+tt()ln(1)，假设l 过(0,0)，则F t ()在存在零点t ∈+∞(0,).'=−=>t t t 1(1)(1)+++11+−t t t 22∴F t ()F t ()0，在(0,)+∞上单调递增，∴F t F t F ()(0)0>=，()在+∞(0,)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过k =【小问3(0,0).详解】1时，' 11++x +x x()ln(1),()10f x x x f x =++=+=>12.Stf t ACO=2()1，设l 与y 轴交点B 为qt >(0,)，0时，若q <0，则此时l 与 由（2必有交点，与切线定义矛盾f x ().）知.q ≠0所以q >0，则切线l 的方程为⎝ 1+t y t t ⎛⎫−−+=+⎭1(x t )ln 1) ⎪1−(，令x =0，则 ===+−t +t 1215SS y q y t ln(1).ACOABO =，则⎣⎦tf t t t ⎡⎤⎢⎥t +t 12()15ln(1)=+−，t t 1+t t13ln(1)2150∴+−−=，记1+=+−−>h t t t t t ∴()13ln(1)2(0)15t，满足条件的A 有几个即h t ()有几个零点.'++++++−++−t t t t t t t t t 1(1)(1)(1)(1)h t ()2=−−===1315294(21)(4)13132211522222+−−+−2t t t )(，当⎝⎭⎪t ⎛⎫∈20,1时， '(h t )<0，此时(h t )单调递减；当⎝⎭⎪t ⎛⎫∈2,4 1时，'h t )>0(，此时h t )(单调递增；当(4, 't ∈+∞)时，(h t )<0，此时(h t )单调递减；因为⎝⎭⎪ ⎛⎫2(0)0,0,(4)13ln 52013 1.6200.80h h h ==−⨯−=>1， =−−=−−<⨯−−=−<⨯2555h (24)13ln 254826ln 54826 1.614820.54015247272，所以由零点存在性定理及h t ()的单调性，h t ()在⎝⎭⎪⎛⎫2 ,41上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h t ()有两个零点，即满足215S S =ACO ABO 的21. 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题A 有两个.【点睛】.已知集合=∈∈∈∈+++{}{}{}{}){(,,,1,2,3,4,5,6,7,8,且:,,,M i j k w i j k w i j k w 为偶数}．给定数列128A a a a ，和序列T T T s Ω:,,12,,,1,2,,，其中T i j k w M t s )=∈=t t t t t ()(，对数列A 进行如下变换：将A 的第i j k w ,,,1111项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1(A )；将T 1(A )的第i j k w ,,,2222项均加1，其余项不变，得到数列记作21((21T T A )；……；以此类推，得到T T T A )s，简记为（1）Ω(A )．给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列)()((（2）Ω(A Ω:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7)，写出)；是否存在序列Ω，使得Ω(A )为a a a a a a a a 2,6,4,2,8,2,4,412345678++++++++，若存在，写出一个符合条件的（3）Ω；若不存在，请说明理由；若数列A 的各项均为正整数，且+++1357a a a a 为偶数，求证：“存在序列Ω，使得 等”的充要条件为Ω(A )的各项都相“ +=+=+=+12345678【答案】（1a a a a a a a a ”．）（2）Ω(A ):3,4,4,5,8,4,3,10不存在符合条件的（3）证明见解析【解析】【小问1Ω，理由见解析详解】因为数列A :1,3,2,4,6,3,1,9，由序列 T 1(1,3,5,7)可得1T A ):2,3,3,4,7,3,2,9(；由序列T 2 (2,4,6,8)可得21(T T A ):2,4,3,5,7,4,2,10；由序列 T 3(1,3,5,7)可得321T T T A ):3,4,4,5,8,4,3,10(；所以【小问2详解】Ω(A ):3,4,4,5,8,4,3,10.解法一：假设存在符合条件的Ω，可知Ω(A )的第1,2项之和为a a s 12++，第3,4项之和为a a s 34++，则⎩+++=++⎪+++=++3434)42⎪1212)(⎨(a a a a s)26)(⎧(a a a a s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4Ω；，假设存在符合条件的Ω，且 ⋅⋅⋅):,,,128Ω(A b b b ，因为+++++++4共有8=826428244，即序列Ω项，由题意可知：−−n n n n b b a a n 8,1,2,3,4212212+−+== ) )((，检验可知：当n =2,3时，上式不成立，即假设不成立，所以不存在符合条件的s ...【小问3详解】Ω.解法一：我们设序列21(T T T A )为s n ,}(≤≤0,{a n 18)，特别规定nn (T T T 必要性：aa n =≤≤18).若存在序列sΩ:,,12，使得Ω(A )的各项都相等.则=======s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8 a a a a a a a a ，所以+=+=+=+s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8a a a a a a a a .根据s ...21( T T T A )的定义，显然有−−−−s j s j s j s j ,21,21,211,2j =a a a a +=++1，这里1,2,3,4，s =1,2,....所以不断使用该式就得到+=+=+=+=+−s s 12345678,1,2a a a a a a a a a a s ，必要性得证.充分性：若+=+=+=+12345678a a a a a a a a .由已知，+++1357a a a a 为偶数，而+=+=+=+12345678a a a a a a a a ，所以+++=+−+++2468121357)(4(a a a a a a a a a a )也是偶数.我们设s ...21T T T A )(是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列Ω(A )中，使得−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小的一个.上面已经说明−−−−s j s j s j s j a a a a +=++1,21,21,211,2，这里j =1,2,3,4，s =1,2,....从而由+=+=+=+12345678 a a a a a a a a 可得+=+=+=+=++s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,812a a a a a a a a a a s .同时，由于+++i j k w t t t t 总是偶数，所以+++t t t t ,1,3,5,7a a a a 和+++t t t t ,2,4,6,8a a a a 的奇偶性保持不变，从而+++s s s sa a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得−a a s j s j −≥2,21,2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，−a a s j s j −≥2,21,2，即s s 情况1a a ,1,2−≥2.：若s s s s s s ,3,4,5,6,7,8a a a a a a −+−+−=0，则由+++s s s s a a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，知s s a a ,1,2−≥4.对该数列连续作四次变换)()()((2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7)后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 4,14,24,34,44,54,64,74,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8减少4，这与情况2−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；：若s s s s s s ,3,4,5,6,7,8a a a a a a −+−+−>0，不妨设s s 情况2-1a a ,3,4−>0：如果s s a a ,3,4−≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7,2,4,6,8)()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8情况2-2的最小性矛盾；：如果s s a a ,4,3−≥1，则对该数列连续作两次变换)((2,3,5,8,2,3,6,7)后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有−,21,2a a s j s j −≤1.假设存在j =1,2,3,4使得−,21,2.a a s j s j −=1，则−+,21,2a a s j s j 是奇数，所以+=+=+=+s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8N a a a a a a a a 都是奇数，设为+21.则此时对任意j =1,2,3,4，由−a a s j s j −≤1,21,2可知必有−s j s j{}=+,21,2{a a N N ,,1}.而+++s s s s a a a a ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，故集合s m =,{m a N }中的四个元素i j k w ,,,之和为偶数，对该数列进行一次变换,,,(i j k w )，则该数列成为常数列，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 1,11,21,31,41,51,61,71,8等于零，比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8更小，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小性矛盾.的综上，只可能−s j s j ,21,2(a a j −==01,2,3,4)，而+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，故s n ,}=Ω(是常数列，充分性得证{a A ).解法二：由题意可知：Ω中序列的顺序不影响Ω(A )的结果，且,,,,,,,12345678)()()(（ⅰ(a a a a a a a a )相对于序列也是无序的，）若+=+=+=+12345678a a a a a a a a ，不妨设≤≤≤a a a a 1357，则≥≥≥a a a a 2468①，当===a a a a 1357，则===8642a a a a ，分别执行a 1个序列(2,4,6,8)、a 2个序列(1,3,5,7)，可得++++++++,,,,,,,1212121212121212②a a a a a a a a a a a a a a a a ，为常数列，符合题意；当a a a a ,,,1357中有且仅有三个数相等，不妨设==a a a 135，则==246a a a ，即,,,,,,,12121278a a a a a a a a ，分别执行a 2个序列a (1,3,5,7)、7个序列(2,4,6,8)可得++++++++,,,,,,,1227122712272778a a a a a a a a a a a a a a a a ，即++++++++,,,,,,,1227122712272712a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++1357a a a a 为偶数，即3a a 17+为偶数，可知,a a 17的奇偶性相同，则−2aa71∈N *，分别执行−a a 271个序列(1,4,5,8)(2,3,5,8)(1,3,6,8)(1,3,5,7)，，，，可得+−+−+−+−+−+−+−+−a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 22222222,,,,,,,③，323232323232323272172172172172172172172为常数列，符合题意；若=<=1357a a a a ，则=>=2468a a a a ，即,,,,,,,12125656a a a a a a a a ，分别执行a 5个(1,3,6,8)、a 1个(2,4,5,7)，可得++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,1512151215561556，因为+=+a a a a 1256，可得++++++++a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,1512151215121512④即转为①，，可知符合题意；当a a a a ,,,1357中有且仅有两个数相等，不妨设a a =13，则a a =24，即,,,,,,,12125678a a a a a a a a ，分别执行a 1个(2,4,5,7)、a 5个(1,3,6,8)，可得++++++++,,,,,,,1512151215561758a a a a a a a a a a a a a a a a ，且+=+a a a a 1256，可得++++++++,,,,,,,1512151215121758a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++=++21357157a a a a a a a 为偶数，可知,a a 57的奇偶性相同，则+++++++=++15151517157)43)()()((a a a a a a a a a a a 为偶数，且+=+=+<+15151517⑤a a a a a a a a ，即转②，可知符合题意；若<<<1357a a a a ，则>>>a a a a 2468，即,,,,,,,12345678a a a a a a a a ，分别执行a 1个(2,3,5,8)、a 3个(1,4,6,7)，可得++++++++,,,,,,,1312133415363718a a a a a a a a a a a a a a a a ，且+=+1234a a a a ，可得++++++++,,,,,,,1312131215363718a a a a a a a a a a a a a a a a ，因为+++1357a a a a 为偶数，则+++++++=+++++13131537131357)()2()()()((a a a a a a a a a a a a a a )为偶数，且+=+<+<+13131537a a a a a a a a ，即转为④，可知符合题意；综上所述：若+=+=+=+12345678Ωa a a a a a a a ，则存在序列，使得 （ⅱΩ(A )为常数列；）若存在序列Ω，使得Ω(A )为常数列，为因为对任意⋅⋅⋅):,,,128Ω(A b b b ，均有+−+=+−+12123434)()()((b b a a b b a a )56567878)=+−+=+−+)( )()((b b a a b b a a 成立，若Ω(A )为常数列，则+=+=+=+b b b b b b b b 12345678，所以+=+=+=+12345678综上所述：“a a a a a a a a ；存在序列Ω，使得Ω(A )为常数列”的充要条件为“+=+=+=+a a a a a a a a 12345678”.。

2024年北京市高考数学真题试卷及答案

2024年北京市高考数学真题试卷及答案

绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i - C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C.D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A .1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<【答案】A 【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A.2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i -B.i- C.1i-- D.1【答案】C 【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.【答案】C 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+==，故选：C.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-【答案】B 【解析】【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T xxr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：B.5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.7.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.12.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.12.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知PO ⊥平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S <D.d =，1S >【答案】C 【解析】【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定[]1,2x ∈，则()210x x x x -=-≥，且[]0,1t ∈，可知()222x x t x x x x x x ≤+-≤+-=，即2x y x ≤≤，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，如图阴影部分所示，其中()()()1,1,2,2,2,4A B C，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯=△.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．【答案】()4,0【解析】【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是13,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．【答案】12±【解析】【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立3x =与2214x y -=，解得52y =±，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．【答案】115mm,23mm 2【解析】【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为1h ，第二个圆柱的高为2h ，则2222212325325ππ230221065325ππ22h h h ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故223mm h =，1115mm 2h =，故答案为：115mm,23mm 2.15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.【答案】①③④【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确.对于②，取()112,2,n n n n a b --==--则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b --===--，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1n n b Aq Aq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,n y A q y kn b ==+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为n A q kn b -=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q ->即ln 0Ak q <否则ln 0Ak q >，因,n y A q y kn b =-=+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为{}n a 为单调递增，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为1534.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到53sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得2sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.【小问2详解】选择①7b =，则sin 714142B b ==⨯=，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入32sin 7B b =得3332147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯⨯= .选择③sin c A =2c ⨯=，解得5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin 32C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=- 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由00m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c = ，则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==- ，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3018.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．【答案】（1）110（2）(i)0.122万元(ii)0.1252万元【解析】【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求()E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求()E Y .【小问1详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得()603010180010060301010P A ++==++++.【小问2详解】（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======，603( 1.6)100050P ξ===，303( 2.4)1000100P ξ===，101(3)1000100P ξ===，故()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=，故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元）19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b +=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】（1）2221,422 x y e+==（2）2t=【解析】【分析】（1）由题意得b c==，进一步得a，由此即可得解；（2）说明直线AB斜率存在，设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，而()121112:y yAD y x x yx x-=-++，令x=，即可得解.【小问1详解】由题意b c===，从而2a==，所以椭圆方程为22142x y+=，离心率为22e=；【小问2详解】显然直线AB斜率存在，否则,B D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立22142x yy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t+++-=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t=-+-=+->，即,k t应满足22420k t+->，所以2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y-，所以()121112:y y AD y x x y x x -=-++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t -++++++====+==+++-，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩，即k 应满足22k <-或22k >，综上所述，2t =满足题意，此时22k <-或22k >.20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）【答案】（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入1k =-，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t =+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S = 得到13ln(1)21501t t t t +--=+，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+研究其零点即可.【小问1详解】1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x '=-+=-=>-++，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∞∈+，()0f x '>；()f x ∴在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】()11k f x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即ln(1)1k t k t t t t ++=++，则ln(1)1t t t +=+，ln(1)01t t t +-=+，令()ln(1)1t F t t t=+-+，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t +-'=-=>+++，()F t ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F t F >=，()F t ∴在(0,)+∞无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).【小问3详解】1k =时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x+'=++=+=>++.1()2ACO S tf t = ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q ≠.所以0q >，则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭，令0x =，则ln(1)1t y q y t t ===+-+.215ACO ABO S S = ，则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，13ln(1)21501t t t t ∴+--=+，记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t =+-->+，∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t +-++-+--+-=--===+++++'，当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，此时()h t 单调递增；当()4,t ∞∈+时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h ⎛⎫==-⨯-=> ⎪⎝⎭，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h ⨯=--=--<⨯--=-<，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】（1）():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω（2）不存在符合条件的Ω，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接按照()A Ω的定义写出()A Ω即可；（2）利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；（3）分充分性和必要性两方面论证.【小问1详解】由题意得():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω；【小问2详解】假设存在符合条件的Ω，可知()A Ω的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a s a a a a s ⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；【小问3详解】我们设序列()21...k T T T A 为{}(),18k na n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤.必要性：若存在序列12:,,...,s ωωωΩ，使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.根据()21...k T T T A 的定义，显然有,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.所以不断使用该式就得到，12345678a a a a a a a a +=+=+=+，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.同时，由于k k k k i j s t +++总是偶数，所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,2,4,6,8k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2-1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤.假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j s t ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),s na A =Ω是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

2024年北京市高考数学试卷

2024年北京市高考数学试卷

2024年北京市高考数学试卷A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+iA．B．2C．3D．3（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：C解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．z i（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2A．1B．2C．D．A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ===．故选：D．√31212PE •PF EF 2×2√34√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：BA．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x 12x 2√2+x 1x 2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S △ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，]，，-]，故当α=，β=2kπ+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π6π312√32212π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x24y2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k2）x2+24k2x-36k2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k2=0，或Δ=（24k2）2+4（1-4k2）（36k2+4）=0，解得k=±或k无解，{-=1y=k（x-3）x24y2x24y212当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（）32522110（）32522110（）32522（）6522（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n （2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，714a sinAb sinB22π32π31314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√3即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．2π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，1212则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足，解得k＞或k＜-，综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜kx 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t +=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 2√22√2222（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x S △ACO 1211+tt t +1A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．t t +1t 1+t15t 1+t 131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：CA．B．2C．3D．3A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i ，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．zi（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12A．1B．2C．D．答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，√3A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+A．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ==．故选：D．1212PE •PF EF 4√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：B解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x12x2√2+x 1x2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S△ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y 2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为 ．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，，-]，π6π3122212故当α=，β=2k π+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x 24y 2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k 2）x 2+24k 2x-36k 2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k 2=0，或Δ=（24k 2）2+4（1-4k 2）（36k 2+4）=0，解得k=±或k无解，当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．{-=1y =k （x -3）x 24y 2x 24y 212121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,（）32522110（）32522110（）32522（）6522解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B =bcosB ．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．√37131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，714a sinAb sinB22π32π3此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．1314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√32π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，1212所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜-或k ＞}．x 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t+=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 222√22√22（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．S △ACO 1211+tt t +1t t +1t 1+t15t 1+t131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={（i,j,k,w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a 1，a 2，…，a 8和序列Ω：T 1，T 2，…，T s ，其中T t =（i t ，j t ，k t ，w t ）∈M（t=1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i 1，j 1，k 1，w 1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1（A）；将T 1（A）的第i 2，j 2，k 2，w 2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 2T 1（A）；……；以此类推，得到数列T s ⋯T 2T 1（A），简记为Ω（A）．（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a 1+2，a 2+6，a 3+4，a 4+2，a 5+8，a 6+2，a 7+4，a 8+4？若存在，写出一个Ω，若不存在，请说明理由；。

北京2024年高考语文试卷

北京2024年高考语文试卷

选择题下列对古代文学常识的表述，正确的一项是：A. “乐府”是汉代设立的音乐机构，负责采集民间歌谣和创作乐章。

B. “古文运动”是唐代发起的一场文学革新运动，主张恢复秦汉时期的散文传统。

（正确答案）C. “元曲四大家”指的是关汉卿、马致远、白朴、郑光祖四位元代杂剧作家以外的曲作家。

D. “明清小说”中，《红楼梦》与《西游记》《水浒传》《儒林外史》并称为“四大名著”。

下列诗句中，使用修辞手法不同于其他三项的是：A. 不知细叶谁裁出，二月春风似剪刀。

（正确答案）B. 明月几时有？把酒问青天。

C. 羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。

D. 醉卧沙场君莫笑，古来征战几人回？下列关于古代诗词格律的说法，错误的一项是：A. 古诗中的“平仄”是指声调的平仄，平声字音调平缓，仄声字音调曲折。

B. “绝句”是近体诗的一种，每首诗四句，五言绝句每句五个字，七言绝句每句七个字。

C. “律诗”要求每句的尾字押韵，且二四六八句的平仄必须相间。

（正确答案）D. “词”是一种配乐歌唱的诗体，有固定的词牌名，不同词牌名规定了不同的字数、句数和平仄。

下列对现代文学作品及其作者的描述，不正确的一项是：A. 鲁迅的《呐喊》收录了《狂人日记》《阿Q正传》等作品，反映了旧社会的种种弊病。

B. 巴金的《家》以成都为背景，描写了封建大家庭的衰败和新一代青年的觉醒。

C. 曹禺的《雷雨》是一部话剧，通过周、鲁两个家庭的恩怨情仇，揭示了封建社会的罪恶。

D. 老舍的《骆驼祥子》以北平为背景，讲述了人力车夫祥子的悲惨遭遇，但最终他通过努力实现了梦想。

（正确答案）下列对古代诗词中意象的理解，正确的一项是：A. “柳”在古代诗词中常用来表达离别之情，因为“柳”与“留”谐音。

（正确答案）B. “菊”在古代诗词中常用来象征高洁的品质，但也常用来表达悲伤的情绪。

C. “月”在古代诗词中总是用来表达思乡之情，没有其他寓意。

D. “雁”在古代诗词中常用来象征吉祥，是吉祥的预兆。

2024年北京高考英语试卷(附答案)

2024年北京高考英语试卷(附答案)

2024年北京高考英语试卷（附答案）英语第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共10小题;每小题 1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

I’d just arrived at school,ready for another school day.I was reading a book in the classroom when there was an___1___.“Today at1:10there will be auditions(面试)for a musical.”My friends all jumped up in excitement and asked me,“Will you be going,Amy?”“Sure,”I said.I had no___2___in drama,but I’d try out because my friends were doing it.At1:10,there was a___3___outside the drama room.Everyone looked energetic.I hadn’t expected I’d be standing there that morning.But now that I was doing it,I___4___felt nervous.What if I wasn’t any good?I entered the room and the teachers made me say some lines from the musical.They then___5___my singing skills and asked what role I wanted to play.The teachers were smiling and praising me.I felt like I had a___6___, so I said,“A big role.”They said they’d look into it.I started getting really nervous.What if I didn’t get a main role?Soon,the cast list was___7___.My friends checked and came back shouting,“Amy,you got the main role!”Sure enough,my name was at the top.I just stared at it and started to___8___.I was so happy.After two months we were all prepared and ready to go on stage.It was fun.And when people started___9___, that gave me a boost of confidence.It stayed with me and made me feel___10___.I realised that by trying something new,I can have fun—even if it means stepping out of my comfort zone.1.A.assignment B.initiative C.announcement D.interview2.A.hesitancy B.interest C.worry D.regret3.A.game B.show C.play D.line4.A.suddenly B.continuously C.originally D.generally5.A.advertised B.tested C.challenged D.polished6.A.demand B.credit C.dream D.chance7.A.traded B.posted C.questioned D.claimed8.A.well up B.roll in C.stand out D.go off9.A.whispering B.arguing C.clapping D.stretching10.A.funnier B.fairer C.cleverer D.braver【答案】1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D7.B8.A9.C10.D【解析】【导语】本文是一篇记叙文。

2023年历史高考卷(北京卷)

2023年历史高考卷(北京卷)

2023年历史高考卷（北京卷）一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）A. 秦朝B. 汉朝C. 唐朝D. 宋朝A. 岳飞B. 诸葛亮C. 王安石D. 司马光A. 长安B. 洛阳C. 开封D. 杭州A. 春秋战国时期B. 秦始皇统一六国C. 汉武帝推行“罢黜百家，独尊儒术”D. 隋唐时期A. 宋朝B. 元朝C. 明朝D. 清朝A. 儒家B. 道家C. 墨家D. 法家A. 唐朝B. 宋朝C. 明朝D. 清朝A. 鸦片战争B. 太平天国运动C. 戊戌变法D. 辛亥革命A. 南京条约B. 天津条约C. 北京条约D. 马关条约A. 康有为B. 梁启超C. 谭嗣同D. 林则徐A. 戊戌变法B. 辛亥革命C. 五四运动D. 抗日战争A. 北伐战争B. 抗日战争C. 解放战争D. 土地革命A. 上海B. 北京C. 广州D. 武汉A. 辽沈战役B. 淮海战役C. 平津战役D. 渡江战役A. 《论十大关系》B. 《关于正确处理人民内部矛盾的问题》C. 《解放思想，实事求是，团结一致向前看》D. 《中国共产党第十一届中央委员会第三次全体会议公报》A. 中共十一届三中全会B. 中共十二大C. 中共十三大D. 中共十四大A. 深圳B. 珠海C. 厦门D. 汕头A. 美国B. 法国C. 英国D. 阿尔巴尼亚A. 朝鲜战争B. 中印边境自卫反击战C. 中美建交D. 中国加入世界贸易组织A. 19491978年B. 19781992年C. 19922017年D. 2017年至今二、材料分析题（共3小题，每小题15分，共45分）材料一：汉武帝时期的“罢黜百家，独尊儒术”政策。

请根据材料，分析汉武帝实行这一政策的原因及影响。

材料二：抗日战争时期的国共合作。

请根据材料，分析国共两党在抗日战争期间的合作过程及意义。

材料三：改革开放以来我国经济体制改革的发展。

请根据材料，分析我国经济体制改革的主要历程及成果。

三、论述题（共2小题，每小题25分，共50分）1. 论述秦始皇统一六国的原因及其历史意义。

2024北京市高考地理试卷(附答案)

2024北京市高考地理试卷(附答案)

2024北京市高考地理试卷（附答案）本试卷满分100分，考试时间90分钟。

第一部分本部分共15题，每题3分，共45分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

某中学以本地红花生长与应用为主题，开展跨学科学习系列活动。

图1为活动方案略图，图2示意不同地区的景观。

读图，完成下面小题。

1.红色染料植物资源最丰富的地区可能是（）A.①B.②C.③D.④2.采摘红花时，临近（）A.雨水B.小满C.小暑D.处暑3.红花生长期间，同学们可观察的现象是（）A.白昼时间先变长后变短B.太阳辐射强度逐渐减弱C.日落方位先南移后北移D.正午旗杆影长逐渐变长【答案】1.D 2.C 3.A【解析】【1题详解】读图可知，图①为高寒山地地区，图②为草原地区，图③为沙漠地区，图④为山地森林区，图④所示地区水热条件好，组合多，生物多样性丰富，红色染料植物资源应最丰富，D正确，故选D。

【2题详解】采摘红花的时间在7月初，雨水的时间是在2月18日-20日，A错误；小满的时间是在5.20日-22日，B错误；小暑的时间是7月6日-7月8日，C正确；处暑的时间是8月22日-24日，D错误。

综上所述，ABD 错误，故选C。

【3题详解】红花的生长期间是4月初到7月初，从4月初到夏至日太阳直射点不断北移，夏至日太阳直射北回归线，夏至日至7月初太阳直射点不断南移。

其中夏至日那一天白昼时间最长，太阳辐射最强，日落方位最偏北，正午影长最短。

4月初到夏至日北半球白昼时间变长，而夏至日到7月初时段内北半球白昼时间变短，红花的生长期间白昼时间先变长后变短，A正确；太阳辐射先变强后变弱，B错误；日落方位先北移后南移，C 错误；正午旗杆影长先变短后变长，D错误。

综上所述，BCD错误，故选A。

【点睛】夏至日，太阳直射北回归线，北半球各地昼长达到一年中的最大值，北回归线以北地区正午太阳高度达到一年中最大值。

如图为河北平原局部地区示意图。

读图，回答第4，5题。

2024年北京卷化学高考试卷(原卷+答案)

2024年北京卷化学高考试卷(原卷+答案)

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）化 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷满分100分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1. 我国科研人员利用激光操控方法，从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子，实现了对同位素41Ca 的灵敏检测。

41Ca 的半衰期(放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间)长达10万年，是14C 的17倍，可应用于地球科学与考古学。

下列说法正确的是A. 41Ca原子核内有21个中子B. 41Ca 的半衰期长，说明41Ca 难以失去电子C.41Ca 衰变一半所需的时间小于14C 衰变一半所需的时间D. 从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子的过程属于化学变化 2. 下列化学用语或图示表达不正确的是A. 22H O 的电子式：B. 4CH 分子的球棍模型：C. 3+Al 的结构示意图：D. 乙炔的结构式：H C C H ——的3. 酸性锌锰干电池的构造示意图如下。

关于该电池及其工作原理，下列说法正确的是A. 石墨作电池的负极材料B. 电池工作时，+4NH 向负极方向移动 C. 2MnO 发生氧化反应 D. 锌筒发生的电极反应为-2+Zn-2e Zn =4. 下列说法不正确的是A. 葡萄糖氧化生成2CO 和2H O 的反应是放热反应B. 核酸可看作磷酸、戊糖和碱基通过一定方式结合而成的生物大分子C. 由氨基乙酸形成的二肽中存在两个氨基和两个羧基D. 向饱和的NaCl 溶液中加入少量鸡蛋清溶液会发生盐析 5. 下列方程式与所给事实不相符的是A. 海水提溴过程中，用氯气氧化苦卤得到溴单质：--222Br +Cl Br +2Cl =B. 用绿矾(42FeSO 7H O ⋅)将酸性工业废水中的2-27Cr O 转化为3+2+2-+3+3+272Cr :6Fe +Cr O +14H 6Fe +2Cr +7H O =C. 用245%?Na SO 溶液能有效除去误食的2+2-2+44Ba :SO +Ba BaSO =↓D. 用23Na CO 溶液将水垢中的4CaSO 转化为溶于酸的3CaCO ：2+2-33Ca +CO CaCO =↓ 6. 下列实验的对应操作中，不合理的是眼睛注视锥形瓶中溶液A ．用HCl 标准溶液滴定A. AB. BC. CD. D7. 硫酸是重要化工原料，工业生产制取硫酸的原理示意图如下。

2023北京市高考卷(1)

2023北京市高考卷(1)

2023北京市高考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共7题，每题4分，满分28分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）6. （）（4分）7. （）（4分）二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1. （）（4分）2. （）（4分）3. （）（4分）4. （）（4分）5. （）（4分）三、名词解释（共3题，每题6分，满分18分）1. （）（6分）2. （）（6分）3. （）（6分）四、简答题（共3题，每题10分，满分30分）1. （）（10分）2. （）（10分）3. （）（10分）五、论述题（共2题，每题14分，满分28分）1. （）（14分）2. （）（14分）六、计算题（共3题，每题10分，满分30分）1. （）（10分）2. （）（10分）3. （）（10分）七、应用题（共2题，每题15分，满分30分）1. （）（15分）2. （）（15分）八、材料分析题（共2题，每题10分，满分20分）材料：（）问题：（）材料：（）问题：（）九、实验题（共2题，每题10分，满分20分）1. （）（10分）2. （）（10分）十、绘图题（共1题，满分10分）1. （）（10分）十一、案例分析题（共1题，满分15分）1. （）（15分）十二、设计题（共1题，满分15分）1. （）（15分）十三、翻译题（共2题，每题5分，满分10分）1. （）（5分）2. （）（5分）十四、作文题（共1题，满分20分）1. （）（20分）十五、综合题（共1题，满分20分）1. （）（20分）一、选择题答案：1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. D二、填空题答案：1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）三、名词解释答案：2. （）3. （）四、简答题答案：1. （）2. （）3. （）五、论述题答案：1. （）2. （）六、计算题答案：1. （）2. （）3. （）七、应用题答案：1. （）2. （）八、材料分析题答案：1. （）2. （）九、实验题答案：1. （）2. （）十、绘图题答案：十一、案例分析题答案：1. （）十二、设计题答案：1. （）十三、翻译题答案：1. （）2. （）十四、作文题答案：1. （）十五、综合题答案：1. （）1. 基础理论知识：包括选择题、填空题、名词解释和简答题，主要考察学生对基本概念、原理和公式的掌握程度。

2024北京高考语文卷3篇微写作例文

2024北京高考语文卷3篇微写作例文

2024北京高考语文卷3篇微写作例文一、2024北京高考语文卷微写作真题从下面三个题目中任选一题，按要求作答。

不超过150个字，不透露所在区、学校及个人信息。

（1）微信朋友圈有“点赞”功能。

有人关注“点赞”数量，有人热衷于给人“点赞”……对“点赞”现象，你有什么看法？请说明你的观点和理由。

要求：观点明确，言之有理。

（2）年级准备开展“走进名人故乡”主题研学活动，计划在目的地研学两天，现征询同学们对目的地的建议。

你建议去哪里？请说说理由。

要求：明确写出名人及其故乡，重点陈述理由，理由合理。

（3）请以“月的独白”为题目，用月亮的口吻，写一首小诗或抒情文字。

要求：感情真挚，语言生动，有感染力。

二、例文写作（1）朋友圈“点赞”例文朋友圈首先是记录，其次是分享，我以为。

点赞的本质是认同，能收获他人认同固然可喜，但未得欣赏也当不以为意。

在一个平凡人漫长庸碌的时光里，朋友圈记录的怦然心动、小小确幸、迷惘与深思，便是一个生命鲜活的明证，这于记录者便是最好的意义。

当然，有友相和，如春风焉；当然，心有戚戚处，给他人点上一赞，亦美事焉。

（149字）（2）“走进名人故乡”例文走进嘉兴，走进名人故乡。

这里有茅盾的睿智，有金庸的武侠，有徐志摩的才情，有陈省身的几何世界……这里潮湖河海并存，深厚的文化积淀与钱江潮一起奔涌，同大运河一样绵长，如乌镇秀水般温婉；历史与现实，在这片热土上交融、传承和生长。

这里是革命的摇篮，南湖的红船让多少人心魂激荡。

江南烟雨最春意，革命精神代代传。

（149字）（3）“月的独白”例文月的独白我是月，是诗经里缠绵的月，月出皎兮，佼人僚兮。

我是月，是王昌龄苍凉的月，秦时明月汉时关，万里长征人未还。

我是月，是张若虚追问古今之月，江畔何人初见月，江月何年初照人？我是月，是曹雪芹喟叹青春生命的消亡之月，寒塘渡鹤影，冷月葬花魂。

我是月，历尽世间情劫，看遍生死荣枯，又如何？但愿人长久，千里共婵娟。

（149字）。

2024年北京卷语文高考试卷(原卷+答案)

2024年北京卷语文高考试卷(原卷+答案)

之前有研究发现，古代气候变化深刻影响了我国古代农耕社会文明的发展，我国历史上百年尺度的冷暖变化与社会经济波动之间呈现同期性，总体上表现出“冷抑暖扬”研究人员将气候重建的结果与中国历史朝代相对应，发现不同历史时期的气候呈现出冷暖交替的特点。

比如，隋朝末年气候偏于冷干，唐朝初期和中期温暖湿润，后期快速转冷，与之相伴的是干旱化。

五代十国时期，北方经历了70从重建的温度与降水结果来看，我国北方地区的气候呈现出不断变冷、变干的大趋势。

大约前3000年变化缓慢，之后的2000年变化加速。

这主要与太阳辐射变化有关，太阳辐射能量在过去5000年间持续下降。

另外，过去2000年以来的快速冷干现象还可能与太阳活动、局部火山活动等因素有关。

而且这一时期内区域植被六盘山北联池靠近中华文明核心区，由中国科学院、南京大学、兰州大学等单位的研究人员组成的联合团队选取这里的沉积物样品，借助brGDGTs ，通过定量分析，重建了5000年以来我国北方更高分辨率的暖季（4月至10月）温度变化过程。

结合山西某地沉积物的孢粉重建的降水记录，联合团队获得了我国北方地区5000brGDGTs 是细菌细胞膜的组成部分，其分子结构中有4到6个甲基和0到2个环戊烷。

如同人天冷需要加衣、天热需要减衣一样，寒冷的气候条件下细菌倾向于合成更多的甲基，而温暖的环境下合成的甲基数量则减少。

微生物活体死亡后，细胞膜中的brGDGTs 等大分子能在地质体中长期保留下来，可以通过brGDGTs 结构阅读下面材料，完成各题。

材料一气候的波动变化对文明发展产生了重要影响，重建古代气候变化过程具有重要意义。

由于缺乏合适的温度代用指标，我国古温度重建结果分辨率较低，且多以定性记录为主，定量的古温度重建相对较少。

全球历史温度变化曲线的重建主要借助冰芯、深海沉积物和树轮的记录，而我国是传统的农耕文明社会，陆地上的沉积记录才能更好地反映我国历史气候变化。

随着技术的革新，微生物分子化石的研究蓬勃发展，微生物分子化石中的一类化合物——brGDGTs （支链甘油二烷基甘油四醚酯）——3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2023年全国高考语文真题北京卷+答案+注释+解析

2023年全国高考语文真题北京卷+答案+注释+解析

2023年北京高考语文试题一、非连续性文本阅读阅读下面材料，完成下面小题。

材料一：认知与身体的关系一直是认知心理学关注的一个重要问题。

最初，符号加工模式在认知心理学中居于主流地位。

该模式认为认知的本质就是计算，如果把大脑比作计算机的硬件，那么认知就是运行在这个“硬件”上的“程序”。

认知功能是相对独立的，不依赖于身体，就像程序在功能上是独立于硬件的，这就是所谓的“离身认知”。

离身认知观把人比作机器，把认知过程看成计算，认为人只能接受指令算法。

如果把某个人收到的刺激信号输入到另外一个人的大脑中，可以得到同样的感觉体验。

可是，现实情况是，不同的人对世界的感知千差万别。

面对同一事物可能会有“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”的惬意，也可能会有“感时花溅泪，恨别鸟惊心”的惆怅。

其后，联结主义模式进入认知心理学家的视野。

大脑是由神经元相互联结构成的复杂信息处理系统，联结主义建构了“人工神经网络”，力图找寻认知是如何在复杂的大脑神经元联结和并行分布加工中得以涌现的。

然而，联结主义模式与符号加工模式在“认知的本质就是计算”这一点上是相同的，认知在功能上的独立性、离身性构成了两种理论的基础。

目前，具身认知是认知心理学研究中的一个新取向。

该理论主张认知在很大程度上是依赖于身体的。

认知是身体的认知，心智是身体的心智，离开了身体，认知和心智根本就不存在。

身体的结构、身体的活动方式、身体的感觉和体验决定了我们怎样认识和看待世界。

如果我们拥有蝙蝠的生理结构，我们所感知到的世界就完全不是现在的样子。

有些认知内容是身体提供的，身体与世界的互动为我们提供了认识世界的初始概念。

例如，“冷、热、温”等概念基于身体感受，以这些概念为基础发展出了其他一些更抽象的概念。

如形容情感状态，我们会使用“冷漠、热情、温暖”。

（取材于叶浩生、苏得权等的相关文章）材料二：有许多实验支持具身认知的假设。

例如，有一个实验要求学生参加一个关于耳机舒适度的测试。

北京历年高考试卷真题数学

北京历年高考试卷真题数学

北京历年高考试卷真题数学【试卷说明】本试卷包含选择题、填空题和解答题，旨在全面考察学生对高中数学知识的掌握和运用能力。

考生需在规定时间内完成所有题目。

【第一部分：选择题】1. 若函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. 4C. 6D. 82. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2}3. 根据题目所给的三角函数关系，求\( \sin(60^\circ) \)的值。

A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. 14. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等差数列B. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等比数列C. \( a \)，\( b \)，\( c \)可以构成直角三角形的边长D. 以上都不是【第二部分：填空题】5. 若\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。

6. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。

7. 若直线\( y = 2x + 3 \)与\( x \)轴相交，求交点坐标。

8. 已知圆的方程为\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \)，求圆心坐标。

【第三部分：解答题】9. 证明：若\( n \)为正整数，\( 1^n + 2^n + 3^n + ... + n^n \)是\( n \)的倍数。

2024年北京语文高考试卷

2024年北京语文高考试卷

选择题
下列哪项不是中国古代四大名著之一？
A. 《红楼梦》
B. 《西游记》
C. 《水浒传》
D. 《封神演义》（正确答案）
下列诗句中，哪一句出自唐代诗人杜甫的作品？
A. 明月几时有，把酒问青天
B. 会当凌绝顶，一览众山小（正确答案）
C. 独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲
D. 春风又绿江南岸，明月何时照我还
下列哪个成语与古代科举考试无关？
A. 名落孙山
B. 金榜题名
C. 桂冠诗人（正确答案）
D. 独占鳌头
下列哪部作品是鲁迅的散文集？
A. 《呐喊》
B. 《朝花夕拾》（正确答案）
C. 《故事新编》
D. 《彷徨》
下列哪个字在古汉语中常用作第一人称代词？
A. 汝
B. 吾（正确答案）
C. 彼
D. 其
下列哪首诗的作者是宋代女词人李清照？
A. 《静夜思》
B. 《如梦令·常记溪亭日暮》（正确答案）
C. 《登鹳雀楼》
D. 《春晓》
下列哪个词语不是用来形容书法艺术的？
A. 龙飞凤舞
B. 铁画银钩
C. 妙笔生花
D. 余音绕梁（正确答案）
下列哪部古典小说以贾宝玉和林黛玉的爱情故事为主线？
A. 《三国演义》
B. 《金瓶梅》
C. 《红楼梦》（正确答案）
D. 《西游记》
下列哪个成语典故与春秋时期的历史人物无关？
A. 退避三舍
B. 卧薪尝胆
C. 破釜沉舟（正确答案）
D. 一鸣惊人。

2023年高考北京卷语文真题(含答案)

2023年高考北京卷语文真题(含答案)

2023年高考北京卷语文真题(含答案)一、阅读理解阅读下面短文，回答问题。

某村庄模式的兴起.什么是某村庄模式呢？也许简单说就是。

在某个地方，有这么一座村庄，在那里，有一个女人，她唤作某某阿姨，她教出了一百多个孩子。

这百多个孩子，最有名的莫过于甲，乙，丙三个人。

他们不但数学厉害，创造了全县最好的成绩，而且还能搞定一篇篇英文作文。

这一切深深地吸引了家长们。

这些家长们开始纷纷把孩子从各个补班里拉走，把孩子往某村庄的课堂里塞。

于是某村庄模式开始兴起。

多年后，甲，乙，丙从高中走出来，前往不同的城市，继续自己的求学之路。

而阿姨，就一如既往地，教育着她的学生们。

虽然这后来的学生们是越来越多了，但村庄从来没有因此而变故。

从某村庄模式开始，这样的村庄在中国各地诞生了很多，其中不少还挂着醒目的口号：“A村庄模式”，“B村庄模式”……不少的孩子被家长送到这些村庄里，成了那里的学生。

村庄里的老师们，多来自基层，不是北京的师范大学毕业生就是广外的英语系毕业生。

他们从普通的老师成了名师，从名师成了“超级名师”。

班上，孩子们立志要当科学家、要当部队的指挥官、要当摇滚明星……他们没有过高的眼界，却对自己的期许有着明确的把握。

1. 某村庄模式是指什么？2. 某村庄模式为什么受到家长们的欢迎？3. 请简述某村庄模式带来的影响。

答案1. 某村庄模式是指在某个村庄里，有一个阿姨教育出了很多优秀的孩子，从而吸引了孩子家长，让更多的孩子被家长送到这个村庄接受教育，从而在各地催生出了很多以村庄为名的教育机构。

2. 因为那里的孩子研究成绩优秀，不仅能在学业上取得好成绩，还有人能够在英文作文方面表现出色，同时对学生成长、人格素养的培养与家长的期待不谋而合，所以受到了家长的欢迎。

3. 某村庄模式带来了中国教育领域的从新思考，通过基层教师的努力和实践，不断摸索，从中提炼并分享到更多的学科领域，并为不同层面的培训机构所借鉴和模仿。

同时，模式本身也带动众多基层教师们的成长，在为他们带来荣誉与尊重的同时鼓舞了他们的士气。

2024年北京市高考历史试卷(附答案)

2024年北京市高考历史试卷(附答案)

2024年北京市高考历史试卷（附答案）本试参满分100分，考试时间90分钟。

第一部分本部分共15题，每题3分，共45分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.古代玉器为礼之重器，孔子用玉比喻理想人格：温润而泽，仁也；缜密以栗（坚硬），知（智）也；廉（棱角）而不刿（割），义也；垂之如队（坠），礼也。

这一比喻寄托了（）A.隆礼重法的精神B.无为而治的理想C.修身明德的追求D.选贤任能的理念【答案】C【解析】【详解】本题是单类型单项选择题。

据本题主题干的设问词，可知这是正向题。

据本题时间信息可知准确时空是：春秋战国时期（中国）。

据材料并结合所学可知，孔子用玉的温润、坚硬、有棱角而不伤人、下垂等特质来比喻理想人格中的仁、智、义、礼等品质。

这反映了孔子希望人们通过自我修养，培养和具备这些美好的品德，以达到高尚的人格境界，C项正确；“隆礼重法”是荀子观点，且材料也未涉及“法”，排除A项；无为而治是道家观点，与儒家孔子思想不符，排除B项；材料并未涉及选拔人才的相关内容，排除D项。

故选C项。

2.西汉官员朱邑，少时为舒桐乡啬夫，为政“廉平不苛”“存问耆老孤寡”“所部吏民爱敬焉”，后“举贤良为大司农丞……以治行第一入为大司农”。

上述材料可以印证西汉时期（）①社会基层组织开始建立②中正官负责官员的考核③政府通过察举选拔人才④官吏为政注重优抚老弱A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】B3.“判”是古时官员断决狱讼的文本，也是唐代铨选官吏的考试科目之一。

唐代的《龙筋凤髓判》是我国完整传世的一部判例集，通过模拟判例的形式陈述案例缘由，给出判决意见，并进行解释，为应试者提供了“判”的写作程式和方法。

这说明唐代（）A.以法为教，轻视了道德礼义B.重视家训，教化渗透至基层C.注重判例解读，提升官员司法素养D.强调司法实践，开创律例合编体例【答案】C4.《永乐大典》辑录了先秦到明初的书籍8000多种，明成祖撰序：“昔者圣王之治天下也，尽开物成务之道，极裁成辅相之宜，修礼乐而明教化，阐理至而宣人文……惟有大混一之时，必有一统之制作，所以齐政治而同风俗。

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普通高等学校招生全国统一考试语文(北京卷)本试卷共8页，150分。

考试时长150分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题共5小题。

每小题3分，共15分。

1.下列词语，字形与加点字的注音全部正确的一项是（）A．养殖业与日剧增便笺．（jiān）独辟蹊．（xī）径B．醉醺醺席不暇暖泥淖．（nào）向隅．（yú）而泣C．滥摊子自由竞争卷帙．（dié）运筹帷幄．（wò）D．颤巍巍信笔涂鸭蠹．（dù）虫湮．（yīn）没无闻2.下列语句中，没有．．语病的一项是（）A．近几年，食品药品在安全方面出现的问题被媒体曝光，不同职能部门各管一段的监管模式也因此受到了社会的质疑。

B.第九届中国国际园林博览会在北京永定河西岸盛大开幕，对于513公顷的园博园，为了方便游客，专门开设了电瓶车专线。

C．据世界黄金协会分析，2013年春节前后中国黄金需求高涨的原因，主要由于消费者对中国经济前景充满信心所致。

D．日前，交通管理部门就媒体对酒驾事故的连续报道做出了积极回应，表示要进一步加大对交通违法行为的查处。

3.依次填入句中横线处的词语，正确的一项是（）①文学艺术创造来源于生活，作家塑造的人物形象，往往是以现实生活中的真实人物为创作而形成的。

②一辆运载盐酸的货车在高速公路上发生侧翻事故，交通、消防部门的人员迅速赶赴出事现场，并做出了紧急。

③保险丝是电路安全的报警器，当电路里的电流超过允许值时，保险丝就会，从而切断电源，保障线路和电器的安全。

A．原形处置融化 B.原型处治融化C．原型处置熔化 D.原形处治熔化4.给下面语句排序，衔接恰当的一项是（）①因为较弱的电磁辐射，也会对人的神经系统与心血管系统产生一定的干扰。

②人的大脑和神经会产生微弱的电磁波，当周围电器发出比它强数百万倍的电磁波时，人的神经活动就会受到严重干扰。

③即使在不太强的电磁波环境中工作和生活，人也会受到影响。

④如果长时间出于这种强电磁波的环境中，人会出现头痛，注意力不集中、嗜睡等症状，强电磁辐射会使心血管疾病加重、神经系统功能失调。

A. ④①②③B. ②③①④C. ④③②①D. ②④③①5.下列句中加点词的运用，不同于．．．其它三句的一项是（）A.微风习习，远处飘来阵阵歌声，也飘．来了缕缕的花香。

B.蜜蜂酿出了甘甜的蜂蜜，也为人们酿．出了美好的生活。

C.萧瑟的秋风吹落枝头的黄叶，却吹．不去她满腹的惆怅。

D.风和日暖，小院关闭了柴门，却关．不住那满园的春色。

二、本大题共5小题，共16分。

阅读下面的文言文，完成6~10题。

曹彬字国华，真定灵寿人。

彬始生周岁，父母以百玩之具罗于席，观其所取。

彬左手持干戈，右手取俎豆，斯须取一印，他无所视，人皆异之。

五年，使吴越，致命讫即还。

私觌①之礼，一无所受。

吴越人以轻舟追遗之，至于数四，彬犹不受。

既而曰：“吾终拒之，是近名也。

”遂受而籍之以归，悉上送官。

初，太祖典禁旅，彬中立不倚，非公事未尝造门，群居燕会，亦所罕预，由是器重焉，建隆二年，自平阳召归，谓曰：“我畴昔常欲新汝，汝何故疏我？”彬顿首谢曰：“臣为周室近亲，复忝内职，靖恭守位，犹恐获过，安敢妄有结交？”七年，伐江南。

长围中，彬每缓师，冀李煜归服。

城垂克，彬忽称疾不视事，诸将皆来问疾。

彬曰：“余之疾非药石所能愈，惟须诸公诚心自誓，以克城之日，不妄杀一人，则自愈矣。

”诸将许诺。

明日，稍愈。

又明日，城陷。

煜与其臣百余人诣军门请罪，彬慰安之，待以宾礼，请煜入宫治装，彬以数骑待宫门外，左右密谓彬曰：“煜入或不测，奈何？“彬笑曰：” 煜素懦无断，必不能自引决。

“煜之君臣， 卒赖保全。

初，彬之．总师也，太祖谓曰：“俟克李煜，当以卿为使相。

”副帅潘美预．以为贺。

彬曰：“不然，夫是行也，仗天威，遵庙谟，乃能成事，吾何．功哉，况使相极品乎！”美曰：“何谓也？”彬曰：“太原未平尔。

”及还，献俘。

上谓曰：“本授卿使相，然刘继元未下，姑少待之。

”既闻此语，美窃视彬微笑。

上觉，遽诘所以，美不敢隐，遂以实对。

上亦大笑，乃赐彬钱二十万。

彬退曰：“人生何必使相，好官亦不过多得钱尔。

”咸平二年，被疾。

上趣驾临文，手为和药，仍．赐白金万两。

六月薨，年六十九。

上临哭之．恸。

（取材于《宋史·曹彬列传》）① 觌（d í）：相见6.下列语句中，加点词语的解释不正确的一项是（3分）A.遂受而籍之衣柜 籍:登记造册B.太祖典．禁旅典：主管，掌管C.副帅潘美预．以为贺 预：参与，加入D.仍．赐白金万两 仍：于是，又7.下列各组语句中，加点的词意义和用法不相同的一项是（3分）A B C D •••••••⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩g观其所取以百玩之具罗于席．．一无所受吴越人以轻舟追遣之汝何故疏我彬之总师也．．吾何功哉上临哭之恸8．对下列稳重语句的解释，不符．．合．文意的一项是（3分）A．使吴越，致命讫即还出使吴越，传达旨意完毕即刻返回B．吾终拒之，是近名也我如果一直拒绝收礼，就会得到好的名声C．请煜入宫治谈请李煜进入宫殿收拾行装D．上觉，遽诘所以皇帝察觉了，急忙追问其中的缘故9．下列的理解和分析，不符合．．．文意的一项是（3分）A．曹彬拒绝借公务而取私利，不过他做人处事也讲究变通，收下礼品后如数上交。

B．曹彬为官清正，对宋太祖不巴结逢迎，对同僚也不结党营私，深得太祖的赏识。

C．曹彬突然称病，意在要求部下破城后不妄杀一人。

他尊重降者人格，以礼相待。

D．曹彬富有智慧，才能出众，宋太祖虽然器重他，但是又心存戒备，并有所防范。

10．文中第5段写道“美窃视彬笑”、“上亦大笑”，请分别简述两处“笑”的缘由。

（4分）三、本大题共三小题，共20分11．用斜线（/）给下面的文言文断句（5分）世之治也行善者获福为恶者得祸及其乱也行善者不获福为恶者不得祸变数也知者不以变数疑常道故循福之所自来防祸之所由至也遇不遇非我也其所志而已矣（取材于《中论·修本》）12．阅读下面这首诗，完成①、②题。

（7分）古风（其十）李白齐有倜傥生，鲁连①特高妙明月出海底，一朝开光曜。

却秦振英声，后世仰末照。

意轻千金赠，顾向平原②笑。

吾亦澹荡人，拂衣可同调。

注释：①鲁连：鲁仲连，战国齐人，他说服魏与赵合力抗秦。

②平原：即平原君，赵国重臣。

①.下列对本诗的理解，不正确．．．的一项是（3分）A.三四句与曹植诗句“大国多良材，譬海出明珠”都运用比喻的方法表达赞誉之情。

B.“后世仰末照”句，感叹鲁仲连的功绩如同就要落山的太阳一样将被后人渐渐遗忘。

C.本诗最后两句，以“澹荡人”与开头的“倜傥生”相呼应，意在表明诗人的志趣。

D.李白在诗中盛赞了鲁仲连的高风亮节，并把他引为“同调”，内容显豁，感情深挚。

②.前人评此诗：“此托鲁连起兴以自比。

”结合诗句，谈谈李白借鲁仲连表达了自己怎样的人生理想。

（4分）13.在横线处写出诗文原句（限选其中4道题）。

（8分）①._______,________，匪来贸丝，来即我谋。

（《诗经·氓》）②.秦爱纷奢，人亦念其家，_______,________。

（杜牧《阿房宫赋》）③.句读之不知，惑之不解，或师焉，或不焉______,_______。

（韩愈《师说》）④.挟飞仙以遨游，抱明月而长终，_________,___________。

（苏轼《前赤壁赋》）⑤.梧桐更兼细雨，到黄昏，点点滴滴。

_________,__________。

（李清照《声声慢》）四、本大题共三小题，共12分。

阅读下面的文章，完成14-16题当你在花园里驻足观察那些胖胖的蜜蜂在花丛中起起落落，或者在厨房手拿蝇拍对着狡猾的苍蝇无可奈何时，你一定认同以下观点：把“飞行家”这个名词冠于昆虫身上是恰如其分的，昆虫不仅是地球上规模最为庞大的飞行者家族，也是最早掌握这项技术的先驱者。

地球上的第一次飞行是个什么场景？这一历史性的是时刻早已消失在岩层之中。

不过，当年第一批飞行者的后代仍然活跃在我们的星球上，他们就是蜉蝣。

蜉蝣这种生物绝大多数时间生活在水中，以藻类为食，当它们准备繁殖时，便爬出水面，在水边的植物上蜕皮，成为有翅的成虫。

这些获得新生的小虫子并不急于飞行，多数时候会聚集在水面上，伸展双翅，在微风的吹拂下于水面上滑行。

当时机成熟，便风中舞动，在空中完成婚配。

不久，雌虫产卵，刚刚脱离水面不过十几小时的蜉蝣们再次落回水中，这也意味着它们个体生命的终结。

目前，多数昆虫学家认为，最早的昆虫也像蜉蝣一样，是从水面滑行演化到飞行的，最早的翅应该是“风帆”，而非“机翼”。

昆虫的翅是一个工程学奇迹：一片几丁质的薄层，没有任何骨骼和肌肉的支撑。

几丁质这种物质本身柔软而坚韧，就连碳纤维复合材料都无法与之相比。

几丁质中贯穿着翅脉，它们是液压管道，正是这些液压管道让昆虫的翅膀有了足够的刚性来应对飞行是巨大的应力考验。

与鸟、蝙蝠翅膀一样，昆虫翅膀的剖面上端弯曲，下端平直，这使得空气流过翼面时产生升力。

昆虫与其他任何飞行动物的标志性区别，在于它们扇动翅膀时高得惊人的速度——蜻蜓一般为每秒200次，而蚊子和马蜂则能高达每秒1000次。

不仅如此，如果逐格回放高速摄像机拍摄的昆虫飞行影像，你会惊奇地发现，昆虫扑翼飞行可不简单是上下运动，从侧面观察，昆虫的翅膀其实是在画八字形。

直到最近，人们把昆虫放进风洞好好研究了一番才发现，其实这些小家伙的翅膀是在空气中制造涡流，依靠这些可控的涡流，它们的翅膀在向下和向上拍动时都能产生升力，这是鸟与蝙蝠绝对无法做到的，一只小蜜蜂借助这些涡流，产生达到其体重3倍的生力，而向前的推力则是体重的8倍之多，与之相比，一架战斗机的推力与重力大小之比能达到2就可以“笑傲江湖”了，这样你就不难理解，为什么苍蝇能在空中做出令人匪夷所思的急转弯了。

当然，这一切代价也相当高昂，飞行是件十分费力的活儿，一只果蝇飞行1小时就要消耗掉体重的10%，果蝇使用碳水化合物作为动力来源，这有点不太划算，其他很多昆虫直接利用脂肪作为“燃料”，便让飞行的“经济性”大为改观。

所以你绝对不能小看昆虫的能力，一只小小的黑脉金斑蝶能以每天150公里的速度连续飞行3000公里，完成从北美到中美洲的长途迁徙。

（取材于王冬《御风飞行》）14.根据文意，下列说法不支持．．．“昆虫的翅膀是一个工程学奇迹”的一项是（3分）A.薄薄的翅由几丁质构成B.不需要骨骼肌肉的支撑C.柔韧性堪比碳纤维复合材料D.翅脉增强了昆虫翅膀的刚性15.下列对文章内容的理解和分析。

不恰当．．．的两项是（4分）A.昆虫最初驾驭“风帆”在水面上滑行，后来逐步从滑行演化到在空中飞行。

B.蜉蝣有翅后即升空飞行，虽然飞行时间不长，但由此实现了生命的延续。

C.昆虫翅膀的剖面，上端弯曲，下端平直，这可以使空气流过翼面时产生升力。

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