(省级名校联考)浙江省名校协作体G122019届高三返校考数学试题
2019届浙江省名校协作体高三下学期考试数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________⼀、选择题1. 已知集合则为（）A. B. C. D.2. 已知（为虚数单位），则“ ” 是“为纯虚数” 的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线、与平⾯下列命题正确的是（）A. 且________B. 且C. 且________D. 且4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度________B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度________D. 向右平移个单位长度5. 已知点满⾜，⽬标函数仅在点（ 1,0 ）处取得最⼩值，则的范围为（）A. B. C. D.6. 直线与圆交于两点，则的⾯积为（）A. B. C. D.7. 设函数，若不等式对任意实数恒成⽴，则的取值集合是（）A. B. C. D.8. 已知平⾯平⾯，，且 .是正⽅形，在正⽅形内部有⼀点，满⾜与平⾯所成的⾓相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D.9. 在平⾯内，，若则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 若集合，则集合中的元素个数是（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019⼆、填空题11. 已知，，则的最⼤值是 _______ .12. 某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是，则正视图中的的值是 _______ ，该⼏何体的表⾯积是 _______ .13. 设等⽐数列的前项和为，满⾜对任意的正整数，均有，则 _______ ，公⽐ _______ .14. 在中，⾓分别对应边，为的⾯积 . 已知，，，则 _______ ， _______ .15. ⼀个⼝袋⾥装有⼤⼩相同的 6 个⼩球，其中红⾊、黄⾊、绿⾊的球各 2 个，现从中任意取出 3 个⼩球，其中恰有 2 个⼩球同颜⾊的概率是 _______ . 若取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分，取到绿球得 3 分，记变量为取出的三个⼩球得分之和，则的期望为 _____ .16. 设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第⼀象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离⼼率的值是 _______ .17. 设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围 _______ .三、解答题18. 已知，函数．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若的最⼤值是，求的值．19. 如图，在四棱锥中，底⾯为梯形，，，，平⾯，分别是的中点 . （Ⅰ）求证：平⾯；（Ⅱ）若与平⾯所成的⾓为，求线段的长 .20. 已知，函数 .（Ⅰ）若函数在上递减 , 求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最⼩值的最⼤值；（Ⅲ）设，求证： .21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离⼼率为，直线与的两个交点间的距离为 .（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）分别过作满⾜，设与的上半部分分别交于两点，求四边形⾯积的最⼤值 .22. 已知函数 .（Ⅰ）求⽅程的实数解；（Ⅱ）如果数列满⾜，（），是否存在实数，使得对所有的都成⽴？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
浙江省金丽衢十二校近年届高三数学第一次联考(返校考)试题(2021年整理)
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金丽衢十二校2018学年高三第一次联考数学一、选择题1、若集合A＝(－∞，5）。
B＝[3，＋∞），则A、RB、∅C、［3,5）D、（－∞,5)U［5，＋∞）2、已知向量(4,3),(1,53)a b==，则向量,a b的夹角为( ）A、30°B、45°C、60°D、90°3、等比数列｛a n｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15,则S3＝（)A. 7 B、－9 C、7或－9 D、63 84、双曲线9y2一4x2＝1的渐近线方程为（）A、49y x=±B、94y x=±C、23y x=±D、32y x=±5.己知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A、43B、83C、163D、3236。
己知复数z满足zi5＝（π＋3i）2,则z在复平面内对应的点位于（）A、第一象限B。
第二象限 C.第三象限D、第四象限7。
设函数f（x)的定义域为D，如果对任惫的x∈D，存在y∈D，使得f (x）=－f（y）成立，则称函数f（x)为“H函数”，下列为“H函数”的是（)A 、y = sinxcos+cos 2xB 、y=lnx+e xC 、y=2xD 、y=x 2-2x8.如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且AB ＝2,BD ＝CD ＝2, ∠ABC ＝4π，∠BCD ＝3π，则AD 与β所成角的大小为( ) A 、4π B 、3π C 、6π D 、12π9.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2 人，则他们每人得1分：若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分。
小练习-pH相关计算(练习题有答案)
pH相关计算1．（上海市浦东新区2019年高中学业水平合格考）常温下，pH＝3的盐酸与pH＝5的盐酸中，H＋的物质的量浓度之比为A．3∶5B．1∶100C．100∶1D．5∶32．（海南省海南枫叶国际学校2018-2019学年高二下学期期中考试）将pH＝2和pH＝5的稀盐酸等体积混合，混合后溶液的pH约为A．7B．4.7C．3.5D．2.33．（杨镇一中2018-2019高二6月月考）常温下，将0.1mol/L的盐酸和0.06mol/LBa(OH)2溶液等体积混合，所得混合液的pH为A．1.7B．12C．12.3D．134．（吉林省白城市第一中学2018-2019学年高一6月月考）常温时，将pH为5的HCl溶液与pH为2的H2SO4溶液等体积混合后，溶液的氢氧根离子浓度最接近于A．2×10-12mol/L B．1/2(10-9+10-12)mol/LC．(10-9+10-12)mol/L D．1/2(10-5+10-2)5．（浙江省诸暨市牌头中学2018-2019学年高一下学期期中考试）将pH=1的盐酸与pH=11的NaOH溶液按体积比为1：9混合，混合后溶液的pH约为A．2B．6C．7D．106．（河南省林州市第一中学2019-2020学年高二9月月考）1体积pH＝2.5的盐酸与10体积某一元强碱溶液恰好完全反应，则该碱溶液的pH等于（）A．9.0B．9.5C．10.5D．11.57．（河北省大名县第一中学2019-2020学年高二10月月考）某温度下，溶液中由水电离出氢离子的浓度为1×10－12mol·L－1，下列说法正确的是（）A．该溶液pH＝12B．该溶液pH＝2C．该溶液pH＝12或2D．不能确定溶液pH8．（四川省遂宁市2018-2019学年高二下学期期末考试）现有pH=a和pH=b的两种强碱溶液，已知b=a+2，将两种溶液等体积混合后，所得溶液的pH接近于A．a－1g2B．b－1g2C．a+1g2D．b+1g29．（山西省长治市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考）常温下，向一定体积0.01mol/L的Ba(OH)2溶液中逐滴加入一定物质的量浓度的NaHSO4溶液，当溶液中的Ba2+恰好完全沉淀时，溶液pH=11。
2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题(解析版)
2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题一、单选题1．设集合{}23A x x =-≤<，N 是自然数集，则A N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}1,2【答案】C【解析】由自然数的涵义即可求出交集. 【详解】由题意得{}0,1,2A N =I ， 故选:C ． 【点睛】本题考查集合的运算，熟记集合的交集运算法则是解题的关键． 2．二项式的展开式中常数项为（ ）A ．－15B ．15C ．－20D ．20【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.【考点】二项式定理.3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βC ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】C【解析】对于A ，可以翻译为：垂直于同一个平面的两个平面垂直，显然容易判断； 对于B ，由线面平行的定义即可判断； 对于C ，利用线面平行的判定及性质可判断；对于D ，由空间两直线的位置关系来判断. 【详解】对A ：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故平面α与平面γ平行或相交，故错误；对B ：直线m 可能在平面β内，也可能与平面β平行，故错误；对C ：由//m α得存在m α'⊂使得//m m '，又因为//αβ，所以存在m β''⊂，使得//m m '''，则//m m ''，又因为m β⊄，所以//m β，故正确；对D ：直线m 与直线n 可能相交、平行或异面，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用，是基础题.4．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】A【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则232k πϕπ=+，即6k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为6π=ϕ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移变换求出解析式是解决本题的关键．5．函数()2()2ln ||f x x x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据函数解析式，先判断函数()f x 奇偶性，再结合01x <<的函数值，即可排除错误选项. 【详解】函数()2()2ln ||f x x x =-⋅的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，()22()()2ln ||2ln ||()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦， 所以函数()2()2ln ||f x x x =-为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，D ；当01x <<时，()()22()2ln ||2ln 0f x x x x x =-=->，排除C ； 故选：B. 【点睛】本题考查函数的图象与性质，由函数解析式判断函数图象的应用，属于基础题. 6．非零实数x ，y 满足||||||x y xy x y xy ++=+-的充要条件是（ ）A ．0x y +=B ．0xy <C ．()0x y xy +>D ．()0x y xy +≤【答案】D【解析】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案. 【详解】由绝对值不等式的性质，可得||||||x y xy x y xy ++≥+-，当且仅当()0x y xy +≤时，等号成立，所以“||||||x y xy x y xy ++=+-”的充要条件为“()0x y xy +≤”． 故选：D 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题．|||||()()|a b c d a b c d +++≥+±+是绝对值不等式中常用的性质．7．不等式组0,40,(0)x y x y m x m +⎧⎪-+>⎨⎪⎩……„表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．1【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，求得顶点的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】画出不等式组0,40,(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示，得到平面区域是以(2,2),(,),(,4)m m m m --+为顶点的三角形区域（包含边界），则该区域的面积为1[(2)][4()]92m m m --+--=，解得1m =（舍负）. 故选：D .【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及三角形面积公式的应用，其中解答中准确作出不等式组所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力.8．连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记ξ为出现6点的次数，则()D ξ=（ ） A ．16B ．12C ．156D ．512【答案】D【解析】根据连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，是一个独立重复试验，服从二项分布，得到成功概率，然后代入()D ξ公式求解， 【详解】由题意得每次掷骰子的概率都为16，且每次的结果互不影响， 则1~3,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以115()316612D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查二项分布的方差的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．若平面向量a →，b →，e →满足||2a →=，||3b →=，||1e →=，且()10a b e a b →→→→→⋅-⋅++=，则||a b →→-的最小值是（ ）A ．1BC D【答案】B【解析】由题目条件可先求出||a b e →→→+-，再根据向量模的不等式求出||a b →→+的值域，由2226||||a b a b →→→→++=-即可求出min ||a b →→-.【详解】由题意得||a b e →→→+-===又因为||||||||||a b e a b e a b e →→→→→→→→→+-+-++剟，所以1||1a b →→+剟，当a b →→+与e →同向时，1=||a b →→+，a b →→+与e →反向时，1=||a b →→+，又因为2222||||2||||26a b a b a b →→→→→→⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭，所以min||a b →→-===故选：B 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以||a b e →→→+-为中间量是解题的关键.10．在三棱锥S ABC -中，SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，SB 与AC 所成的角为α，下列判断一定正确的是（ ）A ．θα…B ．θα„C ．2πθα+…D ．2a πθ+„【答案】A【解析】先分析出三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，分别分析C 点趋近于,B S 的结论，再对SCA ∠与2π的大小关系分析. 【详解】因为SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，所以三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，则易得当点C 趋近于点B 时，2πθα+„， 当点C 趋近于点S 时，2πθα+…，C ，D 错误；若2SCA πθ∠==，易得AC ⊥平面BCS ，有AC SB ⊥，则θα=；若2SCA πθ∠=>，因为异面直线的夹角不大于2π，所以此时a θ>； 若2SCA πθ∠=<，易得SA 是在以AC 为轴的圆锥上运动，由图易得当点S 运动到点2S 的位置时，直线SB 与AC 的夹角最大，为SCA θ∠=，所以θα>故选：A . 【点睛】本题考查空间异面直线的夹角,三棱锥的性质，考查了空间想象能力.二、双空题 11．若复数121i z i i -=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为________，z =________. 【答案】-3 3【解析】化简可得3z i =-即可求虚部与模长. 【详解】由题得()21222322i iz i i i --=-=-=-,z ∴的虚部为3-,()2033z =+-=. 故答案为：3-,3 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与虚部的定义和模长的计算等.属于基础题型.12．已知直线l 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为________，离心率为________【答案】3± 2【解析】设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，可得0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得求出点()00,F x y'，再根据点F'在双曲线C的另一条渐近线上，化简整理即可求出．【详解】双曲线22221()0,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，设直线l为by xa=-，则另一条渐近线为by xa=，()1,0F c-Q，设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，∴0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得20022,b abx c yc c=-=，∴222ab b bcc a c⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，即22222a b c=-，∴22222222222,22a c a c ab a b=--=--，即2 3c a a b==，∴双曲线C的渐近线的斜率为32cea==.故答案为：32．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了点的对称，双曲线的渐近线方程，属于中档题．13．某几何体的三视图如图所示（数量单位是cm），则它的体积是________3cm，表面积是________2cm.【答案】931863+ 【解析】根据三视图还原几何体，根据锥体的体积公式和表面积计算，即可求得结果. 【详解】.由三视图得该几何体底面是一个以上底为2，下底为4，高为3的直角梯形，高为33的四棱锥，则其体积为1332493332+⨯⨯⨯=， 表面积为1332411133333234518632222222+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：93；1863+.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及求锥体的体积和表面积，根据三视图正确还原几何体是解题的关键，属于中档题.14．四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，H 是SBC V 的垂心，且AH ⊥平面SBC ，则三对对棱SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中互相垂直的有________对，若H 也是SBC V 的重心，则二面角S BC A --的正弦值为________.【答案】363【解析】利用垂直射影则垂直斜线，易证对棱垂直；先确定二面角的平面角，再结合垂心定理设值 计算即可. 【详解】解：因为SA ⊥平面ABC ，所以SA BC ⊥.连接BH 并延长交SC 于点D ，因为点H 是SBC V 的垂心，所以BD SC ⊥， 又因为AH ⊥平面SBC ，所以BD 为AB 在平面SBC 内的投影，则AB SC ⊥， 同理可得SB AC ⊥，所以SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中相互垂直的有3对. 当点H 也是SBC V 的重心时易得三棱锥A SBC -为底面为等边三角形， 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥，则各个侧面与底面所成的二面角相等， ∴二面角S BC A --的大小与二面角B SC A --的大小相等， 设底面SBC V 的边长为a ，则易得3HD a =，12AD a =，则6AH a =，所以二面角S BC A --的正弦值等于6sin AH ADH AD ∠==.故答案为：3；6本题考查空间直线垂直的判定、二面角、三棱锥的性质，根据三棱锥的性质确定直线间的位置关系是解题的关键，属于中档题.三、填空题15．某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有________种不同的报名方法（用数字作答）. 【答案】150【解析】根据5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，分别求得报名方法，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】由题意得：将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，当分组为2，2，1时，有22353322C C A A 种报名方法，当分组方式为1，1，3时，有31352322C C A A 种报名方法，综上:不同的报名方法共有2233135335232222C C A C C A 150A A +=种. 故答案为：150 【点睛】本题主要考查分类计数原理，排列组合应用题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16．若正数a ，b ，c 满足2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值是________.【答案】2【解析】将2221a b c ab bc ++--=看成关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，再将问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，从而()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，进而得到结果.解：把式子2221a b c ab bc ++--=看作是关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，即2234440b c bc --++…，则问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，则()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，化简得232c ≤，所以max 6c =，此时6a =，6b =，符合条件. 故答案为：62【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题.四、解答题17．若()00,P x y 是抛物线21:4C y x =上的点，过点P 作射线PAB ，交圆222:(4)1C x y ++=于A ，B 两点，且||2||PA AB =，则0x 的取值范围是________.【答案】[0,356]【解析】由已知长度转化到弦AB 的长，由弦AB 不超过直径长得范围要求，连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，将||||PM PN ⋅将转为切线长，进而由切割线定理近一步转化并由点P 在抛物线上且由两点间的距离公式表示不等式组，最后求得答案. 【详解】由题意得2||||2||3||6||PA PB AB AB AB ⋅=⋅=，因为A ，B 是圆上两点，所以||[0,2]AB ∈，则2||||6||[0,24]PA PB AB ⋅=∈， 连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，则易得2||||(||1)(||1)||1PM PN PC PC PC ⋅=-+=-，且2||1PC -等于过点P 向圆C 引切线所得切线长，由切割线定理得2||1||||PC PA PB -=⋅，则2||1[0,24]PC -∈， 设点P 的坐标为()()000,,0x y x ≥，即()()()222200000414416[0,22]14x y x x x ++-=++-=+∈-，所以()()202062106662124x x x ⎧+-≥⎪⇒-≤≤⎨+-≤⎪⎩066x ≤≤，所以06]x ∈-.故答案为：6]- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切割线定理，根据切割线定理得到点P 的坐标满足的不等式是解题的关键，属于较难题.18．三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且222sin sin sin sin B C B C A +-=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC V 的面积1S =，求a 的最小值. 【答案】（1）4π；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题中的等量关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小；（2）根据（1）中的结论及三角形的面积公式得到边长的乘积，进而利用余弦定理结合基本不等式求解边长的最值. 【详解】解：（1）由正弦定理得222b c a +-=，∴222cos 22b c a A bc +-==，从而4A π=. （2）1sin 12S bc A ==，从而bc =∴222222cos 4244a b c bc A b c bc =+-=+--=….故min a =.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.19．四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒，M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =，若5PA PC ==，21PB =.（1）求证：//MN 平面PAC ； （2）求证：PN ^平面ABCD ；（3）求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3311【解析】（1）通过证明直线与平面内的一条直线平行证明直线与平面平行；（2）通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直证明直线与平面垂直；（3）利用等体积法求解三棱锥的高，进而求解线面角的正弦值或通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式求解. 【详解】解：（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，则12BM BNBP BO==， ∴//MN PO ，又PO ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ， 从而//MN 平面PAC . （2）证明：连接PN ， ∵PA PC =，O 是AC 中点， ∴PO AC ⊥，又5PA PC ==，2AO =， ∴21PO PB ==，又N 是BO 中点，∴PN BD ⊥， 且易求32PN =7NC =∴222PN NC PC +=，从而PN NC ⊥，又BD NC N ⋂=， ∴PN ^平面ABCD .（3）解法一：设N 到平面PCD 的距离为h ，PN 与平面PCD 所成角为θ，则sin h PNθ=∵N PCD P NCD V V --=， ∴PCD NCD S h S PN ⋅=⋅V V ，计算可得33NCD S =V ，35PD =， ∴311PCD S =V ，又∵32PN =， ∴3611h =，从而33sin 11θ=. 解法二：作OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC ，OD ，OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,23,0)B -，(2,0,0)C ，(0,23,0)D ，(0,3,0)N -，设()000,,P x y z ，由5PA PC ==，21PB =，得()()()222000222000222000225,225,2321,x y z x y z x y z ⎧+++=⎪⎪-++=⎨⎪+++=⎪⎩解得0000,3,32,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(0,3,32)P -.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，(2,23,0)CD =-u u u r ，3,32)PC =-u u u r ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，2230,23320,x y x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，得x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2n =⎭r ，记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则||sin 11||||||n PN n PN θ⋅==r u u u r r u u ur . 【点睛】本题考查空间直线与平面平行以及垂直的判定、线面角、空间向量的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21122n n n S a S ++-=-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足23n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：54nT <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析【解析】（1）利用作差法求解数列的通项公式，注意对1n =的情况进行讨论； （2）利用裂项相消法求数列的和从而证明结论. 【详解】（1）由题意得2112122,(2)22nn nnn n a S S n a S S ++-⎧=+⎨=+⎩… ∴作差有()()()221111220n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+⇒--+=，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +-=…， 令1n =时，则求得()2211122222822224a S S a a a a a =+++=⇒=+=或2-（舍），∴212a a -=，∴数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 故2n a n =.（2）证明：由（1）知234n b n =，113544T b ==<； 当2n …时，22333311441(21)(21)22121n b n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪-+--+⎝⎭， ∴2333311111144235572121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 531542214n =-⋅<+，即54n T <. 【点睛】本题考查等差数列的概念、数列的通项与裂项相消法求和，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且||2||AF FB =，求直线l 方程； （3）设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，若1223k k =-，求AOB V 面积S 的值.【答案】（1）22132x y +=；（2220x y ±-=；（3）62【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程； （2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解；（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到三角形的面积的表达式，化简得到结论，注意对直线的斜率情况分类讨论. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则22:132c x ya b Ca=⇒=⇒=+=.（2）若直线l斜率为0，则||1,||1,||2||AF BF AF BF==-≠，不合题意，所以l斜率不为0，设其方程为1x ty=+，联立()2222123440236x tyt y tyx y=+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()11,A x y，()22,B x y，则122423ty yt-+=+，122423y yt-⋅=+，又()2121122211251222y yy y yy y y y y+=-⇒+=-⇒=-2224112322tt tt=⇒=⇒=±+故直线:0l y±-=.（3）当直线l的斜率为0时，则12k k=-，不妨设1k>，由1223k k=-，得1k=，直线OA方程y x=与椭圆方程联立，223132y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得221,132x x y==±=±，所以,A B坐标分别为,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2⎛⎫-⎪⎝⎭或1⎫-⎪⎪⎝⎭，12⎛⎫--⎪⎝⎭，此时2AOBS=V；当直线l的斜率不为0时，设直线1:l x t y m=+，联立()1222122234260236x t y mt y t my mx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，则1122423t m y y t -+=+，21222623m y y t -⋅=+，∵12121223203k k y y x x =-⇒+=， 又()2212112112x x t y y m t m y y =+++， ∴()()2211211223220t y y t m y y m ++++=，化简得221232t m +=，从而()()22222111642326240t m t m m ∆=-+-=>，∴1211||||22AOBS m y y m =-===V .综上，AOB V 的面积2S =. 【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想．设而不求思想在此类问题中常常用到． 22．已知函数()ln af x x x=+. （1）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若()f x 在1x x =，()212x x x ≠处导数相等，证明：()()1212ln2f x f x +>+；（3）若函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点1x ，()212x x x ≠，证明：122x x e+>. 【答案】（1）0a >；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）对函数求导，根据导函数存在穿过型零点求解；（2）由12()()f x f x ''=得出1212x x x x +=，利用基本不等式得出12124x x x x +=>，然后计算12()()f x f x +可得证；（3）()0f x =转化为ln a x x -=，通过研究()ln g x x x =的单调性、极值得出()f x 的两个零点的范围，不妨设不妨设1210x x e <<<，然后分类讨论，若22x e…，则结论成立；若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，构造新函数2()()h x g x g x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，通过导数（需两次求导）得出()h x 的单调性，由12,x x 的关系：2112()()()g x g x g x e=>-．可证得结论，【详解】解：（1）由题意知2()(0)x af x x x-'=>， 因为()f x 有极值，所以当0x >，0x a -=有解，所以0a >. （2）证明：21()x f x x-'=，由()()12f x f x ''=， 得12221211x x x x --=， 即1212x x x x +=，因为12,0x x >，且12x x ≠，所以1212x x x x =+>124x x >， 则()()1212121211ln ln ln 1ln 412ln 21f x f x x x x x x x +=+++=+>+=+. （3）证明：()ln 0af x x x=+=， 即ln a x x -=，令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+， 则函数()ln g x x x =在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令t x e -=，其中0t >， 则()ln ttttg x e ee --==-， 当t →+∞时，0t t e +→，故0t t e--→， 从而当1,0a e⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭时有两个零点，不妨设1210x x e<<<， 若22x e…，则结论成立； 若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 令222()()ln ln h x g x g x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()ln ln 2h x x x e '⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 令()()u x h x '=，则1211()022x e u x x x x x e e '⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=>⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴()h x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 则1()0e h x h ''⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴1()0h x h e ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 即2()g x g x e ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴()()2112g x g x g x e ⎛⎫=>-⎪⎝⎭， ∵212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1212,x e e e ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 而()g x 在12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴212x x e >-，即122x x e+>． 【点睛】本题考查导数在函数中的应用、函数的性质、不等式的证明，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，体现了分类讨论思想和函数与方程思想.。
浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。
2019学年浙江省9月高三名校协作体G12开学联考卷(选填压轴小题解析)
（2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题9）已知a ，b 为实数，则“不等式1ax b +≤对所有满足1x ≤都成立”是“1a ≤且1b ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（试题编辑与解析提供：宁波汪灿泉）【答案】A【解析】“不等式”1ax b +≤对所有满足1x ≤都成立，令()()1()11221()()11()122a b a b a a b a b a b x a b a b a b b a b a b +--+⎧=≤+--+≤⎪⎧+≤⎪⎪=±⇒⇒⎨⎨++-+-+≤⎪⎪⎩=≤++-+≤⎪⎩，因此是充分条件；反之，当1a ≤且1b ≤时，取1,1a b ax b ==+≤不能对所有满足1x ≤都成立，因此是不必要条件。
故选A（2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题9）已知正数a ，b 满足4)(2=+b a ab ，则b a +2的最小值为A.12B.8C.22D.3（试题编辑与解析提供：杭州李红波）【答案】C【解析】方法1：凑不等式由4)(2=+b a ab ，得：)(42b a a b +=，因此8162)(4)(444)2(222=≥+++=++=+b a a b a a b ab a b a ，故222≥+b a .当且仅当1)(=+b a a ，即12-=a ，2=b 时取得最小值.或者：24)(b b a a =+，故81624444)2(22222=≥+=++=+b b b ab a b a ，方法2：万能k 法令k b a =+2，则b k a -=2，代入4)(2=+b a ab ，得：016224=+-b k b ，由0≥∆，即0644≥-k ，解得22≥k 方法3：消元（解关于a 的一元二次方程）由4)(2=+b a ab ，得：04322=-+a b a b ，0>a .解得：bb b a 21624++-=，因此22816162224=≥+=+=+bb b b b a 【注】本题由下面这道不等式题改编而来，详解见下文！已知a ，b 为正实数，且满足ab b a a ab 4)(4=++，则b a +2的最小值为.【答案】22【解析】第一步，先对ab b a a ab 4)(4=++变形，)(411(4b a b b a b a ab +=+-=，即4)(2=+b a ab ，第二步，巧用基本不等式（凑定值），由第一步中4)(2=+b a ab ，8)(42)(444)2(22222=+≥++=++=+b a ab b b a a b ab a b a 故.222≥+b a 当且仅当⎩⎨⎧=+=+4)()(422b a ab b b a a ，即12-=a ，2=b 时，取“=”.【另解】大胆尝试求根，由4)(2=+b a ab ，得04322=-+a b a b （看成关于a 的一元二次方程），解得：222263162121216bb b b b b b a ++-=++-=因此.22816222=≥+=+bb b a （2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题10）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>内有一定点()1,1P ，过点P 的两条直线12,l l 分别与椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点，且满足,AP PC BP PD λλ== ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为 A.32 B.12 C.22 D.55（试题编辑与解析提供：浙江宁波赖庆龙）【答案】A【解析】解析1：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .由AP PC λ= ,得()()11331,11,1x y x y λ--=--,即131311x x y y λλλλì+=+ïïíï+=+ïî,同理可得242411x x y y λλλλì+=+ïïíï+=+ïî两式相加得()()()()()()123412342121x x x x y y y y λλλλìï+++=+ïíï+++=+ïî,即()()()()12341234x x x x y y y y λλ+++=+++,由点差法知2121221212y y x x b x x y y a -+=-×-+,即21221214x x b y y a +-=-×+,所以()()2212124a y y b x x +=+,同理有()()2234344a y y b x x +=+所以2214b a =,则222314b e a=-=,所以e .故选项A 正确.解析2：如图,,,A P C 三点共线,,,B P D 三点共线,由,AP PC BP PD λλ== 知:AP BP PC BDλ==,所以//AB CD ,取AB 中点M ,CD 中点N ,则,,,M O P N 四点共线.由垂径定理知21CD ON k k e ×=-即21CD OP k k e ×=-,所以213144e =-=,所以32e =.故选项A 正确.（2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题15）已知数列{}n a 为等差数列，公差为(0)d d ≠，且满足344651222019a a a a a a d ++=，则5611a a -=.(试题编辑与解析提供：慈溪中学苗孟义)【解析】方法一：由于344651220192d a a a a a a =++4366512()a a a a a a =+++455123a a a a =+5412(3)a a a =+544412()a a a a a =+++564a a =，即65562019()4a a a a -=，所以5611a a -=655642019a a a a -=.方法二：由于344651220192d a a a a a a =++555555(2)()2()()(7)a d a d a d a d a a d =--+-+++，所以255552019444()d a a d a a d =+=+，所以5655114()2019d a a a a d -==+.方法三：设首项为1a ，由于344651222019a a a a a a d ++=，则1111112019(2)(3)2(3)(5)(4)(11)d a d a d a d a d a d a d =++++++++，即222211112019436804(920)d a a d d a a d d =++=++，所以5611a a -=65225611114(4)(5)2019920a a d d a a a d a d a a d d -===++++.（2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题16）已知ABC ∆的面积为1,若1,BC =则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sin A =(试题编辑与解析提供：浙江湖州莫国良）【答案】:817【解析】112a b c S ah bh ch ====⇒8a b c h h h bc=()()22112cos 21cos ,21cos b c bc A bc A bc A =+-≥-⇒≤-2sin bc A =,联立解得8sinA 17≤,当且仅当b c =取等号.（2019学年9月第一学期浙江省名校协作体数学试题17）已知非零的平面向量,a b 满足0a b ⋅= ，平面向量c 满足22c a c b -=-= ，若12c a b --≤ ，则c 的取值范围是______.（试题编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】195⎣【解析一】平方可得22222421c c a a c c b b ⎧-⋅+=⎪⎨⎪-⋅+=⎩ ，又因为222222c a b c a b c a c b --=++-⋅-⋅ ，代入化简可得22154c a b c --=-≤ ，故可得1952c ∈⎣ .【解析二】即,,OA a OB b OC c === ，故可得2c a CA -== ，1c b CB -== ，12c a b CD --=≤ ，又因为在矩形OABD 中，2222CA CB CO CD +=+，可得222225CO CB CA CD CD =+-=-，所以219,54CO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得195c ∈⎣ .。
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （ ）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（ ）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】 由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， 故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ； 当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=， 四棱锥A BCDE -的高3h =， 故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（ ）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小 【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=， 所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-， 所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ， 因为102x <<， 所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点， 因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >． 由211n n n a a a +=++， 可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立， 因为112a =，11n n a a +->， 所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<， 所以111103n na a +<<⋅， 所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…， 所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………． 又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=， 解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =， 所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=， 令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值． 【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈， 所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==， 即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种． 【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果． 【详解】解法一 第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）． 由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二 将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种）， 恰有4个小球“放对”的情况有0种， 恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可． 【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =， 所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ． 故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =， 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r． （1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程； （2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-． 【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值． 【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因为0a >， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -， 所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可． 【详解】 （1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ． 又E 是PC 的中点，所以//OE AP ， 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ． 由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角． 易知BP BC =，又E 是PC 的中点， 所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=， 所以PC ⊥平面BDE ， 因为PC ⊂平面PBC ， 所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥， 所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ， 所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角， 所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ， 所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可． 【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++， 且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ， 所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……． 而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =， 又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-， 将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+， 又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-． 设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立， 所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以320()288960f x <<⨯-=， 所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值 （2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值； （2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+， 由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立， 设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤， 此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤； （ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤， 则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减， 则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
【高三数学试题精选】浙江名校协作体2019届高三数学9月联考试卷(有答案)
浙江名校协作体2019届高三数学9月联考试卷（有答案）
5 浙江省名校协作体10 cADcc
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）
11．，． 12．，
13．， 14．，．
15． 16．----------------2分
--------------------------------------------5分
由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），
因为，所以，------------------------------10分
所
以．------------------------------------------------------------14分
19．解（Ⅰ）⊥ 不成立，证明如下-------------2分
假设⊥ ，因为，
且，所以面，---------5分
所以，这与已知矛盾，------7分
所以⊥ 不成立．
（Ⅱ）解法1取中点，中点，连，
由已知计算得，------------9分
由已知得 ,且，
所以平面，所以平面平面，--------------12分
取中点，连，
则平面，从而，就是直线与平面所成的角，
因为，，所以 ----------------------15分
解法2如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，。
2019届浙江省高三三校联考数学试题
2019届浙江省高三三校联考数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y x a b的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-C．[1,1]-D．1[,1]8-9．在棱长为D ABC-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ， 且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则||=||PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)（第17题）18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()5f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，DCAE且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分 所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343(52525=⨯-=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(22--D ，1(22=--AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分 （II222212+=x y b b .…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分 所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t.…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t令'()0=f t得2=t (0,)2上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.所以()()2≥=f t f所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：0020028x x x y x +=-=-， 则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分 所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++， 由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min()f x f===所以∆≥APQS………………15分22．解：（Ⅰ）当0a=时，()()22112f x xln x ln x=-+-因为()1ln x x+≤，当1x=时等号成立，所以222222221111111xln,ln,x,xx x x xlnx+⎛⎫+<<>⎪+⎝⎭即即所以()22112xln x ln x->+-，即()0f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0a≤成立，当0a>时，因为11ln xx≥-，当1x=时等号成立，所以22222111111xlnxx xx⎛⎫+>-=⎪++⎝⎭，即222111xxlnx<+⎛⎫+⎪⎝⎭，要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以221x ax x+<+对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x>时a的取值范围为0a≤．……………………9分法二：因为2a b a bln a lnb-+<-，所以()2222221211212211x x,,xln x ln xlnx++<<⎛⎫++-⎪⎝⎭即要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以22212xx ax++<对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。
2019届浙江省高三五校联考数学试题卷(5页)
2019届浙江省高三五校联考数学试题卷数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =U （ ）A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D. {}1,1,3,7,9-2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 4+B. 4+C.4+ D.43.已知数列{}n a ，满足13n n a a +=，且2469a a a =，则353739log log log a a a ++=（ ）A. 5B. 6C. 8D. 11 4.已知0x y +>，则“0x >”是“||2222y x x y +>+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.函数1e 1x x y x--=+的大致图象为（ ） A. B. C. D.6.已知实数x y ，满足1{21y y x x y m ≥≤-+≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ） A. 7B. 5C. 4D. 3 7.已知tansin cos 2M ααα=+，tan (tan 2)88N ππ=+ ，则M 和N 的关系是（ ） A. M N >B. M N <C. M N =D. M 和N 无关 8.已知函数2log ,0,()1,0.x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，函数()2()1g x f x m =--，且m Z ∈，若函数()g x 存在5个零点，则m 的值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 19.设,,a b c r r r 为平面向量，||||2a b ==r r ，若(2)()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c b ⋅r r 的最大值为( )A. 2B. 94C. 174D. 510.如图，在三棱锥S ABC -中，SC AC =，SCB θ∠=，ACB πθ∠=-，二面角S BC A --的平面角为α，则（ ）A. αθ≥B. SCA α∠≥C. SBA α∠≤D. SBA α∠≥ 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =________，z =_________ 12.251()(1)(2)f x x x x x =++-展开式中各项系数的和为_______，该展开式中的常数项为________.13.已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π.7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为________ ，将函数()f x 的图象至少平移 ______个单位长度后关于直线4πx =-对称. 14.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为_________，这两个数字和的数学期望为__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16.从0，1，2，…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…），有______个不同的数.（用数字作答）17.已知实数,[1,1]x y ∈-，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，且cossin 222A A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)14a A C =+=，求c 的值. 19.如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. 的（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.（Ⅰ）（i ）求数列{}n a 通项公式；（ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111n M S S S S ++++<K 恒成立，求实数M 的最小值； （Ⅱ） 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？ 并说明理由.21.已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）若104Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求MNQ ∆面积的最大值.22.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；的（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.。
浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷
浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） (共10题；共40分)1．（4分）已知集合U={-1，1，3，5，7，9}，A={1，5}，B={-1，5，7}，则∁U（AUB)=（）A．{3，9}B．{1，5，7}C．{-1，1，3，9）D．{-1，1，3，7，9}2．（4分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的表面积为（）A．4+2 √6B．4+ √6C．4+2 √2D．4+ √23．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1=3a n，且a2a4a6=9，则log3a5+log3a7+log3a9=（）A．5B．6C．8D．114．（4分）已知x+y>0，则“x>0”是“2|x|+x2>2|y|+y2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件−x的大致图象为()5．（4分）函数y= 1−x1+x eA．B．C．D．6．（4分）已知实数x，y满足{y≥1y−2x+1≤0x+y−m≤0，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．37．（4分）已知M=tan a2-sina+cosa，N=tan π8（tan π8+2)，则M和N的关系是（）A．M＞N B．M<N C．M=N D．M和N无关8．（4分）已知函数f(x）= {|log2x|,x>01−x,x≤0，函数g（x）=|2f(x）-m|-1，且m∈Z，若函数g（x）存在5个零点，则m的值为(）A．5B．3C．2D．19．（4分）设a→，b→，c→为平面向量，|a→|=|b→|=2，若（2c→-a→)·（c→-b→)=0，则c→·b→的最大值为（）A．2B．94C．174D．510．（4分）如图，在三棱锥S-ABC中，SC=AC，∠SCB=θ，∠ACB=π-θ，二面角S-BC-A的平面角为a，则（）A．a≥θB．∠SCA≥αC．∠SBA≤αD．∠SBA≥α二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）(共7题；共36分)11．（6分）已知复数z满足（1+2i）z=2+i，则z= ，|z|=．12．（6分）f(x)=(x2+x+1)(2x- 1x)5的展开式中各项系数的和为，该展开式中的常数项为．13．（6分）已知函数f(x)=cos（ϖx+φ)（ϖ>0，| φ|< π2）图象中两相邻的最高点和最低点分别为（π12，1），（7π12，1)，则函数f(x)的单调递增区间为，将函数f(x）的图象至少平移个单位长度后关于直线x=- π4对称．14．（6分）一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ，这两个数字和的数学期望为 ．15．（4分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a>0，b>0）中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得 P i A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·P i A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线离心率的取值 ．16．（4分）从0，1，2…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…)，有 个不同的数．（用数字作答）17．（4分）已知实数x ，y ∈[-1，1]，max{a ，b}= {a ，a ≥bb ，a <b，则max{x 2-y 2+1，|x-2y|}的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） (共5题；共74分)18．（14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2 -sin A 2 = √22（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）当a= √7 ，sin(A+C)= √2114，求c 的值．19．（15分）如图，已知△ABC 中，AB-BC= √7 ，AC= √10 ，点A ∈平面α，点B ，C 在平面V的同侧，且B ，C 在平面α上的射影分别为E ，D ，BE=2CD=2．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+1=2a n2+a n(n∈N*)．（Ⅰ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）已知对于任意的n∈N*，不等式1S1+1S2+1S3+....+1S n<M恒成立，求实数M的最小值．（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为T n，满足42an-1=λT n-2(n∈N*)，是否存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列？并说明理由．21．（15分）已知椭圆x24+y=1，抛物线x2=2y的准线与椭圆交于A，B两点，过线段AB上的动点P作斜率为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求线段AB的长及直线l斜率的取值范围．（Ⅱ)已知点Q（0，14），求△MNQ面积的最大值．22．（15分）已知函数f(x）=e x-ax-b(a，b∈R其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f(x）≥0恒成立，求ab的最大值．（Ⅱ)设F(x)=lnx+1-f(x)，若函数y=F(x)存在唯一零点，且对满足条件的a，b，不等式m(a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵A={1，5}，B={−1,5,7}∴A∪B={−1，1,5,7}又∵U={−1,1,3,5,7,9}∴C U(A∪B)={3,9}故答案为：A【分析】利用集合并集运算及补集的运算即可。
2019年8月浙江省学考选考名校协作体高三期初数学考试试题及参考答案
2019年协作体高三期初考试参考答案命题学校：镇海中学桐乡高级中学审题学校：缙云中学一、选择题：1.C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.A二、填空题:11.2;212.0;⎦⎤⎢⎣⎡+-6k 2,67k 2ππππZ k ∈13.22;()863+π14.6;615.2019416.17817.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,219三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18：（Ⅰ）由sin sin sin c a C B c b A -+=-得到c a c b c b a-+=-------------------3分即222a c b ac+-=所以1cos 2B =，从而3B π=------------------7分（Ⅱ231sin cos (cos 1)sin 22222C A A C A -+-3123cos sin()2232313cos sin 44213cos()262C C C C C ππ=--+=-+=++------------------10分因为5666C πππ<+<------------------12分所以33cos()262C π-<+<所以2sin cos 42224C A A <-<--------------14分19.（I ）取DN 的中点E ，连接BE PE ,。
MN BE AN PE //,//，BE PE ,是平面AMN 外两条相交直线，所以平面//PBE 平面AMN ，所以//BP 平面AMN 。
-----------6分（II ）作AC BG ⊥于G ，在平面DAC 内作GC GH ⊥交AD A B CD M N PGH I于H ，因为AB AD 2=，所以H 为AD 的中点，得△BGH 是正三角形。
------------------9分易得平面BGH ⊥平面DAC ，作GH BI ⊥于I ，则I 为GH 的中点，连接PI ，则BPI ∠是BP 与平面ACD 所成角。
高中数学2019学年浙江名校协作体高三上开学考
2019学年浙江名校协作体高三上开学考一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知集合{}|0M x x =>，{}|12N x x =-<≤，则()R M N I ð等于（ ）A ．()1,-+∞B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,1-2. 设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zzz ⋅=-（ ） A ．i -B ．2iC ．1-D ．13. 若函数()222f x x ax b =--的图象总在x 轴上方，则（ ）A ．2a b +>B ．12a b -<-C ．124a b +>D ．124a b +<4. 已知,x y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤5. 已知函数()2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间为(),1-∞C ．()f x 是奇函数，递减区间为()1,1-D ．()f x 是奇函数，递增区间为(),0-∞6. 已知平面α与平面β交于直线l ，且直线a α⊂，直线b β⊂，且直线,,a b l 不重合，则下列命题错误．．的是（ ）A ．若,a b αβ⊥⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥B ．若,b l αβ⊥⊥，则a b ⊥C ．若,a b b l ⊥⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥D ．若,a l b l ⊥⊥，则αβ⊥7. 已知等比数列{}n a 中51a =，若246811115a a a a +++=，则2468a a a a +++=（ ）A ．4B ．5C ．16D ．258. 已知a ，b 为实数，则“不等式1ax b +≤对所有满足1a ≤且1b ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知正数a ，b 满足()24ab a b +=，则2a b +的最小值为（ ）A ．12B ．8C．D10. 已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>内有一定点()1,1P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，BP PD λ=u u u r u u u r ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为（ ）AB ．12CD二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11.148= ，2log 314log 22-+= ． 12. 设函数()cos2sin f x x x =-，则5()6f π= ，若()0f x ≥，则实数x 的取值范围是 ． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于 ；该几何体的体积为 ．14. 已知点P 在椭圆22:143x yC +=上，点Q ,R 分别在圆221:(1)1O x y ++=和圆222:(1)1O x y -+=上运动，若过点P 存在直线l 同时与两圆相切，这样的点P 的个数为 ；当点P 在椭圆上运动，则PQ PR +的最大值为 ．15. 已知数列{}n a 为等差数列，公差为()0d d ≠，且满足344651222019a a a a a a d ++=，则5611a a -= ． 16. 已知ABC △的面积等于1，若1BC =，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A = ． 17. 已知非零的平面向量a ,b 满足0=g a b ，又平面向量c 满足||2||2-=-=c a c b ，若1||2--≤c a b ，则c 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分18. （本题满分14分）在ABC △中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin c a C Bc b A-+=-． （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围．俯视图19. （本题满分15分）如图，四面体ABCD 中，2AD =，1AB AC ==，二面角D AC B --的大小为60︒，120BAC DAC ∠=∠=︒，()01AP AD λλ=<<u u u r u u u r．（1）若12λ=，M 是BC 的中点，N 在线段DC 上，2DN NC =，求证：BP ∥平面AMN ；（2）当BP 与平面ACD 所成角最大时，求λ的值．20. （本题满分15分）已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足21a =，130b a =≠，且{}n n a b ⋅的前n 项和()1224n n S n +=-⋅+，n *∈Ν． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1n n n b b b a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若20182019n T >，求n 的最小值．21. （本题满分15分）如图，过点()1,0P 作两条直线1x =和l 分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方，l 的斜率大于0），直线AC ，BD 交于点Q ．（1）求证：点Q 在定直线上；（2）若PQCPBDS S λ=△△，求λ的最小值．DPNMCBA22. （本题满分15分）已知()ln f x x =，()g x =．（1）若()()()af xg x g x +≥在(]0,1恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若,0m n >，1m n +=，求证：()()()()2214f m f ng m g n -<．。
浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题Word版含解析
浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. 设集合M={x| }，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A. [0，1）B. （0，1）C. [0，2）D. （0，2）【答案】C【解析】分析：解分式不等式得集合M,再根据集合的并集定义得结果.详解：因为，所以,因此M∪N= [0，2），选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】双曲线两条渐近线互相垂直, ,计算得出.即为等轴双曲线.因此，本题正确答案是.3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式得结果.详解：因为几何体为一个四面体，六条棱长分别为，所以四面体的四个面的面积分别为因此四面体的最大面的面积是，选C.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为|φ|＜因此，选B.点睛：已知函数的图象求解析式(1). (2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5. 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i 【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z ，根据复数概念得结果. 详解：因为（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i ， 所以因此，虚部为1,选A............................... 6. 已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，（n ≥2），则a 6=（ ）A.B. 4C. 16D. 45【答案】B【解析】分析：先根据等差数列定义及其通项公式得，再根据正项数列条件得a n ，即得a 6.详解：因为，所以所以公差等差数列，，因为，因此，选B.点睛：证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：7. 用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8. 如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则，若f（x）=sinx﹣cosx =是“Θ函数”，则，若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则，因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9. 设a＞b＞0，当取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A. 3B.C. 5D.【答案】A【解析】分析：根据基本不等式求最值c，并确定a,b取值，再根据绝对值定义去掉绝对值，结合分段函数图像确定最小值.详解：因为，所以当且仅当时取等号，此时因为，所以因此当时，f（x）取最小值为3.选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A. AE∥平面C1BDB. 四面体ACEF的体积为定值C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值D. 异面直线AF、BE所成的角为定值【答案】D【解析】分析：先证面AB1D1平行面C1BD，即得AE∥平面C1BD，通过计算四面体ACEF的体积、三棱锥A﹣BEF的体积以及异面直线AF、BE所成的角确定命题的真假.详解：因为B1D1// BD，C1D// AB1，所以面AB1D1平行面C1BD，因此AE∥平面C1BD，所以A正确，因为为定值，所以B正确，因为为定值，所以C正确，当E,F交换后，异面直线AF、BE所成的角发生变化，因此D错，选D.点睛：立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11. 若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____．【答案】 (1). (2). 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=,因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.13. 已知向量满足的夹角为，则 =_____；与的夹角为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.详解：因为的夹角为，所以，，所以因此.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.14. 函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为_____；参数b的所有取值构成的集合为_____．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据条件A=B，得f（0）=0，解得a;再根据f（-b）=0，得f（x）=-b无解或仅有零根，解得b的取值范围.详解：因为A=B，所以f（x）=0成立时f（f（x））=0也成立，因此f（0）=0，，即参数a的所有取值构成的集合为，因为f（x）=x2+ bx，所以由f（x）=0得当-b=0时, f（f（x））= x4=0,满足A=B，当时,由f（f（x））=0得f（x）=0或f（x）=-b，因此f（x）=-b无解或仅有零根，因为，即方程无解，，综上b的取值范围为点睛：已知函数有零点或方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数交点或函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．【答案】①④【解析】分析：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；若m∥l，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；对于不成立的可以举反例说明.详解：因为m⊥α，则m垂直与α平行所有平面中的直线；所以若m⊥α，l⊂β，α∥β，则m⊥l；若m∥l，m⊥α，l⊂β，则β过垂直于α一条垂线，所以α⊥β；若α⊥β，m⊥α，l⊂β，则m,l位置关系不定；若m⊥l，m⊥α，l⊂β，则α，β也可相交，因此命题的序号是①④.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是_____．【答案】7.2【解析】分析：先确定随机变量的取法2，4，8，16，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：因为留在手中的球的标号可以为2，4，8，16，所以,,,因此点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.17. 设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____．【答案】2【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果.详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB与直线CD斜率和相反，因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用关于原点对称，为椭圆上三点).三、解答题（共5小题，满分74分）18. 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．【答案】（1）（2）2或【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.详解：解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19. 四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．【答案】（1）见解析（2）1【解析】分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由已知线面垂直关系得AC⊥SB，由线面垂直判定定理得AC⊥面SBD，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先将四棱锥补成正四棱柱ABCD ﹣A′SC′D′，作AE⊥A′D于E，则根据线面垂直判定定理得AE⊥面SCD，即得∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，最后根据解三角形得结果.详解：证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【答案】（1）y=1（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（3）【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21. 已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解方程组可得a,b，（2）交轨法求轨迹，先设P,Q坐标,根据垂直关系得斜率乘积为-1，两式对应相乘，利用椭圆方程化简可得Q点轨迹方程，最后根据根据纯粹性去掉两点.详解：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.22. 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Tn，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{bn}的通项公式，并判断其单调性．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再利用等比数列定义证数列{an+1}为等比数列；（2）先根据等比数列通项公式求an +1，解得an，再放缩利用等比数列求和公式得结论，（3）先求导数，得，再利用错位相减法求其中部分和，即得，最后根据相邻两项差的关系判断数列单调性,这时可利用数学归纳法证明.详解：解：（Ⅰ）证明：an+1=Sn+n+1，可得当n≥2时，an =Sn﹣1+n，两式相减可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{an+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）an+1=2•2n﹣1=2n，即有an=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=an +2an﹣1x+…+na1x n﹣1，则bn=f′n（1）=an +2an﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}递增，只需证明当n为自然数时，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，bn+1＞bn．即数列{bn}为递增数列．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。