分布列及数学期望经典复习
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，⨯⨯=；甲队比赛3场获胜的概率为P=0.50.50.50.125（2）X所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯， ()()31323333 6000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=， ()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立． （1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12， 由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=， 11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖． （1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====， ()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =−−−=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310 （2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣． （3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=． 由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i −⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为()15533E X =⨯=。
第49讲 离散型随机变量的分布列及期望(原卷版)-高考数学二轮复习
第49讲 离散型随机变量的分布列及期望一、知识与方法1 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫作随机变量. 2 离散型随机变量对于随机变量可能的取值,可以按次序一一列出,这样的随机变量叫作离散型随机变量. 3 离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为12,,,,,i x x x ξ取每一个值i x (1i =,2,3,) 的概率为()i i P x P ξ==，01i P ，121i P P P ++++=, 则称下表为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.4 离散型随机变量的期望若离散型随机变量ξ的概率分布列()i i P x P ξ==，1i =, 2,3,，则ξ的数学期望1122i i E x P x P x P ξ=++++5 二项分布在n 次独立重复试验中,某个事件发生的次数ξ是一个随机变量,如果在一次试验中某事件发生的概率是p , 那么这个事件恰好发生k 次的概率是()kkn kn P k C P qξ-==,其中0,1,2,,k n =，1q p =-, 则称ξ服从二项分布,记作(),B n p ξ~. 其中n p 、为参数, 并记 作(),,C kkn kn b k n p p q-=.6 离散型随机变量的方差(1) 若离散型随机变量ξ的概率分布为()i i P x p ξ==，1,2,3,i =, 那么()D ξ=()()2221122()i i x E p x E p x E p ξξξ-⋅+-⋅++-⋅+叫作随机变量ξ的方差,其中E ξ为随机变量的期望.ξ的标准差,记作()σξ.(2) 方差计算的简化公式: ()()()22D E E ξξξ=-.(3) 离散型随机变量的性质: (1) ()0D c =, 其中c 为常数; (2)()()2D c c D ξξ=, 其中c 为常数; (3) ()()2D c b c D ξξ+=, 其中b c 、为常数; (4) 若(),b n p ξ~, 则()1D np p ξ=-.二、典型例题【例1】一个袋子中装有7个小球,其中红球4个, 编号分别为1,2,3,4,黄球3个,编号分别为2,4,6, 从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等).（1）求取出的小球中有相同编号的概率;（2）记取出的小球的最大编号为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.【例2】)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立,（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;（2）设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2", 求事件M发生的概率.【例3】某人参加射击,击中目标的概率是1 3 .（1）设ξ为他射击6 次击中目标的次数,求随机变量ξ的分布列；（2）设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求η的分布列;（3）若他连续射击6 次,设ξ为他第一次击中目标时之前射击的次数,求ξ的分布列;（4）若只有 6 颗子弹,他击中目标,则不再射击,否则直到子弹打完,求他射击次数ξ的分布列.三、易错警示【例】甲、乙两人解一道数学奥林匹克问题,甲解出该题的概率为23, 乙解出该题的概率为45, 设ξ为表示解出该题的人数,求E ξ.四、难题攻略【例】设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分, 取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3 分.（1）当 3a =，2b =，1c =时, 从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和,求ξ的分布列;（2）从该袋中任取(每球取到的机会均等) 1个球,记随机变量η为取出此球所得分数. 若53E η=，59D η=, 求 ::a b c .五、强化训练1已知某单位甲、乙丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?（2）若抽出的7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检査.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.2 在10件产品中有3件一等品,4件二等品,3件三等品, 从这10件产品中任取3件.求：（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.。
8.2.6(2)分布列和数学期望高考题举例
1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.2.（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X === 所以，X()7811515E X =+=3.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P 所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632．4.（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ；725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ；X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．作业【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
理科数学第二轮复习课时考点：统计(分布列和期望)
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19) 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯= 所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31． (Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k kξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P .410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη .7()2(≥=-=ξηP P η∴的概率分布为∴利润的期望=10×0 （万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
《第50讲 离散型随机变量得分布列,期望与方差》课件-湖南省长沙市长郡中学高三数学总复习 (共48张
则称表
为随机变量X的概率分布列． (4)分布列的两个性质 ①__0__≤pi≤1，i=1，2，…，n． ②p1+p2+….+pn=___1____.
【答案】B
两点分布列
3. 超几何分布列
4．有 8 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 3
件，若 X 表示取得次品的件数，则 P(X≤1)＝( )
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且 这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概 率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变 量X的分布列．
【点评】超几何分布的2个特点 (1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可 直接应用公式给出；
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量 为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上 是古典概型．
超几何分布的特征是：(1)样本空间的N个元素可分 为两类元素，其中一类元素共M个(M＜N)；(2)从N个元 素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素 的个数．
【方法总结 】
1．关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： (1)写出 的所有可能取值． (2)用随机事件概率的计算方法，求出 取各个值的概 率． (3)利用(1)(2)的结果写出 的分布列．
设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…， xi，…，xn，而每一个值的概率为P(X=xi)___p_i__ (i=1， 2，…，n).
则称表
为随机变量X的概率分布列． (4)分布列的两个性质 ①____≤pi≤1，i=1，2，…，n． ②p1+p2+….+pn=_______.
则称表
为随机变量X的概率分布列． (4)分布列的两个性质 ①__0__≤pi≤1，i=1，2，…，n． ②p1+p2+….+pn=_______.
离散型随机变量的分布列、期望、方差-复习指导
离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导学习要求：了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。
知识总结：一、离散型随机变量的分布列1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示2.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1, a2, ……, a n, ……, 相应取这些值的概率为：p1，P2，……, P n, ……，则称下表：为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列具有的两个性质：①P i0(i=1,2,……,n,……) ②P1+P2+……+P n+……=1 一种典型的离散型随机变量的分布列：二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0<P<1)，ξ为n次试验中A 发生的次数，则ξ的分布列为：称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,P)注：是二项展开式[P+(1-P)]n=++……++……+中的第k+1项。
P1+P2+……+P n=++……+=[P+(1-P)]n=1。
二、离散型随机变量的期望与方差1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是：ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称a1p1+a2p2+……+a n p n+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。
期望的性质：①若=aξ+b (a,b均为常数), 则E=aEξ+b。
②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。
③若ξ～B(n, p), 则Eξ=np注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。
2．方差:设离散型随机变量ξ的分布列是ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(a n-Eξ)2p n+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。
分布列、期望和方差
①pi≥0，i＝1,2，?n； ②p1＋p2＋p3＋?pn＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
（3）E(X)＝x1p1+x2p2+?+xnpn为随机变量 X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（4）D(X)＝?[xi－E(X)]2pi＝(x1?E?)
i＝1n2p1+(x2?E?)2p2+?+(xn?E?)2pn
为随机变量X的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D(X)的算术平方根D?X?叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．
高三第一轮复习 离散型随机变量及其概率分布 知识归纳
1．随机变量
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X随试验结果的不同而变化，那么变量X叫做随机变量．
(2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型
随机变量． Leabharlann 2．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X所有可能取的不同值为x1、x2、?、xi、?、xn，X取每个值xi(i＝1,2，?n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X的分布列也可简记为：
P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、?、n.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
离散型随机变量的分布列和数学期望
【知识点】1.n 次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立 2.n 次独立重复试验的概率：一般地，事件A 在n 次试验中发生k 次，其有kn C 种情形，由试验的独立性知A 在k 次试验中发生，而在其余k n -次试验中不发生的概率都是kn k p p --)1(，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为).,...2,1,0()1()(n k p p C k P kn k k n n =-=-3.二项分布:在上公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为p q -=1，那么在n次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是kn k k n q p C k X P -==)(.其中.,...2,1,0n k =于是得到X 的分布列各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布,记作).,(~p n B X4.离散型随机变量X 的数学期望一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是,,...,,21n x x x 这些对应的概率是,,...,,21n p p p ,则n n p x p x p x X E +++=...)(2211叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望.5.二项分布的数学期望:np x E =)(【经典例题】【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 1、【答案】（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个， 所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ， 所以n 的最小值为4． （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3.【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为3，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮． （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．2.【答案】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0,1,2,3．ξ的分布列如下表：（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件1B ，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件2B ，则2121,,B B B B A Y =为互斥事件．【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在234、、层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4【易错题】【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 1.【答案】解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则ξ可能取0，1，2，3.0 1235567889 135567 罗非鱼的汞含量（ppm ）【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 2、【答案】解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 所以 0.0125x =.（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.【例3】国家对空气质量的分级规定如下表：（Ⅰ）写出下面频率分布表中,,,a b x y 的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX .【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．服务时间/小时O4.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．随机变量ξ的分布列为【课后测试】1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. （Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.（Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．2.张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有12L L ，两条路线（如图），1L 路线上有123A A A ，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有12B B ，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．2 122、【答案】解：（Ⅰ）设走1L 路线最多遇到1次红灯为A 事件，则因为EX EY <，所以选择2L 路线上班最好．3.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90,70,60,40,30分分分分分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:(Ⅰ),其成绩等级为“A 或B ”的概率;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ; (Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.显然基本事件的总数为230C .不妨设m n >,当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为111673()C C C ⋅+;当60m =时,30n =,其基本事件数为11103C C ⋅;4.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 4.【答案】（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个， 所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ， 所以n 的最小值为4．（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3.5.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90,70,60,40,30分分分分分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的概率;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ; (Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.显然基本事件的总数为230C .不妨设m n >,当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为111673()C C C ⋅+;当60m =时,30n =,其基本事件数为11103C C ⋅;【课后作业】1.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min。
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于．3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则x+y= ．ξ1 2 3P X y x7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ．8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ．10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是．X ﹣ 1 0 1P a c13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1.，5则a的值等于．ξ012 3P0.1a b0.214．一个人随机的将编号为1， 2， 3，4 的四个小球放入编号为1， 2， 3， 4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ=．15．从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1， 2，3， 4， 5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2 ，3， 4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．18．盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0， 1， 2， 3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 a，b ∈{ 1，2 ，3，4} ，若 | a﹣ b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为 n，向量=（ m， n）， =（ 3， 6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．2017 年 03 月 25 日茅盾中学09 的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24 小题）1．（ 2012?温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15 分．【分析】设该生在面试时的得分为 X，由题设条件知 X 的可能取值为﹣ 15，0， 15， 30，分别求出 P（ X=﹣ 15）， P（ X=0）， P（ X=15）， P（ X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X 的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣ 15 ） = = ，P（X=0）= = ，P（X=15） = = ，P（X=30） = = ，∴E X=﹣ 15× +0× +15× +30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15 分．故答案为： 15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率计算公式的灵活运用．2．（ 2016 春 ?松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ =300，Dξ =200，则 P 等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p．【解答】解：∵ξ服从二项分布 B～（ n ，p）Eξ =300， Dξ =200∴Eξ=300=np，①；Dξ =200=np（ 1﹣ p），②．可得 1﹣ p==，∴p=1﹣ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013 春 ?渭滨区校级期末）设随机变量X～B（ 6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题 x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B（ 6，），∴P（ X=3） =C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（ 2015?中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量 X 的数学期望是．【分析】确定 X 的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X 的数学期望【解答】解：由题设知X 的可能取值为 1，2， 3， 4， 5．随机地取出两个球，共有：=15 种，∴P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ， P（ X=4）= ， P（ X=5）= ，∴随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P故 EX=1×+2×+3×+4×+5×= ．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X 的可能取值，求出相应的概率是关键．5．（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是 1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵ a， b， c 成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1× a+1× c=c﹣ a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（ 2014?余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0， y＞ 0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y=．ξ12 3P X y x【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．【解答】解：由题意可得：2x+y=1， Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（ 1﹣ 2x）=2．∴方差 Dξ= =（ 1﹣ 2）2x+（ 2﹣2）2（1﹣ 2x） +（ 3﹣ 2）2x．化为，解得，∴= ．∴= ．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（ 2015 春 ?淮安校级期末）袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤7） = ．【分析】取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1， 2，3 个，得分的随机变量ξ=4， 6， 8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1，2， 3 个，∴得分的随机变量ξ=4， 6， 8， 10，∴P（ξ≤ 7） =P（ξ=4） +P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001?江西）一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2 个球，其中 2 个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是 0、 1、 2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出 2 个球，其中 2 个红球，∴P（ξ=0） = =0.1，P（ξ =1） = =0.6P（ξ =2） ==0.3∴Eξ=0× 0.1+1× 0.6+2× 0.3=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（ 2012?浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是 0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0， 1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6× 6=36故 P（ξ=0） =，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为ξ01 2P=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（ 2013?浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50 时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，， 50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10 个球中取 5 个共有 C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（ X=100） ==，当得分 50 时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50） ==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013?西湖区校级模拟）为参加2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b， c，d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0， 1，2， 3，P（ξ =0）= = ， P（ξ =1）= = ，P（ξ =2）= = ， P（ξ =3）= =∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（ 2011?海珠区一模）随机变量X 的分布列如下：若，则DX的值是．X﹣ 10 1P a c【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以 DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（ 2012?浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1，.5则a的值等于0.5 ．ξ012 3P0.1a b0.2【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望 Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：?．故答案为： 0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（ 2011?宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4 的四个小球放入编号为1，2，3 ，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ= 1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，ξ的分布列为：ξ0 1 2 4PEξ==1．故答案为： 1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（ 2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况， 2 名都是女同学的共有=3 种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况，满足 2 名都是女同学的共有=3 种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（ 2013?上海）盒子中装有编号为1， 2，3， 4，5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：= ．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（ A） = ，其中 n（ A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数．17．（ 2015?江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1， 2， 3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．【分析】由组合知识求出从 4 个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于 5 的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从 5 个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于 5 的情况有（2， 4），（ 3， 4）共 2 种取法．所以取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（ 2010?江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件 A 中包含的基本事件的个数31=3，m=C算出事件 A 的概率，即 P（ A） = 即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数 n=C42 =6，m=C 1∵事件 A 中包含的基本事件的个数=33∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（ A） = ．19．（ 2009?安徽）从长度分别为2，3，4， 5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共 3 种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2， 3， 4； 2，3， 5； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2， 3， 4； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 3 种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（ 2011?鼓楼区校级模拟）从分别写有0， 1， 2，3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0， 1， 2， 3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5× 5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于 4 为事件 A”：事件 A 的个数为：（ 4， 0），（ 0，4），（ 2， 2），（1， 3），（ 3， 1）共 5 个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（ A） =．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（ 2011?江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且 a，b∈ { 1，2，3， 4} ，若 | a﹣ b| ≤1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有4× 4 种结果，满足条件的事件是| a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有 4× 4=16 种结果，满足条件的事件是 | a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1 时， b=1， 2，当a=2 时， b=1， 2， 3当a=3 时， b=2， 3， 4当a=4 时， b=3， 4总上可知共有2+3+3+2=10 种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n ，向量=（ m，n）， =（ 3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到 6m﹣ 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6× 6=36 种结果，满足条件事件是向量=（ m， n）与=（3， 6）共线，即6m﹣ 3n=0，∴n=2m ，满足这种条件的有（ 1， 2）（ 2， 4）（ 3， 6），共有 3 种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（ 2013?西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有 22=4 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（ 2011?卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答 5 道题中的 3 道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从 5 道备选试题中随机抽出 3 道题共有：3=10 种情况C5 =其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有： C31=3 种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
高三数学分布列和期望
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解61 随机变量分布列、期望与方差
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。
专题15分布列、期望与方差-高考数学复习资料.docx
一、选择题1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足£(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是A. Ef=-4,Df = 4B. Ef=-3,Df = 3C. Eg =- 4,Df =- 4D.Eg =- 3,DC = 4【答案】D【解析】随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,则:1_砖=4丄_1円疋=4,据此可得：必=-3,巧=4.本题选择。
选项.2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()A. P] > P2'E(§1)V E(§2)B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)【答案】A【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选A.3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()2 5 2 3A. 3 乩© C. ® D. 4【答案】A【解析】因为b, c成等差数列，・・・2b = e + G・・・ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿□ □E^ = ~a+c = ~2a + i则Df的最犬值为扌・本题选择卫选项.4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是A. Ef=-4,D£ = 4B. Ef=-3,Df = 3C.図=-4,D£ =- 4D. Ef =- 3,Df = 4【答案】D【解析】随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,据此可得：昭=-3必=4.本题选择〃选项.10 V a V —5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101P 314—a4a当a增大时，()A. E代)增大，D(2)增大B. E(g)减小，DU)增大C. E(g)增大，D(§)减小D. E(§)减小，D(§)减小【答案】A【解析】由随机变量§的分布列，得应(V =。
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于是得到随机变量 的概率分布如下：
…
…
…
…
称这样的随机变量 服从几何分布，
记作
知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；
(1)要确定随机变量 的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；
(2)分清概率类型，计算 取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；
(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.
知识点二：两点分布：
0
1
若随机变量X的分布列: 则称X的分布列为两点分布列.
特别提醒：(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布
(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
10.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
知识点三：超几何分布：
一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则
称超几何分布列.
0
1
为超几何分布列，
知识点四：离散型随机变量的二项分布；
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是
4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 的是()．
A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)
5．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P 的值为()．
二、填空题
课堂演练
X
0
1
2
P
a
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于()．
2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于()．
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
…
…
…
…
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列
知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；
任何随机事件发生的概率都满足: ，并且不可能事件的概率为 ，必然事件的概率为 ．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
；
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即
几种常见的分布列的求法：
(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.
(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在 次射击中发生 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．
11.甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为 ，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量 ,求随机变量 的分布列
70
81
3．为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________．
4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量 可能取的值为 取每一个值 的概率为 ，则称表
(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列
离散型随机变量及其分布
知识点一：离散型随机变量的相关概念；
随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、 等表示
离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， ，其中 、 是常数，则 也是随机变量
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以 的数学期望又称为平均数、均值。
期望的一个性质：若 ，则
，（ …， ）
于是得到随机变量 的概率分布如下：
…
…
…
…
由于 恰好是二项式展开式：
中的各项的值，所以称这样的随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 ， 为参数，并记
知识点五：离散型随机变量的几何分布：
在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数 也是一个正整数的离散型随机变量．“ ”表示在第 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把 次试验时事件 发生记为 、事件 不发生记为 ， ， ，那么
三、解答题
9．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
6．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝，那么n＝________.
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9Hale Waihona Puke 58．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________．
作业：分布列练习 【时间：60分钟】
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
1．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是()．
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q等于()．A．1 B．1± C．1－ D．1＋
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()．A．0
(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.
知识点六：期望
数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … … 为 的数学期望，简称期望
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。