理学概率统计第八章第二节
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一、 均值的假设检验
设 总 体X ~ N (, 2 ) , 未 知 ， 2已 知 或 未 知 ，
X1 , X 2 , , X n是 来 自 总 体X的 样 本 ， 来 检 验 关 于
均 值的 假 设 （ 显 著 性 水 平 为 ） ：
1) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; 2) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 . 3) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ;
(n1 1)s12 112.25 (n2 1)s22 66.64 sw 2.85
| t | | x y | | 31.75 28.67 | 2.647
1. 2 为已知, 关于的检验(U 检验)
上节讨论中都是利用 H0 为真时服从 N (0,1) 分布
的统计量 U X 0 来确定拒绝域的, 这种 / n
检验法称为U 检验法. 拒绝域分别为
U 检验 检验统计量的观察值u x 0 / n
H0
0 0 0
H1
0 0 0
H
69，68，72，70，66，75
设手机的待机时间 X ~ N (, 2 ) ，由这些数据能
否说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？（ 0.05）
解 问题可归结为检验假设
H0 : 71.5 ,
H1 : 71.5
由于方差 2未知，用t 检验。
检验统计量 T X 0 ~ t(n 1)
S/ n
拒绝域
解 按题意需检验假设 H0 : 0 98.0 H1 : 0
检验统计量 U X 0 ~ N (0,1)
/ n
拒绝域（参阅表8-1） U u
查正态分布表得 u u0.05 1.645
计算统计值 u x 0 97.7 98.0 1.875 / n 0.8 / 25
执行统计判决 u 1.875 1.645 u 故拒绝H0，即认为新油的辛烷平均等级比原燃料辛 烷的平均等级确实偏低．
设总体
X
~
N (1,12 ), Y
~
N
(2
,
2 2
)
X ,Y 独立，
2 1
2 2
2
未知
X1，…，Xn 取自总体X 1
其样本均值为 X 样本方差为 S12
Y1，…，Yn 取自总体Y 2
其样本均值为
Y
，样本方差为
S
2 2
给定显著水平，检验假设 H0 : 1 2
H1 : 1 2
拒绝域形式为 | x y | k （k待定）
即采用 t X 0 来作为检验统计量.
S/ n
t 检验 检验统计量的观察值t x 0
s/ n
H0
0 0
H1
0 0
H
的拒绝域
0
t t (n 1)
t t (n 1)
上述利用 t 统计量 得出的检验法称为
0
0
| t | t / 2 (n 1) t 检验法.
例2 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产 的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5 小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品牌的 手机6部，得到的待机时间为
的拒绝域
0
u u
u u | u | u / 2
下面求两个正态总体均值差检验的拒绝域。
设总体 X
~
N
(1
,
2 1
)
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
X与Y相互独立
2 1
,
2 2
已知
从两总体中分别取容量为n1、n2的样本
用X ， Y分别表示样本均值、给定显著水平
检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
1 2 的无偏估计分别为 X , Y
显然，H0的拒绝形式应为| x y | k（k待定）
由于
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
若H0真，则统计量
U
X Y
2 1
2 2
n1
n2
~ N (0,1)
由
P(| X Y | k) P| U |
k
2 1
/ n1
得
k Sw
1 n1
1 n2
ta
2
(n1
n2
2)
例3 对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗 拉强度试验，得到的试验数据如下：
方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30， 29，32，31
方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31， 29，32，28
设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从 正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属 材料的平均抗拉强度有无显著差异．（ 0.05 ）
二、 t 检验法（方差未知）
设总体 X ~ N (, 2 ), 2未知
对显著水平 检验假设
H0 : 0
拒绝域形式
H1 : 0
| x 0 | k （k待定）
设 X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本, 因为 2 未知,不能利用 X 0
/ n
来确定拒绝域, 因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 ,
t
x 0
s/ n
t (n 1)
计算统计值
x 70 s2 10
t 1.162
查t分布表，得 t (n 1) t0.05 (5) 2.015
统计判决 t 1.162 2.015 t (n 1)
故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者 之嫌疑
下面求两个正态总体均值相等性检验的拒绝域。
解 记两总体的正态分布为 N(1, 2 ), N(2 , 2 ) 本题是要检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
检验统计量为 T X Y
Sw
11 n1 n2
拒绝域为
| t | | x y |
Sw
11 n1 n2
t 2 (n1 n2 2)
计算统计值百度文库
n1 n2 12 , x 31.75 , y 28.67
由第六章第四节例2的结果知：
(X
Y) Sw
(1 11 n1 n2
2)
~
t(n1
n2
2)
S
2 w
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
当H0成立时，统计量
T X Y
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
由 a P X Y k PT
k
Sw
1 n1
1 n2
2 2
/ n2
得
k u
2
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为
| u |
| x y|
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u
2
（3）
例1 一种燃料的辛烷等级服从正态分布N (, 2 )，其
平均等级 98.0，标准差 0.05 ．现抽取25桶新
油，测试其等级，算得平均等级为97.7．假定标准 差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原 燃料的辛烷平均等级偏低？（ 0.8）
设 总 体X ~ N (, 2 ) , 未 知 ， 2已 知 或 未 知 ，
X1 , X 2 , , X n是 来 自 总 体X的 样 本 ， 来 检 验 关 于
均 值的 假 设 （ 显 著 性 水 平 为 ） ：
1) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; 2) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 . 3) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ;
(n1 1)s12 112.25 (n2 1)s22 66.64 sw 2.85
| t | | x y | | 31.75 28.67 | 2.647
1. 2 为已知, 关于的检验(U 检验)
上节讨论中都是利用 H0 为真时服从 N (0,1) 分布
的统计量 U X 0 来确定拒绝域的, 这种 / n
检验法称为U 检验法. 拒绝域分别为
U 检验 检验统计量的观察值u x 0 / n
H0
0 0 0
H1
0 0 0
H
69，68，72，70，66，75
设手机的待机时间 X ~ N (, 2 ) ，由这些数据能
否说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？（ 0.05）
解 问题可归结为检验假设
H0 : 71.5 ,
H1 : 71.5
由于方差 2未知，用t 检验。
检验统计量 T X 0 ~ t(n 1)
S/ n
拒绝域
解 按题意需检验假设 H0 : 0 98.0 H1 : 0
检验统计量 U X 0 ~ N (0,1)
/ n
拒绝域（参阅表8-1） U u
查正态分布表得 u u0.05 1.645
计算统计值 u x 0 97.7 98.0 1.875 / n 0.8 / 25
执行统计判决 u 1.875 1.645 u 故拒绝H0，即认为新油的辛烷平均等级比原燃料辛 烷的平均等级确实偏低．
设总体
X
~
N (1,12 ), Y
~
N
(2
,
2 2
)
X ,Y 独立，
2 1
2 2
2
未知
X1，…，Xn 取自总体X 1
其样本均值为 X 样本方差为 S12
Y1，…，Yn 取自总体Y 2
其样本均值为
Y
，样本方差为
S
2 2
给定显著水平，检验假设 H0 : 1 2
H1 : 1 2
拒绝域形式为 | x y | k （k待定）
即采用 t X 0 来作为检验统计量.
S/ n
t 检验 检验统计量的观察值t x 0
s/ n
H0
0 0
H1
0 0
H
的拒绝域
0
t t (n 1)
t t (n 1)
上述利用 t 统计量 得出的检验法称为
0
0
| t | t / 2 (n 1) t 检验法.
例2 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产 的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5 小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品牌的 手机6部，得到的待机时间为
的拒绝域
0
u u
u u | u | u / 2
下面求两个正态总体均值差检验的拒绝域。
设总体 X
~
N
(1
,
2 1
)
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
X与Y相互独立
2 1
,
2 2
已知
从两总体中分别取容量为n1、n2的样本
用X ， Y分别表示样本均值、给定显著水平
检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
1 2 的无偏估计分别为 X , Y
显然，H0的拒绝形式应为| x y | k（k待定）
由于
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
若H0真，则统计量
U
X Y
2 1
2 2
n1
n2
~ N (0,1)
由
P(| X Y | k) P| U |
k
2 1
/ n1
得
k Sw
1 n1
1 n2
ta
2
(n1
n2
2)
例3 对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗 拉强度试验，得到的试验数据如下：
方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30， 29，32，31
方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31， 29，32，28
设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从 正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属 材料的平均抗拉强度有无显著差异．（ 0.05 ）
二、 t 检验法（方差未知）
设总体 X ~ N (, 2 ), 2未知
对显著水平 检验假设
H0 : 0
拒绝域形式
H1 : 0
| x 0 | k （k待定）
设 X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本, 因为 2 未知,不能利用 X 0
/ n
来确定拒绝域, 因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 ,
t
x 0
s/ n
t (n 1)
计算统计值
x 70 s2 10
t 1.162
查t分布表，得 t (n 1) t0.05 (5) 2.015
统计判决 t 1.162 2.015 t (n 1)
故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者 之嫌疑
下面求两个正态总体均值相等性检验的拒绝域。
解 记两总体的正态分布为 N(1, 2 ), N(2 , 2 ) 本题是要检验假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
检验统计量为 T X Y
Sw
11 n1 n2
拒绝域为
| t | | x y |
Sw
11 n1 n2
t 2 (n1 n2 2)
计算统计值百度文库
n1 n2 12 , x 31.75 , y 28.67
由第六章第四节例2的结果知：
(X
Y) Sw
(1 11 n1 n2
2)
~
t(n1
n2
2)
S
2 w
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
当H0成立时，统计量
T X Y
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
由 a P X Y k PT
k
Sw
1 n1
1 n2
2 2
/ n2
得
k u
2
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为
| u |
| x y|
2 1
/
n1
2 2
/
n2
u
2
（3）
例1 一种燃料的辛烷等级服从正态分布N (, 2 )，其
平均等级 98.0，标准差 0.05 ．现抽取25桶新
油，测试其等级，算得平均等级为97.7．假定标准 差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原 燃料的辛烷平均等级偏低？（ 0.8）