等差数列知识点+基础练习题

等差数列知识点1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =， 则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+(10)求n S 的最值法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+01n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。

若S p = S q 则其对称轴为2p qn +=注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．等差数列·基础练习题一、填空题1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________.2. 在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________3. 在等差数列中已知13d =-，a7=8，则a1=_______________4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是________________-5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是546. 正整数前n 个数的和是___________7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________.8. 在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 9. 在等差数列中已知13d =-，a7=8，则a1=_______________10. 在等差数列{an}中，an=m ，an+m=0，则am= ______。

11 在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。

12 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 ______ 。

13 已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。

14若是方程的解，则＝________。

15若公差，且是关于的方程的两个根，则＝________。

二、选择题1若lg 2,lg(21),lg(23)x x-+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或322、等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于 （ ）A 、B 、C 、或 1D 、3. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84B.72C.60 .D.484. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ）A.6B.3C.12D.45. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下项的和等于A.160B.180C.200D.2206. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ）A.45B.75C.180D.3007. 设nS 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B.322n a n n n =-++C.21n a n n =++ D.不存在9、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）A、 0B、 100C、10000D、50500010. 等差数列{}na中,12318192024,78a a a a a a++=-++=,则此数列前20下项的和等于A.160B.180C.200D.22011一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）A、 6项B、8项C、10项D、12项三、计算题1.求集合{}|21,*60M m m n n N m==-∈<，且中元素的个数，并求这些元素的和2.设等差数列{}na的前n项和公式是253nS n n=+，求它的前3项，并求它的通项公式3.如果等差数列{}n a 的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n 项和的公式。

4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数：（1）151,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及。