(浙江专用)201X高考数学二轮复习专题四解析几何规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案

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高中数学解析几何复习题集附答案

高中数学解析几何复习题集附答案高中数学解析几何复习题集附答案一、直线的方程在解析几何中，我们经常需要求解直线的方程。

直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

下面我们通过一些例题来复习直线的方程的求解方法。

例题1：已知直线L1经过点（2，3）和（4，1），求直线L1的方程。

解析：首先我们可以求出直线L1的斜率k。

直线L1的斜率可以通过两个已知点的坐标计算出来：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (4 - 2) = -1接下来，我们可以使用点斜式的形式来表示直线L1的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（2，3）代入方程中，得到：y - 3 = -1(x - 2)化简得到直线L1的方程为：y = -x + 5因此，直线L1的方程为y = -x + 5。

例题2：已知直线L2过点（3，-2）且与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 平行，求直线L2的方程。

解析：由于直线L2与直线L1平行，所以它们具有相同的斜率。

直线L1的斜率为：k = 2 / (-3) = -2/3因此，直线L2的斜率也为-2/3。

再结合已知直线L2过点（3，-2），我们可以使用点斜式来表示直线L2的方程：y - y1 = k(x - x1)将已知点（3，-2）代入方程中，得到：y - (-2) = (-2/3)(x - 3)化简得到直线L2的方程为：3y + 2x + 10 = 0因此，直线L2的方程为3y + 2x + 10 = 0。

二、直线和平面的交点在解析几何中，我们经常需要求解直线和平面的交点。

我们可以通过直线的方程和平面的方程来求解交点的坐标。

下面我们通过一些例题来复习直线和平面交点的求解方法。

例题3：已知直线L3的方程为2x - y + 3z - 7 = 0，平面Q的方程为x + y - z + 4 = 0，求直线L3与平面Q的交点坐标。

高考数学二轮复习专题6解析几何第一讲直线与圆理

高考数学二轮复习专题 6 分析几何第一讲直线与圆理第一讲直线与圆1．两直线平行．(1) 设直线 l 1， l 2 是两条不重合的直线，斜率都存在，分别为k 1，k 2，则有 l 1∥ l 2? k 1＝k 2．(2) 设直线 l ， l 2是两条不重合的直线，斜率都不存在，则有 l ∥ l．1122．两直线垂直．(1) 设直线 l 1， l 2 的斜率都存在，分别为k 1， k 2，则 l 1⊥ l 2? k 1k 2＝－ 1．(2) 若直线 l 1， l 2 的斜率一个为 0，另一个斜率不存在，则l 1⊥ l 2．1．两点间的距离公式．点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的距离为 | P 1P 2| ＝（ x 2 －x 1） 2＋（ y 2－y 1） 2．2．点到直线的距离公式．点 ( x 0， y 0) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 的距离为 d ＝| Ax 0＋ By 0＋C |A 2＋B 2 ．3．两条平行直线间的距离．| C －C |平行线 l 1： Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0 与 l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0 间的距离 d ′＝21A 2＋B 2．1．直线与圆的地点关系及其判断．(1) 几何法．设圆心到直线l 的距离为 d，圆的半径为r ，则直线与圆相离? d＞r；直线与圆相切? d＝r；直线与圆订交? d＜r．(2)代数法．Ax＋By＋ C＝0，（x－a） 2＋（y－b） 2＝r 2消元后得一元二次方程的鉴别式的值，则直线与圆相离 ? ＜ 0；直线与圆相切? ＝0；直线与圆订交 ? ＞ 0．2．圆与圆的地点关系．(1)几何法．设两圆的圆心距为d，半径分别为r 1， r 2，则两圆外离 ? d＞r1＋r2；两圆外切 ? d＝r1＋r2；两圆订交 ? | r1－r2 | ＜d＜r1＋r2；两圆内切 ? d＝ | r1－r2|( r1≠r2) ；两圆内含 ? 0≤d＜ | r1－r2|( r1≠r2) ．(2)代数法．222，（ x－ a1）＋（ y－ b1）＝r1（－2）2＋（－2）2＝22，则x a y b r两圆外离或内含 ? 方程组无解；两圆外切或内切 ? 方程组有一组实数解；两圆订交 ? 方程组有两组不一样的实数解．3 ．设空间两点A( x1， y1， z1)， B( x2， y2， z2)，则 A， B 两点间距离为d ＝（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2＋（ z2－ z1）2．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1) 依据直线的倾斜角的大小不可以确立直线的地点．( √ )(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ×)(4) 经过定点 A (0 ， b ) 的直线都能够用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ×)(5) 经过随意两个不一样的点P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 的直线都能够用方程 ( y － y 1)( x 2－ x 1)＝ ( x － x 1)( y 2－y 1) 表示． ( √ )(6) 方程 Ax 2＋ Bxy ＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0， B ＝ 0， D 2＋ E 2－4AF >0.( √ )1．直线 l 过点 ( － 1， 2) 且与直线 3x ＋ 2y ＝0 垂直，则 l 的方程是 ( D)A ． 3x ＋ 2y － 1＝0B ． 3x ＋ 2y ＋ 7＝ 0C ． 2x － 3y ＋ 5＝0D ． 2x － 3y ＋ 8＝ 022分析：由题可得 l 斜率为 3，∴ l： y － 2＝ 3( x ＋1) ，即 2x － 3y ＋ 8＝ 0 . 应选 D.2．(2015 ·山东卷 ) 一条光芒从点 ( － 2，－ 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 ( x ＋ 3) 2＋ ( y － 2) 2＝1 相切，则反射光芒所在直线的斜率为( D)5332A ．－ 3或－5B ．－ 2或－ 3C ．－ 5或－4 D ．－ 4或－ 3 45 3 4分析：由已知，得点 ( － 2，－ 3) 对于 y 轴的对称点为 (2 ，－ 3) ，由入射光芒与反射光芒的对称性，知反射光芒必定过点(2 ，－ 3) ．设反射光芒所在直线的斜率为k ，则反射光芒所在直线的方程为y ＋ 3 ＝ k ( x － 2) ，即kx － y － 2k － 3＝ 0. 由反射光芒与圆相切，则有d ＝| － 3k － 2－2k － 3|43k 2＋ 1＝1，解得k ＝－ 3或k ＝－ 4，应选D.3．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 4 与圆 ( x －2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为( B)A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离4. (2015 ·江苏卷) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线mx － y － 2m－1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( x － 1) 2＋ y 2＝ 2．分析：直线mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径 r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋ 1) 2 ＝2.一、选择题1．已知两条直线 y ＝ ax －2 和 y ＝( a ＋ 2) x ＋1 相互垂直，则a 等于 ( D)A ．2B ．1C ．0D ．－1分析：解法一将选项分别代入题干中察看，易求出 D 切合要求．应选D.解法二 ∵直线＝－ 2 和 y ＝( ＋ 2) x ＋1 相互垂直，∴( ＋2) ＝－1. ∴ ＝－ 1. 故y axaa a a选 D.2. (2015 ·江苏卷改编 ) 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx － y－2m － 1＝ 0( m ∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为( A)A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 2B ． ( x －1) 2＋ ( y －1) 2＝ 2C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 2D ． ( x －2) 2＋ ( y －1) 2＝ 2分析：直线 mx － y － 2m －1＝ 0 经过定点 (2 ，－ 1) ．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝ (1 － 2) 2＋(0 ＋1) 2 ＝2.3．(2015 ·北京卷 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( D)A ． ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ． ( x ＋ 1) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1C ． ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 2D ． ( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2分析：圆的半径 r ＝（ 1－ 0）2＋（ 1－ 0） 2＝ 2，圆心坐标为 (1 ， 1) ，因此圆的标准方程为 ( x －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2.4．对随意的实数 k ，直线 y ＝ kx ＋1 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系必定是 ( C)A ．相离B．相切C ．订交但直线可是圆心D ．订交且直线过圆心圆心 C (0 ，0) 到直线 kx － y ＋ 1＝ 0 的距离为 d ＝112＝ r ，且分析：解法一1＋ k 2≤ 1＜圆心 C (0 ，0) 不在该直线上．解法二直线 kx － y ＋ 1＝0 恒过定点 (0 ，1) ，而该点在圆 C 内，且圆心不在该直线上．故选 C.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6 －8 y ＝ 0. 设该圆过点 (3 ， 5) 的最长弦和最短弦分别为ACx和 BD，则四边形 ABCD的面积为( B)A．10 6 B ．20 6C．30 6 D ．406分析：由 x2＋ y2－6x－8y＝0，得( x－3)2＋( y－4)2＝25，圆心为 (3 ， 4) ，半径为 5.又点 (3 ，5) 在圆内，则最长弦 | AC| ＝ 10，最短的弦 | BD| ＝2·25－（ 3－ 3）2－（ 4－ 5）2＝2 24＝4 6，∴ S 四边形ABCD＝1×10×46＝ 20 6. 26．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 已知三点(1 ，0)， (0，3)， (2，3) ，则△外接圆的A B C ABC圆心到原点的距离为( B)521254A. 3B.3C.3D.3分析：在座标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得| AB| ＝| AC| ＝| BC| ＝2( 也能够借助图形直接察看得出) ，因此△ABC为等边三角形．设BC的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．因此 | |2| ＝23|22421＝ |3，进而| |＝ |＋ || ＝1＋＝，AE3AD OE OA AE33应选 B.二、填空题7．(2014 ·陕西卷 ) 若圆C的半径为1，其圆心与点 (1 ， 0) 对于直线y＝x对称，则圆C 的标准方程为x2＋( y－1)2＝1．分析：因为圆心与点(1 ，0) 对于直线y＝ x 对称，因此圆心坐标为(0 ，1) ．因此圆的标准方程为： x2＋( y－1)2＝1.8．(2014 ·湖北卷 ) 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1 分红长度相等的四段弧，则a2＋ b2＝2．分析：依题意，设l 1与单位圆订交于A， B 两点，则∠ AOB＝90°.如图，当a＝1， b＝－1 时知足题意，因此a2＋ b2＝2.三、解答题9．已知圆C： x2＋y2－2x＋4y－4＝0，能否存在斜率为 1 的直线l ，使以l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明原因．分析：圆 C化成标准方程为( x－ 1) 2＋( y＋ 2) 2＝ 9.假定存在以AB为直径的圆M，圆心 M的坐标为( a， b)，b＋2因为 CM⊥ l ，∴ k CM k l＝－1，× 1＝－1，∴ a＋ b＋1＝0，得 b＝－ a－1.①直线 l 的方程为 y－ b＝ x－ a，即 x－ y＋ b－ a＝0.| |＝| b－a＋ 3|，CM2∵以 AB为直径的圆M过原点，∴| MA|＝ | MB| ＝| OM|.2＝9－|b－a＋3|2b－ a＋3|2∴ | MB|2＝| CB|2－ | CM|＝ | OM|2＝a2＋b2，即 9－|＝ a2＋b2.②22 3由①②得 a＝2或 a＝－1，35当 a＝时， b＝－，22此时直线 l 的方程为 x－y－4＝0；当 a＝－1时， b＝0，此时直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x－ y－4＝0或 x－y＋1＝0.10．在平面直角坐标系12222 xOy中，已知圆 C：( x＋3)＋ ( y－ 1)＝ 4和圆 C：( x－4)＋( y－5) 2＝ 4.(1) 若直线l过点 (4 ， 0) ，且被圆1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程；AC(2) 设 P 为平面上的点，知足：存在过点P 的无量多对相互垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分别与圆 C 和圆 C 订交，且直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 截得的弦长相等，试求1212全部知足条件的点P 的坐标．分析： (1) 因为直线 x ＝ 4 与圆 C 1 不订交，因此直线 l 的斜率存在．设直线 l 的方程为 y＝k ( x － 4) ，即 kx －y － 4k ＝ 0.由垂径定理，得圆心C 1 到直线的距离 d ＝22－2 32＝1，2| － 3k － 1－ 4k |＝ 1.联合点到直线距离公式，得k 2＋ 127化简，得 24k ＋ 7k ＝ 0，解得 k ＝ 0 或 k ＝－.7因此直线 l 的方程为： y ＝ 0 或 y ＝－( x － 4) ，即 y ＝ 0 或 7x ＋ 24y － 28＝ 0.24(2) 设点 P 坐标为 ( m ， n ) ，直线 l 1， l 2 的方程分别为：1y － n ＝k ( x － m ) ， y － n ＝－ k ( x － m )( k ≠0) ，11即： kx － y ＋ n －km ＝ 0，－ k x － y ＋n ＋ k m ＝ 0.因为直线 l 1被圆 C 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂12径定理，得圆心 C 1 到直线 l 1 与圆心 C 2 到直线 l 2 的距离相等．41|－3 －1＋－ |－ k － 5＋ n ＋ k mn km＝，故有k 2＋ 11k 2＋1化简得 (2 － m － n ) k ＝ m － n － 3 或 ( m －n ＋ 8) k ＝m ＋ n － 5，对于 k 的方程有无量多解，有2－m－n＝ 0，m－n＋8＝0，或m－n－3＝0m＋n－5＝0，3，13或5，－1.解得点 P 坐标为－2222经查验，以上两点知足题目条件．11．已知过点A(－1，0)的动直线 l 与圆 C：x2＋( y－3)2＝4订交于 P，Q两点， M是 PQ 中点， l 与直线 m： x＋3y＋6＝0订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程．1分析： (1) ∵l与m垂直，且k m＝－，∴ k l＝3.3故直线 l 方程为 y＝3( x＋1)，即3x－ y＋3＝0.∵圆心坐标 (0 ，3) ，知足直线l 方程．∴当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C.(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1切合题意．②当直线l与 x 轴不垂直时，设直线l的方程为y＝ k( x＋1)，即kx－ y＋ k＝0，∵ PQ＝23，CM＝4－3＝ 1，则由CM＝|－ 3＋k| k2＋1＝ 1，得4k＝3.∴直线l ：4x－3y＋4＝0.故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋ 4＝ 0.。

(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案-

第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真题感悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考点整合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6，所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7，由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0，解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1，此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |，且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1，故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值，即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小，也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2，因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ，又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0，化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2，原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。

(浙江专用)201X高考数学二轮复习专题四解析几何第1讲直线与圆学案

第1讲直线与圆[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0)．例1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B ．±35 C ．－35 D.35答案 D解析因为l 1⊥l 2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35. (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．答案 32解析由题意得，当k ≠0时，直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A (0,2)，直线l 2：x＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B (2,0)，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标为C (1,1)，半径为r ＝2，由圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.当k ＝0时，l 1⊥l 2，此时点P (2,2)．点P 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|2－2－4|2＝2 2. 综上，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)直线ax ＋(a －1)y ＋1＝0与直线4x ＋ay －2＝0互相平行，则实数a ＝________. 答案 2解析当a ≠0时，a 4＝a －1a ≠1－2，解得a ＝2.当a ＝0时，两直线显然不平行．故a ＝2.(2)圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0的圆心到直线x －ay ＋1＝0的距离为2，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析因为(x －1)2＋()y －22＝2，所以|1－2a ＋1|1＋a 2＝2，所以a ＝0.热点二圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋2＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2＝0C ．x 2＋y 2＋4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －3)2＝9，圆心为(－2,3)，半径为3.设圆C 的半径为r .由两圆外切知，圆心距为2＋22＋0－32＝5＝3＋r ，所以r ＝2.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－4x ＝0.(2)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A.()x ＋32＋(y －1)2＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1答案 C解析到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎨⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎨⎧ F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎨⎧ Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离．(2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切．(3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交．(4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切．(5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2018·杭州质检)设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含答案 A解析圆心距为22＋－22＝22>1＋1，故两圆外离．(2)(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)若c ∈R ，则“c ＝4”是“直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析将圆的方程化为标准方程，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，若直线与圆相切，则有|－1×3＋1×4＋c|＝1，解得c＝4或c＝－6，所以“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x2 32＋42＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的充分不必要条件，故选A.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．答案 6π解析圆C 化为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，且圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a 2>1)． ∵直线y ＝ax 与圆C 相交，且△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1，即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3a 2－12. 解得a 2＝7.∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.(2)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则圆(x －a )2＋(y －a )2＝8与圆x 2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，所以r －r ′≤|2a |≤r ＋r ′，即1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．答案相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝1－02＋1－22＝ 2.又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2<|MN |<r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________．答案 2553．(2018·全国Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 22解析由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.4．(2018·全国Ⅲ改编)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是________．答案 [2,6]解析设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．押题预测 1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．答案 C解析由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝233，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( )A ．有最小值1＋2，无最大值B ．有最小值3＋22，无最大值C．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋22 押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大．答案 B解析由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn (当且仅当m ＝n 时取等号)，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．答案 102解析联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组专题通关1．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y sin α＝1必不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．2．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意两点，点M 为P ，Q 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案 A解析根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0 与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0 的交点为A ，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2. 3．(2018·浙江省温州六校协作体联考)直线x ＋ay ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A. 3B ．－33C ．±33D ．±3答案 D解析因为直线x ＋ay ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以圆心(0,0)到直线x ＋ay ＋2＝0的距离等于圆的半径，即212＋a 2＝1，解得a ＝±3，故选D. 4．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋()y ＋12＝2B ．(x －1)2＋()y ＋12＝4答案 C解析圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(a ，b )，且圆心在直线x －y －4＝0的左上方，则|a －b －4|2＝2，且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1(a ＝3，b ＝－3不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x －1)2＋()y ＋12＝2.5．已知点P 是直线l ：x ＋y －b ＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点分别为M ，N ，且∠MPN ＝90°，若满足以上条件的点P 有且只有一个，则b 等于( )A ．2B ．±2 C. 2 D ．±2答案 B解析由题意得∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°，|MO |＝|ON |＝1，∴四边形PMON 是正方形，∴|PO |＝2，∵满足以上条件的点P 有且只有一个，∴OP 垂直于直线x ＋y －b ＝0，∴2＝|－b |1＋1，∴b ＝±2.6．(2018·浙江省温州六校协作体联考)过点P (－3,0)作直线2ax ＋(a ＋b )y ＋2b ＝0(a ，b 不同时为零)的垂线，垂足为M ，已知点N (2,3)，则当a ，b 变化时，|MN |的取值范围是( )A ．[5－5，5＋5]B ．[5－5，5]C ．[5,5＋5]D ．[0,5＋5] 答案 A解析直线2ax ＋(a ＋b )y ＋2b ＝0过定点D (1，－2)，因为PM ⊥MD ，所以点M 在以PD 为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(－1，－1)，半径为5，又因为点N 与圆心的距离为－1－22＋－1－32＝5，所以|MN |的取值范围为[5－5，5＋5]，故选A.7．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 答案 D解析由x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与x 2＋y 2＋ky －4＝0，相减得公共弦所在直线方程为kx ＋()k －2y －4＝0，即k (x ＋y )－()2y ＋4＝0，所以由⎩⎨⎧2y ＋4＝0，x ＋y ＝0，得x ＝2，y ＝－2，即P ()2，－2，因此2m ＋2n －2＝0，所以m ＋n ＝1，mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14(当且仅当m ＝n 时取最大值)． 8．直线x ＋y sin α－3＝0(α∈R )的倾斜角的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 解析若sin α＝0，则直线的倾斜角为π2；若sin α≠0，则直线的斜率k ＝－1sin α∈()－∞，－1]∪[1，＋∞，设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈()－∞，－1]∪[1，＋∞，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上可得直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 9．若过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析由题意过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m ＋1>0，解得m >－1；由方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0表示圆，则(－2)2＋22－4(m＋1)>0，解得m<1.综上，实数m的取值范围是(－1,1)．10．(2018·宁波模拟)已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得的弦长的最小值为________．答案－1 223 解析当m ＝0时，两直线不平行；当m ≠0时，由题意得m 1＝－1－m，所以m ＝±1. 当m ＝1时，两直线重合，所以m ＝1舍去，故m ＝－1.因为圆的方程为x 2＋2x ＋y 2－24＝0，所以(x ＋1)2＋y 2＝25，所以它表示圆心为C (－1,0)，半径为5的圆．由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦长最短，且最短弦长为252－22＝223.11．(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知直角坐标系中A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是____________；轨迹为________．答案 x 2＋y 2－12x ＋4＝0 以(6,0)为圆心，42为半径的圆解析设点P 的坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得|PA |2＝2|PB |2，即(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，化简得x 2＋y 2－12x ＋4＝0，方程化为标准方程为(x －6)2＋y 2＝32，其表示一个圆．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足|MA |2＋|MO |2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72 解析设点M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2，所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0，化简得x ≥－12. 因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72. B 组能力提高13．已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案 D 解析根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以可设M (cos α，sin α)，N (cos β，sin β)，所以|NA |＝cos β－02＋[sin β－2－1]2＝22－12－sin β，|NB |＝cos β－02＋[sin β－2＋1]2＝22＋12－sin β，所以|NA ||NB |＝2－1，同理可得|MA ||MB |＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22，故①②③都正确．14．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，||3x－4y＋a||＋3x－4y－9的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是( )A．a≤－4 B．－4≤a≤6C ．a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6 答案 D解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km ，且与C 村相距31 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向，相距3 km ，C 村在B 村的正北方向，相距3 3 km ，则垃圾处理站M 与B 村相距________ km.答案 2或7解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,33)．由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心，5为半径的圆A 上，同时又在以C (3,33)为圆心，31为半径的圆C 上，两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －33)2＝31.由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝25，x －32＋y －332＝31，解得⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－52，y ＝532，∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532，∴|MB |＝2或|MB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322＝7，即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km.16．点P (x ，y )是直线2x ＋y ＋4＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，A ，B 是切点，则△PAB 面积的最小值为________．答案 85解析由圆的方程C ：x 2＋(y －1)2＝1，可得圆心C (0,1)，半径r ＝1，则圆心到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ＝522＋12＝5，设|PC |＝m ，则m ≥5，则S △PAB ＝12|PA |2sin 2∠APC ＝|PA |2sin∠APC cos∠APC＝|PA |2·1|PC |·|PA ||PC |＝()m 2－13m 2，令S ＝m 2－13m 2，m ≥5，所以S ′＝m 2－1()3m 2－2m 2＋2m 3＝m 2－1()m 2＋2m 3>0，所以函数S 在[)5，＋∞上单调递增，所以S min ＝S ()5＝85. 即(S △PAB )min ＝85. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

考前三个月·浙江专用高考数学文二轮专题复习篇教案：专题六解析几何专题六第一讲

专题六解析几何第一讲直线与圆１．直线的方程（１）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围．（２）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况．（３）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解．（４）求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想．（５）在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．（6）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l１，l２斜率都存在，且不重合的条件下，才有l１∥l２⇔k１＝k２与l１⊥l２⇔k１k２＝—１．（7）在运用公式d＝错误!求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数．２．圆的方程（１）圆的标准方程：（x—a）２＋（y—b）２＝r２，圆心为（a，b），半径为r.（２）圆的一般方程：x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F>0），圆心为（—错误!，—错误!），半径为r＝错误!；二元二次方程Ax２＋Bxy＋Cy２＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是错误!（３）圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程．１．（２0１３·辽宁）已知点O（0,0），A（0，b），B（a，a３）．若△OAB为直角三角形，则必有（）Ａ．b＝a３Ｂ．b＝a３＋错误!Ｃ．（b—a３）错误!＝0Ｄ．|b—a３|＋错误!＝0答案C解析易知A错误!＝O错误!—O错误!＝（a，a３—b），且b≠0，a≠0，若A为直角，错误!·错误!＝（0，b）·（a，a３—b）＝b（a３—b）＝0，∴b—a３＝0，若B为直角，O错误!·A错误!＝（a，a３）·（a，a３—b）＝0，∴a２＋a３（a３—b）＝0，则b—a３—错误!＝0，故（b—a３）·错误!＝0，选Ｃ．２．（２0１３·山东）过点（３,１）作圆（x—１）２＋y２＝１的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）Ａ．２x＋y—３＝0 Ｂ．２x—y—３＝0Ｃ．４x—y—３＝0 Ｄ．４x＋y—３＝0答案A解析如图所示：由题意知：AB⊥PC，k PC＝错误!，∴k AB＝—２，∴直线AB的方程为：y—１＝—２（x—１），即２x＋y—３＝0．３．（２0１３·课标全国Ⅱ）已知点A（—１,0），B（１,0），C（0,１），直线y＝ax ＋b（a>0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析由题意画出图形，如图（１）．由图可知，直线BC的方程为x＋y＝１．由错误!解得M错误!.可求N（0，b），D错误!.∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，∴S△BDM＝错误!S△ABC.又S△BOC＝错误!S△ABC，∴S△CMN＝S△ODN，即错误!×错误!×b＝错误!（１—b）×错误!.整理得错误!＝错误!.∴错误!＝错误!，∴错误!—１＝错误!，∴错误!＝错误!＋１，即b＝错误!，可以看出，当a增大时，b也增大．当a→＋∞时，b→错误!，即b<错误!.当a→0时，直线y＝ax＋b接近于y＝b.当y＝b时，如图（２），错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∴１—b＝错误!，∴b＝１—错误!.∴b>１—错误!.由上分析可知１—错误!<b<错误!，故选Ｂ．４．（２0１２·天津）设m，n∈R，若直线（m＋１）x＋（n＋１）y—２＝0与圆（x—１）２＋（y—１）２＝１相切，则m＋n的取值范围是（）Ａ．[１—错误!，１＋错误!]Ｂ．（—∞，１—错误!]∪[１＋错误!，＋∞）Ｃ．[２—２错误!，２＋２错误!]Ｄ．（—∞，２—２错误!]∪[２＋２错误!，＋∞）答案D解析圆心（１,１）到直线（m＋１）x＋（n＋１）y—２＝0的距离为错误!＝１，所以m＋n＋１＝mn≤错误!（m＋n）２，所以m＋n≥２＋２错误!或m＋n≤２—２错误!.５．（２0１２·江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x２＋y２—8x＋１５＝0，若直线y＝kx—２上至少存在一点，使得以该点为圆心，１为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．答案错误!解析圆C的标准方程为（x—４）２＋y２＝１，圆心为（４,0）．由题意知（４,0）到kx—y—２＝0的距离应不大于２，即错误!≤２．整理，得３k２—４k≤0．解得0≤k≤错误!.故k的最大值是错误!.题型一直线方程及应用例１（１）已知点M是直线l：２x—y—４＝0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线方程是（）Ａ．x—２y—２＝0 Ｂ．x—２y＋２＝0Ｃ．x＋２y—２＝0 Ｄ．x＋２y＋２＝0（２）“a＝—１”是“直线ax＋（２a—１）y＋１＝0和直线３x＋ay＋３＝0垂直”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件审题破题（１）先求M点坐标，然后利用点斜式写出直线方程；（２）考虑斜率为0，斜率不存在两种特殊情况．答案（１）C （２）A解析（１）显然直线l：２x—y—４＝0与x轴的交点坐标为M（２,0）．又∵所求直线与直线l：２x—y—４＝0垂直，∴所求直线的斜率为—错误!，∴所求直线的方程为y—0＝—错误!（x—２），即x＋２y—２＝0．（２）若直线ax＋（２a—１）y＋１＝0和直线３x＋ay＋３＝0垂直，则a×３＋（２a—１）×a ＝0，解得a＝0或a＝—１．故a＝—１是两直线垂直的充分而不必要条件．反思归纳判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．变式训练１（１）若过点A（—２，m），B（m,４）的直线与直线２x＋y＋２＝0平行，则m的值为________．答案—8解析因为AB所在的直线平行于直线２x＋y＋２＝0，所以k AB＝错误!＝—２，即m＝—8．（２）设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为２，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x—y＋１＝0，则直线PB的方程为________．答案x＋y—５＝0解析因为k PA＝１，则k PB＝—１．又A点坐标为（—１,0），点P的横坐标为２，则B点坐标为（５,0），直线PB的方程为x＋y—５＝0．题型二圆的方程及应用例２（１）已知圆C与直线x—y＝0及x—y—４＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）Ａ．（x＋１）２＋（y—１）２＝２Ｂ．（x—１）２＋（y＋１）２＝２Ｃ．（x—１）２＋（y—１）２＝２Ｄ．（x＋１）２＋（y＋１）２＝２（２）若圆上一点A（２,３）关于直线x＋２y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x—y＋１＝0相交的弦长为２错误!，则圆的方程是__________________．审题破题（１）利用待定系数法设出圆C的方程，直线和圆相切可考虑代数法、几何法两种思路；（２）将已知条件转化为直线x—y＋１＝0过圆心，弦长可通过几何法表示．答案（１）B （２）（x—6）２＋（y＋３）２＝５２或（x—１４）２＋（y＋7）２＝２４４解析（１）方法一设圆心坐标为（a，—a），则错误!＝错误!，即|a|＝|a—２|，解得a＝１，故圆心坐标为（１，—１），半径r＝错误!＝错误!，故圆的方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝２．方法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝错误!＝２错误!；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x—y＝0的交点坐标是（0,0）、与直线x—y—４＝0的交点坐标是（２，—２），故所求的圆的圆心坐标是（１，—１），所求的圆的方程是（x—１）２＋（y＋１）２＝２．方法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径错误!即可．（２）设圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，点A（２,３）关于直线x＋２y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋２y＝0上，即有a＋２b＝0，又（２—a）２＋（３—b）２＝r２，而圆与直线x—y＋１＝0相交的弦长为２错误!，故r２—错误!２＝２，依据上述方程，解得错误!或错误!∴所求圆的方程为（x—6）２＋（y＋３）２＝５２或（x—１４）２＋（y＋7）２＝２４４．反思归纳求圆的方程一般有两类方法：（１）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（２）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是：１根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；２利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；３解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．变式训练２（１）已知圆C１：x２＋y２—２mx＋４y＋m２—５＝0与圆C２：x２＋y２＋２x—２my＋m２—３＝0，若圆C１与圆C２相外切，则实数m＝________.答案—５或２解析对于圆C１与圆C２的方程，配方得圆C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9，圆C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４，则C１（m，—２），r１＝３，C２（—１，m），r２＝２．如果圆C１与圆C２相外切，那么有|C１C２|＝r１＋r２，即错误!＝５，则m２＋３m—１0＝0，解得m＝—５或m＝２，所以当m＝—５或m＝２时，圆C１与圆C２相外切．（２）已知圆C关于y轴对称，经过点A（１,0），且被x轴分成两段弧长比为１∶２，则圆C的方程为________．答案x２＋错误!２＝错误!解析∵圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心C在y轴上，可设C（0，b），设圆C的半径为r，则圆C的方程为x２＋（y—b）２＝r２.依题意，得错误!，解之得错误!.∴圆C的方程为x２＋错误!２＝错误!.题型三直线与圆的综合应用例３如图所示，已知以点A（—１,２）为圆心的圆与直线l１：x＋２y＋7＝0相切，过点B（—２,0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l１相交于点P.（１）求圆A的方程；（２）当错误!＝２错误!时，求直线l的方程；（３）错误!·错误!是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．审题破题第（１）问由圆A与直线l１相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第（２）问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第（３）问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．解（１）设圆A的半径为R.∵圆A与直线l１：x＋２y＋7＝0相切，∴R＝错误!＝２错误!.∴圆A的方程为（x＋１）２＋（y—２）２＝２0．（２）当直线l与x轴垂直时，易知x＝—２符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋２），即kx—y＋２k＝0．连接AQ，则AQ⊥MN.∵错误!＝２错误!，∴|AQ|＝错误!＝１．由错误!＝错误!＝１，得k＝错误!.∴直线l的方程为３x—４y＋6＝0．∴所求直线l的方程为x＝—２或３x—４y＋6＝0．（３）∵AQ⊥BP，∴错误!·错误!＝0．∴错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!·错误!.当直线l与x轴垂直时，得P错误!.则B错误!＝错误!，又错误!＝（１,２），∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝—５．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x＋２）．由错误!解得P错误!.∴B错误!＝错误!.∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!—错误!＝—５．综上所述，错误!·B错误!是定值，且错误!·B错误!＝—５．反思归纳（１）在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0、Δ＝0、Δ<0，而用圆心到直线的距离d<r、d＝r、d>r，分别确定相交、相切、相离的位置关系．（２）弦长L＝２错误!，其中R为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离．变式训练３在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x２—6x＋１与坐标轴的交点都在圆C上．（１）求圆C的方程；（２）若圆C与直线x—y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解（１）曲线y＝x２—6x＋１与y轴的交点为（0,１），与x轴的交点为（３＋２错误!，0），（３—２错误!，0）．故可设圆C的圆心为（３，t），则有３２＋（t—１）２＝（２错误!）２＋t２，解得t＝１．则圆C的半径为错误!＝３．所以圆C的方程为（x—３）２＋（y—１）２＝9．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），其坐标满足方程组：错误!消去y，得到方程２x２＋（２a—8）x＋a２—２a＋１＝0．由已知可得，判别式Δ＝５6—１6a—４a２>0．设x１，x２是方程的两根，从而x１＋x２＝４—a，x１x２＝错误!. １由于OA⊥OB，可得x１x２＋y１y２＝0，又y１＝x１＋a，y２＝x２＋a，所以２x１x２＋a（x１＋x２）＋a２＝0．２由１２得a＝—１，满足Δ>0，故a＝—１．典例（１４分）已知圆C：（x＋１）２＋y２＝8．（１）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x＋y的取值范围；（２）在直线x＋y—7＝0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．规范解答解（１）设x＋y＝t，因为Q（x，y）是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，[２分]即错误!≤２错误!，解得—５≤t≤３，即x＋y的取值范围是[—５,３]．[6分]（２）因为圆心C到直线x＋y—7＝0的距离d＝错误!＝４错误!>２错误!＝r，[9分]所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为一定值；所以只有当过圆心向直线x＋y—7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求．[１２分]设过圆心作直线x＋y—7＝0的垂线为x—y＋c＝0．又因为该线过圆心（—１,0），所以—１—0＋c＝0，即c＝１，而x＋y—7＝0与x—y＋１＝0的交点为（３,４），该点即为所求．[１４分]评分细则（１）x＋y的范围写成不等式或集合形式不扣分；（２）判断直线x＋y—7＝0和圆C相离即得１分；（３）只求出P点坐标，没有说明过程扣２分．阅卷老师提醒（１）在求x＋y的最值时，设x＋y＝t，Q点在圆上转化为直线x＋y＝t和圆有交点，这是本题的关键．（２）本题中体现的转化、化归思想是解题的灵魂：１求x＋y的取值范围转化为求直线与圆的位置关系；２直线与圆的位置关系转化为点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系；３点到直线的距离与圆的半径之间的大小关系转化为解不等式．１．（２0１２·浙江）设a∈R，则“a＝１”是“直线l１：ax＋２y—１＝0与直线l２：x＋（a＋１）y ＋４＝0平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析若直线l１与l２平行，则a（a＋１）—２×１＝0，即a＝—２或a＝１，所以“a＝１”是“直线l１与直线l２平行”的充分不必要条件．２．（２0１２·陕西）已知圆C：x２＋y２—４x＝0，l是过点P（３,0）的直线，则（）Ａ．l与C相交Ｂ．l与C相切Ｃ．l与C相离Ｄ．以上三个选项均有可能答案A解析将点P（３,0）的坐标代入圆的方程，得３２＋0２—４×３＝9—１２＝—３<0，∴点P（３,0）在圆内．∴过点P的直线l定与圆C相交．３．若ab<0，则过点P错误!与Q错误!的直线PQ的倾斜角的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析k PQ＝错误!＝错误!<0，又倾斜角的取值范围为[0，π），故直线PQ的倾斜角的取值范围为错误!.４．若PQ是圆x２＋y２＝9的弦，PQ的中点是（１,２），则直线PQ的方程是（）Ａ．x＋２y—３＝0 Ｂ．x＋２y—５＝0Ｃ．２x—y＋４＝0 Ｄ．２x—y＝0答案B解析直线PQ的斜率等于—错误!，方程为y—２＝—错误!（x—１），即x＋２y—５＝0．５．若过点A（a，a）可作圆x２＋y２—２ax＋a２＋２a—３＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．答案（—∞，—３）∪错误!解析圆方程可化为（x—a）２＋y２＝３—２a，由已知可得错误!，解得a<—３或１<a<错误!.6．与直线x—y—４＝0和圆A：x２＋y２＋２x—２y＝0都相切的半径最小的圆C的方程是______________________．答案（x—１）２＋（y＋１）２＝２解析易知所求圆C的圆心在直线y＝—x上，故设其坐标为C（c，—c），又其直径为圆A的圆心A （—１,１）到直线x—y—４＝0的距离减去圆A的半径，即２r＝错误!—错误!＝２错误!⇒r＝错误!，即圆心C到直线x—y—４＝0的距离等于错误!，故有错误!＝错误!⇒c＝３或c＝１，结合图形当c＝３时圆C在直线x—y—４＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝２．专题限时规范训练一、选择题１．若直线ax＋２by—２＝0（a，b>0）始终平分圆x２＋y２—４x—２y—8＝0的周长，则错误!＋错误!的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．３错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得直线ax＋２by—２＝0过圆心（２,１），∴a＋b＝１．又a>0，b>0，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋b）＝错误!＋错误!＋错误!≥错误!（当且仅当b＝２a时取等号）．２．已知圆C过点（１,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x—１被该圆所截得的弦长为２错误!，则圆C的标准方程为（）Ａ．（x—３）２＋y２＝４Ｂ．（x—１）２＋y２＝４Ｃ．（x＋１）２＋y２＝４Ｄ．（x＋３）２＋y２＝４答案A解析设圆心C（a,0），a>0，半径为r，则错误!，解得a＝３，r２＝４，∴圆C的方程为（x—３）２＋y２＝４．３．（２0１２·安徽）若直线x—y＋１＝0与圆（x—a）２＋y２＝２有公共点，则实数a的取值范围是（）Ａ．[—３，—１] Ｂ．[—１,３]Ｃ．[—３,１] Ｄ．（—∞，—３]∪[１，＋∞）答案C解析由题意知，圆心为（a,0），半径r＝错误!.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即错误!≤错误!，∴|a＋１|≤２．∴—３≤a≤１．４．已知直线３x＋４y—２４＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．6答案C解析取直线３x＋４y—２４＝0与坐标轴的两个交点为A（8,0），B（0,6），由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝１0，因此圆的半径为５．５．（２0１２·福建）直线x＋错误!y—２＝0与圆x２＋y２＝４相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．错误!Ｄ．１答案B解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x＋错误!y—２＝0的距离d＝错误!＝１，半径r＝２，∴弦长|AB|＝２错误!＝２错误!＝２错误!.6．已知点M是直线３x＋４y—２＝0上的动点，点N为圆（x＋１）２＋（y＋１）２＝１上的动点，则|MN|的最小值是（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析圆心（—１，—１）到点M的距离的最小值为点（—１，—１）到直线的距离d＝错误!＝错误!，故点N到点M的距离的最小值为d—１＝错误!.7．由直线y＝x＋２上的点向圆（x—４）２＋（y＋２）２＝１引切线，则切线长的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．４错误!Ｄ．错误!答案B解析设点M是直线y＝x＋２上一点，圆心为C（４，—２），则由点M向圆引的切线长等于错误!，因此当CM取得最小值时，切线长也取得最小值，此时CM等于圆心C（４，—２）到直线y＝x＋２的距离，即等于错误!＝４错误!，因此所求的切线长的最小值是错误!＝错误!.8．在圆x２＋y２—２x—6y＝0内，过点E（0,１）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）Ａ．５错误!Ｂ．１0错误!Ｃ．１５错误!Ｄ．２0错误!答案B解析圆的方程化为标准形式为（x—１）２＋（y—３）２＝１0，由圆的性质可知最长弦AC＝２错误!，最短弦BD恰以E（0,１）为中点，设点F为其圆心，坐标为（１,３）．故EF＝错误!，∴BD＝２错误!＝２错误!，∴S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１0错误!.二、填空题9．已知直线l１与圆x２＋y２＋２y＝0相切，且与直线l２：３x＋４y—6＝0平行，则直线l１的方程是________．答案３x＋４y—１＝0或３x＋４y＋9＝0解析依题意，设所求直线l１的方程是３x＋４y＋b＝0，则由直线l１与圆x２＋（y＋１）２＝１相切，可得圆心（0，—１）到直线３x＋４y＋b＝0的距离为１，即有错误!＝１，解得b＝—１或b＝9．因此，直线l１的方程是３x＋４y—１＝0或３x＋４y＋9＝0．１0．已知圆C经过A（５,１），B（１,３）两点，圆心在x轴上，则C的方程为______________．答案（x—２）２＋y２＝１0解析设圆心坐标为（a,0），易知错误!＝错误!，解得a＝２，∴圆心为（２,0），半径为错误!，∴圆C 的方程为（x—２）２＋y２＝１0．１１．若直线ax＋by＝１过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．答案π解析∵直线ax＋by＝１过点A（b，a），∴ab＋ab＝１．∴ab＝错误!.又OA＝错误!，∴以O为圆心，OA为半径的圆的面积为S＝π·OA２＝（a２＋b２）π≥２ab·π＝π，∴面积的最小值为π.１２．已知圆C：x２＋（y—３）２＝４，一动直线l过点A（—１,0）与圆C相交于P、Q两点，M为PQ中点，l与直线x＋３y＋6＝0相交于点N，则|AM|·|AN|＝________.答案５解析依题意，考虑直线l的特殊位置．当直线l⊥x轴时，l的方程为x＝—１，l被圆截得的弦中点为M（—１,３），l与直线x＋３y＋6＝0的交点为N（—１，—错误!），所以|AM|·|AN|＝３×错误!＝５．三、解答题１３．已知两直线l１：ax—by＋４＝0，l２：（a—１）x＋y＋b＝0．求分别满足下列条件的a，b的值．（１）直线l１过点（—３，—１），并且直线l１与l２垂直；（２）直线l１与直线l２平行，并且坐标原点到l１，l２的距离相等．解（１）∵l１⊥l２，∴a（a—１）＋（—b）·１＝0，即a２—a—b＝0．１又点（—３，—１）在l１上，∴—３a＋b＋４＝0 ２由１２得a＝２，b＝２．（２）∵l１∥l２，∴错误!＝１—a，∴b＝错误!，故l１和l２的方程可分别表示为（a—１）x＋y＋错误!＝0，（a—１）x＋y＋错误!＝0，又原点到l１与l２的距离相等．∴４错误!＝错误!，∴a＝２或a＝错误!，∴a＝２，b＝—２或a＝错误!，b＝２．１４．已知点P（0,５）及圆C：x２＋y２＋４x—１２y＋２４＝0．（１）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为４错误!，求l的方程；（２）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解（１）如图所示，|AB|＝４错误!，将圆C方程化为标准方程为（x＋２）２＋（y—6）２＝１6，∴圆C的圆心坐标为（—２,6），半径r＝４，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝２错误!，|AC|＝４．C点坐标为（—２,6）．在Rt△ACD中，可得|CD|＝２．设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y—５＝kx，即kx—y＋５＝0．由点C到直线AB的距离公式：错误!＝２，得k＝错误!.故直线l的方程为３x—４y＋２0＝0．又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．∴所求直线l的方程为x＝0或３x—４y＋２0＝0．（２）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CD⊥PD，即错误!·错误!＝0，∴（x＋２，y—6）·（x，y—５）＝0，化简得所求轨迹方程为x２＋y２＋２x—１１y＋３0＝0．。

(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何规范答题示例7解析几何中的探索性问题课件

板块三专题突破核心考点规范答题示例7解析几何中的探索性问题典例7 （15分）已知定点C（-1，0）及椭圆昭+ 3护二5,过点C的动直线与椭相交于4，B两点.（1）若线段中点的横坐标是-求直线的方程;⑵在兀轴上是否存在点M,使M4MB为常数？若存在，求出点M的坐标; 若不存在，请说明理由.审题路线图(1)1 设43 的方程y 二k(x+ 1) (2)设M存在即为M(加，0)待定系数法求写出方程求-＞在为常数的条件下求加规范解答•分步得分解⑴依题意，直线AB的斜率存在，设直线的方程为y二心+1), 将y二k(x + 1)代入兀2 + 3护二5,消去y整理得(3Q + 1)兀2 + 6k2x + 3Q _ 5 二0. 3分设心1，力)，B(X2,乃)，J 二36( - 4(3/ + 1)(3/ — 5)>0, 6k2xz二一亍T1 兀1 + 兀2 3k 1由线段皿中点的横坐标是得一亍二-諸二-》30所以直线AB 的方程为X-為+ 1二0或X +角+ 1 =0. ⑵假设在兀轴上存在点M (加，0),使M4MB 为常数. (i) 当直线AB 与x 轴不垂直时，由⑴知x i+x 2=-遵亍炯2 =等寸|.③ 所以MA ・MB = (%1 - m)(x 2 - m) + 力乃=(兀］一 m)(x 2 - m) + + l)(x 2 + 1) =(k2 + 1)兀M2 + W - m)(Xj + 兀2)+ 以 + m 2.、3 解得k = ± 3 适合①・将③代入，整理得MAMB (6m - 1)以—5 '3/+1 + m 2 6分1 2142m-^\pk + l)-2m-y ? ? 1 6m +14 二3^71 +m " +2加巧-3(3/+i).注意到MA MB是与P无关的常数，7 f f 4从而有6m +14 = 0,解得m-此时MAMB二g. (ii)当直线AB与兀轴垂直时，此时点A, 3的坐标分别为;-1,书｝1,-书｝7 f f 4 11分12分14分当加二―彳时，也有MAMB = g./ 7 ] f f 综上，在x轴上存在定点M-亍，0 ,使为常数.I J /构建答题模板第—步先假定：假设结论成立.第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步再回顾：查看关键点,易错点（特殊情况、隐含条件等）,审视解题规范性.评分细则(1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分；(2)不验证/>0,扣1分；(3)直线方程写成斜截式形式同样给分；(4)没有假设存在点M不扣分；(5)蔼•倔没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分.椭圆的短半轴长为半径的圆与直线何-眞+ 12二0相切.(1)求椭圆C 的方程;6Z = 4 5・・・"二2帝,c 二 2,跟踪演练7 已知椭圆C ： |1+話二1(说＞0)的离心率为£ 以原点为圆/故椭圆c的方程为話+舊二1-(2)设A(-4, 0),过点7?(3, 0)作与兀轴不重合的直线咬椭圆C于P, 0两点，连接仲，川2分别交直线x二学于M, N两点，若直线MR, 的斜率分别为S 心，试问：心他是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.。

高考数学(浙江专版)二轮复习专题突破专题6 平面解析几何【教师版】

平面解析几何1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．判断两直线平行或垂直时，不要忘记斜率不存在的情形． 2．求圆的方程有两类方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系确定圆的半径大小和圆心坐标，进而得出圆的方程；（2）代数法：求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． 3．判断两条直线位置关系可用一般式来进行判定，也可以用斜截式来判定． 4．判断点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系有两类方法：几何法和定义法（1）点与圆的位置关系：①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断，d r >⇔点在圆外； d r =⇔点在圆上； d r <⇔点在圆内；②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与2r （或0）作比较，大于2r （或0）时，点在圆外；等于2r （或0）时，点在圆上；小于2r （或0）时，点在圆内．（2）判断直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠与圆()()()2220x a y b r r -+-=>的位置关系： ①几何法：求出d =，比较r d ,的大小，d r <⇔直线与圆相交； d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离；②代数法：()()()2220,0.Ax By C x a y b r r ++=⎧⎪⎨-+-=>⎪⎩消元得一元二次方程，根据判别式∆的符号来判断， 0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切；0∆<⇔直线与圆相离．（3）圆与圆的位置关系：①几何法：利用两圆圆心距d 与两圆半径12,r r 的关系判断，12d r r >+⇔两圆外离； 12d r r =+⇔两圆外切；1212r r d r r -<<+⇔两圆相交； ()1212d r r r r =-≠⇔两圆内切； ()12120d r r r r ≤<-≠⇔内含；②代数法：根据两圆方程联立组成的方程组的解的情况判断，无解⇔相外离或内含；一组实数解⇔两圆外切或内切；两组不同实数解⇔两圆相交．5．直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解，求圆的切线，一般用几何法（圆心到切线的距离等于半径）来求解． 6．与圆有关的最值问题主要题型有：（1）圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d r +，最小值d r -（d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d r +，最小值r d -；（2）圆上点到定直线距离的最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d r +，最小值d r -；直线与圆相交，则最大值d r +，最小值0；（3）(),P x y 为⊙O 上一动点，求,x y 的表达式(如222,x y x y ++等)的取值范围，一般利用表达式的几何意义转化．7．求圆锥曲线方程的方法：（1）定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法；（2）待定系数法：“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求,,a b p 的值．如：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为22y ax =或22x ay =(0a ≠)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心为原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+，双曲线方程可设为()2210x y mn m n-=>．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中222c a b =-，双曲线中222c a b =+的区别． 8．求曲线方程的常见方法：（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程；（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求；（3）相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；（4）参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．注意：（1）求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线．（2）求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．9．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．10．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定,,a b c 的关系．基本思路有两种：（1)根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；(2)根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数，另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系． 11．关于圆锥曲线的特殊结论：,x y ,x y ,x y（1）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；（2）平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系“整体代入、设而不求”和判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．12．涉及椭圆（或双曲线）两焦点距离的问题、焦点弦问题、焦点三角形问题，常结合定义、正余弦定理或勾股定理等知识解决；涉及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑抛物线的定义．（1）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系和“设而不求”的思想；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．学科网①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1221|||P P y y =-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：12||x x -=21||y y -=②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．（2）有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”或“设而不求法”来简化运算．13．解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值；（4）利用判别式求最值；（5）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．（6）应用导数研究函数的单调性及最值.解决最值问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量， 14．解决定值问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．15．解决曲线过定点问题常把直线或曲线方程中的变量,x y 当作常数看待（以常驭变），把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于,x y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．16．解决存在性问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，否定作答即可．17．与解析几何有关的平面向量问题：（1）给出，即已知是的中点；（2）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，即已知三点共线；（3）给出，即已知，即是直角；给出，即已知是钝角，给出，即已知是锐角；学科网（3）给出，即已知是的平分线；（4）在平行四边形中，给出，即已知是菱形；（5）在平行四边形中，给出，即已知是矩形；（6）在中，给出，即已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（7）在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（8）在中，给出，即已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（9）在中，给出，即已知通过的内心；（10）在中，给出，即已知是中边的中线．一、单选题1．（湖南岳阳市·岳阳一中高二月考）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（）A ．6-B ．6C 1D ．1【答案】B【解析】通过椭圆的焦点在y 轴上，则确定1k >，利用,,a b c 的关系，求出k 的值即可. 【详解】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -= 则6k =. 故选：B【要点回扣】椭圆的标准方程及其几何性质．2．（浙江高三开学考试）已知点(0,0),(O A ，B ，设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y 图像上的点，则||OP =（）A B ．52C D ．3【答案】C 【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||2PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为由1c a ==可得，222312b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22102y x x -=>，而点P 在函数y 的图象上，所以，由()22102y y x x ⎧=⎪⎨-=>⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即OP ==．故选：C.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质、直线与双曲线的位置关系．3．（陕西西安市·西安中学高三月考（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．3B ．1C ．4D ．2【答案】D 【解析】根据PF x ⊥轴可得出点P 的坐标为()1,k ，再将点P 的坐标代入抛物线C 的方程可求得正数k 的值. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，因为PF x ⊥轴，则点P 的横坐标为1P x =，因为点P 在曲线()0ky k x=>上，可得点()1,P k ，又因为点P 在抛物线C 上，则2414k =⨯=，0k >，解得2k =.故选：D.【要点回扣】抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系．4．（浙江高三期末）双曲线2214x y -=的离心率为（）ABCD．2【答案】C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质．5．（湖南雅礼中学高三月考（文））“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．【回扣要点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．6．（浙江高三期末）已知双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】A 【解析】由双曲线C 的离心率为53,实轴长为6, 可得5326c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得35a c =⎧⎨=⎩,从而22216b c a =-=,所以双曲线C 的方程为:221916x y -=,故选:A.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质．7．（全国高三开学考试（理））已知圆22:4230C x y x y +--+=，过原点的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，则当ABC 的面积最大时，直线l 的方程为（） A ．0y =或43y x =B ．2y x =或12y x =- C ．0x =或13y x =D ．34y x =【答案】A 【解析】求出圆心坐标与半径r1=可求得直角斜率，得直线方程．【详解】圆2222:4230,(2)(1)2C x y x y x y +--+=-+-=，因为ABC为等腰三角形，AC BC ==当90ACB ∠=︒时，ABC 的面积最大，此时圆心C 到直线l1=，设直线l方程y kx =，解得0k =或43k =，直线l 的方程为0y =或43y x =，故选：A .【要点回扣】直线与圆的位置关系、圆的性质．8．（湖南长沙一中高三月考（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．(1,3]B ．(1,2]C ．[3,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B 【解析】设12,F F 分别是左右焦点，则点P 为右支上一点，如图. 依据双曲线定义知122PF PF a -=，则2232PF PF a -=，则2a PF c a =-，所以2a c ≥， ∴2ce a=，又1e >，则12e <≤. 故选:B.【要点回扣】双曲线的定义、标准方程及其几何性质．9．（湖南高三期末（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（） AB1CD1【答案】D 【解析】由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =，分别代入y =，A ∴，(B，，∴AF c =+，(BF c =，，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ．【要点回扣】1.椭圆的的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系．10．7．（浙江高三月考）已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围.【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E 关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得2202214y a a b +=，解得02y =±，故,22a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==，故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b a c bb a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420ee +->，所以e<舍去)或e >a c >，所以1e <，所以e ⎫∈⎪⎪⎝⎭故选：B【要点回扣】1.椭圆的方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3.平面向量的运算．二、填空题11．（湖南永州市·高三二模）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点P 满足2OP =，其中O 为坐标原点，若1,22M ⎛- ⎝⎭，则PM 的最小值为___________.【答案】1 【解析】先判断动点P 的轨迹，再结合圆的对称性判断,,O M P 三点共线时PM 最小，即得结果. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以O 为圆心，2r为半径的圆，即224x y +=，而1OM r ==<，故点1,2M ⎛ ⎝⎭在圆内，根据圆的对称性可知，当,,O M P 三点共线时，PM 最小，即min211r O P M M =-=-=.故答案为：1.【回扣要点】数学文化、直线与圆的位置关系.12．（辽宁高三一模（文））已知M 是抛物线24y x =上一动点，N 是圆()2244x y +-=关于直线0x y -=的对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为_______________________．【答案】2- 【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.【详解】圆()2244x y +-=的圆心()0,4，半径2r设圆心()0,4关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则0000414022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2244x y -+=，圆心为()4,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2224MC x y =-+，又24y x =，()()222226241=412MC x y x x x ∴+-+=-+=-， 2min12MC∴=，即min MC =min 2MN =，故答案为：2.【回扣要点】1.抛物线的方程、几何性质；2.直线与圆的位置关系质.13．（福建高三其他模拟）已知不过原点的动直线l 交抛物线()2:20C x py p =>于,A B 两点，O 为坐标原点，且||||OA OB OA OB +=-，若OAB 的面积的最小值为64，则p =___________；直线l 过定点，该定点的坐标为___________. 【答案】4 ()0,8 【解析】由题意得出0OA OB ⋅=，化简得到2124x x p ⋅=-，设:l y kx m =+，联立方程组，利用韦达定理，求得2m p =，再利用三角形的面积公式224S p p =≥，进而求得,p m 的值，即可求解.【详解】设直线与抛物线交于A B 、两点，()()1122,,,A x y B x y ，因为||||OA OB OA OB +=-，可得22()()OA OB OA OB +=-，即2222+2+=2+OA OA OB OB OA OA OB OB ⋅-⋅，可得0OA OB ⋅=，可得12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以221212022x x x x p p⋅+⋅=，得到2124x x p ⋅=-，设:l y kx m =+，代入抛物线22x py =中，可得方程2220x pkx pm --=，由韦达定理得12122,2x x pk x x pm +=⋅=-，所以2m p =，所以面积1122S p ===2224p p =≥，当且仅当0k =时，等号成立，即2464p =，解得4p =，所以8m =，此时直线8y kx =+过定点()0,8.【回扣要点】1.抛物线的方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.平面向量的数量积.4.解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.14．（江苏启东市·高三期末）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．【解析】根据点差法结合已知两直线的斜率即可求得第一空；联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得第二空答案. 【详解】()11,A x y ，()22,B x y ，2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，∴()()222212120a x x b y y -+-=， ∴221222120a y y b x x -+=-，121212120y y y y a b x x x x -++⨯=-+，即(1)02a b +-⨯=，∴a b =，∴b a =2211ax y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消y可得2()10a x +-+-=，12124x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩， ()()()121212121113y y x x x x x x =-+-+=-++=+，由OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，30+=，∴1)2a =-=，4b =-∴2a b +=；【回扣要点】椭圆的定义和标准方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系、点差法.15．（山东高三）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m ，++∴===∴=【回扣要点】1.椭圆的定义、方程及几何性质；2.双曲线方程、几何性质.16．（北京高考模拟（理））1F 、2F 分别为椭圆C ： 22195x y +=的左、右焦点，P 是C 上的任意一点. 则12•PF PF 的最大值为___________，若(0,A ，则2AP PF -的最小值为____________.【答案】9 4 【解析】由22195x y +=可得：3a =，2c = 由椭圆定义可知1226PF PF a +== 216PF PF ⇒=-()212111166PF PF PF PF PF PF ∴=-=-又1a c PF a c -≤≤+，即115PF ≤≤∴当13PF =时，12PF PF 取最大值，最大值为：1899-=()21126AP PF AP a PF AP PF -=--=+-又11AP PF AF +≥（当且仅当P 在线段1AF上时取等号） ()21min664AP PF AF ∴-=-==【回扣要点】椭圆的定义、几何性质、最值类问题.17．（湖北高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，点(),A a b -，点(),B a b.在点P 的运动过程中，12PF F △cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+=∠∠成立的点P 有且只有3个.当点P 在x 轴的下方运动时，记12PF F △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则 rR的最大值为________，PAB △的外接圆面积的取值范围为______________.【答案】32(4,162ππ⎡⎤-⎣⎦【解析】若cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠成立，分别讨论2APB π∠<和2APB π∠>时矛盾，可得2APB π∠=，则得出2a b =，由三角形12PF F 面积最大值得122c b ⨯⨯=2,1,a b c ===12F PF θ∠=，由余弦定理可得1221cos PF PFθ⋅=+，由三角形12PF F 面积得(2sin 1cos r θθ=+，即可求出r R 最大值；设PAB △的外接圆的圆心()0,D m ，设()2cos ,sin P αα,其中(),2αππ∈，由DA DP =，可得()23sin 121sin m αα+=-，令1sin t α=-，则(]1,2t ∈，利用导数求出，3,1m ⎡⎤∈⎣⎦，即可求出.【详解】若cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+=∠∠成立，显然当P 在左右顶点时，等式不成立，则PAB ∠和PBA ∠为锐角，若2APB π∠<，则2PAB PBA π∠+∠>，即2-PAB PBA π∠>∠，则sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠>∠⎪⎝⎭，即sin cos PAB PBA ∠>∠，则cos 1sin PBA PAB ∠<∠，同理，sin cos PBA PAB ∠>∠，则cos 1sin PAB PBA ∠<∠，则cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+<∠∠，与已知矛盾；若2APB π∠>，则2PAB PBA π∠+∠<，即2-PAB PBA π∠<∠，则sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠<∠⎪⎝⎭，即sin cos PAB PBA ∠<∠，则cos 1sin PBA PAB ∠>∠，同理，sin cos PBA PAB ∠<∠，则cos 1sin PAB PBA ∠>∠，则cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+>∠∠，与已矛盾，综上，若cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠成立，2APB π∠=，∴点P 在以AB 为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点为椭圆的下顶点，2a b ∴=，12PF F △122c b ∴⨯⨯=222a b c =+，可解得2,1,a b c ===设12F PF θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅⋅，1224PF PF a +==，则可得1221cos PF PF θ⋅=+，12121sin sin 21cos PF F SPF PF θθθ∴=⋅⋅=+，又()(121212122PF F Sr PF PF F F r =++=， (sin 21cos rθθ∴=+，则(2sin 1cos r θθ=+，由正弦定理可得122sin F F R θ=，则sin R θ=，(()22sin 2sin 31cos 3rRθθθ-∴=-==，当P 在下顶点时，cos θ最小，此时23πθ=，r R ；可得PAB △的外接圆的圆心在y 轴上，设圆心为()0,D m ，设()2cos ,sin P αα,其中(),2αππ∈，则DA DP =，即()()()2222212cos sin m m αα+-=+-，可得()23sin 121sin m αα+=-，令1sin t α=-，则(]1,2t ∈，则236432322t t m t t t -+==+-令()3232f t t t =+-，则()222323422t f t t t-'=-=，当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0f t '<，()f t 单调递减，2t ⎤∈⎥⎝⎦时，()0f t '>，()f t 单调递增，()min 33f t f ⎛∴== ⎝⎭，， ()112f =，()21f =，()max 1f x ∴=，3,1m ⎡⎤∴∈⎣⎦，则()(22414,162DA m ⎡⎤=+-∈⎣⎦，则PAB △的外接圆面积(24,162DA πππ⎡⎤⋅∈⎣⎦.故答案为：32；(4,162ππ⎡⎤-⎣⎦.【回扣要点】直线与椭圆的位置关系,正弦定理、余弦定理的应用,应用导数研究函数的性质. 三、解答题18．（全国高三专题练习（理））已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=，所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b ==因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+，同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数，当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6.【回扣要点】1.椭圆的标准方程及几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.圆的方程及其性质；4.函数的性质．19. （浙江高三开学考试）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l yx =的距离为,2A B 为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程；（2）求NAB △面积的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）(0,4]. 【解析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l，求出抛物线方程；（2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围．【详解】（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-=所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令uu =由24y x y x=⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)，因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【要点回扣】1.抛物线的标准方程及几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系．20．（全国高三专题练习）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.【回扣要点】1.抛物线的标准方程及几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系．21．（江苏无锡市·高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析. 【解析】（1）根据题意，列出方程组，结合222c a b =-，求得,a b 的值，得出椭圆的标准方程，又由抛物线216y x =-，求得准线方程，即可求得A 的坐标；（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，求得,M N 的坐标，即可求得直线MN 的方程；（3）设()()4,,4,P t Q t -，得到:4MN x ky =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，得到1212y y ky y +=-，再由直线PM 和QN 的方程，求得交点的横坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且c e a ==，又由222c a b =-，解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==，当5,,(1,242M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，可得直线:(4)6MN y x =--；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；所以直线MN的方程为4)6y x =±-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+，设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-，又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---，交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.【回扣要点】1、椭圆、抛物线的标准方程及几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．22．（全国高三开学考试（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2P ⎛-- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2y x m =-+(0m ≠且 m ≠交椭圆C 于A ，B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，探究：12k k 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为14. 【解析】（1）根据椭圆离心率为2，且过点1,2P ⎛-- ⎝⎭，由222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩求解. （2）联立2214y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由1212122211y k x x y k +⋅=⋅++，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立22214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x m +-=，其中()22234140m m m ∆=--=-+>，解得22m -<<. 又0m ≠且 m ≠∴2m -<<0m <<或02m <<.设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=，2121x x m =-，∴121212222211x m x m k k x x +++⋅=⋅++，()()212121212342221x x m x x m x x x x ⎛-++++ ⎝⎭⎝⎭=+++， ()22314m m m ⎛-+++ =，2114m +==，即12k k 是定值，且定值是14. 【回扣要点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题.。

高考复习方案专题解析几何高三数学理科二轮复习浙江省专用

x20，0，0，y20.故切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×x20×
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第13讲直线与圆
y20＝2x40y0≥x20＋4 y02＝42＝2，当且仅当 x0＝y0＝1 时等号成立，故所求的切线方程为 x＋y－2＝0.
方法二：设切线方程为 y＝kx＋m，其中 k<0，m>0，根据直线与圆相切得 1m＋k2＝ 2，即 m2＝2(1＋k2)．直
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第13讲直线与圆
体验高考
4．[2014·陕西卷] 若圆 C 的半
核心
径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线
知 y＝x 对称，则圆 C 的标准方程④ 为
识
聚 ____________．
焦
[答案] x2＋(y－1)2＝1
主干知识
⇒ 圆的方程关键词：圆心、半径、标准方程、一般方程，如④.
考点
线 y＝kx＋m 与两坐标轴的交点坐标分别为－mk ，0，
考向探究
(0，m)，所以直线 y＝kx＋m 与两坐标轴所围成的三角形的面积为－12×mk2＝－1＋k k2＝(－k)＋－1k≥2，当且
仅当 k＝－1 时等号成立，此时 m＝2.故所求的切线方
程为 y＝－x＋2，即 x＋y－2＝0.
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第13讲直线与圆
方法三：设 A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)，则直线 AB 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离 d＝ |－a2＋abb| 2＝ 2，整理得
考
2（a2＋b2）＝ab，即 2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以
心知
＋y2＝5 相切，且与直线 ax－y＋1＝0 垂直② ，则 a＝

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规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (15分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，且
点⎝
⎛
⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，
B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值；②求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式
基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |
②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值
规范解答·分步得分
构建答题模板解 (1)由题意知3
a 2＋14
b 2＝1.又a 2－b 2a ＝3
2
，
解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2＝1.3分
(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2
4
＝1.
①设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 20
4＋y 2
0＝1，又
－λx 0
2
16
＋
－λy 0
2
4
＝1，即λ24⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 20
4＋y 2
＝1，
第一步
求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．第二步
联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得
到方程：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，
由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，(*)
则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2
1＋4k 2.
因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |
1＋4k 2
＝2
16k 2＋4－m 2m 2
1＋4k 2
＝2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4－m 2
1＋4k 2m 21＋4k 2.11分设
m 2
1＋4k 2
＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，
可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝2
4－t t ＝2－t 2
＋4t ，
故0<S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.15分评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；
(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给2分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣
2分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 2
2
＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，
B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.
由已知可得，点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，－22.
又M (2,0)，
所以AM 的方程为y ＝－
22x ＋2或y ＝2
2
x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.
(2)证明当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和
k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k
x 1－2x 2－2.
将y ＝k (x －1)代入x 2
2
＋y 2＝1，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－2
2k 2＋1
.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k
2k 2＋1＝0，
从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .
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