(浙江专用)201X高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案

规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系

典例6 (15分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2

，且

点⎝

⎛

⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2

4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，

B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

①求|OQ ||OP |

的值；②求△ABQ 面积的最大值．

审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式

基本量法求得椭圆C 的方程

(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |

②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值

规 范 解 答·分 步 得 分

构 建 答 题 模 板 解 (1)由题意知3

a 2＋14

b 2＝1.又a 2－b 2a ＝3

2

，

解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 2

4＋y 2＝1.3分

(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2

4

＝1.

①设P (x 0，y 0)，|OQ |

|OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．

因为x 20

4＋y 2

0＝1，又

－λx 0

2

16

＋

－λy 0

2

4

＝1，即λ24⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x 20

4＋y 2

＝1，

第一步

求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程． 第二步

联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得

到方程：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，

由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，(*)

则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2

1＋4k 2.

因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |

1＋4k 2

＝2

16k 2＋4－m 2m 2

1＋4k 2

＝2

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫4－m 2

1＋4k 2m 21＋4k 2.11分 设

m 2

1＋4k 2

＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，

可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0

4－t t ＝2－t 2

＋4t ，

故0

(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给2分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣

2分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．

跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 2

2

＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，

B 两点，点M 的坐标为(2,0)．

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.

由已知可得，点A 的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，－22.

又M (2,0)，

所以AM 的方程为y ＝－

22x ＋2或y ＝2

2

x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.

(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .

当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为

y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和

k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2

x 2－2

.

由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k

x 1－2x 2－2.

将y ＝k (x －1)代入x 2

2

＋y 2＝1，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－2

2k 2＋1

.

则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k

2k 2＋1＝0，

从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .

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