FFT示意图
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。
比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。
1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。
（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。
）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。
=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。
傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。
如下图所示。
DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。
时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT分析与算法实现
离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。
DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。
反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。
因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。
FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。
三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。
基于FFT算法的振动信号分析
#&同时对 AA= 获得的振动功率谱图提取了中心主频率 ) 频谱
总能量与分频段能量值百分比几个特征量来判断球磨机钢球的 运行情况 $ 这样就实现了由轴承振动信号入手 # 分析振动信号功率的 变化 # 准确实时地获得球磨机筒内存煤量的变化 $
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图像处理1--傅里叶变换（FourierTransform）
图像处理1--傅⾥叶变换（FourierTransform）楼下⼀个男⼈病得要死，那间壁的⼀家唱着留声机；对⾯是弄孩⼦。
楼上有两⼈狂笑；还有打牌声。
河中的船上有⼥⼈哭着她死去的母亲。
⼈类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。
OpenCV是⼀个基于BSD许可（开源）发⾏的跨平台计算机视觉库，可以运⾏在Linux、Windows、Android和Mac OS操作系统上。
它轻量级⽽且⾼效——由⼀系列 C 函数和少量 C++ 类，同时提供了Python、Ruby、MATLAB等语⾔的接⼝，实现了和计算机视觉⽅⾯的很多通⽤算法。
OpenCV⽤C++语⾔编写，它的主要接⼝也是C++语⾔，但是依然保留了⼤量的C语⾔。
该库也有⼤量的Python、Java andMATLAB/OCTAVE（版本2.5）的接⼝。
这些语⾔的API接⼝函数可以通过在线获得。
如今也提供对于C#、Ch、Ruby,GO的⽀持。
所有新的开发和算法都是⽤C++接⼝。
⼀个使⽤CUDA的GPU接⼝也于2010年9⽉开始实现。
图像的空间域滤波：空间域滤波，空间域滤波就是⽤各种模板直接与图像进⾏卷积运算，实现对图像的处理，这种⽅法直接对图像空间操作，操作简单，所以也是空间域滤波。
频域滤波说到底最终可能是和空间域滤波实现相同的功能，⽐如实现图像的轮廓提取，在空间域滤波中我们使⽤⼀个拉普拉斯模板就可以提取，⽽在频域内，我们使⽤⼀个⾼通滤波模板（因为轮廓在频域内属于⾼频信号），可以实现轮廓的提取，后⾯也会把拉普拉斯模板频域化，会发现拉普拉斯其实在频域来讲就是⼀个⾼通滤波器。
既然是频域滤波就涉及到把图像⾸先变到频域内，那么把图像变到频域内的⽅法就是傅⾥叶变换。
关于傅⾥叶变换，感觉真是个伟⼤的发明，尤其是其在信号领域的应⽤。
⾼通滤波器，⼜称低截⽌滤波器、低阻滤波器，允许⾼于某⼀截频的频率通过，⽽⼤⼤衰减较低频率的⼀种滤波器。
它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频⼲扰。
数字信号处理 实验一 FFT变换及其应用
实验一 FFT变换及其应用一、实验目的和要求1.在理论课学习的基础上，通过本次实验，加深对DFT原理的理解，懂得频域DFT与时域卷积的关系，进一步加深对DFT基本性质的理解；2.研究FFT算法的主要途径和编程思路，掌握FFT算法及其程序的编写过程，掌握最基本的时域基-2FFT算法原理及程序框图；3.熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法，利用FFT进行卷积，通过实验比较出快速卷积优越性，掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系；4.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法，初步了解用周期图法作随机信号谱分析的方法，了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT；5.掌握使用MATLAB等基本开发工具实现对FFT编程。
二、实验设备和分组1.每人一台PC机；2.Windows 2000/XP以上版本的操作环境；3.MatLab 6.5及以上版本的开发软件。
三、实验内容(一)实验准备1.用FFT进行谱分析涉及的基础知识如下：信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
若信号是模拟信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后用FFT来对连续信号进行谱分析。
若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得X（k）,X(k)就代表了序列在[0,2]之间的频谱值。
幅度谱：相位谱：为避免产生混叠现象，采样频率fs 应大于2倍信号的最高频率fc ，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。
用FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。
图1.1 FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图2. 应用FFT 实现快速卷积涉及的基础知识如下： 一个信号序列x(n)与系统的卷积可表示为下式：Y(n)=x(n)*h(n)=∑+∞-∞=-m m n h m x )()(当是一个有限长序列，且0≤n ≤N-1时，有：Y(n)=∑-=-1)()(N n m n x m h此时就可以应用FFT 来快速计算有限长度序列的线性卷积。
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
fft详解
fft 原理详解FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。
这就是很多信号分析采用FFT 变换的原因。
另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
一个模拟信号，经过ADC 采样之后，就变成了数字信号。
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。
采样得到的数字信号，就可以做FFT 变换了。
N 个采样点，经过FFT 之后，就可以得到N 个点的FFT 结果。
为了方便进行FFT 运算，通常N 取2 的整数次方。
FFT的点数N：假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
那么FFT 之后结果就是一个为N 点的复数。
FFT后的幅度：每一个点就对应着一个频率点。
这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2 倍。
而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N 倍。
FFT后的频率分辨率：第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1 个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1 个点平均分成N 等份，每个点的频率依次增加。
例如某点n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs 为1024Hz，采样点数为1024 点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz 的采样率采样1024 点，刚好是 1 秒，也就是说，采样1 秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样 2 秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数（必须增加有效的采样点数，通过在原来采样数据后补0的方法不能提高频率分辨率，只能使频谱图更加平滑而已），也即采样时间。
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解
X 3(1)x3(0)W 2 1x3(1)x(0)W21x(4)x(0)WN0x(4) 这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。
20
以8点为例第三次按奇偶分解
N=8按时间抽取法FFT信号流图
21
5.3.2 按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 L 级 蝶形运算；每级都由 N/2 个蝶形运算组成，而每个蝶形有
蝶形运算信 号流图符号
因此，只要求出2个N/2点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再 经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。
14
以8点为例第一次按奇偶分解
以N=8为例，
分解为2个4点
的DFT，然后
做8/2=4次蝶形
运算即可求出
W
0 N
所有8点X(k)的
值。
W
1 N
W
2 N
W
3 N
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
2
4
1
4 16
4
8 64
12
16 256
32
32 1028 80
4.0 128
16 384
448 36.6
4.0 256 65 536 1 024 64.0
5.4 512 262 144 2 304 113.8
7直接计算dft与fft算法的计算量之比为m24fft算法与直接dft算法运算量的比较25533按时间抽取的fft算法的特点序列的逆序排列同址运算原位运算蝶形运算两节点间的距离的确定26序列的逆序排列由于xn被反复地按奇偶分组所以流图输入端的排列不再是顺序的但仍有规律可循
实验指导 FFT变换及其应用
用重叠相加法，按分段长度 M=7 计算线性卷积和。 【解】 按 M=7 对 x ( n) 分段，
x0 (n) = [3,5, 7,9,11,13,15]
x1 (n) = [17,19, 21, 23, 25, 27, 29] x2 (n) = [31,33,35]
subplot(1,2,2) k=0:length(magXK)-1; stem(k,magXK,'.'); xlabel('k');ylabel('|X(k)|'); title('X(k) N=100') 结果如图所示。
图 1.2
例 1.1 结果示意图
（四）利用 FFT 实现快速卷积
我们知道，一个信号序列 x ( n) 与系统 h( n) 的卷积可表示为下式：
相加得（相邻段有 3 点重叠，需对应相加） ：
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) = [3,11, 26,50, 70,90,110,130 ,150 ,170,190, 210, 230, 250, 270, 290,310, 293, 237,140]
相应的 Matlab 程序为： L0=17;nx=0:L0-1;x=2*nx+3;N=4;nh=0: N-1;h=nh+1;L=L0+N-1; x0=[x,zeros(1,N-1)]; y=fftfilt(h,x0);ny=1:L;stem(ny-1,y,'.'); 其中，fftfilt()是采用重叠相加法 FFT 计算线性卷积和 Matlab 函数。 【例 1-3】 已知两个序列：
OFDM 系统
TG
T
符号定时同步算法
基于循环前缀的同步 以Van de Beek的算法为代表 ，利用CP是OFDM符 号末尾的复制这一特性，给出了时间偏移的最大似然估计 基于导频的同步 以T.M .Schmidl算法为例，用两个特殊结构的前导符号 来做定时和频偏估计 联合循环前缀及导频的同步 Landstrom等推出了一个依赖CP和导频信 号的最大似然估计算法
Sk S (kT / N ) di e j 2 ik / N
(1 k N )
可见，Sk 是对di 进行N 点IDFT运算的结果，显然，di 可以通过对Sk 进行 N 点DFT运算得到
di Sk e j 2 ik / N
因此我们可以得到下面的OFDM实现框图
i 1
N
关键参数 ： 1、子载波的数目 2、保护时间 3、符号周期 4、载波间隔 5、载波的调制方式 6、前向纠错编码的选择
OFDM原理
一个OFDM符号的复数表示形式为：
快速傅里叶变换(含详细实验过程分析)
[实验2] 快速傅里叶变换 (FFT) 实现一、实验目的1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；2、掌握用C 语言编写DSP 程序的方法；3、了解利用FFT 算法在数字信号处理中的应用。
二、实验设备 1. 一台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理 （一）快速傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。
离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。
但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。
一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。
两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取方法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()12()kN X k X k W X k =+由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：kNNkNWW-=+2/可得：()()12(/2)kNX k N X k W X k+=-对X1(k) 与X2(k)继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N点的DFT最终用一组2点的DFT来计算。
fft采样正弦幅度
fft采样正弦幅度一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种数学工具，可以将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
它将信号从时域转换到频域，显示出信号的频率和幅度信息。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
二、正弦信号的特点正弦信号是一种周期性信号，具有固定的频率和幅度。
通过FFT采样正弦信号，可以得到其频率和幅度的准确数值。
三、FFT采样正弦信号为了演示FFT采样正弦幅度的过程，我们先构造一个频率为f的正弦信号，并设定采样率为Fs，采样点数为N。
然后对信号进行FFT 变换，得到频域的幅度谱。
1. 步骤一：生成正弦信号我们需要生成一个频率为f的正弦信号。
正弦信号的表达式为：y(t) = A * sin(2πft + φ)，其中A为幅度，f为频率，t为时间，φ为相位。
2. 步骤二：采样信号我们需要对生成的正弦信号进行采样，得到离散的信号序列。
采样率Fs表示每秒钟采集的样本数。
采样定理告诉我们，为了准确地重构信号，采样率至少要是信号最高频率的两倍。
3. 步骤三：FFT变换将采样得到的信号序列进行FFT变换，得到频域的幅度谱。
FFT变换后，信号的频率信息会分布在不同的频率点上，幅度信息则对应频率点的振幅。
四、分析FFT采样得到的幅度谱通过观察FFT采样得到的幅度谱，我们可以得到正弦信号的幅度信息。
幅度谱是一个关于频率的函数图像，横轴表示频率，纵轴表示幅度。
根据幅度谱的形状和数值，可以判断正弦信号的频率和幅度大小。
1. 幅度峰值幅度谱中最高的峰值对应着正弦信号的主频率，即信号的频率。
通过检测幅度峰值的位置和数值，可以准确地得到正弦信号的频率。
2. 幅度大小幅度谱中每个频率点对应的幅度大小反映了信号在该频率上的能量分布。
通过观察幅度大小的变化，可以判断信号的幅度大小。
五、实例分析假设我们采样了一个频率为100Hz，幅度为2的正弦信号，采样率为1000Hz，采样点数为1024。
经过FFT变换后，得到的幅度谱如下图所示：图1：幅度谱示意图根据图1，我们可以得到以下结论：1. 幅度峰值位于100Hz处，说明信号的频率为100Hz。
手把手教你理解(FFT)
“y_re”，其余参数不变（如图）；
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍， 假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。
模糊知识点的解释： 1.采样出的点经过 FFT 运算后，各自点对应的频率是多少？
答：也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率 Fs，这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率 依次增加。例如某点 n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。 举例：Fn 所能分辨到频率为为 Fs/N，如果采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024 点，则可以分辨到 1Hz。024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就 是说，采样 1 秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 1Hz，如果采样 2 秒时 间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须 增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
//计算幅值
}
while(1); }
实验步骤 1. 以 64 点 FFT 的信号流验的工程（Example_fft.pjt），编译并重建 .out 输出文件，
然后通过仿真器把执行代码下载到 DSP 芯片中； 3. 运行程序； 4. 选择 view->graph->time/frequency… 。 设置对话框中的参数: 其中“Start Address”
N / 21
N / 21
X (k)
x2n
W 2nk N
x
2n
1
W (2n N
1) k
n0
n0
考虑到 WN 的性质，即
WN2 [e j(2 ) / N ]2 e j2 /(N / 2) WN / 2
FFT至简设计法实现法_FFT算法_蝶形运算
DIT-FFT 至简设计实现法1、 DIT-FFT 算法的基本原理有限长序列x n 的N 点DFT 定义为：X (k )=∑x (n )W N Kn N−1n=0,式中W N=e−j2πN。
DFT 在实际应用中很重要，但是如果直接按DFT 变换进行计算，当序列长度N 很大时，计算量会非常大，所需时间也很长，因此常用的是DFT 的一种快速计算算法，简称FFT 。
最常用的FFT 算法是基于时间抽取的基2-FFT 算法和基于频率抽取的基2-FFT 算法，这种算法的特点在于FFT 会把一次大的DFT 分割成几个小的DFT ，这样递归式地细分下去，例如有8个采样点的FFT ，首先会把最外层的8点运算分成两个4点FFT 的奇偶组合，第二层FFT 又分成四个两点FFT 的奇偶组合，并且由此计算出的频谱中很有趣的一点在于对于实数输出的数组，后面一半和前面一半正好对称相同，对于虚数输出的数组，后面一半是前面数组对称后乘上负1，因此，我们只需要算出FFT 的一半即可求出全部。
本设计讨论的是基于至简设计法实现按时间抽选的基2-FFT 算法（即DIF-FFT ）实现过程，支持N 由8到1024。
图 1按时间抽取的基2-FFT 算法蝶形运算流图（N=8）2、蝶形运算至简实现过程2、1 模块划分图 2蝶形运算模块框图本模块包括三个RAM模块（RAM1，RAM2，RAM3）与一个DFT模块，各模块功能如下：1）RAM1模块：在开始进行蝶形运算前，全部采样点（如图1所示的x(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(1)、x(5)、x(3)、x(7)）已经按照倒位序二进制的地址依次存储在RAM1模块中，即地址0保存了采样点x(0)，地址1保存了采样点x(4)。
选用双端口RAM1可以同时对两点采样数据(如图1的x（0）、x(4))进行读、写操作。
2）RAM2模块：RAM2模块也是采用双端口输入输出，可同时对两点数据进行读、写操作。
图解DFT,DTFT,DFS,FFT,FT,FS区别与联系
很多同学学习了数字信号处理之后，被里面的几个名词搞的晕头转向，比如DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS 属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这里就不过多讨论，只解释一下前四者的关系。
首先说明一下，我不是数字信号处理专家，因此这里只站在学生的角度以最浅显易懂的性质来解释问题，而不涉及到任何公式运算。
学过卷积，我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理，在这里只需要记住两点：1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积；2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。
(在任何一本信号与系统课本里，此两条性质有详细公式证明)下面，就用这两条性质来说明DFT，DTFT，DFS，FFT之间的联系：先看图片：首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样，采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4)，可见它的频谱也是一系列的脉冲。
所谓时域采样，就是在时域对信号进行相乘，(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n]，如图(5)所示；由前面的性质1，时域的相乘相当于频域的卷积，那么，图(2)与图(4)进行卷积，根据前面的性质2知，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6)，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即离散时间傅立叶变换，这里强调的是“离散时间”四个字。
注意2：此时时域是离散的，而频域依然是连续的。
经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。
我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7)。
Envi图像增强与变换
实验二ENVI图像增强与变换实验指导实验目的：通过上机操作，了解图像增强、图像变换几种遥感图象处理的过程和方法，加深对图象增强与变换处理的理解，熟悉ENVI软件中图像增强与变换的一些方法。
基础理论回顾与ENVI图像增强与变换预览：1.图像增强与变换的目的：图像增强的目的在于改善图像的显示质量，提高图像目视效果，突出所需要的信息，为进一步遥感目视判读做预处理工作。
2.图像增强的方法：3.实验内容：●影像融合：HSV变换融合、主成分变换融合●裁剪影像（以下实验的影像数据）●NDVI指数的计算●纹理分析●快速傅立叶滤波实验数据：影像融合：SPOT5全色影像（2_5_SPOT5）和多光谱影像(10_SPOT5）：表1 SPOT5 XI卫星有关参数介绍空间分辨率全色：2.5m（星下点）多光谱：10m（星下点）光谱响应范围全色：480-710nm1：790-890nm 近红外2：610-680nm 红波段3：500-590nm 绿波段4：1580-1750nm 短波红外其他实验：实验一几何配准后影像。
ETM+多波段数据：图 1实验方法与步骤：一、影像融合1.HSV融合ENVI中的融合方法：图2使用HSV融合可以进行RGB图像到HSV色度空间的变换，用高分辨率的图像代替颜色亮度值波段，并自动将色度和饱和度重采样到高分辨率像元尺寸，然后再将图像变换回RGB色度空间。
输出的RGB图像的像元将与高分辨率数据的像元大小相同。
1.从ENVI主菜单中，选择File →Open Image File 把SPOT5全色影像（2_5_SPOT5）和多光谱影像(10_SPOT5）都加载到可用波段列表中：图 32.从ENVI主菜单中，选择Transform → Image Sharpening → HSV，开始进行多光谱影像和全色影像的HSV 变换融合。
3.在Select Input RGB Input Bands对话框中，分别选择多光谱影像（10_SPOT5）影像的波段1、波段2和波段3，然后点击OK：图 44.打开High Resolution Input File（输入高分辨率数据）对话框，在Select Input Band列表中选择SPOT5全色影像（2_5_SPOT5），点击OK：图 5至此，完成了HSV变换融合的数据输入工作。
小学生都能看懂的FFT！！！
⼩学⽣都能看懂的FFT⼩学⽣都能看懂的FFT前⾔在创新实践中⼼偷偷看了⼀天FFT资料后，我终于看懂了⼀点。
为了给⼤家提供⼀份简单易懂的学习资料，同时也⽅便⾃⼰以后复习，我决定动⼿写这份学习笔记。
⾷⽤指南：本篇受众：如标题所⽰，另外也⾯向同我⼀样⾼中起步且⾮常菜的OIer。
真正的dalao请⽆视。
本篇⽬标：让⼤家（和不知道什么时候把FFT忘了的我）在没有数学基础的情况下，以最快的速度了解并会写 FFT。
因此本篇将采⽤尽可能通俗易懂的语⾔，且略过⼤部分数学证明，在严谨性上可能有⽋缺。
但如果您发现了较⼤的逻辑漏洞，欢迎在评论⾥指正！你⼀定听说过FFT，它的⾼逼格名字让⼈望⽽却步——“快速傅⾥叶变换”。
你可能知道它可以O(n log n)求⾼精度乘法，你想学，可是⾯对⼀堆公式，你⽆从下⼿。
那么欢迎阅读这篇教程！[Warning] 本⽂涉及复数（虚数）的⼀⼩部分内容，这可能是最难的部分，但只要看下去也不是⾮常难，请不要看到它就中途退出啊QAQ。
什么是FFT？快速傅⾥叶变换（FFT）是⼀种能在O(n log n)的时间内将⼀个多项式转换成它的点值表⽰的算法。
补充资料：什么是点值表⽰设A(x)是⼀个n−1次多项式，那么把n个不同的x代⼊，会得到n个y。
这n对(x,y)唯⼀确定了该多项式，即只有⼀个多项式能同时满⾜“代⼊这些x，得到的分别是这些y”。
由多项式可以求出其点值表⽰，⽽由点值表⽰也可以求出多项式。
（并不想证明，⼗分想看证明的同学请前往“参考资料”部分）。
注：下⽂如果不加特殊说明，默认所有n为2的整数次幂。
如果⼀个多项式次数不是2的整数次幂，可以在后⾯补0。
为什么要使⽤FFT？FFT可以⽤来加速多项式乘法（平时⾮常常⽤的⾼精度⼤整数乘法就是最终把x=10代⼊的多项式乘法）。
假设有两个n−1次多项式A(x)和B(x)，我们的⽬标是——把它们乘起来。
普通的多项式乘法是O(n2)的——我们要枚举A(x)中的每⼀项，分别与B(x)中的每⼀项相乘，来得到⼀个新的多项式C(x)。
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首先定义图像的概率密度函数（PDF，归一化到单位面积的直方图）：
其中H（x）为图像直方图，A0为图像的面积
转换前图像的概率密度函数为 ，转换后图像的概率密度函数为 ，转换函数为 。由概率论知识，可以得到：
为了防止溢出，我们可以用一个与图像大小相同的二维数组color[i][j]（数据类型为长整型）与原图象的象素点位置相映射，则原图象任意象素点的“颜色”值，可以标志在数组中，不会溢出。同时设置一个一维数组num(k)存放“颜色”值为k的团点的象素点数目。鉴于BMP文件是从下到上，从左到右存储，因此采用与此相对应的扫描顺序。
FFT示意图
二、
解：（采用图像vision1.bmp）
本题是探讨对比度增强问题，对比度小的图像很难辨别。对vision1.bmp图像通过直方图观察发现其灰度值范围在0～150之间，且多数象素点的灰度在0～50之间，对比度显然很较差。常用的对比度增强方法有图像均衡和灰度拉伸。
(一)图像均衡
（1）原理、方法
⑶R1＝20，R2＝100
图3.10低通图图3.11 中通图 图3.12高通图
⑷R1＝10，R2＝80
图3.13低通图图3.14 中通图 图3.15高通图
高频选择的依据：比较图3.6、图3.9、图3.12、图3.15发现，在R2小于100之后，高通图基本没有发生较大的变化，原因是这时已经包含了绝大部分的高频分量，且已经包含了一部分的中频和低频，所以高频被中频、低频分量“淹没”了，看不出高频成分，所以认为高频频谱，R2应大于100。按此方法分析，本人选择R2＝135，作为高频的频谱分割阈值。
处理步骤：
ⅰ、图像阈值分割（二值化）：对整幅图像进行扫描，找出灰度最大值保存在变量graymax。再次对整幅图像扫描，把灰度值小于graymax/2的象素点去除(灰度值设为255)，大于graymax/2的象素点保留为目标(灰度值设为0)。
原图象图3.2图3.3
图3.3可是认为是图3.1的第一个周期平移的结果（实际上图3.1可以看成是第一个周期沿u轴和v轴的正负方向平移的结果）。
由图3.1可知在第一个周期内，离原点越近（u、v值越小），频率越低，离原点越远（要在一个周期内）（u、v值越大）则频率越高；由于用亮度信息表示频谱幅度，从图3.1可以看出低频成分的幅度较大（能量较大），能量集中在低频部分，高频部分能量很少；3.3也是同样的结果。所以可以以平移后的频谱（图3.3）的中心为圆心，以一定的半径画圆来规定频谱的低频、中频、高频部分。图中绿色圆（半径为R1）内部为频谱的低频成分，绿色圆与红色圆之间为中频成分，红色圆（半径为R2）之外为高频成分。这就是对图像频域进行高、中、低频分析的原理和依据。
图2.1原图象图2.2原图象的灰度直方图
图2.3均衡化后的图像图2.4均衡图像的灰度直方图
（二）灰度拉伸
（1）机理及方法
一般来说正确地使用直方图规定化的函数有可能获得比直方图均衡化更好的效果，而且也可以有意识地对某个灰度区间进行灰度拉伸。通过这种灰度拉伸来改变图像对比度的方法大致有两种：
①线性灰度拉伸
此外，也可以规定 ， 为其它的非线性函数，如二次函数、三角函数等。
（2）针对vision1.bmp的拉伸
由式2.1、式2.2（注：式2.2中自变量为logZ,应变量为Z’）可以看出
ⅰ、若斜率k>1，则变换后灰度值将变大，即产生“伸”的结果，可以由图2.5得到验证，图2.5（0，0）至（27，66）区间，与图2.2（灰度值为0的象素点较多，占5.79%）相比，延伸后大部分象素点较多的灰度平移到灰度值为70的附近，灰度值为70的象素点数目占了7.60%。从对比度效果看，灰度值在区间0～27的象素点将变亮。参看图2.5的变换结果图，与原图（图2.1）比较，地板和沙发底座附近（灰度在0～27之间）的对比度明显增强，而墙壁的亮的部分（灰度值大于27），基本没有产生对比度变化。
中频选择的依据：在R2＝135确定后，调整R1的位置，类似于图3.5、图3.8、图3.11、图3.14中通图，取①R1＝40，R2＝135②R1＝30，R2＝135③R1＝20，R2＝135④R1＝10，R2＝135，在R2再减小则中通图出现较大的轮廓信息，且低通变化不是很大，认为中频分量（包含有较多的低频分量）反变换后低频信号的幅度把中频“淹没”了，所以可以选择R1＝10左右。
由于频谱图与原图象大小一样，R1，R2最大取值为 ＝181【原图象大小为（256×256）】
⑴R1＝2，R2＝180
图3.4低通图图3.5中通图 图3.6高通图
由上面图可以看出，半径R2＝180之外，高频分量几乎没有（参考图3.3），所以其反变换的结果幅度（亮度，即灰度值）几乎为0（图3.6）
在半径R1＝2之内，从图3.3看出，频谱分量很集中，且幅度很大，所以其反变换的结果虽然不能反应原始图像的信息，但是幅度（亮度）较大（图3.4）
，D 实际上是半径R。将半径为R的圆外的频谱分量去除，再利用剩下的频谱分量F‘(u，v)进行反变换即得到低通图。同理
一个2-D理想高通滤波器的转移函数满足下列条件：
H(u,v)=
一个2-D理想中频部分滤波器的转移函数满足下列条件：
H(u,v)=
（二）通过调整半径R1和R2，滤除某种频率成分后得到的图像比较如下
在半径2<R<180之间，频谱分量也是较集中，所以其反变换的结果可以反应原始图像的一些基本信息（图像的某些轮廓）
⑵R1＝10，R2＝150
图3.7低通图图3.8 中通图 图3.9高通图
由上面图可以看出，半径R2＝150之外，已有一些高频分量（参考图3.3），根据傅立叶变换能量守恒定律，其反变换的结果应该也有一定的能量（与信号幅度的平方成正比）（亮度表示幅度），图3.9中的有亮度的点（由频谱的高频部分反变换得到）与原图象的桌角，人的两只脚，头顶围巾等部分对应，而这些部分是图像中变化最为剧烈的部分，因此我们可以认为图像中剧烈变化的部分为频谱的高频成分作贡献。这验证了图像的细节部分对应频谱高频成分的说法。
图2.5变换函数（延伸）横坐标——原灰度纵坐标——变换后的灰度
图2.6变换函数（收缩）横坐标——原灰度纵坐标——变换后的灰度
ⅱ、若斜率k<1，则变换后灰度值将变小，即产生“缩”的结果，可以由图2.6得到验证，图2.6（0，0）至（41，4）区间，与图2.2（灰度值为0的象素点较多，占5.79%）相比，收缩后大部分象素点较多的灰度平移到灰度值为0的附近，灰度值为0的象素点数目骤增到24.37%。从对比度效果看，灰度值在区间0～41的象素点将变亮。参看图2.6的变换结果图，与原图（图2.1）比较，地板和沙发底座附近（灰度在0～41之间）几乎无法分辩，对比度减弱，而墙壁的亮的部分（灰度值大于41），基本没有产生对比度变化。
（2）结果及分析
经过均衡化后，图像的对比度明显增强，（图2.1和图2.3比较），基本可以辨别图像中的物体和人的特征。原图象的直方图灰度集中在0～150之间，均衡化后直方图较为平坦，且灰度分布范围扩展到0～255之间，反应在图像上就是图像有较大的反差，显然对比度增强。直方图均衡化的优点是能自动地增强整个图像的对比度，但它的具体增强效果不易控制，不能只针对某个灰度区间进行有意识的灰度变换。因此对于我们所要求的细节，该变换不一定能提高它的可看性。
对于原图象的某个灰度区间 的灰度值Z按照下式变换函数变换
式中，斜率为常数k= (式2.1)
显然灰度范围由 变换到 ,从而改变图像的对比度
②非线性灰度拉伸
一般在傅立叶功率谱中，与直流成分相比，其它的频率成分的值即使乘以10的几次方也是小的，为此先取输入图像灰度值的对数，变换函数为
式中斜率为常数k= (式2.2)
如果想使转换后图像的灰度均匀分布，即图像的概率密度函数为1（直方图为平的），则必须要求： ，
要由原象素点的灰度值 ，只需对该等式两边对 积分，得到：
对于没有归一化的情况，只要乘以最大灰度值 （灰度图为255）即可。灰度均衡的转换公式为
对于数字图像（离散），转换公式为：
式中Hi为第I级灰度的象素个数。 。
ⅲ、若斜率k=1，则变换后不会改变该区间的灰度值，如上面分析中灰度在72～255区间的象素点的灰度不会改变。
综上分析，直方图“伸”将使图像对比度增强，“缩”将使图像对比度减弱。
（3）较佳的灰度拉伸
由于vision1.bmp整幅图像明显偏暗，图像的灰度集中在较暗的区域，为此根据前面分析，采用灰度“延伸”的方法来提高图像的对比度。从原图象的直方图看出，灰度值在0～150的象素点数目占绝大多数，而占比例最大的是灰度为0附近的象素点。所以可用“延伸”在0附近的象素点灰度（使k>1）可以增强图像的对比度。
……
倒数第二行
6●k=1
7●k=1
8●k=1
9●k=1
倒数第一行
1●k=1
⊙2’
2●k=2
3●k=2
4●k=2
5●k=3
套用模板：I表示行，J表示列
F(I,J-1)
F(I,J)
F(I-1,J-1)
F(I-1,J)
目标为F(I,J)，初始化“颜色”k=1，color[][]=0；简记目标为1，非目标为0。
如图3.1（取频谱的幅度）：
图3.1傅立叶变换的周期性示意图
图中红线为u，蓝线为v，交点为原点，共四个象限，从数学计算上讲，u、v可以为正负,且在一个周期（图3.1中粉红色的虚线矩形，记该矩形为第一个周期）内，u、v的值越大则频率就越高。在实际应用中，我们一般取u、v为正即取第一象限的频谱，如图3.2所示，对其进行平移得到图3.3的频谱图。
在频域上，我们可以用一个转移函数H(u，v)与频谱F(u，v)相乘，消除某部分的频谱分量，以达到滤波的目的。F‘(u，v)= F(u，v) H(u，v)