数学建模论文++饮酒驾车的数学模型

一、问题重述

关键词：微分方程、模型。

本问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。

三、符号说明

k

:酒精从体外进入胃的速率；

f

(t):酒精从胃转移到体液的速率；

1

f

(t):酒精从体液转移到体外的速率；

2

X(t):胃里的酒精含量；

Y(t)：体液中酒精含量；

V 0:体液的容积；

K 1:酒精从胃转移到体液的速率系数；

K 2:酒精从体液转移到体外的速率系数；

C(t):体液中的酒精浓度。

0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t 的关系

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据前面的假设可知：

)()(11t x k t f =

)()(22t y k t f =

1.对胃建立方程： dx(t)=k 0dt-f 1(t)dt

)()(10t f k dt

t dx -= 可得：

01)()(k t x k dt

t dx =+ 利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=-01110111)0()(1x x A c k k A A e c t x t k 又因为)()(11t x k t f = ，联合式可得：

111111)(A k e c k t f t K +=-

0111k e c k t k +=-

00011)(k e

k x k t k +-=-

2又对中心室可建立方程组如下； ⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

21)0()()()(y y t f t f dt t dy 同理：

)()()(21t y k t f dt

t dy -= 因为000111)()(k e k x k t f t k +-=-，将其代入上式可得到：

000121)()()(k e k x k t y k dt

t dy t k +-=+- 利用微分求解：

t k t k t k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++= 又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0)()(v t y t c =

，即： t k t k e B A e c t c 12333)(--++=

（其中 023v c c =，0203v k k A =，0

120013)(v k k k x k B --=，0333)0(c c C B A ==++）。 （三）模型的讨论：

情况一 1当酒是在较短时间内喝时

此时有00)0(x D x ==，00=k ，00=c 。

由上可得：03=A ，012013)(v k k D k B -=

，33B c -= 因此有：

]333121212[)

()(t k t k t k t k t

k t k e e A e e B e B e B t c -------=--=+-= （其中 0

21013)(v k k D k B A -=-=）

设K1>K2,因此可认为：t k Ae t c 2)(-≈t K A t c 2ln )(ln -=⇒

利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）

通过Matlab 进行曲线拟合可得：

>> t=[ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];

y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4];

y2=log(y1);

polyfit(t,y2,1);

ans =

-0.1940 4.7753

5459.118=A ，1940.02=k

根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml ，密度为810mg/ml 酒精浓度不超过

4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量mg D 46656%

5.481064020=⨯⨯⨯=

由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml 33.433100

05.110%65703

0=⨯⨯⨯=v 毫克/百毫升。 由0

2101)(v k k D k A -=可求得：114.21=k 。 可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；

][5459.118)(114.21940.0t t e e t c ---=

用Matlab 软件画出图形为：