2018年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理
2018年高考数学文一轮复习文档：第八章 平面解析几何
第9讲 圆锥曲线的综合问题定点、定值问题(2016·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2，0)，B (0，1)， 所以，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．定点、定值问题的求解策略(1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．(2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．(3)无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(8，0)．最值、范围问题(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．【解】 (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|PA |＝|AM |＝8， 所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆， 所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（1＋k 2）3＋4k2， 同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k2， 所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2）， 设t ＝k 2＋1，则t >1， 所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14， 所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.最值、范围问题的求解策略(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．(2017·南昌模拟)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 面积的最大值．(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. 且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22m x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4 ＝3·4－m 22.又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22·m 2＝122m 2（8－m 2） ≤122·m 2＋（8－m 2）2＝ 2.当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S △PAB )max ＝ 2.探索性问题已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，是否存在点M (t ，0)使MP →·MQ →＝0成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．【解】 (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2， 所以b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2.设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .因为M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )， 所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1. 所以存在点M (1，0)符合题意．探索性问题的求解策略(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，易知直线PM ，PN 的斜率存在，并分别记为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2 ＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．, )——直线与圆锥曲线的综合问题(本题满分12分)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．(1)(2)(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.(3分)于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (5分)(2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.(6分)由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9 . (8分)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）.(9分) 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .(10分) 于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k ＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．(12分)(1)在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法．如本例(1)中，先设出直线方程，再联立椭圆方程构造方程组，利用根与系数的关系求出x M 、y M 的值即为通法．(2)本例(2)中由平行四边形知x P ＝2x M 这一技巧，从而得出关于k 的方程，即可求出k 的值．, )1．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12C 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.2．如图，直线y ＝m 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则三角形ABF 的周长的取值范围是( )A ．(2，4)B ．(4，6)C ．D ．B 设B (x B ，y B )，则1≤x B ≤3. 因为可以构成三角形ABF ，所以1<x B <3.因为圆的半径|BF |＝2，抛物线的准线方程为x ＝－1，利用抛物线定义，|AF |等于点A 到直线x ＝－1的距离d ，所以三角形ABF 的周长l ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝|AF |＋|AB |＋2＝d ＋|AB |＋2＝x B －(－1)＋2＝x B ＋3，故4<l <6.3．(2017·长春质量检测)若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率e ＝________．设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.544．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB→(λ＞1)，则λ的值为________．根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.45．(2017·南昌调研测试)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ， 求OE →·OF →的取值范围．(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2，所以OE →·OF →的取值范围是．6．(2017·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y . 所以E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P 点斜率为45的直线l 交C 于A ，B 两点．当m ＝0时，PA →·PB →＝－412.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：|PA |2＋|PB |2为定值． (1)因为离心率为35，所以b a ＝45.当m ＝0时，l 的方程为y ＝45x ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝a 22.设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)， PA →·PB →＝－x 20－y 20＝－4125x 20＝－4125·a 22. 又因为PA →·PB →＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16， 椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y 216＝1，并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则|PA |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理|PB |2＝4116y 22.则|PA |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116＝4116·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 52－16（m 2－25）25＝41.所以|PA |2＋|PB |2为定值．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(2，0)，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－153在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(1)法一：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2， 椭圆C 的左焦点为F 1(－2，0)．由椭圆的定义可得2a ＝（1＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1532＋（1－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1532＝969＋ 249＝26， 解得a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝6－4＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.法二：因为椭圆C 的右焦点为F 2(2，0)，所以c ＝2， 故a 2－b 2＝4， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－153在椭圆C 上， 则1a 2＋159b 2＝1，故1b 2＋4＋159b 2＝1，化简得3b 4＋4b 2－20＝0，得b 2＝2，a 2＝6， 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝－x ＋t得x 2＋3(－x ＋t )2－6＝0，即4x 2－6tx ＋(3t 2－6)＝0，Δ＝(－6t )2－4×4×(3t 2－6)＝96－12t 2>0，解得－22<t <2 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3t 2，x 1x 2＝3t 2－64，由于|F 1M |＝|F 1N |，设线段MN 的中点为E ，则F 1E ⊥MN ，故kF 1E ＝－1k MN＝1，又F 1(－2，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4，t 4， 所以kF 1E ＝t43t 4＋2＝1，解得t ＝－4.当t ＝－4时，不满足－22<t <22，所以不存在满足条件的直线l.。
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第八章 平面解析几何 第10讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案
第讲圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的定点、定值问题(·高考北京卷)已知椭圆：＋＝过(，)，(，)两点．()求椭圆的方程及离心率；()设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值．【解】()由题意得，＝，＝.所以椭圆的方程为＋＝.又＝＝，所以离心率＝＝.()证明：设(，)(＜，＜)，则＋＝.又(，)，(，)，所以，直线的方程为＝(－)．令＝，得＝－，从而＝－＝＋.直线的方程为＝＋.令＝，得＝－，从而＝－＝＋.所以四边形的面积＝·＝(＋)(＋)＝＋＋－－＋（－－＋）)＝＝.从而四边形的面积为定值．定点、定值问题的求解策略()定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率或截距的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．()定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．()无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标．(·石家庄市第一次模考)已知抛物线：＝(>)过点(，)，其焦点为′，且′＝.()求抛物线的方程；()设为轴上异于原点的任意一点，过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆：(－)＋＝相切，切点分别为，，求证：直线过定点．()抛物线的准线方程为＝－，所以′＝＋＝，又＝，即＝，所以－＋＝，所以＝，所以抛物线的方程为＝.()证明：设点(，)(≠)，由已知切线不为轴，设直线：＝＋，联立＝))，消去，可得＋(－)＋＝，①因为直线与抛物线相切，所以Δ＝(－)－＝，即＝，代入①可得－＋＝，所以＝，即(，)．设切点(，)，则由几何性质可以判断点、关于直线：＝－＋对称，则，解得，即.直线的斜率为＝(≠±)，直线的斜率为＝＝(≠±)，所以＝，即，，三点共线．当＝±时，(，±)，(，±)，此时，，三点共线．所以直线过定点(，)．圆锥曲线中的范围、最值问题(·高考浙江卷)如图，设抛物线＝(>)的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于－.()求的值；()若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直。
2018年浙江高考：圆锥曲线综合问题(共18张PPT)
令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，从而|BM|＝1－yM＝1＋x02－y02.
直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1.
3分 5分 6分
9分
例题解析：
令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0x－0 1. ∴四边形 ABNM 的面积 S＝12|AN|·|BM|
难度 较难 正常 较难 正常 较难
备注
提1+压1椭最 基2+压1椭最
基1+提1+压1 椭范 基1+压1抛最 基1+压2抛范
二、考点解析：
比较5年来的圆锥曲线的题型和分值，浙江高考 的圆锥曲线主要有以下的特点及趋势：1、在高考提 高题与压轴题中一直占有重要的比例；2、计算等级 要求很高、整体换元等需巧妙运算；3、椭圆、抛物 线在综合应用部分出现频率很高，最值问题、求范围 问题出现频率很高。
复习专题 圆锥曲线综合
⊙积极进取
v ⊙勇攀高分
汤家桥 陈建才
一：最近5年浙江高考圆锥曲线综合应用的分析：
2014 2015 2016 2017 2018
圆锥曲线 T16,T21等 T5,T9,T19等 T7,T9,T19等 T2,T21等 T2,T17,T21等
分值 约19分 约25分 约25分 约19分 约23分
2、着重提高分析问题与运算能力。圆锥曲线训练综合题时， 一般鼓励学生“敢算、会算、巧算”！
3、重点关注最值类、取值范围类问题,平时训练注重同类型 方法的演变，不同方法间的总结。
t2＋1·
－2t2t＋4＋122t2＋32，
且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ t2＋12 . t2＋1
10 分
设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22，
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第54讲 圆锥曲线的综合问题
4．了解圆锥曲线的简单应用．
5．理解数形结合的思想．
课前双基巩固
知识聚焦
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线
一个 公共点；相交时，直线与椭圆有 无 公共点；相切时，直线与圆锥曲线有________ ________ 两个 公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点． ________
第54讲 PART 54
Байду номын сангаас
圆锥曲线的综 合问题
课前双基巩固│课堂考点探究│高考易失分练│教师备用例题
考试说明
1 ．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
Δ>0 时，直线与圆锥曲线相交； 若 a≠0，当判别式________ Δ＝0 时，直线与圆锥曲线相切； 当判别式________ Δ<0 时，直线与圆锥曲线相离． 当判别式________
(3)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，还可以利用数形结合的方法解决．
课前双基巩固
2．直线与圆锥曲线相交的弦长 2 (1)设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则|AB|＝ 1＋k · |x1 1 2 2 －x2|＝ （1＋k ）[（x1＋x2） －4x1x2]或|AB |＝ 1＋ 2·|y1－y2|＝ k 1 1＋ 2[（y1＋y2）2－4y1y2]； k |y1－y2| ． (2)直线的斜率不存在时，|AB|＝________ 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方 程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．注意不能忽视对判别式的讨论． (2)点差法：若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A，B，一般地，首先设出 A(x1，y1)，B(x2， y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出 x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐 标和斜率的关系．
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节圆锥曲线的热点问题学案文
第八节 圆锥曲线的热点问题1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ________.Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ________； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C ________.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝__________________ ＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝________.答案1．(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行或重合 2.1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 21＋1k2· y 1＋y 2 2－4y 1y 21．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：32．直线y ＝－32x ＋2与双曲线x 24－y29＝1有________个交点．解析：因为直线y ＝－32x ＋2与双曲线的一条渐近线y ＝－32x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：13．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6x D ．以上都不对解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.∴26＝1＋12· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2· 2p －2 2－4.解得p ＝－1或p ＝3， ∴抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x . 答案：C4．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.x 1＋x 2 x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22 y 1＋y 2 ＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0. 答案：2x ＋4y －3＝0知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值．5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32 B.332 C.94 D.154解析：由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332. 答案：B知识点三 圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．6．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )A ．2B ．－2C ．3D. 3解析：轨迹方程为yx ＋a ·yx －a ＝λ，整理，得x 2a 2－y 2λa2＝1(λ>0)，c 2＝a 2(1＋λ)，1＋λ＝c 2a2＝3，λ＝2，故选A. 答案：.A第1课时 最值、范围、证明问题热点一 最值问题考向1 利用几何性质求最值【例1】 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.【答案】 C考向2 构造函数求最值【例2】 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．【解】 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，又 －λx 0 216＋ －λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2 16k 2＋4－m 2m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2 4－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.(1)(2017·吉林长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19(2)(2017·河北质量监测)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .①求轨迹E 的方程；②设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC | ＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13，故选B.(2)解：①∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，∴圆N 内切于圆M .∵|NM |＋|NF |＝4>|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1，∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.②a.当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.b ．当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝4 1＋k 21＋4k2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2＝4 1＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC | ＝4 1＋k 21＋4k2·4 1＋k 2 k 2＋4＝4 1＋k 21＋4k 2 k 2＋4. ∵ 1＋4k 2k 2＋4 ≤ 1＋4k 2＋ k 2＋42＝5 1＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .答案：(1)B热点二 取值范围问题【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(Ⅰ)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (Ⅱ)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (Ⅰ)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (Ⅱ)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 3－tk 23＋tk2，故 |AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k 23＋tk2. 由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t 1＋k 23k 2＋t . 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1 k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝ k －2 k 2＋1 k －2<0，即k －2k －2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).(2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围．解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2.λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1， 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1. (3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2 2k 2＋1 2，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43.设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23.即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23. 热点三 证明问题【例4】 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．第2课时 定点、定值、探索性问题热点一 定点问题【例1】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解】 (Ⅰ)由题意得，a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (Ⅱ)设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，所以，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2) ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42 x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.(2017·洛阳模拟)设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点N (x 0，y 0)处切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.若P 是直线x＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)，设M (x ，y )， ∵k 1k 2＝－12，∴y x ＋a ·y x －a ＝－12，即y 2x 2－a 2＝－12. ∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b2＝1，∴b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )．则切线方程分别为x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.∵两切线均过点P ，∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1，即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)． 热点二 定值问题【例2】 (2017·衡水模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，△EFF 1的周长为8，且椭圆C 与圆x 2＋y 2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝4于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′，求证：k ·k ′为定值．【解】 (1)因为△EFF 1的周长为8， 所以4a ＝8，所以a 2＝4，又椭圆C 与圆x 2＋y 2＝3相切，故b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意知过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝k (x －1)代入椭圆C 的方程x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)>0恒成立，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，令x ＝4，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，2y 1x 1－2， 直线AF 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝4，得点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，2y 2x 2－2， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 所以直线PF 2的斜率为k ′＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2－04－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝13·y 2x 1＋x 2y 1－2 y 1＋y 2x 1x 2－2 x 1＋x 2 ＋4＝13·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2 ＋4k x 1x 2－2 x 1＋x 2 ＋4， 将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k ′＝13·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k ＋3－2×8k 24k ＋3＋4＝－1k， 所以k ·k ′为定值－1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过A (2,0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若以O 为端点的两条射线与椭圆C 分别相交于点M ，N ，且OM →⊥ON →，证明：点O 到直线MN 的距离为定值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，1a 2＋94b2＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：①当直线MN 的斜率不存在时，得其方程为x ＝±2217，则点O 到直线MN 的距离d ＝2217.②当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，∴Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m2－3)>0，即m 2<4k 2＋3，且x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴(1＋k 2)·4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0，∴m 2＝12 k 2＋1 7<4k 2＋3，∴点O 到直线MN 的距离d ＝|m |1＋k2＝2217. 由①②可得，点O 到直线MN 的距离为定值2217.热点三 探索性问题【例3】 已知动圆C 过定点A (－3,0)且与圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，点C 的轨迹为曲线T ，设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ (O 为坐标原点)的平行线交曲线T 于M ，N 两点．(1)求曲线T 的方程；(2)是否存在常数λ，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【分析】 (1)由|BC |＋|AC |＝8>|AB |知动点轨迹符合椭圆的定义；(2)设出有关点的坐标，表示出AM →·AN →＝λOQ →2，再确定λ是否存在．【解】 (1)∵A (－3,0)在圆B 的内部，∴两圆相内切，∴|BC |＝8－|AC |，即|BC |＋|AC |＝8>|AB |，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝16－9＝7，∴曲线T 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，|AN →|＝|AM →|＝74，OQ →2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos π＝－4916＝7λ，则λ＝－716.当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，直线MN ：y ＝k (x ＋3)，则直线OQ ：y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧7x 2＋16y 2＝112，y ＝k x ＋3得(7＋16k 2)x 2＋96k 2x ＋144k 2－112＝0，则x 1＋x 2＝－96k 27＋16k 2，x 1·x 2＝144k 2－1127＋16k2， ∴y 1y 2＝k 2[(x 1＋3)(x 2＋3)]＝k 2[x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋9]＝－49k 27＋16k2，∴AM ·AN ＝(x 1＋3)(x 2＋3)＋y 1y 2 ＝－49 k 2＋1 7＋16k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧7x 2＋16y 2＝112，y ＝kx得7x 2＋16k 2x 2＝112，则x 20＝1127＋16k2，∴OQ →2＝x 20＋y 20＝(1＋k 2)x 20＝112 1＋k 27＋16k2. 由AM →·AN →＝λOQ →2可解得λ＝－716.综上所述，存在常数λ＝－716，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的长半轴长为4，离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点E (0,1)，问是否存在直线l 与椭圆交于M ，N 两点且|ME |＝|NE |？若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的长半轴长为4，离心率为12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，∴椭圆C ：x 216＋y 212＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 212＝1消去y 得(3＋4k 2)x2＋8kmx ＋4m 2－48＝0，由Δ＝64k 2m 2－4×(3＋4k 2)(4m 2－48)>0，得16k 2＋12>m 2，①∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－483＋4k 2.设MN 的中点为F (x 0，y 0)，∴x 0＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2.∵|ME |＝|NE |，∴EF ⊥MN ，∴k EF ·k ＝－1，∴3m3＋4k 2－1－4km3＋4k 2·k ＝－1，∴m ＝－(4k 2＋3)，代入①可得16k 2＋12>(4k 2＋3)2，∴16k 4＋8k 2－3<0，解得－12<k <12，∴直线l 的斜率的取值范围是－12<k <12.专题五 高考解答题鉴赏——圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．【典例】 (2016·新课标全国卷Ⅰ，12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【标准解答】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(2分)ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.(4分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(6分) (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．(8分)代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．(12分)【阅卷点评】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，联立方程组求得交点坐标．本题思维量、运算量却不大，适合文科的特点．(2017·南昌模拟)已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．解：(1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2，∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径，∴AF 1＝32×2＝3，AF 2⊥F 1F 2.令y ＝0，则x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＝94，解得x ＝±2，∴c ＝ 2.|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1， 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，∵a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由(1)得点A 的坐标为(2，1)，∴MN →＝λOA →(λ≠0)，∴直线l 的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1消去y 得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，∴－2<m <2. |MN |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝12－3m 2. 点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3. S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m | ＝22 4－m 2 m 2≤22×4－m 2＋m 22＝ 2. 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，直线l 的方程为y ＝22x ± 2.。
2018年度8高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有问题详解)
）
A． 1 +2
B． 3+2
C． 4 ﹣2
D．5﹣2
13 ．（ 2014 ? 呼和浩特一模）若双曲线
则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
=1 （ a＞ 0 ， b ＞ 0 ）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，
C．
D．
14 ．（ 2014 ? 太原一模）点 P 在双曲线：
（ a ＞ 0，b ＞0 ）上，F1，F2 是这条双曲线的两个焦点， ∠F1PF2=90 °，
若 |FA|=2|FB| ，则 k= （ ）
A．
B．
C．
D．
3 ．（2014 ? 和平区模拟）在抛物线 y=x 2+ax ﹣ 5（ a ≠0 ）上取横坐标为 x1= ﹣4 ，x2=2 的两点，经过两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
5x 2 +5y 2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（
A．a
B． b
C． ea
D．eb
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二．填空题（共 5 小题） 16 ．（ 2014 ? 江西一模） 过双曲线
实用标准文案
=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线， 若垂足恰在线段 OF（ O 为原点）
的垂直平分线上，则双曲线的离心率为
_________ ．
17 ．（ 2014 ? 渭南二模）已知 F1， F2 是双曲线 C：
D ． （2 ，1+ ）
10 ．（ 2014 ? 凉州区二模）已知双曲线
点， A．
上的投影的大小恰好为 B．
（ a＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左右焦点是 F1，F2，设 P 是双曲的离心率 e 为（
最新-2018届高考数学 第八章第九节圆锥曲线的综合问题
【三维设计】2018届高考数学 第八章第九节圆锥曲线的综合问题课后练习 理 人教A 版一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D 2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －ca＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2018·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53 B.56 C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2018·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2018·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22， 2a ＋2c ＝4(2＋1)， 所以a ＝22，c ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)， 则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2018·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4. 令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t，而3t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增，所以S △BPQ ＝123t ＋1t≤3，当t ＝1时取等号， 即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
2018届一轮复习北师大版 圆锥曲线中的综合问题 课件
1 对函数 y＝t＋ (t≥3)， t
2 1 t －1 知 y′＝1－ 2＝ 2 >0， t t
1 所以 y＝t＋ 在 t∈[3，＋∞)上单调递增， t
栏目 导引
专题五
解析几何
1 10 所以 t＋ ≥ ， t 3 1 3 所以 0< ≤ ， 1 16 t＋ ＋2 t 所以 S∈ 0，
3 . 2
栏目 导引
专题五
解析几何
设△OAB 的面积为 S， 3 由 x1x2＝－ 2 <0， k ＋4 1 知 S＝ (|x1|＋|x2|) 2 1 ＝ |x1－x2| 2 1 ＝ （x1＋x2）2－4x1x2 2 ＝2 k2＋3 2 2， （k ＋4）
栏目 导引
专题五
解析几何
令 k2＋3＝t，知 t≥3， 所以 S＝2 1 . 1 t＋ ＋2 t
栏目 导引
专题五
解析几何
求解范围、最值问题的五种方法 解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐 标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识 和方法求解． (1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题 的核心是在两个参数之间建立相等关系；
2 12 mk 3 mk 故 N－（1＋4k2）（k2＋4），－（1＋4k2）（k2＋4）.
栏目 导引
专题五
解析几何
故|MN|＝|xM－xN|
1 1＋ 2 k
4|m|（k2＋1） k2＋1 ＝ . （1＋4k2）（k2＋4） |m| 又 d＝ 2， 1＋k
2 2 （ 1 ＋ 4 k ）（ k ＋4） d 所以 ＝ . |MN| 4（k2＋1）2
最新-2018届高三数学一轮复习 圆锥曲线综合问题课件 理 新人教B版 精品
－ 解得 y1＝
33ab22＋c＋b2 2a，y2＝－
3b2c－2a 3a2＋b2 .
因为A→F＝2F→B，所以－y1＝2y2.
即
33ba22＋c＋b22 a＝2·－
3b2c－2a 3a2＋b2 .
得离心率 e＝ac＝23.
(2)因为|AB|＝ 1＋13|y2－y1|，所以 23·34a23＋abb22＝145. 由ac＝23得 b＝ 35a.所以54a＝145，得 a＝3，b＝ 5. 椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1.
解析：抛物线的焦点为 F(0，p2)，过焦点斜率为 1 的直 线方程为 y＝x＋p2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2>x1)，由题意 可知 y1>0，y2>0.
由y＝x＋p2 消去 y 得，x2－2px－p2＝0.由韦达定理 x2＝2py
得：x1＋x2＝2p，x1x2＝－p2. 所以梯形 ABCD 的面积为 S＝12(y1＋y2)(x2－x1)
行，方程化为2x＝5.故此时方程(*)只有一个实数解，即直 线与双曲线相交，且只有一个公共点．如图，交点在双曲 线右支上．
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－ k2－4)＝4(4－3k2)．
①41－ －3k2k≠2>00，，
即－2
3
32 <k<
3
3且
k≠±1
• 已知椭圆的焦点为F1(－3,0)、F2(3,0)，且与直线x－y＋9 ＝0有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为________．
解析：解法 1：设椭圆方程为ax22＋a2y－2 9＝1，与直线 x －y＋9＝0 联立并消去 y 得：
(2a2－9)x2＋18a2x＋90a2－a4＝0， 根据题意，Δ＝(18a2)2－4(2a2－9)(90a2－a4)≥0， 解得 a2≥45 或 a2≤9. ∵a2>9，∴a2≥45，∴amin＝3 5. 此时椭圆的方程为4x52 ＋3y62 ＝1.
2018届高三数学文一轮复习课件：8-8-1 圆锥曲线的综合问题 精品
故|MN|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 2× 16－4＝2 6。
答案：2 6
微考点
中点弦问题
角度一：由中点弦确定直线方程 【典例3】已知(4,2)是直线l被椭圆3x62 ＋y92＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________。
解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则3x621 ＋y921＝1，且3x622 ＋y922＝1， 两式相减得yx11－－yx22＝－4xy11＋＋xy22。 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以yx11－－yx22＝－21，
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 弦长|AB|＝ 1＋t2|y1－y2|。( √ )
解析：正确。|AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 又x1＝ty1＋a，x2＝ty2＋a， 所以|AB|＝ [ty1＋a－ty2＋a]2＋y1－y22 ＝ t2y1－y22＋y1－y22＝ 1＋t2|y1－y2|。
第八章 解析几何
第八节 圆锥曲线的综合问题
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：_无__公__共__点_， __仅__有__一__个__公__共__点_________ 及有两个_相__异__的__公__共__点_____。 (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消 元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝ 0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0。 由Afxx＋，Byy＝＋0C，＝0， 消元。 (如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题创新教学案(含解析)新
解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、X 围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．热点题型1 圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·高考)抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程．(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解题思路 (1)根据抛物线C 过点(2，－1)，列方程求p ，得抛物线C 的方程，进而得出其准线方程．(2)设直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，用根与系数的关系推出关于M ，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n )，利用DA →·DB →＝0列方程式求n的值．规X 解答 (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得22＝－2p (－1)，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，那么DA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB→＝x 1x 2y 1y2＋(n ＋1)2 ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．典例2(2019·某某模拟)Q 为圆x 2＋y 2＝1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA→＝AP →，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．解题思路 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用Q 在圆上可得x ，y 的方程，即为所求．(2)设定点为H ，及直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，及HM →·HN→＝0，得出恒等式，求得定点的坐标． 规X 解答 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，那么x 20＋y 20＝1，由BA →＝AP →，得⎩⎨⎧x 0＝x2，y 0＝－y ，代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y 轴上，设定点为H (0，m )，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －35， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －35，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－245kx －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝24k 51＋4k 2，x 1x 2＝－64251＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－65＝－651＋4k2，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－35＝k 2x 1x 2－35k (x 1＋x 2)＋925＝9－100k 2251＋4k 2， ∵HM →＝(x 1，y 1－m )，HN →＝(x 2，y 2－m )， ∴HM →·HN →＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝100m 2－1k 2＋25m 2＋30m －55251＋4k2＝0，∵对任意的k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧100m 2－1＝0，25m 2＋30m －55＝0，解得m ＝1，即定点为H (0,1)，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过定点(0,1)． 综上，以MN 为直径的圆过定点(0,1)． 热点题型2 圆锥曲线中的定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段FP 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解题思路 (1)R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP →RQ 是线段PF 的垂直平分线→|PQ |＝|QF |→点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．(2)①求|TS |的依据：a ＝2r 2－d 2，其中a 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．②策略：设曲线C 上点M (x 0，y 0)，用相关公式求r ，d ；用x 0，y 0满足的等量关系消元．规X 解答 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点， 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |，又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20， 那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，∵点M 在曲线C 上， ∴x 0＝y 202，∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．典例2(2019·某某三模)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a2＋b2的圆为椭圆C的“准圆〞．假设椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆〞方程；(2)假设点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．解题思路(1)根据椭圆的几何性质求a，c，再用b2＝a2－c2求b，可得椭圆C 的方程，进而可依据定义写出其“准圆〞方程．(2)分以下两种情况讨论：①l1，l2中有一条斜率不存在；②l1，l2斜率存在．对于①，易知切点为椭圆的顶点；对于②，可设出过P与椭圆相切的直线，并与椭圆方程联立后消元，由Δ＝0推出关于椭圆切线斜率的方程，利用根与系数的关系进行证明．规X解答(1)∵椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.∴c＝2，a＝3，∴b＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为x23＋y2＝1，∴“准圆〞方程为x2＋y2＝4.(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，那么l1：x＝±3，当l1：x＝3时，l1与“准圆〞交于点(3，1)，(3，－1)，此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l 1：x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直． ②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为 y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由⎩⎨⎧y ＝t x －x 0＋y 0，x 23＋y 2＝1，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0，∵x 20＋y 20＝4，∴有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0.设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直． 综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆〞于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴线段MN 为“准圆〞x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4， ∴线段MN 的长为定值．热点题型3 圆锥曲线中的证明问题典例1抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状，求|FD |，|AB |.由△ABD 的面积为1，列方程求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理，结合根与系数的关系用k ，p 表示M ，N 的坐标．求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．规X 解答 (1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22px 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．典例2(2019·某某二模)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(1<a <5)上，该椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设线段MN 平行于y 轴，满足(ON →－2OM →)·MN →＝0，动点P 在直线x ＝23上，满足ON →·NP→＝2.证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 解题思路 (1)根据椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322，列关于a 的等量关系求解，得椭圆C 的方程．(2)设出M ，N ，P 的坐标(注意M 与N 的横坐标相同，P 的横坐标)．先用(ON →－2OM →)·MN →＝0和ON →·NP →＝2推出坐标之间的关系，再利用这些等量关系证明NF →·OP→＝0. 规X 解答 (1)设左顶点A 的坐标为(－a,0)， ∵|－a ＋5|2＝322，∴|a －5|＝3，解得a ＝2或a ＝8(舍去)， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意，设M (x 0，y 0)，N (x 0，y 1)，P (23，t )，且y 1≠y 0，由(ON →－2OM →)·MN →＝0，可得(x 0－2x 0，y 1－2y 0)·(0，y 1－y 0)＝0，整理可得y 1＝2y 0，由ON →·NP →＝2，可得(x 0,2y 0)·(23－x 0，t －2y 0)＝2，整理，得23x 0＋2y 0t ＝x 20＋4y 20＋2＝6，由(1)可得F (3，0)， ∴NF →＝(3－x 0，－2y 0)， ∴NF →·OP →＝(3－x 0，－2y 0)·(23，t )＝6－23x 0－2y 0t ＝0， ∴NF ⊥OP ，故过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 热点题型4 圆锥曲线中的最值与X 围问题典例1(2019·某某二模)设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，A 是C 上一点，F A 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB 的中点，且|FB |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于M ，N 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值．解题思路(1)由题意画出图形，结合条件列式求得p ，那么抛物线C 的方程可求．(2)由直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，求出|MN |，同理可求|DE |⎝ ⎛⎭⎪⎫实际上，在|MN |的表达式中用－1k 代替k 即可，可得四边形MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值．规X 解答 (1)如图，∵A 为FB 的中点，∴A 到y 轴的距离为p4， ∴|AF |＝p 4＋p 2＝3p 4＝|FB |2＝32，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由直线l 1的斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2＋4k 2，那么|MN |＝x 1＋x 2＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2； 同理设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，∴x 3＋x 4＝2＋4k 2， 那么|DE |＝x 3＋x 4＋2＝4(1＋k 2)．∴四边形MDNE 的面积S ＝12|MN |·|DE |＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时，四边形MDNE 的面积取得最小值32.典例2 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2，0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，假设S △P AM ∶S △PBN ＝λ，某某数λ的取值X 围．解题思路 (1)求点B 的坐标→根据k AB ＝12列方程→由题意得a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解方程组求a ，b ，c ，写出椭圆C 的标准方程．(2)S △P AM ∶S △PBN ＝λ――→面积公式PM →与PN →的关系→点M ，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理→用根与系数的关系得出点M ，N 的坐标之间的关系式→推出λ与k 的关系，并根据k >12求X 围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值X 围．规X 解答 (1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a a ＋c＝12，a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为S △P AM S △PBN＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)， 所以PM→＝－λ2PN →. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)， 有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，2－λ2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，那么1<2－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值X 围为(4,4＋23)． 热点题型5 圆锥曲线中的探索性问题典例1(2019·某某一模)抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1.(1)假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)在(1)的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)求得抛物线的焦点，设出直线l的方程，运用直线l和圆C相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即k AM＋k BM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．规X解答(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝|3k－k|1＋k2＝2|k|1＋k2，当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±3 3，即直线l的方程为y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线l的方程为y＝33(x－1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，那么x 1＋x 2＝14，x 1x 2＝1，x 轴上假设存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO ， 即有k AM ＋k BM ＝0， 得y 1x 1－t＋y 2x 2－t ＝0， 即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0， 由y 1＝33(x 1－1)，y 2＝33(x 2－1)， 可得2x 1x 2－(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2－2)t ＝0，即2－14－12t ＝0，即t ＝－1，M (－1,0)符合题意；当直线l 的方程为y ＝－33(x －1)时，由对称性可得M (－1，0)也符合条件． 所以存在定点M (－1,0)使∠AMO ＝∠BMO .典例2(2019·某某模拟)点A (0，－1)，B (0,1)，P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上异于点A ，B 的任意一点．(1)求证：直线P A ，PB 的斜率之积为－12；(2)是否存在过点Q (－2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，使得|BM |＝|BN |？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)设点P (x ，y )(x ≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证． (2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM |＝|BN |想到在△BMN 中，边MN 所在直线的斜率与MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．规X 解答 (1)证明：设点P (x ，y )(x ≠0)， 那么x 22＋y 2＝1，即y 2＝1－x 22， ∴k P A ·k PB ＝y ＋1x ·y －1x ＝y 2－1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22－1x 2＝－12，故得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交．①当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 为y ＝k (x ＋2)，联立椭圆方程x 2＋2y 2＝2，化简得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 由Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k <22(k ≠0)， 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·－8k 21＋2k 2＋4k ＝4k 1＋2k 2， 取MN 的中点H ，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么y1＋y22－1x1＋x22·k＝－1，即2k1＋2k2－1－4k21＋2k2·k＝－1，化简得2k2＋2k＋1＝0，无实数解，故舍去．②当k＝0时，M，N为椭圆C的左、右顶点，显然满足|BM|＝|BN|，此时直线l的方程为y＝0.综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝0.。
2018高考数学文理一轮复习课件：规范解答题五 “圆锥曲线”类题目的审题技巧与解题规范 共36张 精品
行化简，应用根与系数关系求坐标等，如果不全则丢分．
答题规则2：准确应用斜率公式，根与系数的关系，基本不等式 公式的熟记与灵活应用是本题的关键，本题字母多运算量大，公式的灵活
应用是能够正确写出相应步骤的关键．
题型2 探索性问题
x2 y2 (2016· 四川， 13 分)已知椭圆 E： a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的 一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l：y＝－x＋3 与椭圆 E 有且只有一个公共 点 T. 导学号 30072670 (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； (2)设 O 是坐标原点，直线 l′平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，且 与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 λ，使得|PT|2＝λ|PA|· |PB|，并求 λ 的值．
精准高考
数 学
文理(合订)
第八题技巧与解题规范
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审 题 技 巧
解 题 规 范
审 题 技 巧
命题动向：圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题 的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是 最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函 数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，综合考查考生的各种数学思 想与技能，因此也是高考的难点．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线 PA 的方程为 y＝kx＋m， 直线 QB 的方程为 y＝－3kx＋m. kx＋m， y＝ 联立x2 y2 ＋ ＝1， 4 2 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0. 2 分 得分点⑥
2m2－4 2m2－2 由 x0 x1 ＝ 2 ，可得 x1＝ 2 ， 2k ＋1 2k ＋1x0 2km2－2 所以 y1＝kx1＋m＝ 2 ＋m. 2k ＋1x0 2m2－2 －6km2－2 同理 x2＝ ，y ＝ ＋m. 18k2＋1x0 2 18k2＋1x0 2m2－2 2m2－2 所以 x2－x1＝ － 18k2＋1x0 2k2＋1x0 －32k2m2－2 ＝ ， 18k2＋12k2＋1x0 2 分 得分点⑨ 1 分 得分点⑦ 1 分 得分点⑧
江苏2018高三数学一轮复习 圆锥曲线(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】椭 圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B 级要求．知 识 梳 理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长(大于F 1F 2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 用符号表示为PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．(2)第二定义：平面内到定点F 和定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e (0<e <1)的点的轨迹叫作椭圆． 2．椭圆的标准方程及简单的几何性质椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ca(0<e <1)，离心率e 等于椭圆上任意一点M 到焦点F 的距离与M 到F 对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e 越大；椭圆越圆，离心率越小.|x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于F 1F 2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F 1F 2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于F 1F 2时，不存在这样的图形．(2)因为e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2，所以e 越大，则ba越小，椭圆就越扁．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 33．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C的方程为x 23＋y 22＝1.答案x 23＋y 22＝1 4．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝b 2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB→·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案635．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152，－1. 答案⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆． (2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 22，所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等． (2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________． (2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________． 解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 22，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r .所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 (1) 2 (2)x 225＋y 216＝1考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k＋329－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可．【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________．(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎨⎧9m＝1，2m ＝3×2n或⎩⎨⎧9m＝1，2n ＝3×2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，am2a －c，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2a －c ＝m a ＋c ，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)因为PT ＝PF 22－b －c2(b ＞c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为a －c2－b －c2.依题意，有a －c2－b －c2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22.答案 (1)13 (2)⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫35，22 规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案 3考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k 21＋2k 2，C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，5k 2＋2k1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2.因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【例5】 (2017·南通调研)如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC→·OB →＝0，求实数λ的值． 解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1.∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝21＋4k2.则C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋4k2，2k1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0. ∵x A ＝2，∴x B ＝24k 2－11＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24k 2－11＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴24k 2－11＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k1＋4k2＝0.∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22.∵OC →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋4k2，2k1＋4k 2， BA →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－24k 2－11＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC→＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32.规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单．【训练4】 (2017·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．(1)解 因为c a ＝22，a 2c＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1.所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212， 所以x 211－y21＝2，即mn ＝2，所以mn 为常数，且常数为2.法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝－1k.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1， 消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k 2，所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2， 则Q点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 1＋2k 2，－1－2k 21＋2k 2， 所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12kx ＋1. 令y ＝0得n ＝－2k ， 所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1k ·(－2k )＝2. 所以mn 为常数，常数为2.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 32．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案x 24＋y 23＝1 3．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4. 答案 44．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析 在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1＝2，F 1F 2＝ 3.故e ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝33.答案335．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b＝12b .在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.答案 126．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 答案 2337．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________． 解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 则m ＝PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PF 1＋PF 222＝25，当且仅当PF 1＝PF 2＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b2a2x 2代入①式解得x 2＝2c 2－b 2a 2c 2＝3c 2－a 2a 2c2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，22. 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，22 二、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N .设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－ 1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0， 所以右焦点F 到直线l 的距离为 |2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1.又椭圆C 的右准线方程为x ＝4，即a 2c ＝4，所以c ＝a 24， 将此代入上式解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 由(1)知B (0，3)，F (1,0)． 所以直线BF 的标准方程为y ＝－3(x －1)，联立方程组，得⎩⎨⎧y ＝－3x －1，x 24＋y23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3(舍)．即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，－335，所以直线l 的斜率k ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3352－85＝332.法二 由(1)知B (0，3)，F (1,0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题意知A (2,0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －1，y ＝kx －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3k k ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3kk ＋3<0得k >0或k <－3，所以k ＝332.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2016·苏州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·－3＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入， 化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1. 答案3－112．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________．解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，255 13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________． 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，即34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－263，263. 答案⎝⎛⎭⎪⎪⎫－263，26314．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1b2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)， 解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k代替k ，得N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3，将k ＝－1代入，得M (－2,0)，N (1,1)． 因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1,1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1,1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x . 若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件．综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.第6讲双曲线考试要求双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求．知识梳理1．双曲线的定义(1)第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线．(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线2．双曲线的标准方程及简单的几何性质线，也叫等边双曲线．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．(3)双曲线的离心率e与ba⎝⎛⎭⎪⎪⎫ba＝e2－1都是刻画双曲线开口的大小的量．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 (－1,3)3．(2017·南京调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ＝2x ，所以ba＝2，则双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a2＝ 5.答案54．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点P (1,1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________．解析 由于双曲线过点P (1,1)，则有1a 2－1b2＝1，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则有b a ＝2，与1a 2－1b2＝1联立解得a 2＝12，b 2＝1，故所求的双曲线的方程为2x 2－y 2＝1.答案 2x 2－y 2＝15．(选修1－1P41习题6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝1考点一 双曲线的定义及其应用【例1】 (1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P是C 左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析 (1)如图所示，因为AF 1－AF 2＝2a ，BF 1－BF 2＝2a ，BF 1＝AF 2＋BF 2，所以AF 2＝2a ，AF 1＝4a .所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.因为F1F22＝BF21＋BF22，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－2 2.(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6. 答案(1)5－22、(2)12 6规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与PF1、PF2的联系．提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值．②2a＜F1F2.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】 (1)如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是________．(2)(2017·扬州模拟)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S△PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为________． 解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ， ∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12(PF 1－PF 2)R ＝8，即aR ＝8，所以R ＝2， 所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10.答案 (1)4或12 (2)10考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析 (1)由题意可得(4－m )(2＋m )>0， 解得－2<m <4.(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1， 所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 2－1＜0，解得－33＜y 0＜33.答案 (1)(－2,4)(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________.(2)(2017·盐城模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析 (1)设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为a ，则b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝ 2.答案 (1) 2 (2) 2规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】 (1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．(2)(2017·南京模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________． 解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得ba ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2.所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤233，2.(2)由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2. 答案(1)⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤233，2 (2)－2考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)(2017·扬州质检)已知F 是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的一个公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若AF →·BF →＝0，则C 2的离心率是________． (2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 (1)设另一个公共焦点为F 2，AF ＝m ，AF 2＝n ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1＝4，根据对称性知AF 2∥BF ，且AF 2＝BF ，由AF →·BF →＝0可知AF ⊥BF ，所以AF ⊥AF 2，则有m 2＋n 2＝(2c 1)2＝12，与m ＋n ＝4联立，解得m ＝2－2，n ＝2＋2(或m ＝2＋2，n ＝2－2)．根据双曲线的定义可得2a 2＝|m －n |＝22，即a 2＝2，而c 2＝c 1＝3，故双曲线的离心率为e ＝c 2a 2＝62.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22.答案 (1)62 (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】 (2016·天津卷改编)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________．解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫44＋b2，2b4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长分别为84＋b 2，4b4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案x 24－y 212＝1[思想方法]1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程． [易错防范]1．双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆． 2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案 y ＝±22x3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.答案x 216－y 29＝1 4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________．解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝ba x 的距离为2，即|bc |a 2＋b2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案 3555．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为M ，右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l与双曲线交于A ，B 两点，且满足MA ⊥MB ，则该双曲线的离心率是________．解析 由题意可得AF ＝MF ，且AF ＝b 2a ，MF ＝a ＋c ，则b 2a＝a ＋c ，即b 2＝a 2＋ac ＝c 2－a 2，所以e 2－e －2＝0(e >1)，解得e ＝2.答案 26．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．解析双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±ba x，即bx±ay＝0与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则2aa2＋b2＝2ac>1,2a>c，故该双曲线的离心率满足1<e＝ca<2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．答案(1,2)7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．解析由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝ba x上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝25，4＝3×ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.。
高考数学一轮复习第八章解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题实战演练理04150113
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第54讲 圆锥曲线的综合问题实战演练 理1．(2014·福建卷)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( D )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2 解析：设Q (10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M (0,6)．则|MQ |＝10cos θ－2＋θ－2 ＝10cos 2θ＋sin 2θ－12 sin θ＋36＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50≤52， ⎝ ⎛⎭⎪⎫当sin θ＝－23时取等号 故|PQ |max ＝52＋2＝6 2.2．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为22. 解析：双曲线x 2－y 2＝1的一条渐近线为直线y ＝x ，显然直线y ＝x 与直线x －y ＋1＝0平行，且两直线之间的距离为|0－1|12＋－2＝22.因为点P 为双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点，所以点P 到直线y ＝x 的距离恒大于0.结合图形可知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离恒大于22，结合已知可得c 的最大值为22. 3．(2013·陕西卷)已知动圆过定点A (4,0)．且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q .若x 轴是∠PBQ 的平分线，证明直线l 过定点．解析：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，知|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42.又|O 1A |＝x －2＋y 2. ∴x －2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0.其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8－2bk k 2，① x 1x 2＝b 2k 2.② 因为x 轴是∠PBQ 的平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，整理得2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0.③将①②代入③并化简得8(b ＋k )＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴y ＝－bx ＋b ＝－b (x －1)，∴x ＝1时，y ＝0，故l 过定点(1,0)．4．(2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)．△ABC 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x－2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |为定值．。
高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标54 圆锥曲线的综合问题 理[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考卷中的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的特点就是起点低、难度大，在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题．1．(2017·山西四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.2．已知拋物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且长轴长等于4. (1)求椭圆C 的方程；(2)F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析：(1)由题意，椭圆的长轴长2a ＝4，解得a ＝2. 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 与圆O 相切，得|m |1＋k2＝1，即m 2＝1＋k 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·4m 2－123＋4k 2＋km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2. 因为m 2＝1＋k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k23＋4k2.又因为OA →·OB →＝－32，所以－5－5k 23＋4k 2＝－32，解得k 2＝12，所以k ＝±22. 4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程． 解析：(1)根据题意，设AB 的中点为Q (1，t )， 则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2t . 由P ，Q 两点得线段AB 的中垂线的斜率k ＝t －2， 由(t －2)·2t ＝－1，得t ＝43.∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)知直线AB 的方程为y －t ＝2t (x －1)，线段AB 的中垂线方程为y －t ＝－t2(x －1)，中垂线交x 轴于点M (3，0)，点M 到直线AB 的距离d ＝t 2＋4t 2＋4＝t 2＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t x －1，y 2＝4x ，得4x 2－8x ＋(t 2－2)2＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝t 2－224，∴|AB |＝1＋4t2·|x 1－x 2|＝t 2＋44－t 2，∴S ＝12|AB |·d ＝12t 2＋424－t2＝24t 2＋4t 2＋48－2t 2≤24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1633＝1669.当t 2＝43时，S 有最大值1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.5．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆M 交于A ，B 两点，直线y＝－1k x 与椭圆M 交于C ，D 两点，椭圆M 的离心率为22，若弦AC 的长的最小值为263，求椭圆M 的方程．解析：可将椭圆方程可化为x 2＋2y 2＝a 2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝a 2，y ＝kx ，可得x 2＝a 21＋2k 2，y 2＝k 2a 21＋2k2，设O 为坐标原点，则|OA |2＝a21＋k 21＋2k2，同理可得|OC |2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2.由已知条件可知直线y ＝kx 与y ＝－1kx 垂直，所以|AC |2＝|OA |2＋|OC |2＝a 21＋k21＋2k2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2＝a 2·3k 4＋6k 2＋32k 4＋5k 2＋2＝a 2·32＋1k 2＋1k2＋2≥4a 23.当且仅当k ＝±1时取等号，所以4a 23＝83，即a 2＝2，所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解析：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1，故a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1. 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m，此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ，PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →· F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝4m 2－1－16m 232m 2＋1＋1＋16m 22m 2－232m 2＋1＋m 2＋1 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78.令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →· F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →· F 2Q →<125232.综上，F 2P →· F 2Q →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232. 7．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0. ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为2(2＋3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点P (1,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，是否存在x 轴上的定点Q ，使QA →·QB →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标和QA →·QB →的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵2a ＋2c ＝2(2＋3)，则a ＝2，c ＝3，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0,0)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将直线方程代入x 2＋4y 2－4＝0，整理得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.∵Q A →·Q B →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝(x 1－x 0)·(x 2－x 0)＋k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2＋x 0)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝(k 2＋1)4k 2－44k 2＋1－(k 2＋x 0)·8k 24k 2＋1＋k 2＋x 2＝4k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 20－2x 0＋14＋x 20－44k 2＋1， 要使Q A →·Q B →为定值，则x 20－2x 0＋14＝x 20－4，即x 0＝178，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，Q A →·Q B →为定值，且Q A →·Q B →＝3364.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时Q A →·Q B →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－178×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－178＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3364，符合题意， 故存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使Q A →·Q B →＝3364.。
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2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标54 圆锥曲线的综合问题 理[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考卷中的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的特点就是起点低、难度大，在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题．1．(2017·山西四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.2．已知拋物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且长轴长等于4. (1)求椭圆C 的方程；(2)F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析：(1)由题意，椭圆的长轴长2a ＝4，解得a ＝2. 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 与圆O 相切，得|m |1＋k2＝1，即m 2＝1＋k 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·4m 2－123＋4k 2＋km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2. 因为m 2＝1＋k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k23＋4k2.又因为OA →·OB →＝－32，所以－5－5k 23＋4k 2＝－32，解得k 2＝12，所以k ＝±22. 4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程． 解析：(1)根据题意，设AB 的中点为Q (1，t )， 则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2t . 由P ，Q 两点得线段AB 的中垂线的斜率k ＝t －2， 由(t －2)·2t ＝－1，得t ＝43.∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)知直线AB 的方程为y －t ＝2t (x －1)，线段AB 的中垂线方程为y －t ＝－t2(x －1)，中垂线交x 轴于点M (3，0)，点M 到直线AB 的距离d ＝t 2＋4t 2＋4＝t 2＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t x －1，y 2＝4x ，得4x 2－8x ＋(t 2－2)2＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝t 2－224，∴|AB |＝1＋4t2·|x 1－x 2|＝t 2＋44－t 2，∴S ＝12|AB |·d ＝12t 2＋424－t2＝24t 2＋4t 2＋48－2t 2≤24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1633＝1669.当t 2＝43时，S 有最大值1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.5．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆M 交于A ，B 两点，直线y＝－1k x 与椭圆M 交于C ，D 两点，椭圆M 的离心率为22，若弦AC 的长的最小值为263，求椭圆M 的方程．解析：可将椭圆方程可化为x 2＋2y 2＝a 2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝a 2，y ＝kx ，可得x 2＝a 21＋2k 2，y 2＝k 2a 21＋2k2，设O 为坐标原点，则|OA |2＝a21＋k 21＋2k2，同理可得|OC |2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2.由已知条件可知直线y ＝kx 与y ＝－1kx 垂直，所以|AC |2＝|OA |2＋|OC |2＝a 21＋k21＋2k2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2＝a 2·3k 4＋6k 2＋32k 4＋5k 2＋2＝a 2·32＋1k 2＋1k2＋2≥4a 23.当且仅当k ＝±1时取等号，所以4a 23＝83，即a 2＝2，所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解析：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1，故a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1. 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m，此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ，PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →· F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝4m 2－1－16m 232m 2＋1＋1＋16m 22m 2－232m 2＋1＋m 2＋1 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78.令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →· F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →· F 2Q →<125232.综上，F 2P →· F 2Q →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232. 7．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0. ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为2(2＋3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点P (1,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，是否存在x 轴上的定点Q ，使QA →·QB →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标和QA →·QB →的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵2a ＋2c ＝2(2＋3)，则a ＝2，c ＝3，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0,0)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将直线方程代入x 2＋4y 2－4＝0，整理得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.∵Q A →·Q B →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝(x 1－x 0)·(x 2－x 0)＋k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2＋x 0)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝(k 2＋1)4k 2－44k 2＋1－(k 2＋x 0)·8k 24k 2＋1＋k 2＋x 2＝4k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 20－2x 0＋14＋x 20－44k 2＋1， 要使Q A →·Q B →为定值，则x 20－2x 0＋14＝x 20－4，即x 0＝178，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，Q A →·Q B →为定值，且Q A →·Q B →＝3364.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时Q A →·Q B →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－178×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－178＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3364，符合题意， 故存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使Q A →·Q B →＝3364.。