算法分析与计算复杂性理论
理解计算机中的计算理论与复杂性
理解计算机中的计算理论与复杂性计算机中的计算理论与复杂性计算理论是计算机科学的重要分支之一，它研究计算过程的本质和性质，为计算机科学提供了理论基础。
而复杂性理论则研究计算问题的复杂性，即问题的难解程度。
在计算机发展的不断推动下，计算理论与复杂性的研究越发重要。
本文将从计算理论和复杂性两个方面对相关概念和研究进行介绍和探讨。
一、计算理论计算理论是计算机科学中关于计算概念和过程的研究。
它主要分为可计算性理论和形式语言与自动机理论两大部分。
1. 可计算性理论可计算性理论研究的是什么问题可以用计算机算出，以及如何判断一个问题是否可计算。
它的核心思想是“图灵机”，即由英国数学家图灵提出的一种理论模型，用于描述计算过程。
可计算性理论的研究对象包括了函数的计算性、计算问题是否可判定、可计算函数的分类等。
2. 形式语言与自动机理论形式语言与自动机理论研究的是描述和处理信息的形式化语言和自动机模型。
形式语言的研究对象包括了正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
而自动机模型则包括了有限状态自动机、下推自动机和图灵机，用于描述和处理形式语言。
二、复杂性理论复杂性理论是研究计算问题的复杂性的学科。
它关注的是问题的求解难易程度，即问题的复杂性。
复杂性理论主要分为计算复杂性理论和各类计算问题的复杂性。
1. 计算复杂性理论计算复杂性理论研究的是计算问题的复杂性度量和分类。
其中最具代表性的是时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性研究的是计算问题在计算时间上的耗费，空间复杂性研究的是计算问题在计算空间上的耗费。
常用的时间复杂性度量是“大O记号”，用于表示问题在最坏情况下的耗时增长趋势。
2. 计算问题的复杂性计算问题的复杂性研究的是不同类型问题的复杂性分类以及它们之间的关系。
其中最经典的研究是关于P类问题和NP类问题的划分。
P 类问题指的是可以在多项式时间内求解的问题，而NP类问题指的是可以在多项式时间内验证的问题。
复杂性理论的研究则主要集中在P与NP问题之间的关系。
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论任忠乌鲁木齐石化公司计控中心摘要：本文阐述了计算复杂性理论的产生、定义、研究内容和发展。
关键词：算法分析；计算复杂性；起源；发展1.计算法复杂性理论的起源在几千年的数学发展中，人们研究了各式各样的计算，创立了许多算法。
但是，以计算或算法本身的性质为研究对象的数学理论，却是在20世纪30年代才发展起来的。
1936年，为了讨论对于每个问题是否都有求解算法，数理逻辑学家提出了几种不同的计算模型的定义。
K.Godel和S.C.Kleene等人创立了递归函数论，将数论函数的算法、可计算性刻画为递归可枚举性。
A.M.Turing和E.L.Post提出了理想计算机的概念，将问题算法可解性刻画为在具有严格定义的理想计算机上的可解性。
40年代以后，随着计算机科学技术的发展，研究的焦点从理论可计算法转移到现实可计算性上。
人们不仅需要研究理论上的、原则上的可计算性，还要研究现实的可计算性，即研究计算一个问题类需要多少时间，多少存储空间，研究哪些问题是现实可计算的，哪些问题虽然原则上可计算，但由于计算的量太大而实际上无法计算等。
因而一般算法设计方法研究和对一类问题算法解的难度分析便成为计算机科学的热点。
此后，计算复杂性的研究等不断有所发展。
由此产生了算法学和计算复杂性理论等新兴研究领域。
计算复杂性大的进展始于50年代末、60年代初，当时在美国有两个并行的中心，一个是通用电气公司设立于纽约州Schenectady的研究实验室，核心人物是J.Hartmanis和R.Stearns。
1964年11月，他们在普林斯顿举行的第五届开关电路理论和逻辑设计学术年会上发表了论文"Computational Complexity of recursivese quences"，论文中首次使用了"计算复杂性"这一术语，由此开辟了计算机科学中的一个新领域，并为之奠定了理论基础。
他们两人是1993年度图灵奖获得者。
算法分析与复杂性理论
stopvegas = 3
③回溯算法与lv算法 混合使用 1 先在棋盘的前若 2 干行中随机地放臵皇 3 后,（即设定 stopvegas的值）然 4 后在后继行中用回溯 5 法继续搜索，直至找 到一个解或宣告失败.6 随机放臵的皇后 7 越多，后继回溯搜索 所需的时间就越少， 8 但失败的概率就越大. 1
完全回溯法
LV和回溯混合效 率最高的情况
完全LV算法ห้องสมุดไป่ตู้
8
分析：
①完全回溯法比LV算法在解八皇后问题时效率 低得多； ②LV算法和回溯的混合使用有利于提高解八皇 后的效率。
9
LV算法具体应用分析
2、N皇后问题 下面是n取不同值时效率对比情况：
随着n值的增加，与回溯法相比，使用LV算法的 高效率性逐渐明显。
10
LV算法的现状与展望
缺点：时间复杂度不确定，有时候得不到解， 而要多次运行算法。 LV算法还可以来解决排序问题，分班问题， 考试系统安排问题，aD-Hoc网络中基于距离的动 态概率广播协议问题，航天器与短期空间碎云碰 撞问题等等。 如今，人们在实验中发现基于重启优化方法可 以提高LV算法的性能和稳定性，可以很直观的解 决一些NP难解问题，如TSP问题。
e
0.000000 0.000000 39.852940 15.784404 8.884438 7.165462 6.662811 6.315917 6.017177
t
113.000000 38.165001 28.320000 29.720001 38.134998 52.995003 45.480000 47.285000 48.285000
拉斯维加斯算法利用随机来指导解的搜索即使做了个不宜的选择也可以保证正确的解因为这样会导致算法进入绝境这样就会报告在这一次运行中无法得到解然后重新启动算法直到得到正确的结果
第5章 算法与复杂性
5.7 可计算性理论基础
研究计算的可行性和函数算法的理论，又称算法 理论，是算法设计与分析的基础，也是计算机科 学的理论基础。可计算性是函数的一个特性。
5.8 NP问题
NP(Non-deterministic Polynomial)问题是非确定性多 项式问题，是指算法无法直接计算出结果，只能通过进 行一些有选择的“猜算”来得到结果。 NP问题的研究结果有两种可能： 一种是找到了求解问题的算法； 另一种就是求解问题的算法是不存在的，那么就要从数
钥，通常有两个密钥，称为“公钥”和“私钥”，它 们两个必须配对使用，否则不能打开加密文件。
5.10 加密算法
常见加密算法有如下： (1)DES(Data Encryption Standard)：数据加密标准，速 度较快，适用于加密大量数据的场合。 (2)3DES(Triple DES)：是基于DES，对一块数据用3个不 同的密钥进行3次加密，强度更高； (3)RC2和RC4：用变长密钥对大量数据进行加密，比DES 快。 (4)IDEA(International Data Encryption Algorithm)国 际数据加密算法，使用128位密钥提供非常强的安全性。 (5)RSA：由RSA公司发明，是一个支持变长密钥的公共密 钥算法，需要加密的文件块的长度也是可变的。 (6)DSA(Digital Signature Algorithm)：数字签名算法， 是一种标准的DSS(数字签名标准)。
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
算法分析与计算复杂性理论
搜索问题
输入：非降顺序排列的数组L，元素数为n； 数x 输出：j. 若x在L中，j 是 x 首次出现的序标；否则 j ＝0 算法 顺序搜索 假设 x 在 L 中的概率为 p
x 在 L 中不同位置是等概分布的，则
W(n)n
n p
p(n1)
A(n) i (1p)n
(1p)n
i1 n
2
23
函数渐近的界
设 f 和 g 是定义域为自然数集 N上的函数 (1) f(n)=O(g(n))
若存在正数c和n0使得对一切nn0有0f(n)cg(n)
(2) f(n)= (g(n))
若存在正数c和n0使得对一切nn0有0cg(n) f(n) (3) f(n)=o(g(n))
对所有正数c<1存在n0使得对一切nn0有0f(n)<cg(n)
(4) f(n)= (g(n)).
对所有正数c<1存在n0使得对一切nn0有0cg(n)<f(n)
(5) f(n)=(g(n)) f(n)=O(g(n)) 且 f(n)=(g(n))
(6) O(1)表示常数函数
24
函数渐近的界的基本性质
定理1.1 设 f 和 g 是定义域为自然数集 N上的函数.
算法设计分析与计算复杂性理论的研究是计算机科学技术 的核心研究领域 1966-2005期间，Turing奖获奖50人，其中10人以算法 设计，7人以计算理论、自动机和复杂性研究领域的杰 出贡献获奖 计算复杂性理论的核心课题 “P=NP?” 是本世纪7个最 重要的数学问题之一
通过算法设计与分析课程的训练对提高学生的素质和分析 问题解决问题的能力有着重要的作用
2. Introduction to Algorithms（Second Edtion）, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.Rivest, The MIT Press 2001. 高教出版社影印版，2002.
算法分析与复杂性理论
算法分析与复杂性理论算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的一系列步骤或指令。
但是，并不是所有的算法都一样效率高，因此我们需要进行算法分析来评估算法的性能。
同时，复杂性理论则是用来研究算法在不同规模下的复杂性和可解性。
本文将深入探讨算法分析与复杂性理论的相关概念和方法。
一、算法分析算法分析是评估算法性能的过程，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度时间复杂度表示算法解决问题所需的时间资源。
在进行时间复杂度分析时，一般会考虑最坏情况下的所需时间。
常见的时间复杂度有常数时间O(1)，线性时间O(n)，对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。
2. 空间复杂度空间复杂度表示算法解决问题所需的空间资源。
与时间复杂度类似，我们通常考虑最坏情况下的所需空间。
常见的空间复杂度有常数空间O(1)，线性空间O(n)，对数空间O(log n)，平方空间O(n^2)等。
二、复杂性理论复杂性理论是研究算法在不同规模下的复杂性和可解性的学科领域。
1. NP问题NP（Nondeterministic Polynomial）问题是指可以在多项式时间内验证解答是否正确的问题。
这意味着如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们也可以在多项式时间内验证该解答是否正确。
然而，尚未找到高效的算法来解决NP问题。
2. P问题P（Polynomial）问题是指可以在多项式时间内解决的问题。
也就是说，存在一个算法可以在多项式时间内找到问题的解答。
3. NP完全问题NP完全问题是指既属于NP问题，又属于最难的NP问题。
如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们可以在多项式时间内解决所有的NP问题。
目前，还没有找到高效的算法来解决NP完全问题。
三、算法优化为了提高算法的效率，我们可以进行算法优化。
常用的算法优化方法包括贪心算法、动态规划、分治法等。
1. 贪心算法贪心算法是一种每次都选择当前最优解的策略。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论
计算复杂性理论是计算机科学中一个重要的领域，它有助于我们理解
计算机如何工作，帮助我们知晓如何使用计算机以有效的方式来解决各种
问题。
而在过去的几十年里，人们研究了计算机的性能，从而开发出有用
的表示，以及有效地分类计算机上的问题，这就是计算复杂性理论。
计算复杂性理论被用来表示计算机程序的复杂性以及它们的处理效率。
它不仅可以度量一个问题的复杂度，还可以度量一系列问题的复杂度，以
及不同的处理器在处理不同问题时所花费的时间。
它还可以用来分析算法
的有效性，以及在最佳的情况下使用不同算法的优劣。
计算复杂性理论目前分为不同的分支，如理论计算机科学、算法分析、最优性和可实现性。
理论计算机科学主要研究计算机能够处理任何问题的
理论基础，包括计算机中可用的空间和时间复杂度等。
算法分析是指利用
不同的技术指标，比如时间和空间复杂度，来评估算法性能的过程。
最优
性跟理论计算机科学相关，它研究给定问题的最优解，并将其复杂度限制
在最低要求。
而可实现性则专注于研究计算机中实现这些最佳解的方法和
算法。
计算复杂性理论的研究是一个新兴的研究领域。
计算机算法与复杂性理论
计算机算法与复杂性理论计算机算法与复杂性理论是计算机科学领域中至关重要的一门学科。
本文将介绍计算机算法与复杂性理论的基本概念、原理以及在计算机科学中的应用。
一、算法的定义与分类算法是指解决问题的一系列有限指令的集合。
它根据输入数据，经过有限的计算步骤，得到期望的输出结果。
算法可以分为确定性算法和非确定性算法。
确定性算法是指在给定输入后，每一步都有确定性的处理过程，最后得到确定的输出结果。
而非确定性算法则存在多种可能的计算路径和输出结果。
二、复杂性理论与问题的可计算性复杂性理论是研究算法运行时间与所处理问题规模之间关系的学科。
它主要关注的是问题的难解性及其可计算性。
根据问题的可计算性，可以将问题分为可解问题和不可解问题。
可解问题指能找到一个算法来解决，而不可解问题则是指不存在算法能够解决。
三、时间复杂性和空间复杂性时间复杂性是指算法在解决问题时所需的时间代价。
空间复杂性则是指算法在解决问题时所需的额外存储空间。
这两个复杂性指标直接影响着算法的效率和资源利用情况。
在算法设计中需要综合考虑时间复杂性和空间复杂性，寻找一个合适的平衡点。
四、常见的算法与复杂性理论问题在实际应用中，有一些常见的算法与复杂性理论问题需要重点研究和解决。
比如最短路径问题、图着色问题、背包问题等。
这些问题涉及到的算法设计和复杂性分析都具有一定的挑战性，但它们的解决对于解决实际问题非常重要。
五、应用领域计算机算法与复杂性理论在各个领域都有广泛的应用。
在人工智能领域中，算法的设计与分析是实现智能决策和优化的基础。
在网络安全领域中，复杂性理论可以帮助研究者理解和分析密码学算法的安全性。
在金融领域中，高效的算法可以提高交易速度和准确性。
此外，在计算机图形学、数据挖掘等领域中也都有广泛的应用。
六、发展趋势与挑战随着计算机科学的不断发展，计算机算法与复杂性理论也面临着一些新的挑战。
例如，随着大数据时代的到来，处理大规模数据的算法效率需要进一步提升。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文Abstract:计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域。
本文从该领域的起源、基本概念和主要研究内容三个方面探讨计算复杂性理论的重要性及其在实际应用中的作用。
首先介绍了计算复杂性理论的起源和发展历程，接着解释了计算问题、计算模型、算法和复杂性的基本概念。
随后探讨了计算复杂性理论在计算机科学中的核心问题，包括P与NP问题、NP完全性和NP难度、多项式时间可解问题等。
最后，讨论了计算复杂性理论在实际应用中的作用和价值，并对其未来发展进行了展望。
1. 引言计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域，是研究计算机算法和问题的困难程度的理论基础。
自20世纪60年代以来，计算复杂性理论逐渐发展成为理论计算机科学的基石之一。
计算复杂性理论的研究成果不仅为计算机科学的发展提供了理论依据，也为解决实际问题提供了方法和策略。
2. 计算复杂性理论的起源与发展计算复杂性理论的起源可以追溯到20世纪50年代末和60年代初，其最早的研究动机源于对计算问题的困难性的认识。
此后，随着计算机技术的快速发展，计算复杂性理论逐渐形成并得到广泛应用。
计算复杂性理论的发展受益于图灵机模型、多项式时间可解、NP完全性等基本概念的提出和研究。
3. 计算问题的基本概念与模型在计算复杂性理论中，计算问题是研究的基本对象。
计算问题可以通过算法解决，而算法又可以由计算模型来描述。
计算模型是一个形式化的数学模型，用于描述计算过程中使用的有限资源和约束条件。
计算问题的本质是找到一种有效的算法来解决它，而算法的复杂度则是刻画算法的时间和空间资源使用情况的度量。
4. 计算复杂性理论的核心问题计算复杂性理论的核心问题之一是P与NP问题。
P和NP是两个重要的复杂性类，前者表示在多项式时间内可解的问题，后者表示在非确定性多项式时间内可解的问题。
P与NP问题的解答关系到计算理论的基础性问题。
另一个核心问题是NP完全性和NP难度的研究，它们是复杂性理论中的重要概念。
计算机算法复杂性理论
计算机算法复杂性理论计算机算法复杂性理论是计算机科学的重要分支之一，着重研究算法在解决问题时所需的计算资源的使用情况。
通过对算法的复杂性进行分析，可以评估算法解决实际问题的效率和可行性，并提供指导原则来选择合适的算法。
一、算法复杂性的定义和表达方式算法复杂性理论主要关注算法在最坏情况下的行为，而不是其平均行为。
为了研究算法的复杂性，一般采用大O表示法来表示算法的运行时间或空间消耗。
大O表示法给出了算法运行时间或空间消耗与问题规模的增长趋势。
例如，如果一个算法的运行时间为O(n)，表示算法的运行时间随问题规模的增加而线性增长。
二、算法复杂性的分类常见的算法复杂性分类包括时间复杂性和空间复杂性。
1. 时间复杂性时间复杂性是衡量算法运行时间消耗的指标。
常见的时间复杂性包括：- O(1)：常数时间复杂性，表示算法的运行时间不随问题规模的增加而增加。
- O(log n)：对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加而增加，但增长速度相对较慢。
- O(n)：线性时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性增长。
- O(nlog n)：线性对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性对数增长。
- O(n^k)：多项式时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成多项式增长。
- O(2^n)：指数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成指数增长。
2. 空间复杂性空间复杂性是衡量算法空间资源消耗的指标。
常见的空间复杂性与时间复杂性类似，也使用大O表示法来表示。
三、算法复杂性的分析方法算法的复杂性分析可以通过以下几种方法进行。
1. 渐进分析渐进分析是最常用的算法复杂性分析方法，通过关注算法在问题规模无限增长时的行为来评估其复杂性。
渐进分析的关键是确定算法运行时间或空间消耗的增长趋势。
2. 最坏情况分析最坏情况分析是一种悲观的算法复杂性评估方法，认为算法在最坏情况下的表现是最能代表其复杂性的。
如何进行算法分析和复杂性分析
如何进行算法分析和复杂性分析算法分析和复杂性分析是计算机科学中非常重要的一部分，它们帮助我们评估和理解算法的效率和性能。
本文将介绍算法分析和复杂性分析的概念、方法和常见的计算复杂性类别。
一、算法分析算法分析是对算法性能的评估和比较。
它提供了对算法资源使用情况的度量，例如时间复杂性和空间复杂性。
1.时间复杂性：时间复杂性是算法运行时间相对于输入规模的度量。
我们通常关注最坏情况下的运行时间，即最长时间。
常用的表示方式有大O表示法。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
当n变大时，运行时间也会相应增长，但增长的速度是线性的。
2.空间复杂性：空间复杂性是算法运行时所需的额外内存的度量。
同样，通常关注最坏情况下的额外内存使用。
也可以使用大O表示法表示空间复杂性。
算法分析的目标是找到高效的算法来解决问题。
通过对不同算法的复杂性进行度量和比较，我们可以选择最适合特定问题的算法，或者优化现有算法以获得更好的性能。
二、复杂性分析复杂性分析是一种对问题复杂性进行分类和比较的方法。
它研究了问题的难度和所需的计算资源。
根据问题的性质和计算资源的限制，我们可以将问题分为不同的复杂性类别。
1. P类问题（多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内解决，即随着输入规模的增加，算法的运行时间以多项式速度增长。
最常见的例子是排序和搜索问题。
2. NP类问题（非确定性多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内验证解的正确性。
虽然我们目前无法在多项式时间内找到解，但一旦解被提供进来，我们可以在多项式时间内验证它们的正确性。
最著名的例子是旅行商问题和背包问题。
3. NP-完全问题（非确定性多项式完全问题）：这是一类特殊的NP问题，它被认为是NP问题中最困难的一类。
这些问题在NP类中是最难解决的，目前还没有发现多项式时间内的解决方法。
代表性的例子有布尔可满足性问题和子集和问题。
通过对问题的复杂性进行分析，我们可以确定是否存在有效的算法来解决问题，或者将问题归类为NP完全问题。
算法分析与复杂性理论
问题描述
四色猜想：在一个平面或球面上的任何地图能够只用4种 颜色来着色，使相邻的国家在地图上着不同颜色。这里假 设每个国家在地图上是单连通域，还假设2个国家相邻是
指这两个国家有一段长度不为0的公共边界，而不仅有一
个公共点。这样的地图很容易用平面图表示。地图上的每 一个区域相应于平面图中的一个顶点，2个区域在地图上 相邻，它们在平面图中相应的2个顶点之间有一条边相连。 下图是一个有5个区域的地图及其相应的平面图。
枝函数避免无效搜索。
问题描述
给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各 个顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使得G 中每条边的2个顶点着有不同的颜色。这个问题是图的m可着色
判定问题。若一个图最少需要m种颜色，则称这个数m是该图的
色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色可优化问题。 一个图的所有顶点和边都能用某种方式画在平面上, 且没有任 何两交, 则称这个图是可平面图。比如著名的四色猜想是图的 m可着色性判定问题的特殊情形。
n 1 i 0 i
结点, 在最坏情况下, 用方法Ok检查当前扩展结点的每 一个儿子所相应的颜色可用性需耗时是O(mn) 。因此,
回溯法总的时间耗费是:
m mn nmm
n 1 i 0 i
n
1 / m 1 nm
n
回溯法简介
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点 时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含， 则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回
溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
回溯法的基本思想
(1) 针对所给问题，定义问题的解空间； (2) 确定易于搜索的解空间结构； (3) 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪
数学专业的复杂性理论与算法
数学专业的复杂性理论与算法数学是一门独特而抽象的学科，它探索着世界的奥秘和数学概念的内在联系。
在数学专业中，复杂性理论与算法是一个重要的研究领域，它涉及了计算机科学、信息论和数学自身的交叉研究。
本文将从理论与应用两个方面介绍数学专业的复杂性理论与算法。
一、复杂性理论复杂性理论是数学专业中一门重要的学科，它研究问题的复杂性与可解性。
复杂性理论关注于问题的计算难度以及解决问题所需的计算资源。
具体而言，复杂性理论主要研究以下几个方面：1. 多项式时间复杂性理论多项式时间复杂性理论是复杂性理论的一个重要分支，研究的是问题的计算复杂度。
它通过使用多项式时间的算法来描述问题的可解性。
在多项式时间复杂性理论中，有著名的P与NP问题，即判断问题的结果是否能在多项式时间内验证。
这是目前计算机科学中最重要和最困难的问题之一。
2. NP完全性理论NP完全性理论是复杂性理论中的一个核心概念，它是指一个问题既属于NP问题集合，又属于最困难的问题集合。
如果一个问题是NP完全的，那么它的计算复杂度将是指数级的，不太可能在多项式时间内解决。
例如，旅行商问题和背包问题就是NP完全问题的典型例子，它们在实际应用中具有重要的意义。
3. 复杂性分类体系复杂性分类体系是复杂性理论的一个核心内容，它用来对问题的复杂性进行分类与描述。
复杂性分类体系通过研究不同类型问题之间的关系，以及问题在不同资源限制下的可解性，来划分问题的复杂性等级。
常见的分类体系包括时间复杂性分类体系、空间复杂性分类体系以及非确定性复杂性分类体系等。
二、复杂性算法复杂性算法是应用于解决复杂性问题的一种计算方法。
它通过设计高效的算法来解决问题，并尽量减少计算资源的消耗。
复杂性算法主要有以下几个方面的研究：1. 近似算法近似算法是一种灵活的算法设计方法，它通过在限制时间内找到一个有限的解，来逼近最优解。
近似算法的设计目标是在可接受的误差范围内，尽可能快速地得到问题的解。
例如，旅行商问题的近似算法能够有效地求解近似最优的旅行路径，效果在实际应用中被广泛验证。
算法设计与分析中的复杂性理论研究
算法设计与分析中的复杂性理论研究一、引言算法设计与分析中的复杂性理论研究是计算机科学领域中的一个重要分支。
它主要研究如何对不同类型的算法进行分类和评估，以便选择最优算法来解决特定的计算问题。
在计算机科学的应用领域中，对于一些需要处理大数据量或者实时响应的问题，算法设计与分析中的复杂性理论研究显得尤为重要。
二、算法复杂性的形式化定义算法复杂性是对算法计算耗时和空间占用的度量。
一个好的算法需要在最短的时间内提供最优的解决方案。
在算法复杂度的分析过程中，主要采用渐进记号法，其中O符号表示算法的上界，即最坏情况下所需的比较次数或移动次数的最大值；Ω符号表示下界，即最好情况下所需的比较次数或移动次数的最小值；θ符号表示上下界相等的情况。
三、算法时间复杂性分析算法时间复杂性分析是算法设计与分析中的重要内容，它主要关注的是算法在解决问题时所需要的时间开销。
常见的时间复杂度分类有：常数复杂度O(1)、线性复杂度O(n)、对数复杂度O(log n)、指数复杂度O(k^n)等等。
举个例子，对于搜索算法，假设需要搜索n个元素，其中一个算法的时间复杂度为O(n)，另一个算法的时间复杂度为O(log n)。
显然，后者的时间复杂度更低，因此更适合用来解决大规模搜索问题。
四、算法空间复杂性分析算法空间复杂性分析主要关注的是算法在执行过程中所需的存储空间，常见的空间复杂度分类有：常数空间复杂度O(1)、线性空间复杂度O(n)、对数空间复杂度O(log n)等等。
通常来说，一个算法的空间复杂度越低，所用内存越少，效率越高。
当然，在实际的应用中，还需要考虑计算机的硬件性能、数据存储方式、算法实现方式等因素，从而确定最优的算法和运行环境。
五、NP完全性理论在算法设计与分析中，存在一类特殊的问题，即NP完全问题。
这类问题的特点是：其解法实现很难，而验证其解答的正确性却相对较易。
NP完全问题包括：旅行商问题、背包问题、子集和问题等等。
针对NP完全问题的求解，目前并无完美的解决方案。
3 计算复杂性理论
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
目录[隐藏]• 1 简介• 2 历史• 3 基本概念和工具o 3.1 计算模型与计算资源o 3.2 判定性问题和可计算性o 3.3 算法分析o 3.4 复杂性类o 3.5 归约• 4 NP与P关系问题及相关理论o 4.1 NP和P的定义o 4.2 NP与P关系问题o 4.3 NP完备理论o 4.4 电路复杂性o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论• 5 理论与实践• 6 参考•7 外部链接[编辑]简介计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。
其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。
时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。
时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。
空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。
它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。
我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。
复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。
而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。
[编辑]历史在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。
而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。
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算法的描述： 算法的描述：伪码
保持程序的主要结构 类 C, Pascal 赋值语句： 赋值语句：← 分支语句： 分支语句：if …then …[else…] 循环语句： 循环语句：while, for，repeat ..until ， 转向语句： 转向语句：goto 调用 注释： 注释：//… 允许使用自然语言 常忽略数据结构、模块、 常忽略数据结构、模块、异常处理等细节 常忽略变量说明
n
max ∑ f i ( x i ),
i =1 n
∑x
i =1
i
= m,
xi ∈ N
采用什么算法？效率怎样？ 采用什么算法？效率怎样？
8
蛮力算法的代价
n n 1 Stirling公式：n! = 2πn ( ) (1 + Θ( )) 公式： 公式 e n
个数估计： 非负整数解 <x1, x2, …, xn> 的个数估计：
min( ∑ d (cki , cki +1 ) + d (ckm , ck1 ))
i =1
m −1
17
实例
C = {c1, c2, c3, c4}, d (c1,c2) = 10, d (c1,c3) = 5, d (c1,c4) = 9 d (c2,c3) = 6, d (c2,c4) = 9, d (c3,c4) = 3
11Biblioteka Algorithm + Data Structure = Programming
好的算法
提高求解问题的效率 节省存储空间
需要解决的问题
问题→寻找求解算法 问题→寻找求解算法 算法→算法的评价 算法→ 算法类→ 算法类→问题复杂度的评价 问题类→ 问题类→能够求解的边界 算法设计技术 算法分析技术 问题复杂性分析 计算复杂性理论
算法分析与 计算复杂性理论
1
课程简介
课程名称
算法分析与计算复杂性理论 Analysis of Algorithms and Theory of Computational Complexity
基本目的
掌握组合算法设计的基本技术 掌握算法分析的基本方法 掌握计算复杂性理论的基本概念 学习应用算法理论处理实际问题
12
算法研究的重要性
算法设计与分析技术在计算机科学与技术领域有着重要的 应用背景 算法设计分析与计算复杂性理论的研究是计算机科学技术 的核心研究领域 1966-2005期间，Turing奖获奖 人，其中 人以算法 期间， 奖获奖50人 其中10人以算法 期间 奖获奖 设计， 人以计算理论 人以计算理论、 设计，7人以计算理论、自动机和复杂性研究领域的杰 出贡献获奖 是本世纪7个最 计算复杂性理论的核心课题 “P=NP?” 是本世纪 个最 重要的数学问题之一 通过算法设计与分析课程的训练对提高学生的素质和分析 问题解决问题的能力有着重要的作用
c1
9 3
10 6
5
c2
9
c3
c4
18
算法
非形式定义 有限条指令的集合 指令集确定了解决某个问题的运算或操作的序列 输入个数大于等于0 输入个数大于等于 输出个数大于0 输出个数大于0 形式定义 对所有的有效输入停机的Turing机 对所有的有效输入停机的 机 算法 A 解问题 P 把问题P的任何实例作为算法 的输入， 能够在有限步 的任何实例作为算法A的输入 把问题 的任何实例作为算法 的输入，A能够在有限步 停机， 停机，并输出该实例的正确的解
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理论上的可计算： 理论上的可计算：可计算性理论
研究目标 确定什么问题是可计算的， 确定什么问题是可计算的，即存在求解算法 合理的计算模型 已有的：递归函数、 演算、 已有的：递归函数、Turing机、λ演算、Post系统等 机 系统等 条件： 条件：计算一个函数只要有限条指令 每条指令可以由模型中的有限个计算步骤完成 指令执行的过程是确定的 核心论题： 核心论题：Church-Turing论题 论题 如果一个函数在某个合理的计算模型上可计算， 如果一个函数在某个合理的计算模型上可计算，那么它在 Turing机上也是可计算的 机上也是可计算的 可计算性是不依赖于计算模型的客观性质
复杂度表示
针对问题选择基本运算 将基本运算次数表示为输入规模的函数
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实例
搜索问题
输入：非降顺序排列的数组L，元素数为n； 数x 输入：非降顺序排列的数组 ，元素数为 ； 输出： 首次出现的序标； 输出：j. 若x在L中，j 是 x 首次出现的序标；否则 j ＝0 在 中 算法 顺序搜索 假设 x 在 L 中的概率为 p x 在 L 中不同位置是等概分布的，则 中不同位置是等概分布的，
14
理论上与现实上的可计算性
高度并行 可计算 现实可计算 理论上可计算 算法至少具有指数时间：理论上可计算——难解的 算法至少具有指数时间：理论上可计算——难解的 —— 多项式时间的算法：现实上可计算—— ——多项式时间可解的 多项式时间的算法：现实上可计算——多项式时间可解的 对数多项式时间的算法： 对数多项式时间的算法：高度并行可解的
A
B
C
T(n) = 2 T(n−1) + 1，T(1) = 1，解得 T(n) = 2n −1 − ， ， 1秒移 个，64个盘子要多少时间？（ 秒移1个 个盘子要多少时间？（ 亿年） 秒移 个盘子要多少时间？（5000亿年） 亿年 思考：是否存在更好的解法？ 思考：是否存在更好的解法？ Reve难题：Hanoi塔变种，柱数增加，允许盘子相等 难题： 塔变种， 难题 塔变种 柱数增加，允许盘子相等. 其他变种：奇偶盘号分别放置 其他变种 奇偶盘号分别放置
10
其他问题
搜索问题 输入： 输入：排好序的数组 L，x ， 输出： 输出：x 是否在 L 中？如果在输出它的下标 排序问题 输入： 个数 输入：n个数 输出：按递增顺序排好的n个数 输出：按递增顺序排好的 个数 选择问题 输入： 个数的集合 个数的集合S，正整数k（ ≤ ≤ 输入：n个数的集合 ，正整数 （1≤k≤n) 输出：S中第 k 小的数 输出： 中第 需要： 需要： 现有的算法中哪个算法最好？ 现有的算法中哪个算法最好？ 是否存在更有效的算法？ 是否存在更有效的算法？
3
预计进度安排
内容 1 2 3 4 5 6 7 8 前言 数学基础 分治策略 动态规划 回溯与分支估界 贪心法 概率算法 算法分析技术 学时 1 2 4 4 4 4 3 6 9 内容 Turing机 机 10 计算复杂性理论 11 NP完全性理论 完全性理论 12 Cook定理 定理 13 NP完全性证明 完全性证明 14 NP完全理论应用 完全理论应用 15 NP完全理论的拓广 完全理论的拓广 16 小结 学时 2 2 2 1 5 2 2 1
C
m m + n −1
( m + n − 1)! = = m! ( n − 1)!
((1 + ε ) m + n−1 )
蛮力算法——穷举法代价太大 蛮力算法——穷举法代价太大 —— 能否利用解之间的依赖关系找到更好的算法？ 能否利用解之间的依赖关系找到更好的算法？ 结论： 结论：需要算法设计技术
9
Hanoi塔问题 塔问题
20
伪码的例子： 伪码的例子：插入排序
算法 INSERTION-SORT(A) 1. for j ← 2 to length[A] 2. do key ← A[j] // 将A[j]插入排好序的序列 A[1..j–1] 插入排好序的序列 3. i ← j–1 4. while i > 0 and A[i] > key 5. do A[i+1] ← A[i] 6. i ← i –1 7. A[i+1] ← key
5
学习安排
成绩评定： 成绩评定：
小论文：结合研究工作， 小论文：结合研究工作，50% 期末笔试： 期末笔试：50%
引言: 引言 理论上的可计算与现实上的可计算
算法研究的重要性 理论上的可计算 ——可计算性理论 ——可计算性理论 现实上的可计算 ——计算复杂性理论 ——计算复杂性理论
7
投资问题
问题： 问题： m元钱，投资给 个项目，效益函数 fi(x)，表示第 i 个项目 元钱， 个项目， 元钱 投资给n个项目 ， 投入x元钱的效益 元钱的效益， 投入 元钱的效益，i=1,2,…,n. 如何分配每个项目的钱数使 得总效益最大？ 得总效益最大？ 令xi 是第 i 个项目的钱数
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问题
问题：需要回答的一般性提问， 问题：需要回答的一般性提问，通常含有若干参数 问题描述所包含的内容： 问题描述所包含的内容： 对问题参数的一般性描述， 对问题参数的一般性描述，解满足的条件 问题的实例 实例： 问题的实例：对问题的参数的一组赋值 例1 货郎担问题 问题：有穷个城市的集合C 问题：有穷个城市的集合 = { c1, c2, …, cm}, 正整数d 正整数 (ci, cj) = d (cj, ci), 1≤ i < j ≤ m. ≤ 解： < c k1 , c k 2 , K , c k > 使得 k1, k2, …, km是1, 2 …, m m 的置换且满足
教材与参考书
1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, AddisonWesley, 清华大学出版社影印版 清华大学出版社影印版，2006. 2. Introduction to Algorithms（Second Edtion）, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L.Rivest, The MIT Press 2001. 高教出版社影印版，2002. 高教出版社影印版， 3. 计算机和难解性 NP完全性理论导引 M. R. 加里 D. S. 计算机和难解性: 完全性理论导引, 加里, 完全性理论导引 约翰逊, 张立昂等译，科学出版社, 约翰逊 张立昂等译，科学出版社 1987. *4. 计算复杂性导论，堵丁柱，葛可一，王洁，高教出版社 计算复杂性导论，堵丁柱，葛可一，王洁， 2002. *5. Limits to Parallel Computation: P- Completeness Theory, Raymond Greenlaw, H. James Hoover, Walter L. Ruzzo, Oxford University Press, 1995.