高考数学一轮总复习 6.4基本不等式
2015高考数学一轮总复习课件：6.4 基本不等式
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
点评：对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘 ，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后 再利用基本不等式求最值.
规律总结：应用不等式可以解决生产、生活中的实际问题，在解决此类问 题时需注意：一要过“阅读”关，读懂题目，能够概括出问题所涉及的内容； 二要过“理解关”，准确理解和把握这些变量之间的关系；三要过“建模关”，在 前两步的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；四要过“解 题关”，通过解决数学问题得出实际问题的结论.
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自主测评
判断下列命题是否正确.
（1）ab≤a＋2 b2成立的条件是 ab>0.（ ）
（2）函数
f（x）＝cos
4 x＋cos
x，x∈0，π2的最小值等于
4.（
）
xy （3）“x>0 且 y>0”是“y＋x≥2”的充要条件.（ ）
1 （4）若 a>0，则 a3＋a2的最小值为 2 a.（ ）
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规范解题：（1）∵x＞－3，∴x＋3＞0，
2
2
∴x＋x＋3＝（x＋3）＋x＋3－3≥2 2－3，当且仅当 x＝ 2－3 时取等号，∴最小
值为 2 2－3.
（2）∵a＋b＝1，
∴原式＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ba
＝5＋2ba＋ba≥9，当且仅当
规范解答：（1）设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
20 10
由 a2x＝4 000，得 a＝
.（3 分）
x
则 S（x）＝（a＋8）（ax＋20） ＝a2x＋（8x＋20）a＋160
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.4基本不等式
(2)由 x2－3xy＋4y2－z＝0， 得 z＝x2－3xy＋4y2， xy xy 1 ∴ ＝ 2 ＝ . z x －3xy＋4y2 x 4y ＋ －3 y x x 4y 又 x、y、z 为正实数，∴y＋ x ≥4， 当且仅当 x＝2y 时取等号，此时 z＝2y2.
1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ∴ ＋ － ＝ ＋ － 2＝－ y ＋ ＝－ y－1 ＋1，当 ＝1，即 y x y z 2y y 2y y y
≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时，取等号．
• 【归纳提升】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的 一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问 题．
针对训练 2．(1)若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是 ( A．a2＋b2＞2ab 1 1 2 C.a＋b＞ ab B．a＋b≥2 ab b a D.a＋b≥2 )
1 y ＝ 时取等号， 2 3 2 ∴x 1＋y 的最大值为 . 4
2
(3)因为 2x＞0,2y＞0，所以 1＝2x＋2y≥2 2x· 2y ＝2 2 即2
x＋y
，故 2
x＋y
1 ≤2，
x ＋y
1 －2 ≤4＝2 ，
所以 x＋y≤－2，故选 D. 3 2 答案：(1)2 (2) (3)D 4
题型二 利用基本不等式判定或证明不等式 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证： ＋ ＋ ≥9. a b c
题型三
基本不等式的实际应用 (2012· 江苏)如图，建立平面直角
坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂 直于地平面，单位长度为 1 千米，某 1 炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－20×(1 ＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程 是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请 说明理由．
高考数学一轮总复习：基本不等式
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
高考理科数学一轮复习课件基本不等式
特殊性质
当$a < b < 0$时，有$frac{1}{b} < frac{1}{a}$；当$0 < a < b$时，有 $frac{1}{a} > frac{1}{b}$。
D
常见不等式关系
• 算术平均值与几何平均值关系：对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$，有 $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$。
• 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列${a_i}$和 ${bi}$（$i = 1, 2, \ldots, n$），有$\left(\sum{i=1}^{n} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{n} bi^2\right) \geq \left(\sum{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2$。
解一元二次不等式方法
配方法
将不等式化为完全平方 的形式，从而确定解集 。
因式分解法
将不等式因式分解，根 据每个因式的符号确定 解集。
数轴标根法
在数轴上标出方程的根 ，根据不等式的性质确 定解集。
图像法
画出抛物线的图像，根 据图像确定不等式的解 集。
03 绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
绝对值不等式分类与解法
一元一次绝对值不等式
形如$|ax + b| > c$或$|ax + b| < c$的不等式。解法：根 据绝对值定义，将不等式转化为两个一元一次不等式组进 行求解。
一元二次绝对值不等式
高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件 理 新人教A版
2 即a＝b时等号成立，又因为 ＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则 ＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则 ＋ ＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．
最新-2021届高三数学文一轮复习课件：64 基本不等式 精品
[规律方法] (1)知和求积的最值。求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”。 但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立。 (2)知积求和的最值。明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等 式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件。 (3)构造不等式求最值。在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常 采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解。
答案：C
4．(2015·重庆卷)设 a，b＞0，a＋b＝5，则 a＋1＋ b＋3的最大值为 __________。
2．(2015·福建卷)若直线ax＋by＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等
于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：因为直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1，所以 1＝1a＋
1b≥2
1a·1b＝
2 (当且仅当 a＝b＝2 时取等号)，所以 ab
考题选萃 随堂自测
1．(2016·青岛模拟)已知 x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋31y的最小值
是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．2 3
解析：因为 lg2x＋lg8y＝lg2，所以 x＋3y＝1， 所以1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y)＝2＋3xy＋3xy≥4， 当且仅当3xy＝3xy，即 x＝12，y＝16时，取等号。 答案：C
(2)函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈0，π2的最小值等于 4。(×)
解析：错误。利用基本不等式时，等号不成立。
(3)x＞0，y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件。(×) 解析：错误。不是充要条件，当 x＜0，y＜0 时也成立。 (4)若 a＞0，则 a3＋a12的最小值为 2 a。(×)
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
2023年高考数学(文科)一轮复习——基本不等式及其应用
第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
高三理科数学第一轮复习§6.4：基本不等式
第六章：不等式 §6.4：基本不等式
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第六章：不等式 §6.4：基本不等式
第六章：不等式 §6.4：基等式
高考数学(文)一轮复习 6-4基本不等式
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高考一轮总复习 ·数学（文）
又 a>0，b>0，a≠b，ab＝1，因此 a＋b>2 ab＝2，即 a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．
解法二：由题意，关于 x，y 的方程组ax＋x＋byy＝＝11， 无解， 则直线 ax＋y＝1 与 x＋by＝1 平行且不重合，从而可得 ab＝ 1，且 b≠1.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
证法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b. 由(1)知，1a＋1b＋a1b≥8， 故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b≥9.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
触类旁通 利用基本不等式证明不等式的技巧
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明 的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用 拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本 不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条 件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注 意 1 的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．
高考一轮总复习 ·数学（文）
第6章 不等式、推理与证明 第4讲 基本不等式
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板块一 知识梳理·自主学习
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2021一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
(注意不等式成立的条件，以及取等号的条件)
三、利用基本不等式求最值问题
1．已知 x，y∈R＋，如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 __x_＝__y__时，和 x＋y 有 最小 值 2 p ；
2．已知 x，y∈R＋，如果和 x＋y 是定值 S，那么当且仅当 __x_＝__y__时，积 xy 有 最大 值 14S2 .
x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2
x－1·x－1 1＋1＝3.
答案：3
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市 场 分 析 ， 每 辆 客 车 营 运 的 总 利 润 y( 单 位 ： 10 万 元 ) 与 营 运 年 数 x(x∈N*) 为 二 次 函 数 的 关 系 ( 如 图 ) ， 则 每 辆 客 车 营 运 ______ 年 时，营运的年平均利润最大．
学校公开课 教育教学样板
讲课人：教育者
年
班
考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，主要考查利用不 1.了解基本不等式
等式求最值，且常与函数、数列、 的证明过程．
解析几何等结合在一起考查．
2.会用基本不等式 解决简单的最大( 小)值问题.
2.从考查形式看，主要以选择题、 填空题的形式出现，考查最值的求 法；也可渗透在解答题中，难度一 般不大，属中低档题.
A．10
B．9
C．6
D．5
解析：a＋b≥2 ab＝6，当且仅当 a＝b＝3 时，等号成立．
答案：C
2．(2013·日照模拟)已知 a>0，b>0，且 2a＋3b＝1，则2a＋3b
的最小值为( )
A．24
B．25
C．26
D．27
解析：∵2a＋3b＝1， ∴2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b＝4＋9＋6ab＋6ba ≥13＋2 6×6＝25，当且仅当ba＝ab且 2a＋3b＝1， 即 a＝b＝15时等号成立． 答案：B
高考数学一轮复习 6.4基本不等式课件 文 湘教版
3/24/2019
a 2 b2 (3) 2
(4) (5)
≥
ab (a,b∈R ); 2
(a,b 同号且不为零).
2
b a ≥ a b
2
2 a 2 b2 a b + ≥ ≥ ab ≥ (a, b∈R ) 1 1 2 2 a b
上述五个不等式等号成立的条件是什么?
即(x+2y)min=4，故选 B. 【答案】 B
3/24/2019
4. (2014·广州模拟)若正实数 a，b 满足 ab＝2，则(1＋2a)(】(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2，2 ab ＝9. 当且仅当 2a＝b，即 a＝1，b＝2 时取等号. 【答案】9
1 1 （2）已知 a＞0，b＞0，a+b=1，求证： ≥4. a b
（3）已知 a，b＞0，求证：
3/24/2019
a b 4 . b2 a 2 a b
bc ac ab bc ac ， ， 都是正数.∴ + ≥2c,当且 a b c a b ac ab ab bc 仅当 a=b 时等号成立, + ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, + ≥2b,当且仅当 b c c a
3.（2010·重庆卷）已知 x>0,y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值（ A.3 B.4 C.
9 2
2
2.已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为 1 3 1 2 A. B. C. D. 2 4 3 3
()
2
）
D.
11 2
x 2y 【解析】 8=x+2y+x·2y≤x+2y+ ， ，故解得：x+2y≥4，或 x+2y≤-8（舍） 2
河北省高考数学第一轮总复习知识点检测 6.4均值不等式课件 旧人教版
2,
当且仅当 x 32 ,即x≈5.66时取等号. x
但0<x≤48,x∈N*.
又当 x1=5时, x=224×
50
=35220736;
当 ∵
xy21=6,y时∴2当, yx=2=264时×,6y0有+最32小0值6=2
720.
=2ym7in20,
故每人最少应交 2 720≈56.67（元）.
a-4 a-4
a-4
当且仅当 3 4 a ,即a 4 3时取等号;
a-4
当a<4时,a-4<0,
a
3 -4
a
a
3 -4
a
4
4
43- a
4
a
4
2 3 4 a 4 2 3 4
4a
当且仅当 3 4 a , 即 4 3 时取等号.
4-a
∴ 3 a的取值范围是(-∞, 2 3 4]∪[
y
y
y
又∵0<x<1,∴ 1 1.同理, 1 1, 1 1
x
zy
将①②③三式相乘,得
1 x
-1
1 y
-1
1 z
-1
8.
题型二 求最值
【例2】 (1)设0<x<2,求函数y 3x(8-3x) 的最大值；
(2) 3 a 求的取值范围;
a-4
(3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求8x
使总造价最低,并求出最低总造价.
分析
设污水处理池的宽为x米,则长为
162 x
米,由题意可建立总造价与x的函
数关系,进而通过求函数的最值确定x的取值.
解 (1)设污水处理池的宽为x米,则长为16x2 米…………………………..1′
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答案
9 2
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R 热点命题·深度剖 析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”，应 怎样理解这句话？ 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”时，应理解 为：①“当”就是a＝b时，a2＋b2＝2ab；②“仅当”指的是a2＋ b2＝2ab时，a＝b.也就是a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
第六章 不等式、推理与证明
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第四节 基本不等式
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
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备考知考情 本节主要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基 本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中．若考 查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式， 构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升．若以解答 题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决 实际问题.
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变式思考 1 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求 证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴ 1a ＋ 1b ＋ 1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋ a＋bc ＋c ＝3＋ ba ＋ ac ＋ ab ＋ bc ＋ ac ＋ bc ＝3＋ ba＋ab ＋ ac＋ac ＋ bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
)
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．下列结论中不正确的是( )
A．a＞0 时，a＋1a≥2 B.ba＋ab≥2
C．a2＋b2≥2ab
D．a2＋b2≥a＋2 b2
解析 ∵ba＋ab≥2，只有当a，b同号且不为零时成立，故ba＋
ab≥2不一定成立．
答案 B
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知识点二
利用基本不等式求最值
b 的几何平均数．
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知识点二 利用基本不等式求最值 已知 x>0，y>0，则 1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小值是 2 p (简记：积定和最小)． 2．如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最
s2
大 值是 4 (简记；和定积最大)．
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即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. ∴ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【规律方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不 等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使 用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧 有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法 等．
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对点自测
知识点一
基本不等式
1.判一判
(1)ab≤a＋2 b2 成立的条件是 ab>0.(
)
(2)函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈(0，π2)的最小值等于 4.( )
(3)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件．( )
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(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.(
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2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.
A.13
B.12
3
2
C.4
D.3
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解析
由0<x<1，故3－3x>0，则x(3－3x)＝
1 3
×3x(3－3x)≤
1 3
×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．
答案 B
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5．若正数a，b满足1a＋4b＝2，则a＋b的最小值为________．
解析 a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)21a＋2b ＝12＋2＋2ba＋2ba≥12＋2＋2＝92.
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问题2 应用基本不等式求最值应满足的条件是什么？ 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三 相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本 不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一 致．
3.若x＞54，则f(x)＝4x＋4x－1 5的最小值为(
)
A．－3 C．5
B．2 D．7
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解析 f(x)＝4x＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋5. ∵x＞54，∴4x－5＞0，∴4x－5＋4x－1 5≥2. 故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝32. 答案 D
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4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
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听 课 记 录 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. ∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13. (2)∵ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
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高频考点
考点一
利用基本不等式证明不等式
【例1】 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 求证：(1)ab＋bc＋ac≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【思维启迪】 (1)由基本不等式a2＋b2≥2ab易证；(2)由ab2＋ b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c相加可证．
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考点二
利用基本不等式求最值
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J 基础回扣·自主学 习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
基本不等式
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b
(3)其中 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab 称为正数 a，