初二第一学期数学-正比例函数、反比例函数
初中数学——正比例函数与反比例函数
初中数学——正比例函数与反比例函数简介:正比例函数和反比例函数是初中数学中的基本概念之一,两者的图像具有很大的区别。
掌握正比例函数和反比例函数的定义、性质以及应用可以帮助学生更好地理解函数的概念以及函数的应用。
知识点:1. 正比例函数的定义及其性质2. 正比例函数的应用3. 反比例函数的定义及其性质4. 反比例函数的应用1. 正比例函数的定义及其性质正比例函数是指当自变量x 增大或减小时,与之相应的因变量y 也成正比例增大或减小的函数。
通常表示为y=kx,其中k 为比例常数,当k>0 时,函数的图像为经过原点的直线;当k<0 时,函数的图像同样为经过原点的直线,但在直线上方。
正比例函数的性质:① 当x=0时,y=0;② 当x 增大1 倍时,y 也增大1 倍;③ 当x 减小1 倍时,y 也减小1 倍;④ 当y=kx 时,k=y/x。
2. 正比例函数的应用正比例函数在生活中的应用十分广泛,比如:① 速度与时间的关系:行驶的路程与时间成正比例;② 人均出行费用:出行费用与路程成正比例;③ 电路电流与电压的关系:电流大小与电压成正比例。
练习题:1. 如果一辆汽车以每小时60 公里的速度行驶,那么4 小时后它行驶的路程是多少?2. 某工厂每小时能生产50 个产品,如果生产了280 个产品,需要多少小时?3. 在某机房,24 台电脑每小时消耗2.4 度电,如果运行了8 小时,需要多少度电?4. 如果一根铁丝每拉伸1 米,它的劲度是30 牛,那么它拉伸10 米需要多少劲度?5. 一批工人需要12 天时间完成某个工程,现在增加了3 个工人,他们需要多少天时间才能完成?参考答案:1. 240 公里2. 5.6 小时3. 57.6 度电4. 300 牛5. 8 天3. 反比例函数的定义及其性质反比例函数是指当自变量x 增大或减小时,与之相应的因变量y 以相反的比例增大或减小的函数。
通常表示为y=k/x,其中k 为比例常数,当k>0 时,函数图像是一条经过坐标轴正半轴的下降曲线;当k<0 时,函数图像是一条经过坐标轴正半轴的上升曲线。
初中数学知识归纳正比例函数与反比例函数
初中数学知识归纳正比例函数与反比例函数初中数学知识归纳—正比例函数与反比例函数正比例函数与反比例函数是初中数学中常见且重要的概念。
本文将对这两种函数进行归纳和总结。
一、正比例函数正比例函数指的是当自变量x的取值不同时,函数值与自变量的关系保持不变的函数。
正比例函数通常使用y=kx表示,其中k为比例常数。
1. 特征正比例函数的特征在于函数图象为经过原点的直线;而且,随着自变量的增大或减小,函数值也相应地增大或减小。
2. 例子例如,假设有一家超市销售的香蕉,单价为2元/斤。
若购买的香蕉重量为x斤,总价格为y元,则可表示为y=2x。
这个函数表达式就是一个正比例函数,其中比例常数k=2。
3. 性质正比例函数具有以下性质:(1)随着自变量的增大,函数值也随之增大;(2)随着自变量的减小,函数值也随之减小;(4)函数图象为直线;(5)不存在与x轴和y轴交点。
二、反比例函数反比例函数指的是当自变量x的取值不同时,函数值与自变量的乘积保持不变的函数。
反比例函数通常使用y=k/x表示,其中k为比例常数。
1. 特征反比例函数的特征在于函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线;而且,随着自变量的增大,函数值呈现下降趋势,反之亦然。
2. 例子例如,假设一辆汽车以60km/h的速度行驶,从A地到B地需要2小时。
如果车速不变,以相同的速度行驶,则从A地到C地需要3小时。
此时,行驶路程d与时间t的关系可以表示为d=60/t。
这个函数表达式就是一个反比例函数,其中比例常数k=60。
3. 性质反比例函数具有以下性质:(1)随着自变量的增大,函数值呈现下降趋势;(2)随着自变量的减小,函数值呈现上升趋势;(4)函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线。
三、正比例函数与反比例函数的对比1. 图形特点正比例函数图象为通过原点的直线,而反比例函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线。
2. 函数关系正比例函数的函数值随着自变量的增大或减小而相应地增大或减小;反比例函数的函数值与自变量的乘积保持不变。
数学八年级上册函数知识点
数学八年级上册函数知识点
数学八年级上册函数知识点包括以下几个方面:
1. 函数的概念:函数是数学中两个变量之间的一种关系,其中一个变量(自变量)发生变化时,另一个变量(因变量)也会随之发生变化。
函数的表示方法包括解析法、表格法和图像法。
2. 函数的性质:包括奇偶性、单调性和周期性。
奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质;单调性是指函数在某一区间内递增或递减的性质;周期性是指函数图像重复出现的性质。
3. 一次函数和正比例函数:一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0),其中k 和b 是常数。
正比例函数是一次函数的特殊形式,形式为y=kx(k≠0)。
一次函数和正比例函数的图像都是直线。
4. 反比例函数:反比例函数的一般形式为y=k/x(k≠0),其中k 是常数。
反比例函数的图像是双曲线。
5. 函数的应用:函数在实际生活中有着广泛的应用,如路程、速度、时间的关系,以及增长率、降价率等问题。
解决实际问题的关键是建立数学模型,即找到变量之间的关系,然后用函数来表示这种关系。
以上是数学八年级上册函数知识点的主要内容,通过学习和掌握这些知识点,学生可以更好地理解函数的本质和运用方法,为进一步学习数学和其他学科打下基础。
18-第十八章-正比例函数和反比例函数-八年级(上)-知识点汇总-沪教版
第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数的概念1、 在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量2、 在某个变化过程中有两个变量,设为x 和y ,如果在变量x 的允许取之范围内,变量y随变量x 的变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量y 叫做变量x 的函数,x 叫做自变量3、 表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4、 函数的自变量允许取之的范围,叫做这个函数的定义域;如果变量y 是自变量x 的函数,那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ,变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1、 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例2、 正比例函数:解析式形如y=kx (k 是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,气质常数k 叫做比例系数;正比例函数的定义域是一切实数3、 对于一个函数()y f x =,如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =,同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4、 一般地,正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O (0,0)和点(1,k )的一条直线,我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5、 正比例函数有如下性质:(1)当k <0时,正比例函数的图像经过一、三象限,自变量x 的值逐渐增大时,y 的值也随着逐渐增大(2)当k <0时,正比例函数的图像经过二、四象限,自变量x 的值逐渐增大时,y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例2、 解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数,其中k 也叫做反比例系数(反比例函数的定义域是不等于零的一切实数)3、 反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质:(1)当k>0时,函数图像的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小(2)当k<0时,函数图像的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内。
正比例函数和反比例函数(很好很经典精品)
正比例函数和反比例函数(很好很经典精品)正比例函数和反比例函数一、知识梳理1.如果变量y是自变量x的函数,对于x在定义域内取定的一个值a,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
为了深入研究函数,我们把“y是x的函数”用记号y=f(x)表示,这里括号里的x表示自变量,括号外的字母f表示y随x变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a时的函数值。
2.函数的自变量允许取值范围,叫做这个函数的定义域。
3.正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质解析式图像经过象限增减性正比例函数y=kx(k≠0) 经过(0,0)与(1,k)两点的直线当k>0时,图像经过一、三象限;当k<0时,图像经过二、四象限。
y随着x的增大而增大。
反比例函数y=k(k≠0) 经过(1,k)与(k,1)两点的双曲线当k>0时,图像经过一、三象限;当k<0时,图像经过二、四象限。
在每个象限内,y随着x的增大而减小。
4.函数的表示法有三种:列表法,图像法,解析法。
二、典型题选讲概念辨析1.在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量。
保持数值不变的量叫做常量。
表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数。
2.写出下列函数的定义域:1)y=x+1 定义域为实数集。
2)y=2/x 定义域为x≠0的实数集。
3)y=x-3 定义域为实数集。
4)y=(x-1)/5 定义域为x≠1的实数集。
3.已知:f(x)=-x^2+1,f(0)=1,f(-1)=0,f(2)=-3.4.解析式形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比例函数。
5.函数y=3x的图像是经过(1,3)和(0,0)的一条直线。
当自变量x的值从小到大逐渐变化时,函数值y相应地从0到正无穷逐渐变化。
6.反比例函数的解析式是y=k/x,反比例函数的图像叫做双曲线。
7.已知:反比例函数y=-8/x,点A(-2,-4)在它的图像上。
8.反比例函数y=-2/x的图像的两支在第二、四象限。
初中数学:正比例函数和反比例函数知识点
初中数学:正比例函数和反比例函数知识点【考点剖析】一.函数定义:在某个变化过程中有两个变量x和y,在变量x的允许取值范围内,变量y随x的变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫x的函数.函数记号:()y f x =,()f a 表示x=a时的函数值.设()f x 为整式,则函数()y f x =的定义域:一切实数;函数1()y f x =的定义域:满足()0f x ≠的实数;函数y =的定义域:满足()0f x ≥的实数.二.正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零),那么就说这两个变量成正比例,用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例,就是yk x =,或表示为y kx =(x 不等于0),k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =(k 是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数,就可以确定一个正比例函数的解析式三.正比例函数的图象(1)一般地,正比例函数y kx =(k 是常数,0k ≠)的图象是经过(00),,(1)k ,这两点的一条直线,我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =;(2)图像画法:列表、描点、连线.四.正比例函数的性质(1)当0k>时,正比例函数的图像经过第一、三象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大.(2)当0k<时,正比例函数的图像经过第二、四象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小.五、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,我们就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x、y成反比例,就是xy k=,或表示为kyx=,其中k是不等于0的常数.2、解析式形如kyx=(k是常数,0k≠)的函数叫做反比例函数,其中k叫做比例系数.3、反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数.六、反比例函数的图像1、反比例函数kyx=(k是常数,0k≠)的图像叫做双曲线,它有两支.七、反比例函数的性质1、当0k>时,函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值随着逐渐减小.2、当0k<时,函数图像的两支分别在第二、四象限;在每个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值随着逐渐增大.3、图像的两支都无限接近于x轴和y轴,但不会与x轴和y轴相交.八.正比例函数与反比例函数正比例函数反比例函数定义形如(0)y kx k=≠的常数的函数,其中k是比例系数形如(0)ky kx=≠的常数的函数,其中k是比例系数定义域一切实数不等于零的一切实数图像经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线;双曲线,它有两支性质当0k>时,正比例函数的图像经过第一、三象限;y的值随x的值增大而增大;当0k>时,反比例函数的图像经过第一、三象限;在每一个象限内,y的值随x的值增当0k<时,正比例函数的图像经过第二、四象限;y的值随x的值增大而减小。
八年级数学专题讲座四:正比例函数和反比例函数
八年级数学讲义:正比例函数和反比例函数20121021姓名一、 知识梳理1. 如果变量y 是自变量x 的函数,对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值。
(为了深入研究函数,我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示,这里括号里的x 表示自变量,括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a 时的函数值) 2. 函数的自变量允许取值范围,叫做这个函数的定义域。
3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质二、 典型题选讲 ●概念辨析1. 在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做________.保持数值不变的量叫做________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________.2. 写出下列函数的定义域: (1)1y x =+ (2)21y x =- (3)y =(4)y =3.已知:2()1f x x =-+,(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________.4.解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________.5.函数3y x =的图像是经过(1,3)和___________的一条____________.当自变量x 的值从小到大逐渐变化时,函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化.6.反比例函数的解析式是_________,反比例函数的图像叫_____________.7.已知:反比例函数8y x=,点A (-2,-4)________它的图像上(填“在”或“不在”).8.反比例函数y x=-的图像的两支在第______象限。
在其各自的象限内,y 随x 的增大而____________.9.函数有三种表示法,分别为_________,__________,__________.10.已知函数12)(+=x x f ,则=)1(f ____________.11.在公式C =2πr 中,C 与r 成 比例.(填“正”或“反”). 12.函数1-=x y 的定义域为_________________.13.如果13)(-+=x x x f ,那么=)3(f ______________.14.已知点P (2,1)在正比例函数kx y =的图象上,则k =___________. 15.函数y =-2 x 的图象是一条过原点及(2,a )的直线,则a = . 16.若正比例函数152)3(--=m x m y 的图像经过二、四象限,则m 的值为 .17.已知反比例函数2k y x-=,其图象在第一、第三象限内,则k 的取值范围是 .18.已知函数xk y =的图象不经过第一、三象限, 则kx y -= 的图象经过第 象限.●待定系数法求函数解析式1.若正比例函数经过(2,6),则函数解析式是 . 2.若反比例函数经过(-2,1),则函数解析式是 .3.y 与3x 成正比例,当x =8时,y =-12,则y 与x 的函数解析式为___________. 4.如果一个等腰三角形的周长为12,那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式是 ,自变量x 的取值范围为 .5.已知反比例函数图像上有一点A ,过点A 做x 轴的垂线,垂足为B , ΔAOB 的面积为6,则这个反比例函数的解析式为 .6.已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A (–3,4)和(3,a )两点,(1)求这两个函数解析式;(2)求a 的值.7、已知21y y y +=,1y 与2x 成正比例,2y 与1-x 成反比例,当x =-1时,y =3; 当x =2时,y =-3,(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)当2=x 时,求y 的值。
八年级数学上第十八章 正比例函数和反比例函数
八年级数学上第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数(1)一、知识点分析1.变量与常量在问题研究的过程中,可以取不同数值的量叫做变量;在问题研究的过程中,保持数值不变的量叫做常量(或常数)2.函数的定义(1)在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内,变量y 随着x的变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫做变量x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量。
(2)一般地,设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于变量x允许取值范围内的每一个值,变量y都有唯一值与它对应,我们称y是x的函数,其中:x是自变量,y是因变量.函数的表示:y; f(x); y=f(x); y=g(x)3.函数解析式表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式在表示函数时,如果要把y表示成x的函数,其实就是用含x的代数式表示y。
例如:y=3x+5 即y=f(x)的形式注意:y2=x ,︱y︱=x (x 0) 和x=a (a是常数)不是函数y=x2,y=︱x︱和y=a(a是常数)是函数4.常值函数:形如y=a(a是常数)的函数叫常值函数(或常量函数)5.函数的定义域与函数值(1)函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域自变量的取值范围:①使含自变量的代数式有意义.②,使函数在实际情况下有意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:①表达式是整式,自变量可取全体实数;②函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;③当函数表达式是二次根式时,被开方数非负数.(2)函数值:如果变量y是变量x的函数,那么对于x在定义域内取定的一个值a,变量y 的对应值叫做当x=a时的函数值6.函数和方程的区别和联系(1)函数研究的是某变化过程中的两个变量之间的关系;方程研究的是解的情况(2)y=f(x)形式的函数解析式是方程;但是方程不一定是函数解析式;f(x)形式的函数是代数式形式表示的函数,但不是方程。
初中数学知识归纳正比例与反比例函数
初中数学知识归纳正比例与反比例函数初中数学知识归纳:正比例与反比例函数正比例函数是数学中常见的一种函数关系,它表示两个变量之间的关系满足一个比例关系。
而反比例函数则表示两个变量之间的关系满足一个反比关系。
在初中数学中,正比例与反比例函数的概念是重要的基础知识,本文将对此进行归纳和概述。
一、正比例函数正比例函数描述的是两个变量之间的关系满足一个比例关系,数学上用y=kx来表示,其中k是比例系数。
当x增大时,y也随之增大;当x减小时,y也随之减小。
正比例函数的图像是经过原点的一条直线。
例如,若有一辆汽车以恒定的速度行驶,那么行驶的时间与所经过的距离之间的关系就是正比例函数。
行驶的时间越长,所经过的距离就越远,反之亦然。
在实际问题中,正比例函数的应用非常广泛。
例如,单位时间内工人的产量与工作时间之间存在正比例关系;物品的价格和数量之间也存在正比例关系。
通过对这些问题进行函数建模,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、反比例函数反比例函数描述的是两个变量之间的关系满足一个反比关系,数学上用y=k/x来表示,其中k是比例系数。
反比例函数常用于描述一个变量增加时,另一个变量的减小情况。
反比例函数的图像是一个拋物线的开口朝下。
例如,若有一辆汽车以恒定的速度行驶,那么行驶的时间与所经过的距离之间的关系就是反比例函数。
行驶的时间越长,所经过的距离就越短,反之亦然。
和正比例函数一样,反比例函数在实际问题中也有着广泛的应用。
例如,一段管道中的液体的压力与液体通过管道的速度之间存在反比关系;电阻和电流之间也存在反比关系。
掌握反比例函数的概念,可以帮助我们更好地理解和解决这些实际问题。
总结:正比例与反比例函数是初中数学中的重要知识点,掌握这两种函数的概念和特点,有助于我们更好地理解和应用数学知识。
正比例函数描述的是两个变量之间的比例关系,而反比例函数描述的是两个变量之间的反比关系。
通过对实际问题进行函数建模,我们可以利用正比例与反比例函数的概念来解决一系列问题。
完整版沪教版八年级上册数学第十八章 正比例函数和反比例函数含答案
沪教版八年级上册数学第十八章正比例函数和反比例函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、在反比例函数的每一条曲线上,y都随着x的增大而增大,则k的值可以是()A.-1B.0C.1D.22、如图,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是()A.凌晨4时气温最低为﹣3℃B.14时气温最高为8℃C.从0时至14时,气温随时间增长而上升D.从14时至24时,气温随时间增长而下降3、从某容器口以均匀的速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如右图所示,则对应容器的形状应为()A. B. C. D.4、如图,下图是汽车行驶速度(千米/时)和时间(分)的关系图,下列说法其中正确的个数为()⑴汽车行驶时间为40分钟;(2)AB表示汽车匀速行驶;(3)在第30分钟时,汽车的速度是90千米/时;(4)第40分钟时,汽车停下来了.A.1个B.2个C.3个D.4个5、用()表示函数关系的方法叫做解析法.A.数学式子B.表格C.图象D.函数6、如图所示,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为()A. B.2 C.2 D.27、如图,在平面直角坐标系中,点A1、A2、A3,…是x轴正半轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…,分别过点A1、A2、A3,…作y轴的平行线,交反比例函数y=(x>0)的图象于点B1、B2、B3,…,则△AnBnBn+1的面积等于()A. B. C. D.8、已知反比例函数y=的图象经过点(2,﹣2),则k的值为()A.4B.-C.-4D.-29、若点(3,4)是反比例函数图象上一点,则此函数图象必须经过点()A.(3,﹣4)B.(2,﹣6)C.(4,﹣3)D.(2,6)10、如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x (s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是()A. B. C.D.11、如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是()A. B. C. D.12、反比例函数y= 和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( )A. B. C. D.13、函数是反比例函数,则k的值是()A.-1B.2C.D.14、若面积为6cm2的平行四边形的一条边长为x(cm),这条边上的高为y(cm),则y关于x的函数表达式为()A.xy=12B.xy=6C.D.15、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是()A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相等D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度二、填空题(共10题,共计30分)16、甲、乙两人分别从A、B两地相向而行,y与x的函数关系如图,其中x表示乙行走的时间(时),y表示两人与A地的距离(千米),甲的速度比乙每小时快________千米.17、已知函数y=(k+1)x|k|﹣3是反比例函数,且正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,则k的值为________ .18、如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限内,点B在x轴上,∠AOB=30°,AB=BO,反比例函数y= (x<0)的图象经过点A,若S=△ABO ,则k的值为________.19、已知y=(a﹣1)是反比例函数,则a=________.20、如图,已知反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(4,5),若在该图象上有一点P,使得∠AOP=45°,则点P的坐标是 ________。
初中数学 反比例函数和正比例函数的区别是什么
初中数学反比例函数和正比例函数的区别是什么反比例函数和正比例函数是两种不同的函数关系,它们之间有以下几个主要区别:1. 定义:-正比例函数:正比例函数是指两个变量之间的关系,其中一个变量的值是另一个变量的倍数,即两个变量之间存在一个恒定的比例关系。
正比例函数可以表示为y = kx,其中k 是常数,称为比例常数。
-反比例函数:反比例函数是指两个变量之间的关系,其中一个变量的值与另一个变量的倒数成比例,即两个变量之间存在一个恒定的反比例关系。
反比例函数可以表示为y = k/x,其中k 是常数,称为比例常数。
2. 图像:-正比例函数:正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
它的斜率表示了比例常数的值,斜率越大,表示比例关系越大。
-反比例函数:反比例函数的图像是一条经过第一象限的双曲线。
它在x 轴和y 轴上都有渐近线,且图像随着x 值的增大而趋于零,随着x 值的减小而趋于无穷大。
3. 变化趋势:-正比例函数:正比例函数中,两个变量的值同时增加或减少。
如果一个变量的值增加,则另一个变量的值也会按照相同的比例增加;反之亦然。
-反比例函数:反比例函数中,当一个变量的值增加时,另一个变量的值会按照相同的比例减少;反之亦然。
其中一个变量的值越大,另一个变量的值越小。
4. 关系特点:-正比例函数:正比例函数表示了两个变量之间的直接关系。
例如,当一辆汽车的速度增加时,它所行驶的距离也会增加。
-反比例函数:反比例函数表示了两个变量之间的间接关系。
例如,当一条水管的截面积增大时,水流通过的速度会减小。
5. 零点和定义域:-正比例函数:正比例函数一般通过原点,因此其零点位于原点,而且定义域为整个实数集。
-反比例函数:反比例函数在定义时,除数不能为零,因此其定义域为除了零的所有实数。
反比例函数和正比例函数的区别在于其定义、图像、变化趋势、关系特点以及零点和定义域。
理解这些区别可以帮助我们更好地应用和解释这两种函数关系在实际问题中的意义。
2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题05 正比例函数与反比例函数(考点讲解)(学生版)
专题05 正比例函数与反比例函数【考点剖析】 1.函数定义:在某个变化过程中有两个变量x 和y ,在变量x 的允许取值范围内,变量y 随x 的变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量y 叫x 的函数. 函数记号:()y f x =,()f a 表示x =a 时的函数值. 设()f x 为整式,则函数()y f x =的定义域:一切实数;函数1()y f x =的定义域:满足()0f x ≠的实数;函数y ()0f x ≥的实数.2.正比例函数与反比例函数3.函数的表示法:解析法;列表法;图像法等. 【典例分析】 【考点1】函数的概念例1 (松江2018期末2)函数y =的定义域是例2 (浦东四署2018期末21)已知y 与2x -3成正比例,且当x =4时,y =10,求y 与x 的函数解析式.例3 (长宁2018期末3)已知函数()f x =,则(3)f = .【考点2】正、反比例函数的性质例4 (松江2018期末9)已知反比例函数12ky x-=,当0x >时,y 的值随着 x 的增大而减小,则实数k 的取值范围 .例5 (松江2018期末25)已知:如图,点A (1,m )是正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像在第一象限 的交点,AB x ⊥轴,垂足为点B ,ABO ∆和面积为2. (1)求m 的值以及这两个函数的解析式;(2)若点P 在x 轴上,且AOP ∆是以OA 为腰的等腰三角形,求点P 的坐标.【真题训练】 一、选择题1.(崇明2018期中5)函数3y x =与函数2y x=-在同一坐标系中的大致图像是( )(D )(C )(B )(A )2.(普陀2018期末3)已知正比例函数2y x =-的图像上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、,如果12x x <,那么12y y 与的大小关系是( )A.12y y >;B. 12y y <;C. 12=y y ;D. 不能确定 3.(崇明2018期中6)如果点123(2,),(1,),(1,)A y B y C y --在反比例例函数1y x=的图像上,那么下列结论正确的是( )A.123y y y >>;B. 321y y y >>;C. 312y y y >>;D. 132y y y >>4.(嘉定2017期中2)函数 13y x =图像一定不经过点( ) A. (3,1) B. (3,1)-- C. 1(1,)3-- D. (1,3)5.(浦东四署2018期末5)已知点123(1,),(2,),(2,)A y B y C y -都在反比例函数(0)ky k x=>的图像上,则( )A.123y y y >>;B. 321y y y >>;C. 231y y y >>;D. 132y y y >>6.(松江2018期末16)下列函数中,当x>0时,函数值y 随x 的增大而减小的是( ) A.2y x =; B. 2x y =; C. 22x y +=; D.2y x=-. 二、填空题7.(浦东四署2018期末12)正比例函数(0)y kx k =≠经过点(2,1),那么y 随x 的增大而 .(填“增大”或“减小”)8.(闸北2018期中15)函数y=的定义域是 .9.(普陀2018期末9)函数52y x =-的定义域是 .10.(松江2018期末6)已知函数1()1f x x =+,则f = . 11.(金山2018期中16)正比例函数25y x =-的图像经过第 象限.12.(闸北2018期中16)已知反比例函数y=的图象如图所示,则实数m 的取值范围是 .13.(嘉定2017期中12)若正比例函数25m m y mx+-=的图像经过第二、四象限,则m = .14.(金山2018期末13)已知反比例函数xm y 13-=的图像有一支在第二象限,那么常数m 的取值范围是 .15.(浦东四署2018期末18)如图,已知两个反比例函数1211::3C y C y x x==和在第一象限内的图像,设点P 在1C 上,PC x ⊥轴于点C ,交2C 于点A ,PD y ⊥轴于点D ,交2C 于点B ,则四边形PAOB 的面积 为 .三、解答题16.(崇明2018期中24)小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如下表:(1)根据上表体现出来的规律,请写出眼镜度数y (度)与镜片焦距 x (cm )之间的函数关系式; (2)若小惠所戴眼镜度数为500度,求该镜片的焦距.17.(闸北2018期中25)如图,已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P (2,3),点D 是正比例函数图象上的一点,过点D 作y 轴的垂线,垂足分别Q ,DQ 交反比例函数的图象于点A ,过点A 作x 轴的垂线,垂足为B ,AB 交正比例函数的图于点E . (1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式. (2)当点D 的纵坐标为9时,求:点E 的坐标.18.(金山2018期中26)已知正比例函数图像经过点(.(1)若点(,)A a B b -的图像上,求a 、b 的值. (2)过图像上一点P 作y 轴的垂线,垂足为Q ,154OPQ S ∆=,求Q 的坐标.19.(嘉定2017期中27)已知正反比例函数的图像交于A 、B 两点,过第二象限的点A 作AH x ⊥轴,点A 的横坐标为-2,且3AOH S ∆=,点B (m ,n )在第四象限. (1)求这两个函数解析式; (2)求这两个函数图像的交点坐标;(3)若点D 在坐标轴上,联结AD 、BD ,写出当6ABD S ∆=时的D 点坐标.20.(普陀2018期末21)已知12y y y =-,1y 与x -1成正比例,2y 与x 成反比例. 当x =2时,y =2;当x =-2时,y =-8,求y 关于x 的函数解析式.21.(松江2018期末23)已知12y y y =+,1y 与x -1成反比例,2y 与x 成正比例. 当x =2时,14y =,y =2,求y 关于x 的函数解析式.22.(浦东四署2018期末23)为了响应“低碳环保,绿色出行”的公益活动,小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书. 她们同时从家出发,小燕先以150米/分的速度骑行一段时间,休息了5分钟,再以m 米/分钟的速度到达图书馆,而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行,两人行驶的路程y (米)与时间x (分钟)的关系如图,请结合图像,解答下列问题: (1)图书馆到小燕家的距离是 米;(2)a = ,b = ,m = ;(3)妈妈行驶的路程y (米)关于时间x (分钟)的函数解析式是 ; 定义域是 .23.(长宁2018期末24)如图,在平面直角坐标系xOy 内,点A 在直线y=3x 上(点A 在第一象限),OA=(1)求点A 的坐标;(2)过点A 作AB x ⊥轴,垂足为点B ,如果点E 和点A 都在反比例函数(0)ky k x=≠图像上(点E 在第一象限),过点E 作EF y ⊥轴,垂足为点F ,如果AEF AOB S S ∆∆=,求点E 的坐标.。
初中数学函数知识点总结6篇
初中数学函数知识点总结初中数学函数知识点总结6篇总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价,从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料,它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律,让我们抽出时间写写总结吧。
那么总结有什么格式呢?以下是小编整理的初中数学函数知识点总结,仅供参考,大家一起来看看吧。
初中数学函数知识点总结1课题3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数教学目标1、掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式教学重点掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学难点掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学方法讲练结合法教学过程(I)知识要点(见下表:)第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx(k0)0x反比例函数一次函数ykxb(k0)0x二次函数yax2bxc(a0)y0xy0xky (k0)xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点(0,0)及(1,k)的直线双曲线,x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点(0,b)的直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时,y,4aR 值域R4acb2a0时,y,4aba0时,在-,上为增2a函数,在,-单调性k0时,在,0,k0时为增函数0,上为减函数k0时,为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时,在,0,k0时,为减函数0,上为增函数ba0时,在-,上为减2a函数,在,-b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x-ymin最值无无无b时,2a24acb4ab时,2a24acb4aa0且x-ymax第三章第30页b24acb2注:二次函数yaxbxca(x (a0))a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x,顶点(,)2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m,0),(n,0)(II)例题讲解例1、求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)抛物线过点A (1,1),B(2,2),C(4,2)(2)抛物线的顶点为P(1,5)且过点Q(3,3)(3)抛物线对称轴是x2,它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点(1,7)。
初二数学《正比例函数和反比例函数》PPT复习
案例分析三
已知正比例函数y=ax(a≠0)的 图像与反比例函数y=b/x(b≠0) 的图像交于C、D两点,且C、D 两点关于原点对称,若点C的坐 标为(3,2),求a、b的值及D点
的坐标。
05 典型例题解析与思路拓展
典型例题选讲
例题1
已知正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图像经过点 (2, -4),求该正比
在同一平面直角坐标系中,正比例函数 的图像是一条过原点的直线,且关于原 点对称。
比例系数k决定了直线的倾斜程度,k>0 时,直线从左下方向右上方延伸;k<0 时,直线从左上方向右下方延伸。
性质 图像是一条经过原点的直线。
反比例函数定义及性质
性质
图像是分布在两个象限内的双曲 线。
比例系数k决定了双曲线的形状和位置 ,k>0时,双曲线位于第一、三象限; k<0时,双曲线位于第二、四象限。
06 课堂互动环节
学生提问答疑
学生可以向老师提出关于正比例函数 和反比例函数概念、性质、图像等方 面的疑问。
老师会针对学生的问题,进行详细的 解答和辅导,确保学生能够理解和掌 握相关知识。
小组讨论分享学习心得
学生可以分组进行讨论,分享自己在学习正比例函数和反比 例函数过程中的心得和体会。
小组内成。
例题2
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图像经过点 (3, 4),求该反比例 函数的解析式。
例题3
已知正比例函数 y = 2x 和反比例函 数 y = 8/x,求这两个函数图像的交 点坐标。
解题思路与方法总结
对于正比例函数,已知一点坐 标,可以通过代入法求出函数 的解析式。
经济学问题
正比例反比例函数性质
04
正反比例函数在生活中的 应用实例
正比例关系在生活中的应用举例
01 02
速度、时间和距离之间的关系
在匀速直线运动中,速度是恒定的,因此时间和距离成正比。例如,如 果一辆汽车以恒定速度行驶,那么它行驶的时间越长,行驶的距离就越 远。
工资和工作时间的关系
在计时工资制中,工资通常与工作时间成正比。例如,如果一名工人每 小时的工资是固定的,那么他工作的时间越长,获得的工资就越高。
指数函数与对数函数
形如 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)和 y = log_a(x)(a > 0, a ≠ 1)的函 数。具有独特的增减性、图像特征以及在实际问题中的应用。
THANKS
求解正比例函数相关数学问题方法技巧
01
确定比例系数
根据题目条件,确定正比例函 数的比例系数k,通常利用已知
的一组对应值来求解。
02
利用图象求解
画出正比例函数的图象,利用 图象的直观性来求解相关问题 ,如求交点、判断函数值大小
等。
03
利用函数性质
利用正比例函数的性质,如增 减性、对称性等,来求解相关
综合运用正反比例关系解决问题
农业生产中的施肥问 题
农业生产中需要合理施肥以保证作物 生长。施肥量与作物产量之间通常存 在正比关系,即施肥量增加,作物产 量也相应增加。然而,过量施肥会导 致土壤污染和作物生长受阻。因此, 需要综合运用正比和反比关系来确定 最佳施肥量。
城市规划中的交通拥 堵问题
城市规划中需要解决交通拥堵问题。 一方面可以通过增加道路容量来提高 交通流量(正比关系),另一方面也 可以通过提高公共交通使用率来减少 私家车出行(反比关系)。综合运用 这两种方法可以有效缓解城市交通拥 堵问题。
八年级秋季班-第12讲:正反比例函数综合-马秋燕
正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容,主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解,重点是正、反比例函数性质的灵活运用,难点是数形结合思想的应用的归纳总结.通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据.一、正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零),那么就说这两个变量成正比例,用数学式子表示两个变量x、y成正比例,就是ykx=,或表示为y kx=,k是不等于零的常数.2、解析式形如y kx=(k是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数;正比例函数y kx=的定义域是一切实数.确定了比例系数,就可以确定一个正比例函数的解析式.3、一般地,正比例函数y kx=(k是常数,k≠0)的图象是经过(0,0),(1,k)这两点的一条直线,我们把正比例函数y kx=的图象叫做直线y kx=.正反比例综合知识结构模块一:正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析4、正比例函数图像的性质:(1)当k>0时,正比例函数的图像经过第一、三象限;自变量x的值逐渐增大时,y 值也随着逐渐增大.(2)当k<0时,正比例函数的图像经过第二、四象限;自变量x的值逐渐增大时,y 值反而逐渐减小.二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例,用数学式子表示两个变量x、y成反比例,就是xy k=,或表示为kyx=,其中k是不等于零的常数.2、解析式形如kyx=(k是常数,0k≠)的函数叫做反比例函数,其中k也叫做比例系数.反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数.3、反比例函数的图像:按照作函数图像的一般步骤,通过列表、描点、连线,来画反比例函数kyx=(k是常数,k≠0)的图像.反比例函数kyx=(k是常数,k≠0)的图像叫做双曲线,它有两支.4、反比例函数图像的性质:(1)当k>0时,函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值随着逐渐减小;(2)当k<0时,函数图像的两支分别在第二、四象限;在每个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值随着逐渐增大;(3)图像的两支都无限接近于x轴和y轴,但不会与x轴和y轴相交.【例1】函数25(1)my m x-=+:(1)当m为_______时,它是正比例函数,且y随x的增大而增大;(2)当m为_______时,它是反比例函数,且在各个象限中,y随x的增大而增大.【难度】★【答案】【解析】例题解析【例2】 (1)函数2y x =与3y x=的图像的交点坐标是_______________; (2)函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--,,则m k +=________;它们的另一个交点坐标是___________.【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 若y 与1x成正比例关系,z 与x 成正比例关系,则y 与z 成___________关系. 【难度】★ 【答案】【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A (-2,1)和点B (312)a b -+,,则2a b 的值为 ___________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点,则m 的取值范围是___________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图,正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)ky k x x=≠>,的图像在同一平面直角坐标系中大致是( ).【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 若A 、B 两点关于y 轴对称,点A 在双曲线14y x=上,点B 在2y x =-上,则B 点坐标是_________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点,过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点,连接BC ,若△ABC 的面积是S ,求S 的值. 【难度】★★ 【答案】 【解析】AxyO By xODyxOCyxO【例10】 已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点,且点A 的横坐标是-1,点B 的纵坐标是2,求这两个函数的解析式. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点(2,3), (1) 求这两个函数解析式;(2) 判断点(1,6)是否在反比例函数的图像上; (3) 求两个函数图像的另一个交点. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-,,并且它和反比例函数的图像交于点B (2,m )求反比例函数的解析式. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 已知函数124my mx y x-==,的图像有两个交点,其中一个交点的横坐标是1,求这两个函数图像的交点坐标. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2,中心位于点(2,2),各边与坐标轴平行,双曲线ky x =与正方形有公共点,求k 的取值范围.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 已知12y y y =+,其中1y 与x 成正比例,2y 且当1x =时,5y =,当4x =时,18y =,求: (1)y 与x 的函数解析式; (2)当2x =时,y 的值. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 已知:1223y y y =-,1y 与3x -成正比例,2y 与x+8成反比例,且当1x =和5x =-时,y 的值分别是3和-11,求y 和x 之间的函数关系式. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 在同一平面直角坐标系中,已知正比例函数12y x =-和正反比例函数26y x=-的图像相交于P 、Q 两点,点A 在x 轴的负半轴上,且与原点的距离是4, (1)求P 、Q 两点的坐标; (2)求△APQ 的面积. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 A 、B 是双曲线3y x=上的点,分别过A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段,重叠部分的面积为1S =阴,如图所示,求空白部分的面积之和,即12S S +的值. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 如图,已知正方形OABC 的面积是9,点O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C在y 轴上,点B 是双曲线ky x=上的点,P (m ,n )是图像上任意一点,过点P 分别作x 、y 轴的垂线段,垂足分别为E 、F ,若矩形OEPF 和正方形OABC 重合的部分的面积是S ,求出S 和m 的函数关系式. 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB OxyA BC OEFGPy x【例20】 已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称.在2(0)ay x x =>的图象上取一点P (P 点的横坐标大于2),过P 作PQ ⊥x 轴,垂足是Q ,若存在两点B 、C ,且B (0,2),C (2,0),使得四边形BCQP 的面积等于2,求P 点的坐标. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图,正比例函数1y kx =(k >0)与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ,连接BC .若△ABC 的面积是S ,试指出S 是否为定值?若为定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图,直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两,P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合),过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP , 设△AOC 面积是1S ,△BOD 面积是2S ,△POE 面积是3S ,试比较123S S S ,,的大小 关系. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCP QxyOA B CDOxyABC DEPx y OL【例23】 已知:关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ,满足22120x x -=,双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ,与直角边AB 交于点C ,求OBC S ∆. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例24】 已知:在矩形AOBC 中,OB =4,OA =3,分别以OB ,OA 所在直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F 是边BC 上的一个动点(不与B ,C 重合),过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E .(1)求出满足题意的k 的取值范围;(2)记OEF ECF S S S =-△△,求S 关于k 的函数解析式;(3)是否存在这样的实数k ,使△OEF 和△ECF 面积相等?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图,11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上,斜边1OA 、ky x=都在x 轴上,则点2P 的坐标为_________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDOxyOxABC OyEF【例26】 在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 过点A (1,0)且与y 轴平行,直线2l 过点B (0,2)且与x 轴平行,直线1l 与2l 相交于P .点E 为直线2l 一点,反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . (1)若点E 与点P 重合,求k 的值;(2)连接OE 、OF 、EF ,若2k >,且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍,求点E 的坐标.【难度】★★★ 【答案】 【解析】yA B xO PE ABxyOP F【例27】 如图,已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点,且点A 的横坐标是4,过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点(点P 在第一象限),若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24,求点P 的坐标. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-,,那么这两个函数的另一个交点的坐标为________,两个函数解析式分别是_________________________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)ny n x=≠都经过点(2,3)则m =___________,n =__________. 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测ABOxy【习题3】 已知:221(+2)mm y m m x +-=:(1)如果y 是x 的正比例函数,则m ______,函数解析式为_________; (2)如果y 是x 的反比例函数,则m ______,函数解析式为_________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点,PD ⊥x 轴,则△POD 的面积为_______. 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图,A 是反比例函数ky x=图像上的一点,过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为P 、C ,若矩形ACOP 的面积是3,则反比例函数的解析式是________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题6】 已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点,则a 和b 的关系式(). A .0ba >B .0a b ->C .0a b +=D .0ab <【难度】★★ 【答案】 【解析】POxDyAxCO P y【习题7】 已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示,下列结论正确的是().① 两函数的交点坐标为(2,2); ② 当212x y y >>时;③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点,则线段BC 的长为3; ④ 当x 逐渐增大时,1y 随x 的增大而增大,2y 随x 的增大而减小. A .只有①② B .只有①③ C .只有②④ D .只有①③④【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知12y y y =-,1y 与2x 成正比例,2y 与2x -成反比例,当x = 1时,1y =-;当x = 3时,y = 5;(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)当22x =-时,求y 的值. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点,PQ ⊥x 轴于点Q (2,0).(1) 求这个反比例函数的解析式;(2) 如果点M 在这个反比例函数的图像上,且△MPQ 的面积是6,求M 点的坐标. 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB C Oxy【习题10】 已知:如图,等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上,斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ,且B 恰好是DE 的中点,双曲线(0)ky k x=>经过点A ,若△BEC 的面积为5,求k 的值. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示,点P 在1k y x=的图象上,PC ⊥x 轴于点C ,交21y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点,交21y x=的图象于点B ,当点P 在1ky x=的图象上运动时,以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等;②四边形PAOB 的面积不会发生变化;③PA 与PB 始终相等;④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是( )A .①②③④B . ①②③C .①②④D . ①③④【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP xyOABCDExyO【习题12】 已知:正方形1112A B PP 的顶点12P P ,在反比例函数2(0)y x x=>的图象上,顶点11A B ,分别在x 轴、y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形2223A B P P ,顶点3P 在反比例函数2(0)y x x =>的图象上,顶点2A 在x 轴的正半轴上,则点3P 的坐标为______.【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 已若y 与3x -成反比例,x 与4z成正比例,则y 是z 的__________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 正比例函数113y x =和反比例函数2ky x=的图像都经过A (m ,1),则m =_________,反比例函数的解析式为______________. 【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业xO y【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B ,若3AOB S ∆=,则k 的值是__________. 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ,、22()B x y ,两点,则12213x y x y -的值为() A .-10 B .-5C .5D .10【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是( )ABC D【难度】★★ 【答案】 【解析】-11-1 1 1-1 1xy xyx yxy-1【作业6】 如图,正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点, AB ⊥x 轴于B ,CD ⊥x 轴于D ,求四边形ABCD 的面积. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知12y y y =+,1y 与22x 成正比例,2y 与x 成反比例,当x =1时,y 的值为5;当x =4时,y 的值为18,求当x =9时,y 的值. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图,直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x==-,的图象分别交于B ,C 两点,A 为y 轴上的任意一点,求△ABC 的面积 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCD O xyABCx=txyO【作业9】 如图所示,正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上,点F 在AB上,点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上,求点E 的坐标.【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图所示,已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A (3,2).(1) 试确定正比例函数和反比例函数的解析式;(2) 根据图像回答,在第一象限内,当x 取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值;(3) M (m ,n )是反比例函数上的动点,其中03m <<,过点M 坐MN ∥x 轴,交y轴于点B ,过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ,交直线BM 于点D ,当四边形OADM 的面积是6时,请判断BM 与DM 的大小关系,并说明理由.【难度】★★★ 【答案】 【解析】A F BC DExy OABM D C xyO【作业11】 如图(a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点,点A 在第一象限,试回答一下问题(1)若点A 的坐标为(4,2),则点B 的坐标为______________;若A 的横坐标为m ,则点 B 的坐标可以表示为______________;(2)如图(b )所示,过原点O 作另一条直线l ,交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点,点P 在第一象限,①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m 、n 应满足的条件;若不可能,请说明理由. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABOxyAQPOyBx。
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正比例函数、反比例函数
1、正比例函数3
kx y =的过点(6,2),那么k= 2、如果点(2,–3)在反比例函数的图象上,那么这个反比例函数的解析式是 3、如果点A (a ,4)在双曲线x y 2-
=上,那么点A 的坐标是 . 4、正比例函数,x )k 1(y -=y 随着x 的增大而减小,那么k 的取值范围为
5、如果函数x k y )(-=1的图象经过第一、三象限,那么k 的取值范围是________.
6、反比例函数x
k y 2+=
,当0>x 时,y 随着x 的增大而增大,则k 的取值范围是 7、如果反比例函数x k y 3-=的图象位于第二、第四象限内,那么满足条件的正整数k 可的值是 8、若102)3(--=m x m y 是反比例函数,则m= 。
9、若正比例函数1352)1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限,则这个正比例函数的解析式是 。
10、近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0. 25m ,则y 与x 的函数是关系式为
11、某种灯的使用寿命为1000小时,它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为 .
12、双曲线x
y 8=
与直线x y 2=的交点坐标为 13、如图,点A 在反比例函数y=x k 的图象上,AB 垂直于x 轴,若AOB S ∆=2,那么这个反比例函数的解析式为 14、直角坐标系内,点P 是函数x y 3=
图象上一点,作PH ⊥x 轴,PG ⊥ y 轴,垂足分别为点H 、G ,那么矩形OHPG 的面积等于 .
15、在平面直角坐标系内,从反比例函数)0k (x
k y <=的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂 线段,与x 、y 轴所围成的矩形面积是9,那么这个函数解析式是
1、在下列函数中,y 随着x 增大而减小的是………………………………( )
(A )x y 2=; (B )x y 2-=; (C )x
y 2=; (D ) x y 2-= 2、若点(-2,y 1)、(-1,y 2)、(1,y 3)在反比例函数x
y 1=的图像上,则下列结论中正确的是( ) (A )y 1>y 2>y 3 (B )y 1<y 2<y 3 (C )y 2>y 1>y 3
(D )y 3>y 1>y 2 3、已知正比例函数)0k (x k y 11≠=与反比例函数)0k (x
k y 22≠=的图象有一个交点坐标为(―2,―1),则它的另一个交点坐标是 ( )
(A ) (2,1) (B )(―2,―1) (C )(―2,1) (D )(2,―1)
4、下列命题中:
①函数x y 3=(2≤x ≤5)的图像是一条直线;②若y 与z 3-成反比例,z 与x 成正比例,则y 与x 成反比例; ③如果一条双曲线经过点(a -,b ),那么它一定同时经过点(b -,a );
x ④如果P 1(1x ,1y ),P 2(2x ,2y ),是双曲线x
y 4-
=同一分支上的两点, 那么当1x >2x 时,1y >2y 。
正确的个数有( ) (A )1个 (B )2个 (C) 3个 (D )4个
1、已知函数121,y y y y +=与x 成正比例,2y 与(x-2)成反比例,当x=1时,y=-1,当x=3时,y=5,求解析式
2、在直角坐标平面内,把过原点的直线l 与双曲线:12y x
=在第一象限的交点记作A ,已知A 点的横坐标为1, (1)求直线l 的函数解析式;
(2)将直线l 向上平移4个单位后,直线l 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,求△BOC 的面积.
1.(2012朝阳一模)如图,P 是反比例函数k y x
=(x >0)的图象上的一点,PN 垂直x 轴于点N ,PM 垂直y 轴于点M ,矩形OMPN 的面积为2,且ON =1,一次函数y x b =+的图象经过点P .
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设直线y x b =+与x 轴的交点为A ,点Q 在y 轴上,当
△QOA 的面积等于矩形OMPN 的面积的
41时,直接写出点Q 的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数x
y 3=
的图象 与一次函数y =kx 的图象的一个交点为A (m , -3).
(1)求一次函数y =kx 的解析式;
(2)若点P 在直线OA 上,且满足PA=2OA ,直接
写出点P 的坐标.
3. 定义[]p q ,为一次函数y px q =+的特征数.
(1)若特征数是[]21m +,的一次函数为正比例函数,求m 的值;
(2)已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、,其中0n >,点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ,且OAC
△的面积为4,O 为原点,求图象过A C 、两点的一次函数的特征数.
4. 平面直角坐标系xOy 中,反比例函数)0(x
>=k k y 的图象经过点),2(m A ,过点A 作 AB ⊥x 轴于点B ,△AOB 的面积为1.
(1) 求m 和k 的值;
(2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ,且∠ACO =45°,直接写出点C 的坐标.。