第4章快速傅里叶变换FFT
快速傅里叶变换FFT
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
数字信号处理DSP第4章
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章
点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X
[2017年整理]详解FFT（快速傅里叶变换FFT
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knNW NN第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −WkN N利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值4 N N N3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
第4章 习题解答
根据采样定理，可实时处理的最高频率：
2 2 注：具体应用时 f m ax 还应再小一些 f m ax FS 15625 7 8 1 2 .5 Hz
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
3．已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT，
希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n), 为提高运算效率，试设计用
一次N点IFFT来完成的算法。 解：根据DFT的对称性质，实序列x(n)和y(n)的DFT X(k)和
Y(k)均为共轭对称，即X(k) =X*(N-k)，Y(k) =Y*(N-k)，则 (jY(k))*= -jY(N-k)，所以jY(k)为共轭反对称。
解： (1) 直接计算： 复数乘法：4*N2=4*10242=4194304μs=4194.304ms 复数加法：1*N(N-1)=1024*1023=1047552μs=1047.552ms 1024点DFT直接计算时：4194.304+1047.552=5241.856ms
(2) 用FFT计算： 复数乘法：4* (N/2)*lbN= 4* 512*10=20480μs=20.48ms 复数加法：1*N*lbN= 1*1024*10=10240μs=10.24ms 1024点DFT采用FFT算法时：20.48+10.24=30.72ms
设: A(k) = X(k)+ jY(k) ，计算A(k)的N点快速IDFT，即 a(n)= IFFT(A(k)) = Re(a(n)) + jIm(a(n))，
其中，Re(a(n)) = IDFT(X(k)) = x(n) ，
jIm(a(n)) = IDFT(jY(k))= jy(n) 所以：x(n) = Re(a(n)) = 1/2(a(n)+a*(n)) y(n) = Im(a(n)) = -j/2(a(n)-a*(n))
数字信号处理课后答案-第4章高西全
解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算 次数为
N2=1024×1024=1 048 576次 复数加法运算次数为
N（N－1）=1024×1023=1 047 552次 直接计算所用计算时间TD为
TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
作品欣赏 谢谢观看！
Re[
y(n)]
1 2
[
y(n)
y* (n)]
DFT[Yep
(k )]
x1(n)
j Im[
y(n)]
1 [ y(n) 2
y* (n)]
DFT[Yop (k)]
jx2 (n)
③ 由x1(n)和x2(n)合成x(n):
x(n)
x1
n 2
x2
n
2
1
n 偶数 n 奇数
，0≤n≤2N－1
TF
10 109
N 2
l
bN
10 109
N
l
bN
108 1024 10 108 1024 10 2
0.1536 ms
快速卷积计算时间Tc约为
Tc 2TF 1024 次复数乘计算时间 2 0.1536103 10109 1024
0.317 44 ms
可实时处理的信号最高频率fmax为
fmax ≤
由DFT的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n)
j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
DSP--FFT-深入浅出-详细讲解快速傅里叶变换
第一节 引言
一、迅速付里叶变换FFT
• 有限长序列经过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N 旳平方成正比）, 极难 实时地处理问题 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 叶 变 换(FFT) .
• 一种复数乘法涉及4个实数乘法和2个实数相 法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
2次实数加法
4次实数乘法
4.计算DFT需要旳实数运算量
N 1
X (k) {(Re[x(n)]Re[WNkn ] Im[x(n)]Im[WNkn ]) n0
j(Re[x(n) Im[WNkn ] Im[x(n)]Re[WNkn ])}
4
4
X (k) N X (k) N
(
N
)
4 2
4
+
(
N 4
4
)2
=
N 4
2
这么一直分下去，剩余两点旳变换。
2、将长序列DFT利用对称性和 周期性分解为短序列DFT--结论
• 迅速付里时变换(FFT)就是在此特征基础上 发展起来旳，并产生了多种FFT算法，其基 本上可提成两大类：
• 按抽取措施分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF)
r 0
r 0
W 2
j 2 2
e N
j 2
e N/2
W
3.求出子序列旳DFT
上式得：
N / 21
N / 21
X（k)
x1(r)WNrk/ 2
x2 (r)WNrk/ 2WNk
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
fx第4章 FFT
2.蝶形运算
N x(n)和x(n + )进行如下碟形运算： 2 N x(n)
x(n) + x(n + 2
)
N x(n + ) 2
n = 0,1 L, N −1 , 2
-1
W
n N
N n x(n) − x(n + 2 )WN
四、DIF法与DIT法的异同 DIF法与DIT法的异同 法与DIT
(k = 0,1,L, N − 1) 2 (k = N ,L, N − 1) 2
return
FFT的运算量为 3. N点的FFT FFT 复乘:
（N/2） log2 N N/ ）
复加:
L=N log2 N
三、DIF的FFT算法 DIF的FFT算法 1.算法原理(基2FFT) 1.算法原理( 算法原理
1.相同点 1. (1)进行原位运算； (1) (2)运算量相同,均为（N/2) Log2N次 (2) , 复乘,N Log2N次复加。 , 2.不同点 2. (1)DIT输入为倒位序,输出为自然顺 (1)DIT 序； DIF正好与此相反。但DIT DIT也有输入 DIF DIT 为自然顺序,输出为倒位序的情况。 （2）蝶形运算不同
按时间抽取(DIT) FFT算法 (DIT)的 二、按时间抽取(DIT)的FFT算法 1.算法原理( 1.算法原理(基2FFT) 算法原理
将
x(n)
按n的奇偶分为两组作DFT, N=2L ,不足时,可补些零。 DFT,设N=2 DFT,
2.蝶形运算 2.蝶形运算
k X (k) = X1(k) +WN X2 (k) 前一半 k X (k) = X1(k) −WN X2 (k) 后一半
《快速傅里叶变换》课件
应用广泛：快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
04 快速傅里叶变换的算法
快速傅里叶变换的基本步骤
输入信号：将输入信号分解为频率和相位 快速傅里叶变换：将输入信号进行快速傅里叶变换，得到频谱 频谱分析：对频谱进行分析，得到信号的频率和相位 逆傅里叶变换：将频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号 输出信号：输出信号与输入信号相同，但频率和相位发生了变化
信号压缩：快速傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪
信号识别：快速傅里叶变换可以用于信号的识别和分类，如语音识别、图 像识别等
在图像处理中的应用
图像去噪：通过快速傅里叶变换去 除图像中的噪声
图像压缩：通过快速傅里叶变换实 现图像的压缩和存储
添加标题
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添加标题
添加标题
图像增强：通过快速傅里叶变换增 强图像的对比度和清晰度
快速傅里叶变换在机器学 习领域的应用
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汇报人：PPT
分块算法：将数据分成多个 块，分别进行FFT计算，提 高计算效率
并行算法：利用多核处理器 或分布式计算，实现FFT的 并行计算，提高计算速度
05 快速傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
信号分析：快速傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分和相位信息
滤波器设计：快速傅里叶变换可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、 高通滤波器等
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学变换，可以 将时域信号分解为频率域信号
傅里叶变换是信号处理、图像处理 等领域的重要工具
添加标题
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添加标题
傅里叶变换可以将信号从时域转换 为频域，从而分析信号的频率成分
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
先设序列点数为N=2M，M为整数。如果不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值点，使之达到这一要求。 这种N为2的整数幂的FFT称基-2 FFT。
(一)N/2点DFT
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(3)对X1(k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为
X(0)~X(3),后半部分为 X(4) ~ X(7) 整个过程如图4.2.2 所示:
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
WNk
X2(k)
X(N 2
k)
X1(k) WNk
X 2 (k )
(后一半)
计算X(k)包含N/2个蝶形运算和两个N/2点DFT运算
计算工作量分析
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(1)1个N/2点的DFT运算量:
复乘次数: ( N )2 N 2 复加次数: N ( N 1)
24
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:
例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT, 具体步骤如下:
(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分:
x3(l) x1(r) x(n) x3(0) x1(0) x(0) x3(1) x1(2) x(4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施
实验四 快速傅里叶变换 FFT
实验四 快速傅里叶变换（FFT ）4.1实验目的1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解；2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法；3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。
4.2实验原理1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。
尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。
快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。
FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。
MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。
2）用FFT 计算有限长序列的频谱基本概念：一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。
序列的长度为N ，则211N n n =−+。
计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。
其中数字频率为k 2πω()d ωk k N== 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。
在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为s s 2π2πΩω/T ()()T k k k k kD N L==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。
fft课程设计
fft课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解傅里叶变换的基本概念，掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理及其应用。
2. 学生能运用FFT解决实际信号处理问题，如信号的频谱分析、图像处理等。
3. 学生了解FFT在工程、科研等领域的广泛应用。
技能目标：1. 学生掌握运用数学软件（如MATLAB）进行FFT操作，能对给定信号进行频谱分析。
2. 学生能运用FFT对实际问题进行建模、求解，并分析结果。
3. 学生具备团队协作能力，能在小组讨论中发表见解，共同解决问题。
情感态度价值观目标：1. 学生对数学及信号处理产生兴趣，认识到数学在现实生活中的重要性。
2. 学生培养勇于探索、积极进取的学习态度，面对困难时保持积极的心态。
3. 学生通过本课程的学习，增强对科技创新和工程实践的认识，提高国家使命感和社会责任感。
课程性质：本课程为选修课，旨在帮助学生掌握快速傅里叶变换（FFT）的基本原理和应用，提高数学素养和实际操作能力。
学生特点：学生为高中二年级学生，已具备一定的数学基础和编程能力，对新技术和新知识具有强烈的好奇心。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，采用案例教学、小组讨论等多种教学方法，提高学生的参与度和实践能力。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题，培养解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 引入傅里叶变换的基本概念，包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
- 理解信号的频谱分析意义，引入周期信号和非周期信号的频谱表示。
- 课本章节：第三章傅里叶级数与傅里叶变换。
2. 快速傅里叶变换（FFT）的算法原理及其数学推导。
- 掌握蝶形算法的基本步骤，理解其降低计算复杂度的原理。
- 课本章节：第四章快速傅里叶变换。
3. FFT在实际信号处理中的应用案例。
- 分析信号处理中频谱泄露和栅栏效应，探讨FFT的应用解决方案。
- 课本章节：第五章FFT的应用。
4. 数学软件（MATLAB）在FFT中的应用。
快速傅里叶变换fft变换
快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。
一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。
假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。
举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。
二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。
假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。
如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。
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运算量减少 了近一半
1 N/2
N2 /2 N /2 N2 /2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解 将x1(r)按奇偶分解成两个N/4点的子序列x3(l)和x4(l)，即
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想
4、编程思想及程序框图 先从输入端(第1级)开 始，逐级进行，共进行M 级运算。在进行第L级运 算时，依次求出B个不同 的旋转因子，每求出一个 旋转因子，就计算完它对 应的所有2M－L个蝶形。 这样，我们可用三重循 环程序实现DIT-FFT运算
图4.2.6 DIT-FFT运算和程序框图
k 0， 1， ， N 1 2
X (k
N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
将N点DFT分解为两个N/2点DFT上式运算可用蝶形运算符号表示A B C A＋B Nhomakorabea A－BC
X1(k) X2(k)
WNk
X1(k)+ WNkX2(k)
X1(k)WNkX2(k)
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
X 5 (k ) X 6 (k )
N /4 1
l 0 l 0
kl x5 (l )WN /4 DFT[ x5 (l )]N
4
N /4 1
kl x6 (l )WN /4 DFT[ x6 (l )]N
2、旋转因子的变化规律 N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都 要乘以因子 WNp ，称其为旋转因子，p为旋转因子的指数 但各级的旋转因子和循环方式都有所不同，L表示从左到 右的运算级数(L=1，2，…，M) 旋转因子 WNp 与运算级数的关系： L级共有2L－1个不同的旋转因子
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
有限长序列x(n)的N点DFT X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0， 1， ， N 1
计算量
a jb c jd ac bd j ad cb
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
改善途径
利用旋转因子的周期性、对称性、可约性
mlN WN e j 2π ( mlN ) N
周期性
e
j
2π m N
m WN
对称性
WN
2 j e N
W
m N
W
N m N
[W
N m * N
] W
m N
WN
m
N 2
m WN
2
X (k )
N /21
r 0
x1 (r )W
kr N /2
W
k N
N /21
r 0
x2 (r )WNkr/2
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
k N
k 0,1,2,
WN
k N 2
, N -1
k WN
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
WNN /2 1
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 FFT算法思想
不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用旋 转因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
FFT： 并不是一种新的变换形式，只是 DFT 的一种快速算法并且根 据序列的分解和选取方法的不同而产生了FFT的多种算法。 FFT应用： 在离散傅里叶反变换、线性卷积、线性相关等方面
N / 4 1
kl k x ( l ) W W 3 N /4 N /2 k N /2
X 3 (k ) W
X 3 (k )
N / 4 1 l 0
X 4 (k )
4
N k 0， 1， ， 1 2
X 4 (k )
N / 4 1
x (l )W
3
kl N /4
DFT[ x3 (l )]N
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 显而易见，只要将顺序数(n2n1n0)的二进制位倒置，则得 对应的二进制倒序值(n0n1n2)
X (k N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
N k 0， 1， ， 1 2
k 0， 1， ， N 1 2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
k N
N k 0， 1， ， 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
引言 基2FFT算法
主 要 内 容
进一步减少运算量的措施 其他快速算法简介
4.1 引言
问题
直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N 较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实 时处理是不切实际的。 解决方法 自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky)在《计算数 学杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文，就形成现在的快速傅里叶变换（FFT）。 结果 FFT使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级，为数字信号处 理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，大大推动了 数字信号处理技术的发展。
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 5、序列的倒序 DIT-FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔 细分析就会发现这种倒序是很有规律的 由于N=2M，因此顺序数可用M位二进制数(nM－1nM－2…n1n0) 表示。M次偶奇时域抽选过程
图4.2.7 形成例序的树状图（N=23）
(W Nnk )* W N nk W N( N n ) k W Nn ( N k )
可约性
特殊点
k N / 2 W k WN N
Nk nk WN WN
mnk W Nnk WmN
nN nk WN WN
/m W Nnk W Nnk /m
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法分类
按抽取方式 时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT，简称DIT－FFT ) 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT) 按基数分
基2-FFT算法、基4-FFT算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法
基2FFT算法
长度N满足N=2M（M为整数），若不满足将序列补零延长， 使其满足长度要求
本节主要介绍 1、FFT的基本思想
2、时域与频域抽取的基－2FFT算法
3、FFT程序实现
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
1、基2 DIT－FFT算法基本原理 设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
图：蝶形运算符号 完成一个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数加法运算
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2 DIT－FFT算法基本原理
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
分解后运算量： 复数乘法 一个N/2点DFT (N/2)2 两个N/2点DFT N2/2 一个蝶形 N/2个蝶形 总计 复数加法 N/2 (N/2 –1) N (N/2 –1) 2 N
x1 (r ) x(2r )
x2 (r ) x(2r 1)
n 偶数
r 0 ,1,..., N / 2 1
则
X (k )
r 0
kn x(n)WN
n 奇数
kn x(n)WN
N /2 1
x(2r )W
1
2 kr N
k (2 r 1) x(2r 1)WN r 0
x 4(l ) x 1(2l 1)
x 3(l ) x 1(2l )
X 1 (k )
N / 4 1 l 0
l 0, 1,
N 1 4
x1 (2l )W
l 0
2 kl N /2
N / 4 1 l 0
k ( 2 l 1) x ( 2 l 1 ) W 1 N /2 N / 4 1 l 0 kl x ( l ) W 4 N /4
直接计算DFT的计算量
4.2.3 DIT-FFT 算法与直接计算DFT运算量的比较
DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大减少。例如， N=210=1024时
N2 1 048576 204.8 N 5120 lbN 2
图4.2.5 DIT-FFT算法与直接计算DFT 所需复数乘法次数的比较曲线
N /2 1
N /2 1 r 0
x (r )W
2 kr N
W
k N
N /2 1
r 0
2 kr x2 (r )WN
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k )
N /21 r 0
x (r )W
1
N / 2 1
2 kr N
k WN
N /21 r 0
x (r )W
4
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN X ( k ) /2 6 4
k 0， 1， ，
N 1 4
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理