课后习题及答案_第4章快速傅里叶变换--习题答案

1 x (n) = [ f ( n) + f ∗ ( n)] 2
y ( n) = 1 [ f (n) − f ∗ (n)] 2j
4.
解:
本题的解题思路就是 DIT-FFT 思想。
（1）在时域分别抽取偶数和奇数点 x(n)，得到两个 N 点实序列 x1(n)和 x2(n)： x1(n)=x(2n) x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, …, N－1 n=0, 1, …, N－1
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下： 并调
%程序 ex406.m
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%调用 fft 函数计算 IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列 x1n
X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k )
k 2N
X (k + N ) = X 1 (k ) − W X 2 (k )
由上式可解出
k = 0,1, L , N − 1
1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 −k X 2 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )]W2 N 2
Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)
其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行 N 点 IFFT， 得到
y(n)=IFFT［Y(k)］=Re［y(n)］+j Im［y(n)］
由 DFT 的共轭对称性知
n=0, 1, …, N－1
1 Re[ y (n)] = [ y (n) + y* (n)] = DFT[Yep (k )] = x1 (n) 2 1 jIm[ y (n)] = [ y (n) + y * (n)] = DFT[Yop (k )] = jx2 (n) 2
2
根据 DIT-FFT 的思想， 只要求得 x1(n)和 x2(n)的 N 点 DFT， 再经过简单 的一级蝶形运算就可得到 x(n)的 2N 点 DFT。 因为 x1(n)和 x2(n)均为实序列， 所 以根据 DFT 的共轭对称性， 可用一次 N 点 FFT 求得 X1(k)和 X2(k)。 具体方法 如下： 令
x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］ ； %输入矩形序列向量 x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］ ； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； x1n=ifft46(X1k， N) x2n=ifft46(X2k， N) x3n=ifft46(X3k， N) %输入三角序列序列向量 x3n %计算 x1n 的 N 点 DFT %计算 x2n 的 N 点 DFT %计算 x3n 的 N 点 DFT %调用 ifft46 函数计算 X1k 的 IDFT %调用 ifft46 函数计算 X2k 的 IDFT %调用 ifft46 函数计算 X3k 的 IDFT N=8；
③ 由 x1(n)和 x2(n)合成 x(n):
n x1 2 x ( n) = x n −1 2 2
n = 偶数
，0≤n≤2N－1
n = 奇数
在编程序实现时， 只要将存放 x1(n)和 x2(n)的两个数组的元素分别依次放入 存放 x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。
2N 点 DFT［x（n） ］=X（k）可由 X1(k)和 X2(k)得到
X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k )
k X (k + N ) = X 1 (k ) − W2 N X 2 (k )
这样，
k = 0,1, L , N − 1
通过一次 N 点 IFFT 计算就完成了计算 2N 点 DFT。 当然还要进行由
Tc = 2TF + 1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536 × 10−3 + 10 × 10−9 × 1024 = 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为 1 1 1024 1 f max ≤ Fs = · = ·3.1158 MHz=1.6129 MHz 2 2 Tc 2 由此可见， 用 DSP 专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP
Fs < 1024 = 15 625 次/秒 65536 × 10 −6
计算 1024 <
可实时处理的信号最高频率为
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
应当说明， 实际实现时， fmax 还要小一些。 这是由于实际中要求采样频 率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重 叠部分长度与 h(n)长度有关， 2. 解: 与第 1 题同理。 直接计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TD 为 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。
k = 0,1, 2, L , N − 1
由以上分析可得出运算过程如下： （1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
3
1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 X 2 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )]W2−Nk 2 ② 由 X1(k)和 X2(k)构成 N 点频域序列 Y(k):
第 4 章 快速傅里叶变换（FFT） 习题答案 1. 解: 当 N=1024=210 时， 直接计算 DFT 的复数乘法运算次数为
N2=1024×1024=1 048 576 次 复数加法运算次数为 N（N－1）=1024×1023=1 047 552 次 直接计算所用计算时间 TD 为 TD=4×10 6×10242+1 047 552×10 6=5.241 856 s
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到 f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知 Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n) 故
运行程序输出时域序列如下所示，
x1n = 1 x2n = 1 x3n = 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4
正是原序列 x1n、 x2n 和 x3n。
0 1 4 0 1 3 0 1 2 0 1 1
5
Y(k)求 X1(k)、 X2(k)和 X(k)的运算(运算量相对很少)。
（2） 与（1）相同， 设
x1(n)=x(2n) x2(n)=x(2n+1) X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
则应满足关系式
n=0, 1, …, N－1 n=0, 1, …, N－1 k=0, 1, …, N－1 k=0, 1, …, N－1
5.
解：
本题比较简单，
仿照教材中的 8 点基 2DIT-FFT 和 DIF-FFT 运算流
图很容易画出 16 点基 2DIT-FFT 和 DIF-FFT 运算流图。 但画图占篇幅较大，这 里省略本题解答， 请读者自己完成。
6. 解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函数编写 ifft46.m 如下： %函数 ifft46.m %按照所给算法公式计算 IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对 Xk 取复共轭
在数字信号处理领域得到广泛应用。机器周期小于 1 ns 的 DSP 产品已上市， 其 处理速度更高。 3. 解: 因为 x(n)和 y(n)均为实序列， 所以， X(k)和 Y(n)为共轭对称序列，
jY(k)为共轭反对称序列。 可令 X(k)和 jY(k)分别作为复序列 F(k)的共轭对称分量 和共轭反对称分量， 即
y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, N－1
则 X (k ) = DFT[ x (n)] = Y (k ) = 1 [Y (k ) + Y * ( N − k )] 1 1 ep 2 1 jX 2 (k ) = DFT[ jx2 (n)] = Yep (k ) = [Y (k ) − Y * ( N − k )] 2
1
TD=10×10 9×10242+10×10 9×1 047 552=20.961 28 ms
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用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为 N TF = 10 × 10 −9 × l bN + 10 × 10−9 × N l bN 2 1024 = 10−8 × × 10 + 10 −8 × 1024 × 10 2 = 0.1536 ms 快速卷积计算时间 Tc 约为
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用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为 TF = 5 ×10 −6 × N lbN + NlbN × 10 −6 2 1024 = 5 × 10−6 × ×10 + 1024 × 10 × 10−6 2 = 30.72 ms
快速卷积时， 需要计算一次 N 点 FFT（考虑到 H(k)= DFT［h(n)］已计算好存 入内存） 、 N 次频域复数乘法和一次 N 点 IFFT。 所以， 积的计算时间 Tc 约为 Tc = 2TF + 1024次复数乘计算时间 = 71680 µs + 4 × 1024 µs 所以， = 65536 µs 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）