实验内容3：污水处理费用的合理分担问题

符号说明：
N：表示城镇 C1：建厂费用 C2:管道费用 Q：污水量 L：管道长度 D：总投资 d：分担费用 特征函数符号： V（Φ ） Φ （v） V（s） W(|s|) 1.四城镇污水处理共有以下 15 中方案： （1）四城镇各建一个污水处理厂投资分别为：
C(1)=261 万元 C(2)=196 万元 C(3)=292 万元 C(4)=261 万元 总投资为 D(1)=C(1)+C(2)+C(3)+C(4)=1000 万元 （2）城镇 1,2 合作,在城镇 2 建一个污水处理厂，在城镇 3,4 各建一个厂 投资分别为 C(1,2)=409 万元 C(3)=292 万元 C(4)=261 万元 总投资为 D(2)＝C(1,2)+C(3)+C(4)=962 万元 （3）城镇 2,3 合作，在城镇 3 建一个污水处理厂，在城镇 1，2 各建一个厂 投资分别为 C(2,3)=422 万元 C(1)=261 万元 C(4)=261 万元 总投资为 D(3)＝C(1)＋C(2,3)+C(4)=944 万元 （4）城镇 3，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 1，3 各建一个厂 投资分别为 C(3,4)=494 万元 C(1)=261 万元 C(2)=196 万元 总投资为 D(4)＝C(1)＋ C(2)+C(3,4) =951 万元 （5）城镇 1，3 合作，在城镇 3 建一个污水处理厂，在城镇 2，4 各建一个厂 投资分别为 C(1,3)=511 万元 C(2)=196 万元 C(4)=261 万元 总投资为 D(5)＝C(2)+C(1,3)+C(4) =968 万元 （6）城镇 1，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 2，3 各建一个厂 投资分别为 C(1,4)=524 万元 C(2)=196 万元 C(3)=292 万元 总投资为 D(6)＝C(2)+C(1,4)+C(3) =1012 万元 这个费用已超过了城镇 1，2，3，4 分别建厂的费用，所以不可取。 （7）城镇 2，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 1，3 各建一个厂 投资分别为
模型假设：
1. 河道没有支流，即所有的工厂都在一条河道上。 2. 污水只能由上游往下游， 工厂的污水只能自己处理或运往下游处理， 不能运往上游处理。 3. 模型中每个工厂的位置都设有一个潜在的污水处理站，即每个工厂位置均为污水处理的 选址位置。 4. 污水处理站满足“全部处理或全不处理策略” ，即对某个排污点来说，它本身的污水加 上其他排污点传输来的污水，只存在两种可能的选择：全部就地处理或者全部传输到其 他排污点处理。 5. 模型不考虑地形因素，不考虑污水管线的管径（粗细） ，只考虑长度。
数学建模及 Matlab 软件实验报告
姓名 实验题目 学号 班级 数应 2 班 评分
Matlab 作图及在模型求解中的应用
实验内容 3：污水处理费用的合理分担问题 已知四城镇地理位置示意图如下
又已知污水处理后，直接排入河流。现四个城镇可单独建污水处理厂，或联合建污水厂 (联 0.712 合建厂时用管道将污水由上游城镇送往下游城镇 ) 。其中建厂费用 P1=73Q ，管道费用 P2=0.66Q0.51L，Q~污水量，L~管道长度。是确定建厂方案与建厂后的费用各城镇如何分担。
C(2,4)=427 万元 C(1)=261 万元 C(3)=292 万元 总投资为 D(7)＝C(1)+C(2,4)+C(3) =980 万元 （8）城镇 1，2 合作，在城镇 2 建一个污水处理厂，城镇 3，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理 厂 投资分别为 C(1,2)=409 万元 C(3,4)=494 万元 总投资为 D(8)= C(1,2)+ C(3,4)=903 万元 （9）城镇 1，3 合作，在城镇 3 建一个污水处理厂，城镇 2，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理 厂 投资分别为 C(1,3)=511 万元 C(2,4)=427 万元 总投资为 D(9)= C(1,3)+ C(2,4)=938 万元 （10）城镇 1，4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，城镇 2，3 合作，在城镇 3 建一个污水处 理厂 投资分别为 C(1,4)=524 万元 C(2,3)=422 万元 总投资为 D(10)= C(1,4)+ C(2,3)=946 万元 （11）城镇 1，2,3 合作，在城镇 3 建一个污水处理厂，在城镇 4 建一个厂 投资分别为 C(1,2,3)=606 万元 C(4)=261 万元 总投资为 D(11)= C(1,2,3)+ C(4)=867 万元 （12）城镇 1，3,4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 2 建一个厂 投资分别为 C(1,3,4)=689 万元 C(2)=196 万元 总投资为 D(12)= C(1,3,4)+ C(2)=858 万元 （13）城镇 1，2,4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 3 建一个厂 投资分别为 C(1,2,4)=621 万元 C(3)=292 万元 总投资为
实验总结： 从这个实验中可以看出从总效益中分配的份额最大，而从这个实验过程中，Matlab 作图及在模 型求解中的应用对我们以后的工作或者生活都很有用。
模型求解：四城联合建厂的效益为（万元） ，用
shapley 值方法计算这个效益的分配。城一应分得的份额φ 1（v）的计算结果列入表格。得到 Φ 1(v)=261 万元 Φ 2(v)=196 万元 Φ 3(v)=292 万元 Φ 4(v)=261 万元
回答：
看来从总效益中分配的份额最大。 在联合建厂方案总投资额中各城的分担费用为： 城 1 是 C(1)- Φ 1(V) 城 2 是 C(2)- Φ 2(V) 城 3 是 C(3)- Φ 3(V) 城 4 是 C(4)- Φ 4(V)
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D(13)= C(1,2,4)+ C(3)=913 万元 （14）城镇 2，3,4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂，在城镇 1 建一个厂 投资分别为 C(2,3,4)=600 万元 C(1)=261 万元 总投资为 D(14)= C(2,3,4)+ C(1)=861 万元 （15）城镇 1，2，3,4 合作，在城镇 4 建一个污水处理厂 投资分别为 C(1,2,3,4)=758 万元 总投资为 D(15)=758 万元 2.对于上述五种方案，比较结果以 D(15)＝758(万元)最小，所以从节约总投资的角度出发，应 该在城镇 4 联合建一个污水处理厂。 3.由以上十五种方案可知， 经过计算， 城镇 1,2,3,4 分担的费用分别为 261(万元)， 192(万元)， 292(万元) ，261（万元）城镇 1 分担的费用比单独建厂的费用（Xn）还大，显然不合理。所以 各城镇分担的费用应满足下列关系： X1≤261 万元 X2≤192 万元 X3≤292 万元 X4≤261 万元 X1+X2≤409 万元 X1+X3≤511 万元 X1+X4≤524 万元 X2+X3≤422 万元 X2+X4≤427 万元 X3+X4≤494 万元 X1+X2+X3≤606 万元 X1+X2+X4≤621 万元 X1+X3+X4≤689 万元 X2+X3+X4≤600 万元 4.对步骤 1 进一步分析，即我们应该让四城镇合作，共建一个污水处理厂，接下来的问题是怎 样分配每个城镇的费用。该方案的总费用包括城镇 1 至城镇 2 的管道费用 C(1→2)、城镇 2 至城 镇 3 的管道费用 C(2→3)、 城镇 3 至城镇 4 的管道费用 C(3→4)和在城镇 4 建废水处理厂的费用 C（4） （城镇 2 至城镇 3 的污水量包括城镇 1 至城镇 2 的污水量，因为该方案中城镇 2 没有污水 处理厂） 。 C(1→2)= C(2→3)= C(3→4)= C（4）=
0.51
0.51
城 3 至城 4 的管道费用 d 4 0.66 7
0.51
定义为特征函数，于是有 V(Φ ) =0 V(1)=V(2)=V(3)= V(4)=0 V(1∪2)=C(1)+C(2)-C(1,2) V(2∪3)=C(2)+C(3)-C(2,3) V(1∪3)=C(1)+C(3)-C(1,3) V(1∪4)=C(1)+C(4)-C(1,4) V(2∪4)=C(2)+C(4)-C(2,4) V(3∪4)=C(3)+C(4)-C(3,4) V(1∪2∪3)=C(1)+C(2)+C(3)-C(1,2，3) V(1∪2∪4)=C(1)+C(2)+C(4)-C(1，2,4) V(2∪3∪4)=C(2)+C(3)+C(4)-C(2,3，4) V(1∪3∪4)=C(1)+C(3)+C(4)-C(1，3,4) V(N)=C(1)+C(2)+C(3)+C(4)-C(1,2,3，4) 可验证：Φ 1(v)+Φ 2(v)+Φ 3(v)+Φ 4(v) =V(N)
模型建立：
下面的问题是如何分担费用 D1 总费用 D1 有四部分
联合建厂费 d1 73 (6 4 7 6)
0.712
681 万元 20 33 万元 20 20 万元 23 41 万元
城 1 至城 2 的管道费用 d 2 0.66 6 城 2 至城 3 的管道费用 d 3 0.66 4