高等数学第一章函数与极限试题

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高等数学习题-第1章-函数与极限(精品文档)

高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题）1、A下列函数中为奇函数的是；　；；答（）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是；；；答（）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。

答（）y xA x y xB x y xC x y x x y xD x y x x y x=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1010101010101()()()()4、C答（）；；；的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 1212)(2222+--++=+=++=+-=x x x x y D xxx y C x x y B y A x x5、A函数　是奇函数；偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值答（）f x a xa xa A B C D a ()ln()()()()()=-+>06、Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数；奇函数；偶函数；周期函数。

答（）　7、D设，，，则此函数是周期函数；Ｂ单调减函数；奇函数偶函数。

答（）　f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数；偶函数；有界函数；　周期函数。

答（）f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤⎧⎨⎪⎩⎪3330029、Bf x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333232在其定义域，上是最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；　非周期函数。

高数第一章练习题

第一章函数、极限与连续1.下列各极限正确的是( ) A.e xx x =+→)11(lim 0B.e xx x =-→)11(lim 0C.11sin lim =∞→x x x D.11sin lim 0=→xx x 2.下列极限中，正确的是（） A.cot 0lim(1tan )x x x e →+= B.01lim sin 1x x x→= C.sec 0lim(1cos )xx x e →+= D.1lim(1)nn n e →∞+=3.若1112()1xxe f x e-=+，则0x =是()f x 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D. 连续点 4.下列极限中，正确的是( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =∞→xx x C.∞=--→24lim22x x x D.1lim 0=+→x x x 5.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则,a b 满足( )A.2,a b =为任何实数B.21=+b aC.32,2a b ==- D.1==b a6.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小7.若21)2(lim 0=→x xf x ，则=→)3(lim0x f xx ( ) A.21B.2C.3D.318.若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x ( ) A.41 B.21C.2D.4 9.0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（） A. 1,12a b == B. 1,1a b == C. 1,12a b =-= D. 1,1a b =-=10.设12a ≠，则21lim ln _______(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦11.若0sin lim(cos )5xx xx b e a→-=-，则_______,______.a b == 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -时等价无穷小，则常数___.a =13.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等价无穷小，则=a .14.设3214lim1x x ax x b x →---+=+，则______,______.a b == 15.设2lim()3xx x c x c→∞+=-，则________c =. 16.求下列函数的极限（1）lim x →-∞（2）01cos3limtan x xx x→- （3）201lim 1cos x x →- （4）3lim()1x x x x +→∞+ 17.求极限20lim(13)x xx x -→-18.判断函数21arctan 0()0,00ln(1)x x f x x x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪>+⎪⎪⎩是否在0x =处连续?19.设函数10sin(),0x x x f x x x e αβ⎧>⎪=⎨≤⎪+⎩，根据α和β不同取值，讨论()f x 在0x =处的连续性？20.求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.21.求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型. 22.已知02x →=，求0lim ()x f x →. 23.设()f x 在[],a b 上连续，()()f a f b =，证明：至少存在[]0,x a b ∈，使00()()2b af x f x -=+. 24.证明：方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +.。

第一章高等数学(理专)题库函数与极限试题库1

第一章函数与极限试题库一1.填空题(1) 复合函数)1sin(2e +=x y 的复合过程为 .(2) 复合函数1lnsine +=x y 的复合过程为 .(3) 函数)1lg(5-+-=x x y 的定义域为 .(4) 设211x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则=)(x f . (5) =-→xx x πsin lim π . (6) =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→1221lim x x x .(7) 当∞→x 时，函数)(x f 与x1是等价无穷小，则=∞→)(2lim x xf x . (8) 已知22e 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x k ，则=k . (9) 函数331--=x x x y 的间断点为 . (10) 设函数⎩⎨⎧>+≤=,0 ,,0 ,e )(x x a x x f x 在点0=x 处的连续，则=a . 2．选择题(1) 函数43123+-+=x x x y 的间断点为（）. A. 0，1；B.0，2；C.1，2；D.0，1，2.(2) 函数1cos 2++=x x y 的奇偶性为（）.A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D.不确定.(3) 函数)2ln(92+-=x x y 的定义域为（）. A. )3,2(-； B.]3,1()1,2(--- ；C ]3,3[-.； D. ]3,1()1,2( -.(4)函数)3ln(1x xy +=的定义域为（）.A. ),0()0,(+∞-∞ ；B.),0(+∞；C.),0()0,3(+∞- ；D. ),3(+∞-.(5) 函数3sin x y =的图形（）.A.关于原点对称；B. 关于x 轴对称；C.关于y 轴对称；D.关于直线x y =对称.(6) 函数)(x f y =在点0x 处有定义，是极限)(lim 0x f x x →存在的（）. A.充分条件； B.必要条件；C.充分必要条件； D. 无关条件.(7) 极限xx x 1sin lim ∞→等于（）. A.0；B.1；C.∞；D.不确定.(8) 当∞→x 时，下列函数中为无穷小的是（）. A.x 1； B. 11-x；C.12+x ； D.x 2. (9) 下列等式成立的是（）. A. 1sin lim 20=→x x x ；B. 1sin lim 0=→x x x ；C. 1sin lim 20=→x x x ；D. 1sin lim =∞→xx x . (10) 极限xx x x sin lim 20-→等于（）. A.0； B.1；C.1-； D.∞.(11) 已知2e 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x a ，则常数a 等于（）. A.2-； B.2；C.21-； D. 21. (12) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,2,0,1sin )(x a x x x x f 在点0=x 处连续，则常数a 等于（）. A.2； B.1；C 1-； D. 2-.(13) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,,10 ,0,2)(2x bx x a x x x x f 在点),(+∞-∞内连续，则常数b a ,分别等于（）.A.0，0；B.1，1；C 2，3； D.3，2.(14) 设函数11)(+-=x x x f ，则点1=x 是函数)(x f 的（）. A.零点； B.连续点；C 可去间断点； D. 不可去间断点.(15) 设函数)0(sin )(≠=x x kx x f 在点0=x 处连续，且21)0(-=f ，则常数k 等于（）. A.21-； B. 21；C.2-； D.2. (16) 如果函数21u y -=与x u lg =构成复合函数，则x 的取值区间为（）.A. ),0(+∞；B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+101；C.)10,0(；D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,101.(17) 设函数　，，，⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+--=11132)(2x a x x x x x f 在1-=x 处连续，则=a （）. A. 0；B. 2-；C. 4-；D .2.(18) 函数)1ln()1(1)(2+-=x x x f 的不连续点（）.A. 仅有一点1=x ；B. 仅有一点0=x ；C. 仅有一点1-=x ；D. 有两点0=x 和1=x .(19) 函数)1ln(1)(-=x x f 的连续区间是（）.[][)[)∞+∞+∞+∞+，，，，，，，，1 .D );1( .C ; )2()21( .B ;221 .A .(20) 设 0,0,1arctan )(22⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x a x xx x f ，在0=x 处连续，则=a （）.A. 0；B. ∞；C. 1；D. 2π.3.解答题(1) 设1)1(42+=+x x f ，求)(x f .(2) 设53)1(2+++=+x x x f ，求)(x f .(3) 求函数x xy -=12的反函数.(4) 求函数x xy -+=11的反函数.(5) 求45143lim 223+++-→x x x x x .(6) 求x x xx x cos 2sin lim 22-+∞→.(7) 求1231lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x .(8) 求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→23lim . (9) 求112lim 2423-+-+-∞→x x x x x x . (10) 求ααα--→x x x tan tan lim. (11) 求2411lim 0-+-+→x x x . (12) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=,0 ,2,0 ,tan )(x x x x kx x f 在点0=x 处连续，求k . (13) 证明方程033=++x x 在区间)2,2(-内至少有一个实根.(14) 证明方程033=-+x x 至少有一个正根.(15).证明方程12=⋅x x 在区间)1 ,0(内至少有一个根.。

高等数学题库第01章(函数,极限,连续).

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

函数与极限练习题

函数与极限练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。

[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)([ ]3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。

[ ]4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。

[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。

[ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。

[ ]7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。

[ ]8、f(x)=1+x+2x 是初等函数。

[ ] 二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln xey = （B ）2x y = （C ）44x y =（D ）x x y sgn =2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。

（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ϕϕ则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。

(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C));()(x f x f + (D) )].([x f f -三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。

1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

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《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。

高等数学_第1章_函数与极限_计算题_204_答

高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______题号计算题总分题分 200 核分人得分复查人一、计算题（共 200 小题，100 分）1、f x x x xx x x x x ()sin sin sin sin cos sin sin (cos )=+-=-=--523232232312 =-⋅432sin sin x x4分而lim()limsin sin x x f x xx xx→→=-⋅=-03234312 7分所以取，，即A n g x x =-==-123123() 则当时，x f x g x →0()~()10分2、f x x xx()ln()ln(=++++111222=++++12111222l n ()l n ()x xx3分而lim()limln()limln()x x x f x xx xx xx→→→=++++02222221211=+=121328分所以取，，即A n g x x ===322322()则当时，x f x g x →0()~() 10分3、[][]原式=-+-++--→lim()()x x x x 313121231335分=+--------→→lim()lim()x x x x x x 3331313123138分=--+⋅--→→lim ()lim ()x x x x x x 33123313233=-=-12231610分4、原式=⋅→lim x nax x17分 =a n10分5、原式=---+-→→lim()lim ()x x x xx x12131411615分=⨯--⨯→→lim ()lim x x x xx x124136 8分=--=-()22410分6、原式=+-+---+→→limlimx x x x xx x x2215121312 5分=⋅+-⋅-+→→lim ()lim ()()x x xx x x x x 0012521232 8分=+++=+=→→limlim x x x x 005223225434210分7、证，则当时，αβαβ=+=-→-→arctan()arctan()1100x x x)1)(1(1)1()1(arctantan tan 1tan tan arctan)(x x x x -++--+=βα+β-α=β-α　且 3分)1)(1(1)1()1(~)1arctan()1arctan(x x x x x x -++--+--+[]因此，原式=+--++-→lim()()()()x x x x x x 011111 7分=+-=-=→→lim()limx x x x x x2221122110分8、原式=+→∞lim (tan)n nn1222π4分=+→∞⋅⋅lim (tan)tantan()n nn nn12122222πππππ 7分=e π2210分9、limlim()!()!n n nn n n nnx x an n na n →∞+→∞++=⋅++⋅⋅11111 4分=+→∞lim()n na n 11 7分=a e10分10、原式=-------+--→limx mn mn xx x x x x x x 1111111117分=-+m n m n10分11、原式=⋅+++→+∞lim x xx x xx11 8分=⨯=01010分12、)431ln(ln )751ln(ln lim22636xx x xx x x +-++++=∞→原式8分=++++-+→∞lim ln()ln ln()ln x x x x x x x3157113436222=310分13、原式=++→+∞limln ()ln ()x xxxxee ee22333223=++++→+∞--limln()ln()x x xx e x e23232323 5分=++++→+∞--lim ln()ln()x xxx e xe21323123238分=2310分14、证 s n n n s nnnn s n n n nn n n =+++++<+++=>+++=111212111112121214222222222()()()()()()ns n n 141<<即有6分)2(1)2(1)1(1lim 01lim 041lim222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++==∞→∞→∞→　因此，而n n n n nn n n 10分15、0111111232333233≤+≤+<-<+<n n n nn nnn n n nsin !sin !即 7分而，lim ()limn n nn→∞→∞-==101033因此limsin !n n n n →∞+=231010分16、证有又有s n n n ns n n n ns n nn nn nn n nn n n =++++++<++++=>++++++=+11121111111112222222即：n n ns n 21+<<6分而，所以limlim lim lim ()n n n n n n n ns n n n n→∞→∞→∞→∞+===++++++222211111121=1 10分17、因为02212224<=⋅≤nn n n!6分而所以limlim!n n nnn →∞→∞==40210分18、原式=+--→limtan (tan )(tan )sin()x x x x x ππ33334分=+⋅--→→lim tan (tan )limtan sin()x x x x x x πππ33333=-⋅⋅-→63333limsin()cos cossin()x x x x ππππ 8分=⋅-⋅611212()=-2410分19、01000110011011110100lim3232=+++++=∞→xx x x x x x 原式20、当原式n n nx xn ≥=-++→∞21112lim(cos)(cos)(cos)πππ5分=+⋅→∞limcossin()n nn nππππ22217分=π2210分21、原式=⋅→∞--lim sinn n n 22211πππ7分=2π10分22、原式=⋅→∞limsinn e n e ne7分=e10分23、证：，则于是αααπαα=+=+-=-+=+-++=+arctantan tan()tan tan n nn nn n n nn 114111111121所以　απ-=+4121arctan n 5分故原式 =+⋅+=++⋅++→∞→∞lim (arctan)limarctann n n n n n n n 121112112112122 =1210分24、原式=+→lim ln()x x x 01133分 =+→⋅lim ln()x x x 0133138分==ln e 3310分注：直接用也可！limln()ααα→+=01125、)cos sin 1(tan cos sin 1limx x x x x x x x ++-+=→原式 5分)t a n c o s 1t a n s i n (21limxx x x x x x x -+=→ 8分=+=1211234()10分26、xx x xx x 2sin2lim2sin4lim2→→==原式 3分12sin2lim-=-→x x x 而12sin 2lim=+→xx x 8分不存在－因此xxx cos 22lim→10分27、原式=+-+-→limsin cos sin cos x xx x x px xpxx11 7分=++=1001p p10分28、原式=--→limsin cos sin cos ()cos cos x x x x x xαααα 4分=--⋅→limsin()cos cos x x x x xααα1 7分 ==122c o s s e c αα10分29、原式=+-++++→lim(tan )(sin )(tan sin )x x x x x x 031111 5分=-→12103limsin (cos )x x x x=⋅-→12102lim sin cos x x x xx7分 =1410分30、原式=⋅+→limsin ()cos x ax ax aax2221 7分=a2210分31、原式=-→lim cos sin x x x x1 4分 =⋅⋅→lim sin sin sin cos x x x x x x17分 =1210分32、f x ax x ax x a ()()()()()=+-+-12113分()lim ()lim1121111当时，a f x x x x x ==--=∞→→ 5分()lim ()lim2211112111x x f x x x aaa →→=--=-==-得7分()lim ()()lim ()lim ()31210012121212x x x ax x f x x a a →→→+-=>-=-=故欲使，必须即a =129分lim ()lim ()()()()x x f x x x x x →→=+-+-=121212121121122 10分33、原式 =⨯=→lim x x x431210(()~)x x x →+-⨯0131434，34、原式=+--+→→lim ()lim()x x x xx x53121145分 =⨯-⨯→→lim limx x x xx x52347分=-=-1012210分35、原式=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→lim ()()x a mmn na x a a a x a 12115分=⋅-+---→am x a xx a a m nx anlim()()211=⋅⋅-⋅--→am x aa n x a am nx alim2 8分=-2m anm n10分36、2422321)1(lim1)1(limxx xx x x ----+=→→原式 5分=⨯-⨯-→→lim lim()x x x xx x222234 8分=+=34710分37、原式=---------+-⋅+---⋅-→lim ()()()()()()()()x x x x xx xx x 03523121221111414413133 7分=-⨯--⨯⨯+-⨯=()()()231542331 10分38、原式=+++-→lim()()x x x x 0255556分=++=→lim ()x x 02554510分39、)5215)(2)(2()52()15(lim2++-+-+--=→x x x x x x x 原式5分=--+-++→lim()()()()x x x x x x 232225125 8分=+-++=→lim()()x x x x 23251251810分40、原式=+--++++→lim()(())x x x x x 22333282322324 5分=++++→lim()x x x 223333223248分=1410分41、原式=---+→lim()()()()x x x x x 22322 6分=-1410分42、原式=-+--++-→lim()()()()x x x x x x x x 12321213 4分=-+-++→lim()()()()x x x x x x 1212123 7分=1210分43、因　故即lim ()lim()lim ()x x x f x f x xx x xa a →-∞→-∞→-∞==-+-=--=0045102故a =14分由得lim ()lim ()x x x x x b b x x x →-∞→-∞-++-==-++2245045 =-+-+-=--++→-∞→-∞limlimx x x x x xx xx4545451451228分=+=4112 10分44、原式=-⋅-+→limtan tan tan tan x xx xxπ422111 5分=+→limtan (tan )x x x π4221 8分=1210分21)4(2)4(lim)4(2cot )22cot(2tan 4=-π-π=-π=-π=π→x x x x x x 原式或解：45、当时：010<<=→+∞a ax xlimlimx x xaa→+∞+=1025分当时，a ax x>=→+∞-10lim limlimx x xx xxaaa a→+∞→+∞-+=-+=11022 9分综上述得：　，lim()x x xaaa a →+∞+=>≠1001210分46、原式=--+→∞lim ()()()x xxx433267234258分=⋅436345=2310分47、原式=+++++-⋅→∞lim ()()()()()()x x xxxxx1121314151532222222223357分=⋅⋅⋅⋅=23455218522223510分48、原式=-----++→∞lim()()()()()()()x xxxxx xx 11213141512332328分=⨯=5235332!10分49、limlimx x xxxx xxee eee e→+∞--→+∞---+=-+=23423412323255 4分31432lim432lim552323-=+-=+--∞→--∞→xx x xxxx x ee eee e－而 7分.432lim2323不存在因此xxxx x eee e--∞→+-50、原式=-+-+-+-+→-∞lim()()x x x x x x x 48521485212225分=-+-+--→-∞limx x x x x 124485212=--+++→-∞limx xxxx1244852128分==124310分51、[]原式=++---++++→+∞lim()()x x x x x x x x x 22225212515分=++++→+∞limx x xx41251128分=210分52、原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x xxxxxx 11213110110111122226分=++++⨯12310101122228分=⨯⨯⨯⨯=101121610117210分53、原式=+⋅-→∞limcos sin x x xxx2131 6分=2310分54、)1121(lim --+=+∞→x x x 原式 5分=⋅-→+∞lim ()x x x 12218分=-=→+∞limx x111110分解：原式2111111=⋅+--+-+→+∞lim x x x x x x 5分=-⋅+-+→+∞limx x x x x 2111118分=+=2111 10分55、[]由lim ()x x x ax b →+∞++-+3472=-+-+-++++=→+∞lim()()()()x a x ab x b x x ax b 3227347022224分有　得 3002032332-=>-=⎧⎨⎪⎩⎪==a a ab a b 6分而lim lim()x x x x x x x x x x →+∞→+∞++--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-++++3473233743347323322=-++++→+∞lim()x x xxx743347323328分==173231718310分[]解法：由得234703473022lim ()limx x x x ax b x x xa b xa →+∞→+∞++-+=++--=-=a =3 4分即b x x x x =++-→+∞lim ()34732=++++==→+∞limx x x x x4734732323326分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++∞→)32(3743lim 2x x x xx 而 )32(3743)347(lim2++++-=+∞→x x x x x 8分==173231718310分56、原式=-+=-→∞+limn nn 210331021015157、原式=-+--+++-++→∞lim()()n n n n n n n n 121121212335分=⋅-+→∞1332lim()n n n 8分 =-110分58、原式=--+-→∞lim()n n n n n n12121212 5分=-++-→∞lim()n n n n n n22121112 8分==→∞12214limn n n10分59、原式=++++-++-→∞lim()()()()n a n b n b n a n 122221 5分=+-+++++-→∞a b b n n a n nn 12112221lim 8分=+-a b 122()10分60、n nn n 1)32()31(3lim ++=∞→原式 7分 =3 10分61、原式=+-++++→∞lim()()()n n n n n n n 111 5分=++=→∞limn n n11010分62、原式．=++-+=→∞limn n n nn143351132263、原式=+==→∞limn n n10000110164、由()11112-=-⋅+kk k k k 5分原式=⋅⋅-⋅+→∞lim ()()()n n n n n1232234311=+→∞lim n n n 1218分 =1210分65、当时，因为a an n<=→∞10lim所以limn nnaa→∞+=20 5分当时，因为a an n>=→∞11lim ()11)1(21lim2lim=+=+∞→∞→n n nn n aaa所以 10分66、[]原式=+--+-+-+-+→∞lim()()n n n n n nn n n n 43424336213611 5分=+-+-++-+→∞lim()()n nnnnnn3271361111348分=3210分67、原式=++--+++-→∞lim ()()n n n n n n n 222451451=++++-→∞lim()n n n n n 6445125分=++++-→∞limn nnnn641451128分==62310分68、原式=+--+++→∞lim()n n n n n n 21215分=+++→∞limn n n11211 8分=1210分69、原式=+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()n n n n n 121222 5分=-+→∞lim()n n n 22 8分=-1210分70、原式=--→∞lim()()n a n n n n 231216 5分=--→∞lim()()n a n n2112168分=a2310分71、原式=-+-++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()()()n n n 11212131114分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→111lim n n8分 =1 10分72、原式=-+-++--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim()()()n n n 121131315121121 6分=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞limn n 121121 8分=1210分73、因为1111121111()()()()a n a n a n a n a n a n +-+++=+⋅+--++=+-+-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥121111()()()()a n a n a n a n5分故原式=+-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞121111lim ()()()n a a a n a n 8分=+121()a a10分74、证则 S q q nqq S q q q nqS qS q S q q q nqn n n nn n n n n=++++⋅=++++-=-=++++---1232311212321()S q qq nqqn nn=-----111122()()5分因为，lim lim n n n nqnq→∞→∞==00 8分故原式==-→∞lim ()n n S q 11210分75、因为2122122321n n n nn n-=+-+- 2分故原式 =-+-+-+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-lim ()()()()n n nn n 3525274749162122321 5分=-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥*→∞lim ()n n n 3232 8分 =3 10分注：当，当　故．这段不推证不扣分n n n n n n n n n n nn n n>≤++-<-→∞-==→∞→∞121122121020()lim lim76、原式=+⋅-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ()n n 53237分 =510分77、原式=+---→∞lim()()n nnb a a b b a3232 7分=1a10分因为　-<b a178、当时，有x x >+>011f x x x x x x n nn ()lim()()=+++++=→∞11115分当时，x f ==0012() 8分⎪⎩⎪⎨⎧=>=0210)( x x x x f ，当，当因此10分79、令，解得：x x x ()12112-<-<< 3分当时，-<<-<12121x x x ()f x xx x x x x n n n n ()lim()()=----=-+→∞+++1121122211126分当时，极限不存在x x ()121-≥9分因此，f x x x x ()=-+-<<2212210分80、)!1(1!1)!1(11+-=+-+=k k k k b k k 因为4分于是 S n n n n n =+++++=-+-++-+12233411121213111!!!()!(!)(!!)(!()!)=-+111()!n 8分1)!1(11lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→n n 故原式 10分81、当时，x x n n<=→∞10limf x xxn n n()lim=+=→∞10 3分当时，x xn n<=→∞110limf x xxxn n nn n()limlim=+=+-→∞→∞11111 6分当时，x f x ==112() 8分因此，当，当，当f x x x x ()=<=>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪011211110分82、当时，＋x xf x x x x x x xx n n ≠<=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-0111111222221()lim ()() =-+-+→∞lim()n nx x xx11111225分=-+xx11128分=+==x xx f 1000当，()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 001)(x x x x x f ，，因此： 10分83、令，即ϕ()x x x <-<-+<113312解得：12<<x4分f x f x x x n n n n ()lim ()lim()()==--→∞→∞+111ϕϕ =--+<<132122x x x 8分当或时，不存在x x f x ≤≥12()10分84、当时，无意义当时，当＝时，x f x x f f ===--=0111110()()()当时，011<<=x f x x() 5分当时，x f x x >=12()8分综上所述，，当，当，当，当，当f x x x x x x x x x x ()=-∞<<-=--<<<<≤<+∞⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪22101110101110分85、21)(1ln )(02==±==x f x e x x f x ，，当无意义，当当，，无意义x e ex f x =±=-ln ()21 3分)(1ln 0)(1ln 022=>>=><<x f x e x x f xee x ，，当，，当1)(1ln 2=<<<x f xe x ee ，，当9分⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>=<<=e ex e x e x e x e ex f 00211)(；，当，当，当因此：10分86、()()sin cos()cos()cos()11211121121 当　当当当f x x x x a bx x a b x a b x =>+<++=+-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪π6分()()()cos()lim ()()cos()lim ()()cos()210110111111　，，当且仅当同量，当且仅当f f a b f x f a b f x f a b x x +=-=+=+==--=→+→- 解：a b m a b k a +=-=<<⎧⎨⎪⎩⎪2202πππ9分得：，　为任意整数a b m m ==-ππ()()2110分87、当时，x f x xx xx xn n n<=-+=-+=-→∞+11001212()lim4分当时，x f x xx xx xxxn n nn n n>=-+=-+=→∞+→∞-11111212212()limlim8分当时，因此　，当，当，当x f x f x x x x x x ===-<>=⎛⎝101101()()10分88、因为：sin sin sin cosn n n nn n+-=+-++1212123分而2122cosn n ++≤5分lim sinlim sin()n n n nn n →∞→∞+-=++=121210 8分21cos221sinlim =++⋅-+=∞→ 故原式nn nn n 10分 89、lim ()x x→-=02103分又＋1221221211xx=+<6分因此limx xx→-+=0121220 10分90、因为arctan x <π23分而lim arcsinx x→∞=106分故lim arctan arcsinx x x →∞⋅=1010分91、因为111+<e x3分而limx x→∞=106分故lim()x xx e →∞+=11010分92、因为21222x xx x+≤= 3分而lim arctanx x→∞=10 6分故limarctan x x xx→∞+⋅=2110210分93、因为0112≤+≤sinx3分而lim x x →=06分故lim sinx x x→+=0110 10分94、原式=-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→+∞lim sinln ln()sinln ln()x x x x x 21212 4分=+⋅+→+∞lim sin lnsin ln x x x x x 2125分因为lim sin lnx x x→+∞+=10　而sin ln x x 21+≤8分 []所以lim cos ln()cos ln x x x →+∞+-=1010分95、原式 =⋅=⋅⋅→→→limsin sinlimsin lim sinx x x x x x xx xx x11 5分而limsin limsin x x x xx x→→==01又lim sinx x x→⋅=010 8分因此：原式=010分96、原式=+--+---→lim()()()x x xx xx x5721311211217分=⨯-⨯-⨯=-3527221410分97、原式=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞+-lim ln x x x x x e 211114分=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞lim ln x x x x x 2111 6分=+--→∞limln()ln()x xx x11111 8分 =--=112() 10分98、原式=-→+limln(sin )x x x x ex1314分=+→lim ln(sin )x x x x x31 7分 ==→limsin x x x x2110分99、原式=-→limsin ln cos x x xe x314分=→limsin ln cos x x xx36分 =⋅-→lim sin cos x x x x x218分 =-1210分100、[]由知lim (lim ()x x x x a b x b a b →→+-+=++=+=11313020得：a b =-24分原式 =--+-+=--+++-→→lim()lim()()()x x b x x x b x x x x 111313131321=-=24b8分因此 b a =-=2410分101、由，知，lim ()x f x a b →∞===1014分由知lim ()limlim ()x x x f x x cx d x x x cx d c d →→→=+++-=++=++=112212210即c d =--1 5分于是得　而有limlimlim ()()()()x x x x cx dx x x x dx dx x x x d x x dd c d →→→+++-=--++-=---+=-===--=-12212212211213112因此：，，，a b c d ===-=0121 10分102、0)(lim )1()1()1(3)( 1224=------+=→x f x x c x B A x x f x 则记得，即lim()()limx x x f x A x →→-==+=121410323分又由得lim ()()limlim()()(x x x x f x B x x x x x →→→-==+--=--++114144103211132 =+++=→1411132lim ()x x x x7分再由得　lim ()lim()()lim()()lim()()x x x x f x C x x x x x x x x x x x x →→→→==+----=+-+-=--+-+++114214214224321131122131=+--=++====→→1412114225421541212lim()()lim ()x x x x x x x A B C 因此，，， 10分103、原式=++→∞lim()()x x x x x62363232238分=27410分104、原式=+→∞lim()x nn x x82122 6分=+→∞41112limx nx8分=410分 105、()101　，p q ==3分 ()20　p q ==6分()lim ()lim ()limlimlim ()35045255501555555151155252525　由知得：而　x x x x x x px x p q q p px qx x px px x x px p →→→→→-=++=++==--++-=--+-=-=-=于是：，p q ==--=-25123 10分106、原式=++-++-→limx xx xx0223112424分=++++++→limx x xx x223112428分=3210分107、原式=+⋅+-+---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→→lim lim ()()x x x x x x x00131415161121 7分=⋅⨯+⨯=1561321412() 10分108、原式=-+-+→lim()()()()x x x x x 1221211 6分=++=→limx x x 1213210分109、()lim()lim111112112u u f u u u u →→--=--= 2分()lim ()lim (sin)21110x x u x x x →→=+=4分[]()()()(sin )sin()31111111101102而在点的任意小的去心邻域内都存在点，属该邻域而使分母f u x u x x x x xx x n u x n n --=+-+-==-=π[]从而导致无定义f u x u x ()()--118分[]故无意义lim()()x f u x u x →--01110分110、原式=+-+-→lim(()cos )sin x xx x x x221211 4分=-+→+lim sin ln()x x x ex1221126分=++→lim sin ln()x x x x 0212128分 =+=2125210分111、12121111121121111211x x x x x x x y x x x x n n n n n nn n n n nn ++++++++=+=+=-=-()()， 2分y x x ba y xx x x b a1212322111111112111211=-=-=-=--=--()()y x x n n n n =-=-+-()()1112114分lim ()lim ()n n n n y ba→∞→∞-=--=1112015分又y y y x x ban n n 12112111111121412+++=-=--+-+-+- ()(()7分lim()n n x ababaa b ab→∞+=+-⋅+=+=+1111111223132319分∴=+→∞lim n n x ab a b32 10分112、解答要点原式=+⋅+→∞limln()n n nnn12111 7分=13分 113、解：原式=+-→+∞lim sin ()n n n n π223分=⋅⋅++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→+∞lim sin n n n n π2225分=++→+∞limn n n n222π 8分=++→+∞limn n21212π 9分=π 10分114、原式=⋅+-→∞lim lnn n n n 2121 3分 =+-→∞lim ln()n n n 12215分=+--⋅-→∞limln()n n n n n 12212212218分=⨯=11110分115、解法一：若是的可去间断点，则存在x f x f x x =→00()lim ()2分从而lim ()sin lim(sin sin sin )x x f x x x x a b x →→⋅=++--=020210故a x x b x x =++-=→lim(sin sin sin )02115分再由得lim ()sin lim (sin sin sin )x x f x x x x xb →→⋅=++--=02011即b x x x x =++++=→limsin sin sin 02111129分故当，时，是的可去间断点a b x f x ===1120() 10分解法二：若是的可去断点，则必极限存在x f x f x x =→00()lim () 2分而　所以必须lim sin lim(sin sin (sin ))x x x x x a b x →→=++-+=0220105分[]求得：，此时 a f x x x b x xb b xxx x b x x x x ==++-+=-+-++++→→→1111211102222lim ()limsin sin (sin )sin lim()()sin sin sin sin (sin )仅当，即时，上面极限存在12012-==b b9分综上述，，时，是的可去断点a b x f x ===1120()10分116、f x x x x x x x f x ()()()()()=+--==11101，与是的间断点 4分因为：lim()()()x x x x x →+--=∞0111所以是的无穷间断点x f x =0() 7分而lim()()()x x x x x →+--=11112所以是的可去间断点x f x =1() 10分 117、(]f x ()()的定义域为，，-∞1123分 x f x =1是的间断点()5分lim ()lim()()x x f x x x x →→=---=∞11214所以是的无穷断点x f x =1() 10分注：将作为间断点者，扣分x =43118、x x f x ==01及是的间断点() 4分由于lim ()limcos()x x f x xx x →→=-=∞021π 所以是的无穷间断点x f x =0() 7分而令limcos()limcos()()limsin ()x t t xx x t x t ttt t →→→-=-++=-+=-100211221212πππππ所以是的可去间断点x f x =1() 10分 119、x f x =±±012，，，时，没有定义 ()3分)sin()2(lim 1sin 1lim )(lim 0211t t t x t x x x f t x x π+π+-=π-=→→→令由于=+-⋅=-→lim()sin t t ntt 02212πππ5分lim ()limsin lim()sin()x x t f x x xt x t t t →-→-→=-=+--112112πππ令 =--⋅=→lim()sin t t t t212ππππ7分所以是的可去间断点x f x =±1()8分的无穷间断点均为，，，)(320x f x ±±=10分 120、x f x =±±012，，，没定义 ()1分由于 lim ()limtan limtan x x x f x x xxx →→→==⋅=11πππππ所以是的可去间断点x f x =0()4分 x f x =±±12，，均为的无穷间断点 ()6分x k f x =±±±-1232212，，也是的间断点 () 7分且故，，是的可去间断点limtan ()x k x x x k f x →-==±±±-3121232212π10分121、x f x =0时，没定义()2分因为f ()0032-=5分f e ee e x x xx x x()limlim002332233200110011+=++=++→+→+ =238分所以是的跳跃间断点x f x =0()10分 122、x f x =0是的间断点()2分因为，f f ()()000000-=+=6分即lim ()x f x →=08分所以是的可去间断点x f x =0()10分 123、x x x f x ===012，及是的间断点() 3分因为　限：lim ()limln limln()()x x x f x x x x x x x →→→=-=-=-<<011101所以是的可去间断点x f x =0()5分lim ()limln ()x x f x x x x f x →→=-==1111所以是的可去间断点 8分因limln x x x →-=∞21所以是的无穷间断点x f x =2() 10分124、x f x x f x >==<=-=-012012时，时()arcsin ()arcsin()ππ所以的连续区间为，及，　时没定义f x x f x ()()()()-∞+∞=0005分而　f f x f f x x x ()lim ()()lim ()0020020000+==-==-→+→+ππ所以是的跳跃间断点x f x =0() 10分 125、x f x =±01，是的间断点()3分因为lim ()lim arctanx x f x x x→→=-=0110所以是可去间断点x =05分而　f x x f x x x x ()lim arctan()lim arctan10112101121010+=-=-=-=-→+→-ππ所以是跳跃间断点x =18分f x x f x x x x ()lim arctan()lim arctan-+=-=--=-=-→-+→--10112101121010ππ所以也是跳跃间断点x =-1 10分 126、x x x f x ===-011，，是的三个间断点()3分f x x x x xx x x x ()()()()=+-=-+≠≠11111101　，lim ()x f x x →=-=010，是可去间断点6分 lim ()x f x x →==101，是可去间断点8分 lim ()x f x x →-=∞=-11，是无穷间断点10分 127、) , 2 , 1 , 0(n ±±=π=n x 是)(x f 的间断点。

高等数学第一章综合测试卷含答案

第一章函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ）连续点（B ）第一类非可去间断点（C ）可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ）三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、此时,()()x x αβ7、当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2；（B ）()0,2；（C ）[)(]0,11,2 ；（D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在（D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）无穷间断点（D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( D )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( C )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( C )。

A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( C )A.1；B.∞；C.2-e ；D.2e7．极限：∞→x lim 332xx +=（ A ）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ C ） A.0； B.∞； C21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13.若)(x f y =在点x 连续，则f )]()([lim 0→-0x f x f x x =______f ’(xo)_________；14. =→xxxx 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n)21(lim _______e*e__________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____()()x x x x f 25lg 12-+-+=17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是全体实数 ,值域是大于等于018. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→　x (11-+x x )x; 25.求lim　x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。

高等数学习题_第1章_函数与极限 - 副本

高等数学一、选择题（共 191 小题，100 分）22、为时，，则当设函数)(01sin )(x f x xx x f →=）答（．无穷小量．　．有界，但非无穷小量．无穷大量．无界变量D C B A ;; ; 24、是时，，则当设函数)(1cos)(x f x xx x f ∞→= ）答（．无穷大量．．无穷小量；；．无界，但非无穷大量．有界变量； D C B A33、的是时，当3)cos 1(sin 0x x x x -→答（）．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；等价无穷小；．冈阶无穷小，但不是 D C B A34、比较是（　）与时，当2)cos 1(sin 20x x x x -→ 答（）．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；；．冈阶但不等价无穷小 D C B A36、是下列极限中，不正确的答（）．．；．；．；．0)1sin(lim 0)21(lim 0lim 4)1(lim 11013=-===+→→→→--x x D C e B x A x x x xx x 37、的值为存在，则，且，，设k x f x x x xkx x f x )(lim 030tan )(0→⎪⎩⎪⎨⎧≤+>= 答（）．．；　．；　．；　．4321D C B A38、，则，，设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>-=0110cos 1)(1x e x x x x x f x 答（）存在．不存在，．不存在；存在，．；．；．)(lim )(lim )(lim )(lim )(lim )(lim 0)(lim 000x f x f D x f x f C x f x f B x f A x x x x x x x -+-+-+→→→→→→→≠=39、　）答（．不存在．；　．；　．；　．，则，，，设函数D C B A x f x x x x x e x f x x 011)(lim 0cos 0 10 2)(0-=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=→40、答（）．．；　．　．；　．的值为，则已知2277516lim 21--=-++→D C B A a x ax x x41、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）lim x x x c x C A B C D →-+-=--12311112344、下列极限计算正确的是．；　．；．；　．．答（）A x xB x xx xC x x xD n e n n n x x n nlim lim sin sin lim sin lim()→∞→→∞→→∞+=+-=-=+=22032111011245极限的值为．；　．；　．；　．．答（）lim x x x x x A B C D →-+-+2226881201122 48、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）limsin ()x kxx x k A B C D →+=----0233326650、极限．；　．；　．；　．．答（）limsin x xx A B C D →-=-∞ππ10151、极限的值为．；．　．　．．答（）limtan sin x x xxA B b C D →-∞03011253、极限的值是．；　．；　．；　．．答（）lim x x x x A B e C e D e →∞----+⎛⎝ ⎫⎭⎪212112112254、极限的值为（　）．；　．；　．；　．．答（）lim()x x x x A e B e C e D e →∞+---+114224455、答（）．．；　．；　．；　．极限22101)21(lim e D e C eB e A x xx -→=-56、下列等式成立的是．；　．；．；．．答（）A x eB x eC x eD xe x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=121111112222221257、极限的值为．；　．；　．；　．答（）lim()x xxA eB eC eD e→∞---1122141458、已知，则的值为．；　．；　．；　．．答（）lim()x xkx e k A B C D →+=-01111122 60、）答（．低阶无穷小量．．高阶无穷小量；量；．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量当D C B A x xxx 12111-+→61、答（）．．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→62、极限．；　．；　．；　．．答（）lim(cos )x xx A B e C D e →-=112120164、下列极限中不正确的是．；　．；．；．．答（）A x xB xx C x x D xx x x x x lim tan sin lim coslim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==011232322121120ππ65、答（）．．；　．；　．；　．的值为（）极限23326103sin 3cos 1lim0D C B A xx xx -→66、极限的值为（）．；　．；　．；　．．答（）lim ()x x xe e x x A B C D →--+021012367、极限．；　．．；　．．答（）lim(cos )x x x A B C D e →-=1120170、答（），　，，　，，则必有设.104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x71、（）答高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（），则当，设.)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x xxx αββαβαβα→-=β+-=α72、答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于之值.)( ; )(;0)( ; 1)(11sin limD C B A xx x →73、答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→75、若，当时为无穷小，则，　，，　，答（）f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=211111111176、f x x xx A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()=⋅<<+∞→+∞→+∈+∞→+110000　当时为无穷小当时为无穷大当，时有界当时不是无穷大，但无界．答（）77、设，，则当时　与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln()~()()()x xarcctgx x A B C D 1答：（）78、答（）小量的是时，下列变量中为无穷当1)1)((ln 1)()1ln()(1sin 1)(0122-+-+→x D x C x B x x A x79、　）答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→ 80、当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是答（）x A x x B x C x x D e exx→++---+--0111222()ln()()()tan sin ()81、当时，在下列无穷小中与不等价的是答（）x x A x B x C x x D e exx→-++--+--01211122222()cos ()ln ()()82、设　当当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数答（）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=======→11003336336083、设，当，当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数答（）f x x x bx x a x f x AA a b AB a A bC b A aD a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=⎧⎨⎪⎩⎪===-====-=→212111434443484、答（）可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，，当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→85、aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当，　，当设答：（）86、ab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，当，当设)()()(1)()(lim 001)(0答：()88、以下极限式正确的是答（）()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=00111111111191、lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值不存在但不是无穷大答（）99、lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）102、答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx =+→111、（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→112、答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x 114、lim ()lim ()()x x x x f x f x a f x x x A B C D →→--===0000，是函数在处连续的（）．充分条件　．必要条件．充分必要条件　．既非充分又非必要条件答（）115、函数，，，在点的连续性是（）．连续；．左连续，右不连续；．右连续，左不连续；．左右都不连续．答（）f x e x x x A B C D x ()=-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=-101001116、）答（．．．．（）．处连续，则　，在，，设函数2420111132)(2D C B A a x x a x x x x x f --=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+--= 117、）答（．．．．的值等于（）处连续，则在若，　，设函数2121120)(020cos )( 2-=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=D C B A a x x f x x a x x e x f x118、　）答（．．．．（）点连续，则　，在，，设eD e C e B e A k x x ke x xxx f x 21222000cos 1)(1==⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-119、）答（．．．．的最大的取值范围是点连续，则　，在，　，若函数100100001sin )(>>≥≥=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=K D k C k B k A k x x x x x x f k 120、答（）．．．．（）处连续，则在　，如果，，设函数43210)(020cos 3)(D C B A b x x f x b x x x x f ==⎩⎨⎧≥+<= 123、答（）．．．．的值是（）处连续，则在　，则，，设21210)(020tan )(--=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=D C B A k x x f x x x x kxx f 124、（）答，，．　，，．，，．，　，．处不连续的是（）下列函数在⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=⎩⎨⎧<-≥+=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎪⎩⎪⎨⎧====-01)1(2012)(00)1ln()(0001sin )(000)(0221x x x x x x f D x x x x x f C x x xx x f B x x e x f A x x设，　，，　，则在处（）．连续；．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续；答（）f x x x x x e x x f x x A B C D ()sin ()=>=+<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=0101110126、设，，，　，则在处（）．连续；．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续．答（）f x xxx x x e x f x x A B C D x ()cos ()=->=--<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪=1012011200 127、[]下列函数在点连续的是（）．；．，，　．，，　．．答（）x A f x x x B f x xxx x C f x x xx x D f x x x ==≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=001010001()()()sin ()sin128、下列函数在处不连续的为（）．．，，．，，．，，答（）x A f x x B f x xxx x C f x x x x x D f x xxx x x ===≠=⎧⎨⎪⎩⎪=≠=⎧⎨⎪⎩⎪=><⎧⎨⎪⎩⎪001001000()()sin ()sin ()sin cos函数的不连续点（）．仅有一点；．仅有一点；．仅有一点；　．有两点和．答（）f x x x A x B x C x D x x ()()ln()=-+===-==111101012130、　答（）是第一类．是第二类，．是第一类；是第二类，．都是第二类；，．都是第一类；，．型为（），则此函数间断点的题、的间断点为函数212121212123122=======+--=x x D x x C x B x A x x x x y131、　答（）．，，．有三点；，．只有两点；，．只有两点；　，．只有两点的间断点是（）函数11011101011111-=-=-==-+-=x D x C x B x A xx x y132、答（）处连续．处间断，在在．处间断；处连续，在在．处都连续；，在．处都间断；，在．则有（），，，设函数21)(21)(21)(21)(22221132)(2========⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-+=x x x f D x x x f C x x x f B x x x f A x x x x x x x x f133、（）答都是第二类间断点．，．为第一类间断点；为第二类间断点，．为第二类间断点；为第一类间断点，．都是第一类间断点；，．点的类型为（）的二个间断点，则间断为，，且设10101010)(10)1(2cos)(-=====-==-π=x x D x x C x x B x x A x f x x x x x f141、）答（．．．．点连续，则　，在，，设422141)(0120)1ln(1sin 1)(2D C B A k x x x kx x x x f ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=142、极限的值为（）．．．．答（）limsin x x x x eA B C D →+--0111012122144、）答（．．．．的值是（）极限619131313cos ln cos ln lim0D C B A x xx -→ 145、极限的值为（）．．．．答（）limln x e x x eA B e C e D →---1101147、极限的值是．．．．答（）lim ln()ln()x x x A B C D →+---02212132132349设函数，，在，上连续，则，的值，用数组，可表示为．，．，．，．，答（）f x x x x ax b x x x a b a b A B C D (),()()()()()()()=+-<+≤≤+>⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-∞+∞1100111123232121120 155、答（）任意，．，．，．，．表示为（），用数组，连续，则常数上，　，在，，，设函数)1()01()10()11()()(11102cos 210sin )(b D C B A b a b a x x bx x x x x x axx f ∞+-∞⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤+<=π164、答（）振荡间断点．　无穷间断点；　可去间断点；　连续点；的是，则点设)()()()()(02cos)(2C C B A x f x x xx x f =+=f x x x xf x A x B x C x x D x x x ()ln ()()=++==-==-==-=2210101011，则的可去间断点为．仅有一点．仅有一点．有两点及．有三点，及答（）　）答（．．为任意实数，．，，．处连续则有（）　在，当，当2)(2)(0)(20)(002sin 0)(2bb a D b a C b a B b a A x x xbx x bx a x f =+=====⎪⎩⎪⎨⎧>≤+= 180、f x eex f x A B C D x x()()()()()()=-+=11011，点是的．可去间断点．跳跃间断点．无穷间断点．连续点答（）181、答（）．连续．仅是右连续．仅是左连续．有可去间断点处，则在设)()()()()(1)11()(D C B A x f x x x x f =-+=182、f x x x xx x xx f x A x B x C x x D ()sin ()=-+-≤>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪====44202002022，当，当则关于的连续性的正确结论是（）．仅有一个间断点．仅有一个间断点．有两个间断点及．处处连续答（）187、要使在处连续，应补充定义的值为．．．．答（）f x x x f A B e C e D ex ()()()()()()()=+=----2000222412188、答（）的取值应为：处连续，在，要使　设1)(21)(0)(1)()0(0)()0(sin sin )(-=≠+-=D C B A f x x f x xx xx x f189、设，当，　当　则．处处连续．有一个间断点．有一个间断点．有及两个间断点答（）f x x x x x f x A B x C x D x x ()ln ()()()()()()=-<≥⎧⎨⎪⎩⎪====13113003、二、填空题（共 39 小题，100 分）21、．____________)31(lim sin 20=+→xx x22、．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a ax a x xx 24、__________1)sin 1(lim 0=-+→xx x x25、_____________1)21(lim 230=-+→xx x x 27、___________)1ln(2)cos(sin 1lim20的值等于x x x +-→30、____________lim的值等于xx x e e x-→-32、_____________69lim 223的值等于---→x x x x34、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则　在，，设 35、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在，当，当 37、_________)0(0)()0(2cot )(==≠=f x x f x x x x f 点处连续，则在，要使设三、计算题（共 200 小题，100 分）1)63(lim -∞→++x x xx 求 132、研究极限．lim x x x x →∞++-2231计算极限lim x x x x x x →-+---23223322154、计算极限limx x x x →+-++-021111155、求极限　，为非零常数limtan sin ()x mxnx m n →0171、求极限．limln cos x xx →02179、求极限．lim()x xx x →∞+-21213 180、求极限lim()x xx →-0112188、求极限．limx x e x →-051189、求极限．limx x x e e x →-+-022191、求极限　，．lim()x x a xa a →->≠03101。

高等数学第一章测试题(第7版)

高等数学（上）第一章函数与极限测试题一、填空（20分）1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为；2.函数)21ln(12arcsin 2x x x xy --++=的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ;(1) x ln 2与2ln x ； (2) 2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为；函数x e x y 2=的奇偶性为；5. (1) 设2)1(2+=+x x f ，则=)(cos x f ；(2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f .6.如果,21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x 则=n ； 7. =+∞→）（x xx x x 2sin 2sin lim ；8.当=α 时，αx x 21~1s i n 1-+；9. 1x =-为2()1f x x =+的第____类间断点；10.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a 。

二、计算数列极限（50分）：1. )2141211(lim n n +++∞→ ; 2. )1(lim n n n -++∞→; 3. n n nn n 3232lim +-+∞→ 4.15865lim 223+-+-→x x x x x ；5.)1113(lim 31x x x ---→ 6. 121l i m 22---∞→x x x x ； 7. 30sin tan lim x x x x -→; 8. xx x sin 20)31(lim +→; 9. x e e xx x cos 1lim 0---→； 10. 11sin 1lim 20--+→x x e x x ;五（6分）、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=-001)(2x k x x x f x ）（，试确定k 的值，使)(x f 在0=x 处连续。

高等数学第一章习题集(函数与极限)

6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1

x
1 1

3 x3 1

．
3.
设
lim
x

x2 1 x 1

ax

b

0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处连续 , 且存在 0 , 使当 0 x x0 时有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0

高等数学习题集第二版第一章

第一章函数与极限学习测试题1. 填空题（1）当0<x 时，)0,(2-∞∈=x y ，则2yx =，)0,(-∞∈y ，当20<≤x 时，)4,0[2∈=x y ，则y x =，)4,0[∈y ，当2≥x 时，),4[32+∞∈+=-x e y ，则2)3ln(+-=y x ，),4[+∞∈y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<≤<=-4,2)3ln(40,0,2)(1x x x x x xx f（2）.0),1)(()(>-+-=-x x x x f 由于)(x f 为偶函数，所以)1()()(x x x f x f +-==-.0,<x（3）22)2)1(2)1((lim)12121(lim =-++=-+++-+++∞→∞→n n n n nn n n n （4）a x a x a x xx x x x x x x x x )cos 1(sin 2lim cos sin 2sin 2lim 2sin sin 2lim000-=-=-→→→ ,1lim 22lim 3020===-→→a x a x x xx x所以3=a 。

（5）要求函数在零点连续，即a xe x ax x =-+→1sin lim20，所以a a xe x x ax x =+=-+→21)1sin (lim 20，即.1-=a （6）.2)1(lim )(lim )1(lim 11-=-==--→-→→x x f x f x x x（7）极限为有限值，即要求分子有关于1-x 的因子，即,0111123=--⋅+k 所以.1=k 此时.4)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 2121231=+=-+-=---+→→→x x x x x x x x x x x（8）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<<--≤=1,21,2arctan 11,41,)(x x x x x f ππ不存在由此定义域为),1(+∞-，且在1=x 处左右极限不相等，因此)(x f 在1=x 处不连续。

高等数学(同济第五版)第一章(函数与极限)练习题册

第一章函数与极限第一二节作业一、填空题：1. 函数f(x)=x -3+arctanx1的定义域是。

2. 设f(x)的定义域是[0，3]，则f(lnx)的定义域是。

二、选择题（单选）：1. 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--ππx x x x 0,sin 0,sin 33，则此函数是：（A ）周期函数；（B ）单调增函数；（C ）奇函数；（D ）偶函数。

答：（）2. 设f(x)=x e ,g(x)=sin 2x, 则f[g(x)]等于：（A ）xe2sin ；（B ）)(sin 2x e ；（C ）x e x 2sin ；（D ）2)(sin 2xe x答：（）三、试解下列各题： 1. 设{1,21,1)(22>-≤--=x x x x x x x f ，求f (1+a)-(1-a), 其中a>0.2. 设f (x+1)=232+-x x , 求f (x).3. 设f (x)=xx+-11 , 求f[f(x)].4. 设y=1+ln(x+2),求其反函数。

四、证明：定义在[-l ，l]上的任何函数f (x)都可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

第三节作业一、填空题：设数列{n u }的一般项公式是1213++=n n u n ，n 从开始，才能使23-n u 〈0.01成立。

二、选择题（单选）：1. 下列数列{n x }中，收敛的是：（A ）n n x nn 1)1(--= ；（B ）1+=n n x n ；（C ）2sin πn x n =；（D ）nn n x )1(--=。

答：（） 2. 下列数列{n x }中，发散的是：（A ）n n x 21=；（B ）2)1(5n x n n -+=；（C ）2312+-=n n x n ；（D ）2)1(1n n x -+=。

答：（）三、试利用数列极限定义证明：321312lim=++∞→n n n 。

高等数学习题_第1章_函数与极限

高等数学第一章函数与极限一、选择题〔共 191 小题〕1、A下列函数中为奇函数的是；　；；答（）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是；；；答（）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。

答（）　7、D设，，，则此函数是周期函数；Ｂ单调减函数；奇函数偶函数。

答（）　f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数；偶函数；有界函数；　周期函数。

高等数学第一章函数极限练习题

(1 x ) 1 lim x 0 x
- 17 -
习题课（一）
例7
第一章函数极限连续
解
x2 1 ax b] 0. 求常数 a, b, 使得 lim[ x x 1 x2 1 0 lim[ ax b] x x 1 (1 a ) x 2 (b a ) x 1 b lim x x 1 1 a 0, a b 0
第一章函数极限连续
x
3 2 1 ) e 3 原式 lim [(1 x 1 x x 1 lim [sin x 1 sin x 1]
x 1 3 x 3 ) ] (
sin x 1 sin x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cos sin 2 2 x 1 x 1 | cos | 1 2 1 x 1 x 1 lim sin 0 lim sin x x x 1 x 1 2 所以原式 0
f A f f f
-6-
2
函数的趋向过程
习题课（一）
定义的四个主要部分
(1) 对任意给定的 , (2) 总存在 ,
第一章函数极限连续
(3) 使当时,
(4) 恒有不等式成立,
(1),(4)用来刻划函数的趋向过程 (2),(3)用来刻划自变量的趋向过程 (3)起着控制(4)的作用例5 叙述下列极限的定义 (1) lim xn
1 lim f ( x ) x 0 2
- 20 -
(3)
设 f ( x)
x 1
x 1 e x
习题课（一）
, 考察 lim f ( x ), lim f ( x )

(完整word版)高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11 C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( ) A ）lim0+→x )x1+1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=e C ） lim ∞→x )x 11－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e 5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim-+→=（） A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（）A.0；B.∞；C.2；D.21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim 30-→=（） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sin lim 2+∞→x xx x = . 12. lim→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14.=→x xx x 5sin lim0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x xx 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是，值域是三个点的集合()()x x x x f 25lg 12-+-+=19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→　x (11-+x x )x; 25.求lim　x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。

高数练习题第一章函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习第一章函数、极限与连续________系_______专业班级姓名______ ____学号_______习题一函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1）（B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数（B ）非奇非偶函数（C ）偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。

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高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ；D.2e7．极限：∞→x lim 332xx +=（）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（） A.0； B.∞； C21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（） A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxxx 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x()()x x x x f 25lg 12-+-+=其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→　x (11-+x x )x; 25.求lim　x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。

29. 判断下列函数是否为同一函数：⑴ f(x)＝sin 2x ＋cos 2x g(x)＝1⑵ 11)(2--=x x x f 1)(+=x x g⑶ ()21)(+=x x f 1)(+=x x g⑷ ()()21+=x x f 1)(+=x x g ⑸ y ＝ax 2 s ＝at 230. 已知函数 f(x)＝x 2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31. 求 746153lim 22--+-+∞→n n n n n 32. 求 221lim n nn ++++∞→Λ33. 求 )1(lim n n n -++∞→ 34. 求 nn nn n 3232lim +-+∞→ 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y 2→x ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y 0→x36. 31lim3+→x x 37. 93lim 23--→x x x38. xx x 11lim--→ 39. 求当x →∞时，下列函数的极限112323+-+-=x x x x y40. 求当x →∞时，下列函数的极限11232+-+-=x x x x y 41.41. x xx 3sin lim→ 42. 20cos 1lim xxx -→ 43. 311lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n44. nn n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→45. x x kx)11(lim +∞→ 46. xx x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→11lim 47. ()xx kx 101lim +→48. 研究函数在指定点的连续性⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f x 0＝049. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

11)(-=x x f ,x ＝1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f ，x ＝０ 51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

⎩⎨⎧=≠=0,10,)(2x x x x f ，x ＝０ 52. 证明f(x)＝x 2是连续函数 53. xx x )1ln(lim0+→54. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--→x x x x ln 11lim 21 55. 试证方程2x 3－3x 2＋2x －3＝0在区间[1,2]至少有一根56. xx x x 2sin sin tan lim 30-→ 57. 试证正弦函数 y = sin x 在(-∞, +∞)内连续。

58. 函数f (x ) = x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，；，在点x = 0处是否连续？ 59. 函数)(x f =⎩⎨⎧≠≠0001sin x x x x ，；，是否在点0=x 连续？60. 求极限 xa x x 1lim 0-→. 答案：一.选择题1.A 【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x xx 从而+∞=-→+11lim x xx e ，.0lim 11=-→-x xx e3 C4 A5 C6 C7 A8 C∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。

先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C解原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。

如上例原式0)2(lim 3=-=→x x x x .二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 515 . 2-e 16. 2,1=x17 .),(+∞-∞ ),0[+∞ 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数yf (x) 在点x0有定义；② x →x0 时极限)(lim 0x f x x →存在；③ 极限值与函数值相等，即)()(lim 00x f x f x x =→三. 计算题21 . 【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. f (x)=3lnx+1 x ＞0 23.e 324.e 225.6126. 3ln ; 27. 328. 解：由x ＋2≥０解得x ≥-2由x －１≠０解得x ≠１由5－２x ＞０解得x ＜2.5 函数的定义域为｛x ｜2.5＞x ≥-2且x ≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。

⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。

⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x 2+2x ，f(f(x))＝f(x 2-1)＝(x 2-1)2-1＝x 4-2x 2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931 . 解：222222n 22746153lim 746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n --+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→ 210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n32. 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 33 . 解： nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim )1(lim01lim 1lim 1lim111lim11lim =++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34 . 解：110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n nnn 35 . 解：⑴因为 3lim ,2lim 22==+-→→y y x x，y y x x +-→→≠22lim lim 所以函数在指定点的极限不存在。