反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量

如果矩阵 ( A 存p在I )，1 其特征值为
3
1
1
1
,
, ,
,
1 p 2 p
n p
对应的特征向量仍然是 x1, x2 ,. , xn
对矩阵 ( A 应p用I )幂1法，得到反幂法的迭代公式
u0 v0 0, 初始向量 vk ( A pI )1uk 1 uk vk / max( vk )
5
同理可得：
定理16 设 A R有n个n 线性n 无关的特征向量，
A
的特征值及对应的特征向量分别记为 及i xi (i 1,,2, , n) 而 p为 的j 近似值， ( A 存p在I )，1且
j p i p (i j).
则对任意的非零初始向量 u0 ( j ， 由0)反幂法迭代公式
任取初始向量 v0 u, 0构造0向量序列
vk uk

A1uk 1 vk
max( vk )
(k 1,2, ).
迭代向量v可k 以通过解方程组
求得.
Avk uk 1
定理15 设 为A 非奇异矩阵且有 个n线性无关的特征 向量，其对应的特征值满足
2
1 2 n1 n 0,
8
P( A pI ) LU, 且保存L,U及P信息. 2. 反幂法迭代
(1) 解Uv1 (1,1, ,1)T 求v1
1 max( v1), u1 v1 / 1
(2) k 2,3, 1) 解 Lyk Puk 1 求 yk 解 Uvk yk 求 vk
2) k max( vk ) 3) 计算 uk vk / k
，x1, x2 , , xn
其中
n
u0 i xi ( j 0), i 1
vk

max
( A pI )k u0 (( A pI )(k 1)
u0
)
,
uk

(A max (( A
pI )k u0 pI )k
u0
)
,
n
( A pI )k u0 i (i p)k xi , i 1
x3 (1, 1 3, 2 3)T (1, 0.73205, 0.26795)T , 由此看出 u是2 的x3相当好的近似.
特征值3 1.2679 1/ 2 1.267949013 ， 的真值 3 3 3 1.26794912 .
n
n1
1
对应的特征向量为 xn , xn1,. , x1
因此计算 的A按模最小的特征值 的问n 题就是计算 A1
的按模最大的特征值的问题.
1
对于 应A用1 幂法迭代（称为反幂法），可求得矩阵 A1
的主特征值 1/ ，n从而求得 的A按模最小的特征值 . n
反幂法迭代公式为：
) p应用反j 幂法，
只要选择的 是p 的一j 个较好的近似且特征值分离情
况较好，一般 r很小，常常只要迭代一二次就可完成特征
向量的计算.
反幂法迭代公式中的 是vk通过解方程组
( A pI )vk uk1
求得的. 为了节省工作量，可以先将 A 进pI行三角分解
7
P( A pI ) LU ,
则对任何初始非零向量 u0 (n ， 由0)反幂法构造的向量
序列{vk },{满uk足}
(1)
lim
k
u
k

xk
,
max ( xk )
(2)
lim
k
max( vk
)

1
n
Baidu Nhomakorabea
.
收敛速度的比值为 r . n
n1
反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其 他特征值及特征向量.
（2.12）构造的向量序列{vk },{u满k足}
(1)
lim
k
uk

xj
,
max (x j )
(2)
lim
k
max(
vk
)

j
1
p
,即
6
p

1 max (vk
)

j
(当k ),
且收敛速度由比值 r j p / mi确inj 定.i p
由该定理知，对 A(其p中I 可用来计算特征向量 x .j
其中 P为某个排列阵，于是求 v相k 当于解两个三角形方程 组
Lyk Puk 1, Uvk yk .
可以按下述方法选择 ：u0选
使u0
Uv1 L1Pu0 (1,1, ,1)T
（2.13）
用回代求解（2.13）即得v1，然后再按公式（2.12）进行迭 代.
反幂法计算公式
1. 分解计算
v1 (12692, 9290.3, 3400.8)T ,
11
u1 (1, 0.73198, 0.26795)T , 由 LUv2 ，P得u1
v2 (20404, 14937, 5467.4)T , u2 (1, 0.73206, 0.26796)T ,
对3 应的特征向量是
9
例6 用反幂法求
2 1 0 A 1 3 1
0 1 4
的对应于计算特征值 1（.2精67确9 特征值为
的特征向量（用5位浮点数进行运算）.
解 用部分选主元的三角分解将 A(其p中I 分解为
其中
P( A pI ) LU ,
3) 3 3 )p 1.2679
8.2.3 反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量， 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量.
设 A为R非n奇n 异矩阵， 的特征A值次序记为
1 2 3 n ,
相应的特征向量为 x1, x2 ,，,则xn 的特A征1值为
1 1 1 ,
10
1
0
0
L 0
1
0 ,
0.7321 0.26807 1
1 U 0
0
0.7321 1 0
1

2.7321 ,
0.29405 103
0 1 0 P 0 0 1 .
1 0 0
由 Uv1 (1，,1,得1)T
(k 1,2, ).
（2.12）
如果 是p 的A特征值 的一 j个近似值，且设 与其 j
他特征值是分离的，即
j p i p (i j),
就是说 1是 ( A的主pI特)征1 值，可用反幂法计算 j p
4
特征值及特征向量.
设 A有R n个n线性n无关的特征向量 则