高三数学秋学期期初考试

合集下载

北京市2024年高三秋季开学考试数学试题与答案

北京市2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B = （）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．已知复数55i2iz +=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是（）A ．1B C ．iD3．二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．1B ．4C ．6D ．04．设a ，b是非零向量，则“a b =- 或a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()2π4cos 1026x f x ωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭，若对任意的实数t ，()f x 在区间2π,3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的值域均为[]1,3-，则ω的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,+∞D ．()3,+∞6．已知标准椭圆上P ，Q 两点的切线方程分别为210x -=，10y +-=，则直线PQ 的斜率为（）AB ．C ．2D ．2-7．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A ．45B ．35C ．512D ．5138．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若11224,AF F B AB BF ===，则双曲线C 的焦距为（）AB ．3C ．2D ．9．函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x ⎧---≥⎪=⎨+--<⎪⎩，若对任意1x ，()212R x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,1--B ．[]4,2--C ．(]5,1--D ．[]5,4--10．已知集合1114,3,2,,,,2,3234A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在()0,∞+上单调递减的有序数对(),,a b c 的个数是（）A ．36B ．42C ．72D ．84二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.12．与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为sin A i I t ω=，12sin 2π,sin 2π33B C i I t i I t ωω⎫⎫⎛⎛=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流A B C i i i i =++=．13．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，则n a =15．经研究发现：任意一个三次多项式函数()32f x ax bx cx d =+++的图象都有且只有一个对称中心点()()0,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2-，且不等式()()e 32ee ln 13e x mx xf x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦对任意()1,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．17．（13分）如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF !，使得PC =．(1)证明：EF PD ⊥；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.20．（15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为()30A -,，右顶点为()3,0B ，椭圆上不同于点,A B 的一点P 满足49PA PB k k ⋅=-.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 交椭圆C 于M N ､两点，直线AM BN ､交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.21．（15分）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．C 【分析】首先求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.2≤，则04x ≤≤，所以{}{}{}2040,1,2,3,4A x x x =∈≤=∈≤≤=Z ，又{}23B x x =-≤≤，所以{}0,1,2,3A B = .2．A 【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解.【详解】()()()()55i 2i 55i 3i 2i 2i 2i z +-+===+++-，z 的虚部是1.3．C 【分析】根据二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可求出对应展开式的常数项.【详解】二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为4421441C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令420r -=，得2r =，所以展开式的常数项为24C 6=.4．A 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若a b =-，则0a b += ，所以()()0a b a b +⋅-= ，若a b = ，则0a b -=，所以()()0a b a b +⋅-= ，故由“a b =- 或a b =”推得出“()()0a b a b +⋅-= ”，即充分性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，则220a b -= ，所以a b = ，所以由“()()0a b a b +⋅-= ”推不出“a b =- 或a b = ”，故必要性不成立；所以“a b =- 或a b =”是“()()0a b a b +⋅-= ”的充分不必要条件.5．D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.【详解】由()()2ππ4cos 12cos 10263x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=--=-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数值域为[]1,3-，又对任意的实数t ，()f x 在区间2π,3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的值域均为[]1,3-，则2π2π3T ω>=，解得3ω>，6．D 【分析】设椭圆方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，分别联立直线方程，根据判别式联立求解可得,m n ，然后求出,P Q 坐标可得斜率.【详解】设椭圆方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，()()1122,,,P x y Q x y ，联立222101x mx ny ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩消去x得2310424m m n y my ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭①，则233Δ41340444m m m n m mn n ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②，联立22101y mx ny ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()21210m n x n +-+-=③，则()()2Δ48412144480n m n n m mn n =-+-=-+=④，联立②④解得16,4m n ==，代入①得21630y -+=，解得14y =，所以1112428x =-⨯+=，代入③得26430x -+=，解得28x =，所以214y =，所以142PQk =-.7．C 【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.8．B【分析】利用双曲线定义、已知条件求出a 、2AF ，设c ，由余弦定理、1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=求出c 可得答案.【详解】如图，由于11224,AF F B AB BF ===，有21262a BF BF =-=-=4，可得2a =，又由212AF AF a =+，可得28AF =，设c =，在12BF F △中，由余弦定理有2221244364328cos 22282c c c BF F c c c∠+---===⨯⨯.在12AF F △中，由余弦定理有222121646444812cos 242164c c c AF F c c c∠+---===⨯⨯.又由1212πBF F AF F ∠+∠=，有1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=，可得22812024c c c c --+=，解得c C的焦距为3.9．A 【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意()1212,R x x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以()f x 是R 上的减函数，则44(1)32(5)25012a a a a a +--≥---⎧⎪--<⎨⎪-≥⎩，解得41a -≤≤-．10．C 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若x y a =和log b y x =在(0,)+∞上单调递减，c y x =在(0,)+∞上单调递减增，则01,01,0a b c <<<<>，此时有序数对(),,a b c 的个数有：21352A C 18-⋅=个；若x y a =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，log b y x =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0a b c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，x y a =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0b a c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若x y a =、log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，则01,01,0b a c <<<<<，此时有序数对(),,a b c 的个数有：2133A C 18⋅=个；综上所述：共有1818181872+++=个.【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解.11．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，OC =o 2303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r ，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，1OE ，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 6OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为-.故答案为：-12．【分析】利用给定计算公式结合两角和差的正弦公式求解即可.【详解】由题意得A B C i i i i =++，原式2π4πsin sin sin 33I t t t ωωω⎡⎤⎫⎫⎛⎛=++++ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦，2π2π4π4πsin sin cos cos sin sin cos cos sin 3333I t t t t t ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin sin sin 22I t t t t tωωωωω⎡⎤⎫⎫⎛⎛=+-++--⎢⎥⎪⎪ ⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦，0=.故答案为：013．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4014．【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2n S ，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得答案.【详解】因为12a =，所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n n =+-=-，所以2441=-+n S n n ，当2n ≥时，221441[4(1)4(1)1]n n n a S S n n n n -=-=-+----+224414(21)4(1)1n n n n n =-+--++--22444844488n n n n n n =--+-+-=-，因为11a =不满足上式，所以88,(2)1,(1)n n n a n -≥⎧=⎨=⎩.故答案为：88,(2)1,(1)n n n -≥⎧⎨=⎩15．【分析】首先求得3p =，1q =，而原不等式等价于()eln e 1e ln 1x x x m x --++≤+，可以利用不等式e 1≥+t t 放缩即可求解.【详解】()()()322,321,62f x x px x q f x x px f x x p '''=+++=++=+，因为()f x 图象的对称中心点为()1,2-，所以()1620f p -=-+'='，所以3p =，由()11312f q -=-+-+=，所以1q =，原不等式为()()e ee ln 11e x mx x x x -+≥++，因为()1,x ∞∈+，所以()()()()e eln ee e 1e e 1e e 1e ln 1ln 1ln 1xx xxx x x x x m x x x x --++-++-++≤==+++，设()e 1t g t t =--，则()e 1tg t '=-，当0t <时，()0g t '<，当0t >时，()0g t '>，所以当0t <时，()g t 单调递减，当0t >时，()g t 单调递增，所以()()00g t g ≥=，即e 1≥+t t ，因为eln e eln 1x x x x -≥-+，当且仅当eln 0x x -=，即e x =时等号成立，所以()()eln e 1e eln 11e e ln 1ln 1x x x x x x x x --++-+-++≥=-++，所以其最小值为e -，故m e ≤-.故答案为：(],e ∞--.【点睛】关键点点睛：关键是得到()eln e 1e ln 1x x x m x --++≤+恒成立，结合切线放缩不等式e 1≥+t t 即可顺利得解.16．【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 1246222A ⎛⎫⎛⎫==+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cb c====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c===，由已知ABC的面积为323=，所以c=17．【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF=，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD⊥，则,EF PE EF DE⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz-，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB====，得4AE AF==，又30BAD︒∠=，在AEF△中，由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=，则AE EF⊥，即EF AD⊥，所以,EF PE EF DE⊥⊥，又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD︒∠===，则22236CE ED CD=+=，在PEC中，6PC PE EC===，得222EC PE PC+=，所以PE EC⊥，由（1）知PE EF⊥，又,EC EF E EC EF=⊂、平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD，所以PE ED⊥，则,,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz-，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D CF A-，由F是AB的中点，得(4,B，所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF=-===-，设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z==，则1111130n PC xn PD⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB xm PF x⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x=11220,3,1,1x z y z===-=，所以(0,2,3),1,1)n m==-，所以cos,65m nm nm n⋅==，设平面PCD和平面PBF所成角为θ，则sin65θ==，即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为65.18．【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求0p，再根据频率估计概率1p，即得大小.【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C-+-=;（Ⅲ）01p p<【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出()F x，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【详解】（1）因为切点为()1,3，所以31k=+，解得2k=.由()3f x x ax b=++，得()23f x x a'=+，因为直线21y x=+与曲线C相切于点()1,3，所以()21312f a=⨯+='，解得1a=-，所以()3f x x x b =-+，由()31113f b =-+=，得3b =.所以函数()f x 的解析式为：()33f x x x =-+.（2）由（1）知，()33f x x x =-+，所以()()3233F x f x x x x =--=-，[]0,2x ∈.可得()33F x x x '=-，令()0F x '=，则2330x -=，解得11x =-（舍），21x =.当01x <<时，()0F x '<；当12x <<时，()0F x '>；所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增.当1x =时，()F x 取的极小值，极小值为()311312F =-⨯=-，又因为()()3300300,22322F F =-⨯==-⨯=，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-.20．【分析】（1）由左、右顶点为A ，B 先求a ，再设点P 的坐标，利用斜率公式表示条件49PA PB k k ⋅=-，结合点P 在椭圆上求，由此可得椭圆方程.（2）解法一（非对称韦达）：设点,M N 的坐标及直线MN 的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线AM 、BN 的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点B 的直线MN 的方程，由题意求出m 的值，然后表示出直线AM 、BN 的斜率，设点()00,Q x y ，结合椭圆方程化简分析即可.【详解】（1）如图所示：根据题意，3a =，设点P 的坐标为()00,x y ，由于点P 在椭圆上，所以2200219x y b +=，得()2202099x b y -=-，则()222200002200009143399999PA PBx b y y y b k k x x x x -⋅=⋅==-=-=-+---，解得24b =，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）解法一（非对称韦达）：由题意如图所示：设点()()1122,,,M x y N x y ，可设直线MN 的方程为：2x my =+，联立222194x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224916200m y my ++-=，由根与系数的关系，1212221620,4949m y y y y m m +=-=-++，直线AM 的方程：()1133x y y x +=+，①直线BN 的方程：()2233x y y x -=-，②①÷②得，()()()()121221221222121121112132335333323x y my y y x y y my y y x x x y x y y my y y my y y ++++++====---+--因为()121254my y y y =+，所以()()122122121121555345534y y y my y y x x my y y y y y ++++===--+-，解得92x =，因此，点Q 在定直线92x =上.解法二（齐次化）：由题意如图所示：设不过点()3,0B 的直线MN 的方程为：()31m x ny -+=，由于直线MN 过()2,0，所以1m =-.设1212312,,33BM BN AM y y k k k k k k x x =====--，点()00,Q x y .椭圆C 的方程转化为，()224(3)24390x x y -+-+=，代入直线MN 的方程得，()2220(3)24390x n x y y --+-+=，即292420033y y n x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即2924200k nk +-=，由根与系数的关系，12209k k ⋅=-，又由题意可得：1349k k ⋅=-，所以两式相除得：235k k =，即0000533y y x x =-+，解得092x =，所以点Q 在定直线92x =上.21．【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i i r r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =.（2）由题意可知：n r m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥，又因为112i i i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-≥，可得11i i r r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为01j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为01j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+；（ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N N r A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；（ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤-，则1,0K K R K R K A B m A B +-≤-->，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤-∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =-=，即N R N A B =，可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y R X R Y A B A B -=-，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．。

河北省2024年高三秋季开学考试数学试题与答案

河北省2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,A x x B x x a =∈≤=≤Z∣∣，若A B ⋂中有3个元素，则a 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]1,22．已知复数i(1i)z =-，则||z =（）A ．2BC ．5D3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标是（）A ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，()1cos 3A B +=，则c =（）AB ．4CD ．35．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（）A ．B ．π3C ．π3D ．4π36．已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为0.8-，且由观测数据算得样本平均数5x =，6y =，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（）A ． 0.82y x =+B ．1y x =+$C ． 0.89y x =-+D ． 11y x =-+7．已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞8．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则直线l 被圆22:16C x y +=截得的弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若814S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1212a d =B ．220S =C ．当0d >时，7170a a +>D ．当0d <时，717a a >10．平面内到两个定点,A B 的距离比值为一定值()1λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点()()()1,0,4,0,0,0A B O ，动点P 满足12PA PB=，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是224x y +=B ．过点()1,1N的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是C ．直线40x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点M 是直线:40L x y -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为,C D ，则四边形OCMD 面积的最小值是411．已知()()()0.3,0.7,0.1P A P B P AB ===，则关于事件A 与事件B ，下列说法正确的有（）A ．事件A 与B 可能相互独立B ．事件A 与B 一定不互斥C ．()0.9P A B ⋃=D ．()()P A P B =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）13．已知函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为.14．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在ABC 中，AB =π4B ∠=，D 是BC 边上一点，且23ADC ∠=π，(1)求AD 的长；(2)若10CD =，求sin DAC ∠.16．(15分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.17．(15分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别是,AB PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求证：MN CD ⊥；(3)若PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，求证：MN ⊥平面PCD .18．(17分)已知函数()31e 2xf x x x =⋅-.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，若()2f x kx x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有()*n n ∈N 份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为()1k +次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为()01p p <<．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．①若()()12E E ξξ=，求P 关于k 的函数关系式()p f k =；②已知181e p -=-，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 20.693=，ln 25 3.219=，ln 26 3.258=，ln 27 3.296=，ln 28 3.332=．河北省2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．B 【分析】求出{}2,1,0,1,2A =--，再利用交集含义即可得到01a ≤<.【详解】{}{}22,1,0,1,2A x x =∈≤=--Z∣，要使A B ⋂中有3个元素，只需{}2,1,0A B =-- ，所以01a ≤<，2．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为2i(1i)i i 1i z =-=-=+，所以||z ==3．B【分析】根据向量的坐标运算可得1a a b =⋅=，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为(2,3)a = ，(1,1)b =-，则231a a b =⋅=-+= ，所以b 在a上的投影向量2123,131313a b a a a ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．A 【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cos C 的值，进而利用余弦定理即可求解c 的值．【详解】解：因为2a =，3b =，1cos()cos(π)cos 3A B C C +==-=-，所以1cos 3=-C ，则由余弦定理可得c =5．D 【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以22R =，即1R =，则球的体积344ππ33V R ==，6．D 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点()5,6逐项分析判断.【详解】因为x 与y 的样本相关系数为0.80-<，可知x 与y 为负相关，故A ，B 错误；又因为经验回归方程过样本中心点()5,6，对于 0.89y x =-+，则0.85956-⨯+=≠，故C 错误；对于 11y x =-+，则5116-+=，故D 正确．7．A 【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2a x <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,)2a-∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22ax -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a --上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.8．D 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】:1l ax by +=，化为一般式，即:10l ax by +-=，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则圆心到直线的距离2d OP ==,即2d ==22:16C x y +=圆心(0,0),4r =.l ===弦9．BC 【分析】对于A ，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B ，由等差数列求和公式结合1212a d =-即可验算；对于CD ，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A ，因为81114871413814220S a d a d S d ⨯⨯⎧=+=+=⎪⎨⎪≠⎩，所以1212a d =-，故A 错误；对于B ，221222122212221220222S a d d d ⨯⨯⨯=+=-+=，故B 正确；对于C ，当0d >时，71710212222222a d d a d a d ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭+>，故C 正确；对于D ，当0d <时，()()22222271711212161661622a a a d a d d d d d ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22291110022d d d ⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即717a a <，故D 错误.10．ACD 【分析】对于A ：设点(),P x y ，结合题意分析求解即可；对于B ：分析可知点()1,1N 在圆O 内，结合圆的性质分析求解；对于C ：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D ：分析可知当OM L ⊥时，OM 取到最小值，四边形OCMD 面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A ：设点(),P x y ，因为12PAPB==，整理可得224x y +=，故A 正确；对于选项B ：因点P 的轨迹方程是224x y +=，圆心是O ，半径是2r=，且2ON =<，可知点()1,1N 在圆O 内，过点()1,1N的直线被圆O 所截得的弦最短时，点()1,1N 是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是=B 错误；对于选项C ：圆心到直线:40L x y-+=的距离2d r ==>=，所以直线与圆相离，故C正确；对于选项D ：因为四边形OCMD 面积12222OCM S S CM ==⨯⨯=，由数形分析可知：当OM L ⊥时，OM 取到最小值d =所以四边形OCMD 面积取最小值4=，故D 正确；【点睛】方法点睛：对于BD ：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.11．BCD 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A 选项，根据互斥事件定义判断B 选项，根据和的概率公式求解即可判断C 选项，应用对立事件概率和为1判断D 选项.【详解】由()()()0.21P A P B P AB ⋅=≠，可知事件A 与B 不是相互独立事件，故A 不正确；由()0.1P AB =，可知事件A 与B 一定不互斥，故B 正确；()()()()0.9P A B P A P B P AB ⋃=+-=，故C 正确；()1()0.7()P A P A P B =-==，故D 正确.12．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4013．【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，即321ax x a -+≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3221ax x a -++≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331ax x a -+≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3)31(1a x x --≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331(1)x a x x -+≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立．当=1x -时，400-≤≤，显然成立；当(1,0]x ∈-时，331(1)x a x x -+≤≤+化为331311x a x x x +≤-++≤恒成立.令3()13x g x x -=+，则332232323221(291(92)1()3))(1)(1)1(3)(x x x x x x g x x x x x +---++-+'===+++,由于(1,0]x ∈-，则()0g x '>，则()g x 在(1,0]-上单调递增，则max ()(0)3g x g ==-.令32221111()131(1)(1)1()24h x x x x x x x x x x =++-++=-+-=++=，则(1,0]x ∈-时，()h x 单调递增，则min 1()(1)3h x h >-=.因此331311x a x x x +≤-++≤对于任意[1,0]x ∈-时恒成立，则133a -≤≤.故答案为：13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，33sin302OC =o 23303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，221OE OC CE +，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 63cos OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为63-.故答案为：3-15．【分析】（1）在ABD △中，利用正弦定理即可得解；（2）在ACD 中，先利用余弦定理求得AC ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）在ABC 中，23ADC ∠=π，则3ADB π∠=，在ABD △中，sin sin AB AD ADB B=∠，即36sin sin 34AD =ππ，得6AD =.（2）因为在ACD 中，26,10,3AD CD ADC π==∠=，所以22212cos 3610026101962AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则14AC =，又sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即10142πsin sin 3DAC =∠，解得53sin 14DAC ∠=所以3sin 14DAC ∠=.16．【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【详解】（1）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b ，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.（2）显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m mm m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k 为定值.17．【分析】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先由线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，得到CD AE ⊥，再由（1）即可得证；（3）先由题意得到45PAD ∠=︒，AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理证明⊥AE 平面PCD ，从而得证.【详解】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，N 为PC 的中点，∴//NE CD ，12NE CD =， M 是AB 的中点，底面ABCD 是矩形，∴//AM CD ，12AM CD =，∴//AM NE 且AM NE =，∴四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又 AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥，又 ,,AD PA A AD PA =⊂ 平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，由（1）可知//MN AE ，∴MN CD ⊥.（3） PA ⊥平面ABCD ，所以PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，∴45PDA ∠=︒，又PA AD ⊥，∴PA AD =，即PAD 为等腰三角形，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，又由（2）可得AE CD ⊥，,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，∴⊥AE 平面PCD ，由（1）可知：//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD .18．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意将问题转仳为21e 12x x k x --≤在[)1,+∞恒成立，构造函数()21e 12x x g x x--=，利用导数求出其最小值即可.【详解】（1）由()31e 2x f x x x =⋅-，得()00f =，对()f x 求导得()()231e 2xf x x x '=+-，()01f ∴'=，()f x \在()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）当1x ≥时，()2f x kx x ≥+恒成立，即1x ≥时，321e 2x x x kx x ⋅-≥+恒成立，21e 12x x k x--∴≤在[)1,+∞恒成立，令()21e 12x x g x x --=，则()()2211e 12x x x g x x --+='，令()()211e 12x m x x x =--+，则()()e 1x m x x =-'，()1,0x m x ≥∴'> 恒成立∴当1x ≥时，()()211e 12x m x x =--+单调递增，()()1102m x m ∴≥=>，∴当1x ≥时，()()2211e 120x x x g x x '--+=>.∴当1x ≥时，()21e 12x x g x x--=单调递增，()()31e 2g x g ∴≥=-，∴3e 2k ≤-.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.19．【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；（2）①根据1ξ和2ξ的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解()p f k =；②根据①的结果，比较()1E ξ和()2E ξ的大小，通过构造函数()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论.【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A ，事件A 分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，所以，()1123322335C C A A 3A 10P A +==所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为310；（2）①由已知得()1E k ξ=，2ξ的所有可能取值为1，1k +，所以()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--，所以()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，若()()12E E ξξ=，则()11k k k k p =+--，所以()11k k p -=，()11k p k-=，所以111k p k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以P 关于k 的函数关系式111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（）（2k ≥且*N k ∈）；②由①知()1E k ξ=，()821ek E k k ξ-=+-，若()()12E E ξξ>，则81e k k k k ->+-，所以81e 0k k --<，得8e 1k k ->，所以ln 08k k ->（2k ≥且*N k ∈）令()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），则()1182R 88x f x x x x x-=-=≥'∈（，），当28x ≤<时，()0f x '>，当8x >时，()0f x '<所以()f x 在[28，）上单调递增，在8+∞（，）上单调递减，因为()22ln 20.6930.2508f =-≈->，()2626ln 26 3.258 3.2508f =-≈->，()2727ln 27 3.296 3.37508f =-≈-<，所以不等式()()12E E ξξ>的解是[]226k ∈，且*k ∈N ，所以[]226k ∈，且*k ∈N 时，()()12E E ξξ>，采用方案二混合检验方式好，[27k ∈+∞，）且*k ∈N 时，()()12E E ξξ<，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求()1E ξ和()2E ξ，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础.。

南昌二中2024届高三秋季开学考试数学试题及参考答案

高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．22．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．07．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．528．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b >>10）A ︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；15．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC 的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑已知曲线E 上任意一点Q 到定点F 的距离与Q 到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为3k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．22．（本题满分12分）已知函数()(0)ex af x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin 3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xaf x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x xa a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10ea <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea-+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aaf a a--=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)ea x a g x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。

江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初考试数学试卷(解析版)

2023~2024学年度第二学期高三期初试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（）A.18B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】因为875%6⨯=，故75%分位数是第6个和第7个的平均数，则1822202+=，故选：B.2.已知复数z 满足1i 1iz +=-，则20232024zz +=（）A.0B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.【详解】由题意()()()21i 1ii 1i 1i 1i z ++===--+，所以20232024i 1z z +=+==.故选：C.3.在ABC 中，2π23A AC ==，，且ABC 的面积为2，则BC =（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用面积公式求出AB ，再由余弦定理可得答案.【详解】因为12πsin232 ABC S AC AB =创=，所以22AB ´=，解得1AB =，由余弦定理可得2222π2cos73BC AC AB AC AB =+-创=，所以BC =故选：B.4.已知正数,a b 满足1a b +=，则14a b+的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为正数,a b 满足1a b +=，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =、23b =时取等号.故选：D5.已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）A.B.1C.34D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-=2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -=.故选：A6.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项的和为（）A.15-B.5- C.5D.25【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程，求得2d =-，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d 且0d ≠，且11a =，因为236,,a a a 成等比数列，可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，即2d =-或0d =（舍去），所以55451(2)152S ⨯=⨯+⨯-=-.故选：A.7.已知()()π140,cos ,sin 255βααβαβ<<<+=-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式并进行弦化切求得正确答案.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()4sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1sin cos cos sin 4cos cos sin sin ααβαβαββ-=-，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 41tan tan αβαβ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()3cos 5αβ-=，所以()()()sin 4tan cos 3αβαβαβ--==-，即sin cos cos sin 4cos cos sin sin 3αβαβαβαβ-=+，分子分母同时除以cos cos αβ得：即tan tan 444,tan tan tan tan 1tan tan 333αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：14441t n a t n ta an tan 33βααβ=+-，解得1tan tan 2αβ=.故选：A.8.已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于,P M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若1212k k =-，则椭圆离心率为（）A.12B.3C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到22MN PN b k k a⋅=-，结合1212k k =-，两式相比结合斜率公式即可求解.【详解】如图所示：设(),P m n ，则(),,,,,0222m n m M m n Q B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()()2222222222222222N N N N MN PNN N N N b b a x a m y n y n y n b a a k k x m x m x m x m a---+--⋅=⋅==-+---，又因为12PM PN k k =-⋅，所以223222PMMNn a m nk b m m k ===+，解得2213b a =，所以椭圆离心率为3c e a ===.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是发现22MN PNb k k a⋅=-，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()2f x x x m =++，下列命题正确的是（）A.命题“0x ∀>，()0f x >”的否定是“0x ∃≤，使得()0f x ≤成立”B.若命题“x ∀∈R ，()0f x >恒成立”为真命题，则14m >C.“0m <”是“方程()0f x =有实数解”的充分不必要条件D.若命题“()1,1x ∃∈-，()0f x >”为真命题，则2m >-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于B ：根据恒成立问题结合二次函数分析求解；对于C ：根据二次方程的根的判别式结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据存在性问题结合二次函数的性质分析求解.【详解】对于选项A ：命题“0x ∀>，()0f x >”的否定是“0x ∃>，使得()0f x ≤成立”，故A 错误；对于选项B ：若命题“x ∀∈R ，()0f x >恒成立”为真命题，注意到()2f x x x m =++的图象开口向上，则140m ∆=-<，解得14m >，故B 正确；对于选项C ：若0m <，则1410m ∆=->>，可知方程()0f x =有实数解，即充分性成立；例如0m =，方程()20f x x x =+=有实数解1,0-，不满足0m <，即必要性不成立，所以“0m <”是“方程()0f x =有实数解”的充分不必要条件，故C 正确；对于选项D ：若命题“()1,1x ∃∈-，()0f x >”为真命题，注意到()2f x x x m =++的图象开口向上，对称轴为12x =-，则110m ++>，解得2m >-，故D 正确；故选：BCD.10.正方体1111A B C D ABCD -的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合V ，则（）A.V 中元素的个数为58B.V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2C.V 中每个四面体的外接球构成集合O ，则O 中只有1个元素D.V 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体【答案】ABC 【解析】【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定V 中元素的个数判断选项A ；由每个四面体的结构特征，计算体积值判断选项B ；由每个四面体的外接球特征判断选项C ；寻找四个表面都是直角三角形的四面体判断选项D.【详解】正方体1111A B C D ABCD -的8个顶点中任取4个，共有48C 70=种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，所以V 中元素的个数为58，A 选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体11D B AC -，若正方体棱长为a ，则四面体体积为331114323a a a a a -⨯⨯⋅⋅=，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体1B ABC -，若正方体棱长为a ，则四面体体积为3111326a a a a ⨯⋅⋅=，所以V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2，B 选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，O 中只有1个元素，C 选项正确；如下图，四面体1B ABD -的每个面都是直角三角形，D 选项错误.故选：ABC11.已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列说法正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 的最小值是2-C.存在唯一实数()0,2a ∈，使得()f x a +是偶函数D.()f x 在[]0,π上有3个极大值点【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接验算()()2π,f x f x +是否相等即可；对于B ，通过放缩即可判断；对于C ，利用偶函数性质求解并建议即可；对于D ，设()()sin cos 2,sin cos 2p x x x q x x x =+=-，通过连续求导来说明()f x 在ππ3π3π0,,,,,π4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各有一个极大值点即可.【详解】对于A ，()()()()s 2π2πsin cos2in cos 2π2f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期；对于B ，()sin cos2sin 12f x x x x =+≥≥->-，故B 错误；对于C ，若()()f a x f a x +=-，则ππ22f a f a ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos cos2cos cos2a a a a +=-+，所以cos 0a =，又()0,2a ∈，所以π2a =，经检验符合题意，故C 正确；对于D ，设()()sin cos 2,sin cos 2p x x x q x x x =+=-，则()()cos 2sin 2,cos 2sin 2p x x x q x x x ''=-=+，令()()()(),m x p x n x q x ''==，则()sin 4cos 2m x x x '=--在π3π0,,,π44⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上的函数值小于0，()sin 4cos 2n x x x '=-+在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值小于0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，()ππ3π0102,202244224p p q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=>>-==+>>--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3π201π42p p ⎛⎫''=-+>>-= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ3π3π0,,,,,π4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是连续求导，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与圆221x y +=和圆22((9x y -+-=都相切的直线方程是______．【答案】0x y +=【解析】【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.【详解】设圆221x y +=的圆心为1C ，半径为r ，则()10,0C ，1r =，设圆((229x y +-=的院系为2C ，半径为R，则2C ，3R =，所以122C C R r ==-，所以两圆内切.联立方程((222219x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得0x y +=，所以两圆的公切线方程为0x y ++=.故答案为：0x y +=.13.已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，则二面角A PBC --的余弦值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系利用向量法求解.【详解】如图，以点O 为坐标原点，,OB OP 分别为,y z 轴，过点O 垂直AB 为x 轴，建立空间直角坐标系，点C 为底面圆周上一点，则o 90ACB ∠=，又AC =2AB PC ==，1BC ∴=，PO =，()0,1,0A ∴-，()0,1,0B，(P，1,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PB =，1,,22PC ⎛= ⎝ ，设平面CPB 的一个法向量为(),,m x y z = ，则0m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01022y x y ⎧=+=⎩，令1z =，得1x =，y =()m ∴= ，又易知平面APB 的一个法向量为()1,0,0n =，cos ,5m nm n m n ⋅∴====，如图，锐二面角A PB C --的余弦值为5.故答案为：14.如果函数()f x 在区间[],a b 上为增函数，则记为[],()a b f x ，函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则记为[],()a b f x ．已知[],34m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数m 的最小值为______；函数()3223121f x x ax x =-++，且[][]2,31,2(),()f x f x ，则实数=a ______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】第一空：由对勾函数性质即可得解；第二空由取极值的必要条件即可得解.【详解】对于第一空：由题意()4g x x x=+在[],3m 上单调递增，首先有03m <<，（若0m ≤，则当0x =时，()f x 无意义），由对勾函数性质得当0x >时，()4g x x x=+的单调递增区间为()2,+∞，所以23m ≤<，即实数m 的最小值为2；对于第二空：()f x 显然可导，()26612f x x ax '=-+，由题意()f x 在[]1,2上单调递减，在[]2,3上单调递增，即2x =是函数()f x 的极值点，所以()()642202f a '=-+=，解得3a =，经检验3a =满足题意.故答案为：2，3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在如图所示的圆台中，AB 是下底面圆O 的直径，11A B 是上底面圆1O 的直径，11AB A B ∥，1124AB A B ==，1OO =，ACD 为圆O 的内接正三角形.（1）证明：1OO ∥平面1B CD ；（2）求直线CD 与平面1AB D 所成角的正弦值.【答案】15.证明见解析16.7【解析】【分析】(1)记AB 与CD 交于点F ，连接1,B F OC ，要证明1OO ∥平面1B CD ，只需证明11//OO FB ;(2)建立空间直角坐标系，找到平面1AB D 的法向量为(m =，利用线面角的向量算法求解即可.【小问1详解】记AB 与CD 交于点F ，连接1,B F OC ，因为AB 是下底面圆O 的直径，且ACD 为圆O 的内接正三角形，所以AB 垂直平分CD，2,4sin 60ACOC AC CF ==⇒== ，Rt OCF 中，1OF ==,因为11AB A B ∥，1124AB A B ==，所以1111//,,OF O B OF O B =故四边形11OFB O 为平行四边形，故11//OO FB ，又1OO ⊄平面1B CD ,1FB ⊂平面1B CD ,故1//OO 平面1B CD .【小问2详解】由（1）知，11//OO FB ，则1FB ⊥面ACBD ,如图建立空间直角坐标系：则()()()1030,,,A B C D ，，,(),CD=-设平面1AB D 的法向量为()111,,,m x y z =则11111300030y AB m AD m y ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11y =，则(m =，记直线CD 与平面1AB D 所成角为θ，则sin cos ,7CD m CD m CD mθ⋅===⋅，故直线CD 与平面1AB D 所成角的正弦值为7.16.为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为13，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮结果互不影响．（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用i p 表示经过第i 轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求23,p p ．【答案】（1）X 的分布列见详解，()16E X =-（2）2736p =，343216p =【解析】【分析】（1）X 的可能取值为1,0,1-．由独立乘法、互斥加法以及对立事件概率公式分别求得对应的概率，由此即可得分布列以及数学期望；（2）如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则120X X +>，由此可得此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分，从而可得相应的概率，如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理123X X X ++有四种情况：()111,110,111,100++++++-++，由此即可求解.【小问1详解】X 的可能取值为1,0,1-．()11111323P X ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；()1111101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()11111326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：X1-01P131216则X 的数学期望为()11111013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．【小问2详解】设每轮比赛甲乙得分分别为(),1,2,3i i X Y i =，则0i i X Y +=，如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则1212X X Y Y +>+，代入0i i X Y +=，即120X X +>，而i X 的可能取值为1,0,1-．所以1211X X +=+，或者1210X X +=+．此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分．所以12211117C 666236p =⨯+⨯⨯=．如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得1230X X X ++>，同理123X X X ++有四种情况：()111,110,111,100++++++-++．所以32222213333111111143C C C 6626362216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17.已知函数()()cos ln 11f x x x =++-．（1）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上极值点和零点的个数，并给出证明；（2）若()f x ax ≤恒成立，求实数a ．【答案】（1）一个零点，一个极大值点，证明见详解（2）1a =【解析】【分析】（1）令()()1sin 1h x f x x x '==-++，可得()21cos (1)h x x x =--+'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()00'>f ，02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭'，则存在唯一零点00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=，进而得到()f x 的单调性，从而得到极值点和零点个数；（2）由()f x ax ≤，得()cos ln 110x x ax ++--≤，令()()cos ln 11g x x x ax =++--，()1,x ∈-+∞，则()00g =，只需0x =是()g x 的一个极大值点，由()1sin 1g x x a x'=-+-+，则()010g a ='-=，解得1a =，从而证明当1a =时，()()cos ln 110g x x x x =++--≤恒成立即可.【小问1详解】由题可得()1sin 1f x x x=-++'令()()1sin 1h x f x x x'==-++，则()21cos (1)h x x x =--+'因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0x >，2(1)0x +>,则()0h x '<．所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．()010'=>f ，110212f ππ⎛⎫='-+< ⎪⎝⎭+且()f x 和()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上连续，由零点存在定理知存在唯一零点00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=．所以()00,x x ∈时，()00f x '>，()f x 在()00,x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00f x '<，()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点，且为极大值点．因为()00,x x ∈时，()()00f x f >=，则()00,x x ∈时，()f x 无零点．又因为()()000f x f >=，且20ln 11ln ln10222e f πππ+⎛⎫⎛⎫=++-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则存在唯一零点10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =．所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，只有一个极大值点．【小问2详解】令()()()cos ln 11g x f x ax x x ax =-=++--，()1,x ∈-+∞由()0g x ≤恒成立，得max ()0g x ≤．因为()()00,g g x =图象在定义域上连续不间断，只需0x =是()g x 的一个极大值点．因为()1sin 1g x x a x'=-+-+，则()010g a ='-=，解得1a =．下证：当1a =时，()()cos ln 110g x x x x =++--≤恒成立．因为()1sin 1sin 11x g x x x x x =-+=-+'--+．（1）当(]1,0x ∈-时，sin 0x -≥，01xx -≥+，()0g x '≥，()g x 在(]1,0-上单调递增，所以()()00g x g ≤=．（2）当[)0,x ∈+∞时，()()()cos 1ln 1g x x x x =-++-⎡⎤⎣⎦令()()ln 1x x x ϕ=+-，[)0,x ∈+∞，()1101x x ϕ=-≤+'则()x ϕ在[)0,∞+单调递减，则()()00x ϕϕ≤=．()ln 10x x +-≤，又因为cos 10x -≤所以当[)0,x ∈+∞时，()()()cos 1ln 10g x x x x =-++-≤⎡⎤⎣⎦综上，当1a =时，()f x ax ≤恒成立．18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,,l l C上一点(A 到12,l l 的距离之积为45．（1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线C 的左、右两个顶点分别为12,,A A T 为直线:1l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴的交点为P ，直线l 与MN 的交点为Q ，证明PM QM PNQN=．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据点到直线距离分别求出点A 到1l ，2l的距离可得45=，即2222163b a a b -=，再结合点(A 在双曲线上，从而可求解.（2）分别设()()()11221,,,,,T s M x y N x y ，求出相应斜率后可得1214MA MA k k ⋅=，再设直线:MN x my t =+，然后与2214x y -=联立利用韦达定理得到()()()2326328320t t t m t +-+--+=，从而求得4t =，然后结合条件从而求解.【小问1详解】因为(A 在22221x y a b-=上，则221631a b -=①．因为12,l l 的方程分别为0,0bx ay bx ay -=+=．(A 到12,l l 的距离之积为4545=②，由①②解得224,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=③．【小问2详解】因为()()122,0,2,0A A -，设()()()11221,,,,,T s M x y N x y ，则11221212,2321MA A T NA A T y y s sk k k k x x ======+--，所以213NA MA k k =-④，因为1221112111224MA MA y y y k k x x x ⋅=⨯=+--，且M 在双曲线上，则221114x y =-，代入上式得：1214MA MA k k ⋅=，把④代入上式得：2234NA MA k k ⋅=-⑤．设直线:MN x my t =+，代入③得：()2224240m y mty t -++-=，则：12224mt y y m -+=-⑥，212244t y y m -=-⑦，由⑤得：12123422y y x x --⋅=-，即：()()()22121234323(2)0m y y m t y y t ++-++-=，把⑥⑦代入上式得：()()()()222222234323(2)044t t mtm m t t m m +--+⨯+-⨯+-=--，因为2t ≠，所以()()()2326328320t t t m t +-+--+=，则832,4t t ==．则:4MN l x my =+，所以P 点坐标为()4,0．不妨设12,0y y >，因1PM ==，同理2PN =，令41x my =+=，则3Q y m=-，同理：1233,QM y QN y m m ⎫⎫=--=+⎪⎪⎭⎭，要证明PM QM PN QN =，只需证明：112233y y m y y m--=+，即证明：()1212320y y y y m++=，将4t =和⑥⑦代入上式显然成立，所以PM QM PNQN=．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ,()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于数列{}()*n a n ∈N，记1Δnn n aa a +=-，称数列{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列；记()21ΔΔΔΔΔn n n n a a a a +==-，称数列{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，…，一般地，对于k ∈N ，记()11ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ++==-，规定：01Δ,ΔΔn n n n a a a a ==，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列．对于数列{}n a ，如果Δ0kn a d =≠（d 为常数），则称数列{}n a 为k 阶等差数列．（1）数列{}2n是否为k 阶等差数列，如果是，求k 值，如果不是，请说明为什么？（2）请用231111,Δ,Δ,Δ,a a a a 表示34,a a ，并归纳出表示n a 的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列{}n a 为k 阶等差数列，则其前n 项和为123211111C C ΔC ΔC Δk k n n n n n S a a a a +=++++ ；（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？【答案】（1）数列{}2n是二阶等差数列，2（2）231112ΔΔa a a a =++，4a =2311113Δ3ΔΔa a a a +++，1221111111ΔC ΔC Δk k n n n n a a C a a a ---=++++ （3）证明见详解（4）22【解析】【分析】（1）由新定义可直接证明数列{}2n 是二阶等差数列；（2）由()12112111ΔΔΔΔ0,ΔΔ0k k k k n a a a a a ++-=-==== 的关系，递推可得答案；（3）首先证明数列1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅为1k +阶等差数列，再结合（2）可得123211111C C ΔC ΔC Δk k n n n n n S a a a a +=++++ ；（4）由（3）得：2222123n ++++ ()()11216n n n =++，方法一：结合等差数列的前n 项和公式可得答案；方法二：结合组合数的性质可得答案.【小问1详解】因为221Δ(1)21n n n a a a n n n +=-=+-=+，而()()()()2ΔΔΔΔ212112120n n a a n n n ==+=++-+=≠，所以2k =，数列{}2n 是二阶等差数列．【小问2详解】因为数列{}n a 为k 阶等差数列，则Δ0kn a d =≠，则()12112111ΔΔΔΔ0,ΔΔ0k k k k n a a a a a ++-=-==== ，则211Δa a a =+，()()223221111111ΔΔΔΔ2ΔΔa a a a a a a a a a =+=+++=++，()()2243311122Δ2ΔΔΔΔa a a a a a a a =+=++++()()()222311111112ΔΔΔΔΔΔa a a a a a a =++++++2311113Δ3ΔΔa a a a =+++．归纳得一般结论：1221111111C ΔC ΔC Δkkn n n n a a a a a ---=++++ ①．【小问3详解】设数列：1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅，因为()11111Δ2,Δ0n n n n a S S S n S S a --=-=≥=-=，所以数列1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅为1k +阶等差数列，由（2）中①得：122111110C ΔC ΔC Δk k n n n n S S S S ++=-+++ ，因为()1111ΔΔΔΔk k k S S a +==所以123211111C C ΔC ΔC Δk kn n n n n S a a a a +=++++ ．【小问4详解】由（1）知数列{}2n为二阶等差数列，且()()()()211213221Δ413,ΔΔΔ94412a a a a a a a a =-==-=---=---=，则由（3）得：2222123n ++++ ()()()123112C 1C 3C 23226n n n n n n n n n ---=⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯()()11216n n n =++②．设共堆积了n 层，第n 层共有n a 个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第n 层的“边”共有n 个球，则第n 层的球数为()11232n n n a n +=++++=．则这n 层所有球的个数为()11362n n n S +=++++ ．【法一】由②式得：()()()22221113612312322n n n S n n +⎡⎤=++++=++++++++⎣⎦ ()()()111211202462n n n n n =++++=．解得：22n =．答：这位同学共堆积了22层．【法二】()222223411136C C C C 2n n n n S ++=++++=++++ 32223223223341441551C C C C C C +C C C C n n n +++=++++=++⋅⋅⋅=+++ ()()3221C 20246n n n n+++==== ．解得：22n =．答：这位同学共堆积了22层．【点睛】涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

江苏徐州2024-2025学年高三上学期8月期初考试数学试题(原卷版)

2024~2025学年度第一学期高三年级期初抽测数学试题注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|A y y y N=∈，()(){}2|log 12B x y x x ==+−，则A B = （） A. {}|02x x ≤< B. {}2|0x x ≤≤ C. {}0,1D. {}0,1,22. 已知非零实数a ，b 满足a b > ） A. 11a b<B. 33a b >C. 12b a b a−+<−− D. 33a b <3. 函数()()e 211x x f x x −=−的大致图象是（）A. B.C. D.4. 已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x −−> 恒成立，设1ln 2a f =，()2log 3b f =，32c f= ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c a b >>B. c b a >>C. a c b >>D. b a c >>5. 已知函数()2e esin xxf x x −=+−，则“12x x >”是“()()12f x f x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x +−<= ≥ ，若()()()21105f a f a f +≤−−，则实数a 的取值范围是（）A. {}1−B. (],1−∞−C. [)1,−+∞D. 11,e −−7. 已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=，则下列结论正确的是（） A. (4)12f = B. 方程()f x x =有解 C. 12f x+是偶函数 D. 12f x−是偶函数 8. 已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()(),1e xy f x y xyf x f y f ++==，记()()1,2,32af b f c f==，则（） A. a b c << B. b a c << C. a c b <<D. c b a <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列命题正确的是（）A. 命题“1x ∀>，20x x −>”的否定是“01x ∃≤，2000x x −≤”；B. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的必要不充分条件C. 函数()21f x ax x =++的图象恒在()2g x x ax =+的图象上方，则a 的范围是()1,5D. 已知111222,,,,,a b c a b c 均不为零，不等式不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集分别为M 和N ，则“111222a b c a b c ==”是“M N ”成立的既不充分也不必要条件 10. 已知函数()f x ，()g x 定义域均为R ，函数()22f x +为奇函数，()1f x −为偶函数，()g x 为奇函数，()()4g x g x =−，则下列说法正确的是（） A. 函数()f x 的一个周期是6 B. 函数()g x 的一个周期是8C. 若()02f =，则()()18682f g +=− D 若当02x ≤≤时，()()ln 1g x x =+，则当1012x ≤≤时，()()ln 13g x x =− 11. 已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论正确的是（）A. ()f x 的对称中心为()0,nB. ()()11f x f x −> C 1220x x +=D. 120x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知,a b 为实数，若不等式()224421ax a b x a b x ++++≤+对任意1,14x∈−恒成立，则3a b +最大值是______.13. 已知函数()2log f x x =，()12g x x =，若对任意[)x a ∞∈+，，总存在两个0142x∈，，使得()()01g x f x ⋅=，则实数a 的取值范围是_______．14. 若定义在A 上的函数()f x 和定义在B 上的函数()g x ，对任意的1x A ∈，存在2x B ∈，使得的的..的()()12f x g x t +=（t 为常数），则称()f x 与()g x 具有关系()P t ．已知函数()π2cos 26f x x=+（π2π123x ∈，），()2cos cos 5g x x m x =−+（x ∈R ），且()f x 与()g x 具有关系()3P ，则m 的取值范围为_____________________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()2212ln ,R 2a f x x a x x a +−−∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）对于[][)1,e ,2,x b ∀∈∃∈+∞，使得()f x b ≥，求实数a 的取值范围．16. 设函数()x x f x ka a −=−（0a >且，1a ≠，R k ∈），若()f x 是定义在R 上的奇函数且3(1)2f =．（1）求k 和a 的值；（2）判断其单调性（无需证明），并求关于t 的不等式()2(21)4f t f t −<−成立时，实数t 的取值范围；（3）函数22()4()x x g x a a f x −=+−，[1,2]x ∈，求()g x 的值域． 17. 已知函数()()ln e x f x ax=，其中e 为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()1f x =有两个不同的根12,x x ． (i )求a 的取值范围； (ii )证明：22122x x +>． 18. 已知函数()()ln 1f x x =+．（1）讨论函数()()()F x ax f x a =−∈R 的单调性；（2）设函数()()1111g x x f f x x=+−+．（ⅰ）求()()12g g −−的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19. 已知函数()y f x =，其中()3213f x x kx =−，R k ∈.若点A 在函数()y f x =的图像上，且经过点A 的切线与函数()y f x =图像的另一个交点为点B ，则称点B 为点A 的一个“上位点”，现有函数()y f x =图像上的点列1M ，2M ，…，n M ，…，使得对任意正整数n ，点n M 都是点1n M +的一个“上位点”. （1）若0k =，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；（2）若点1M 的坐标为()3,0k ，请分别求出点2M 、3M 的坐标；（3）若1M 的坐标为()3,0，记点n M 到直线y m =的距离为n d .问是否存在实数m 和正整数T ，使得无穷数列T d 、1T d +、…、T n d +…严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若不存在，请说明理由.。

高三数学秋季开学第一次考

高三数学秋季开学第一次考高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高三数学秋季开学第一次考，希望对大家有帮助。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设集合S={x||x-2|3}，T={x|aA.-33.命题存在为假命题是命题的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.给出下列结论：①命题若p，则q或r的否命题是若p，则q且r②命题若p，则q的逆否命题是若p，则q③命题存在nN*，n2+3n能被10整除的否定是nN*，n2+3n 不能被10整除④命题任意x，x2-2x+3的否定是x，x2-2x+3.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.45. 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A. B. C. D.6.若函数y=f(x)的定义域是[0,1]，则函数g(x)= 的定义域是()A.[0, )( ,2]B.[0, )C.[0, ]D.(0, )7.函数，则的值是( )A. B.2C. D.38.若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.9.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或D.10.已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A. B. C. D.二。

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知A={1,2,3}，B={2,3}.定义集合A、B之间的运算*：A*B={x|x=x1+x2，x1A，x2B}，则集合A*B中最大的元素是______;集合A*B的所有真子集的个数为______.12.已知，则的最小值是_____________.13.由集合A={x|114.已知两个实数集，若B中恰有一元素没有原象且，则这样的映射共有个.15.有以下五个命题①的最小值是6。

辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高三上学期九月期初考试数学试题(普高班)

辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高三上学期九月期初考试数学试题（普高班）一、单选题1．命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是（）A ．x ∀∈R ，210x -<B ．x ∀∈R ，210x -≤C ．x ∃∈R ，210x -≤D ．x ∃∈R ，210x -<2．已知集合2{3,1,2},{|60}A B x x x =-=∈--≤N 则A B =I （）A ．{1,2}B ．{3,0,1,2}-C ．{3,1,2,3}-D ．{3,01,2,3}-， 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67891020,a a a a a ++++=则15S =（） A ．150 B ．120 C ．75 D ．604．足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的13处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（）．A ．60B ．90C ．105D ．120 5．已知122a -=，122log 5b =，28log 3c =，则（） A ．c b a << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c << 6．若πtan()24-=-α，则23sin sin cos 3cos αααα=+（）A ．52B ．2C ．52-D ．12-7．已知平面向量a r ，b r ，1a =r ，b =r ，且2a b +=r r a r 与向量a b +r r 的夹角为 A ．2π B ．3π C ．6π D ．π8．若ln 2ln 3ln 5235235a b c +=+=+则（） A ．ln 2ln3ln5a b c >> B ．ln5ln3ln 2c b a >>C ．ln 2ln5ln3a c b >>D ．ln5ln 2ln3c a b >>二、多选题9．已知无穷数列{}n a 满足：当n 为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项 B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立 10．已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下面四个说法，正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．()f x 的图象可由1g()sin(2)24x x π=+的图象向左平移8π个单位长度得到 11．已知函数2()e x f x ax =-（a 为常数），则下列结论正确的有（）A ．1a =时，()0f x ≥恒成立B ．12a =时，()f x 存在零点0x ，0112x -<<- C ．e2a =时，1x =是()f x 的极值点D ．若()f x 有3个零点，则a 的范围为2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、填空题12．已知(3,4),||a b =r r ()()a b a b +⋅-=r r r r13．圆225x y +=的过点(1,2)M 的切线方程为.14．已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是.四、解答题15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3100Q 成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. （1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．16．在①222)S a b c =+-，②cos cos 2cos a B b A c C +=，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC V 的面积，满足______________(填写序号即可)．(1)求角C 的大小；(2)若3c =，求ABC V 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17．如图，在四棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AC =，PAC V 是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点，PD =(1)求证：PD AB ⊥；(2)求二面角A PB C --的余弦值.18．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y 表示抽取的优级水果的数量，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．19．已知椭圆C 的两个焦点为(1,0),(1,0)-，点3(1,)2A 在C 上，直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)求直线l 的斜率.。

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：函数与导数解答题(解析版)

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：函数与导数解答题部分1．(2023·江苏南京9月期初零模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e ax －x ，a ∈R ． (1)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若任意x ≥0，f (x )≥1＋12ax 2，求a 的取值范围．【考点】函数与导数：函数的单调区间讨论、恒成立问题【解析】(1)由f (x )＝e ax －x ，得f ′(x )＝a e ax －1，……………………………………………………1分令f ′(x )＝0，得x ＝－1aln a ．当x ＜－1a ln a 时，f ′(x )＜0；x ＞－1aln a 时，f ′(x )＞0，所以，f (x )的减区间为(－∞，－1a ln a )，增区间为(－1a ln a ，＋∞)．………………………3分(2)设g (x )＝f (x )－(1＋12ax 2)＝e ax －12ax 2－x －1，x ∈[0，＋∞)．则g′(x )＝a e ax －ax －1，g′′(x )＝a (e ax －1)＝af′(x )． ∈当a ≥1时，因为x ≥0，所以g′′(x )≥a (a －1)≥0，从而g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增．因此g ′(x )≥g ′(0)＝a －1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，因此a ≥1符合题意．………………………………………………………………………7分 ∈当0＜a ＜1时，由(1)知，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′′(x )＝af′(x )＜0，所以g ′(x )单调递减，因此，当x ∈(0，－1a ln a )时，g ′(x )＜g ′(0)＝a －1＜0，所以g (x )单调递减，故g (－1aln a )＜g (0)＝0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此0＜a ＜1不符合题意．………………………………………………………………9分 ∈当a ＝0时，此时g (x )＝－x ，g (1)＝－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾，因此a ＝0不符合题意．…………………………………………………………………10分 ∈当a ＜0时，此时g (－2a )＝e －2－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此a ＜0不符合题意．综上，a ≥1．……………………………………………………………………………12分 2．(2023·江苏9月百校第一次联考)(12分) 已知函数f (x )＝2ex －1－a (x －ln x －1)－2x ，x ∈(1，＋∞)．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)若f (x )＞0，求实数a 的取值范围．【考点】函数与导数：函数的切线方程、利用函数最值求参数【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝2e x －1－2x ，所以f (2)＝2e －4．……………………………………1分由f′(x )＝2ex －1－2，得f ′(2)＝2e －2．……………………………………………………2分故曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －(2e －4)＝(2e －2)(x －2)，即y ＝(2e －2)x －2e ．………………………………………………………………………4分 (2)解法1：由f (x )＝2e x －1－a (x －ln x －1)－2x ＞0，得2ex －1－a (x －1)＞2x －a ln x ＝2e ln x－a ln x ，x ∈(1，＋∞)．……………………………6分构造函数g (x )＝2e x －ax ，x ∈(0，＋∞)，则g (x －1)＞g (ln x )恒成立．构造函数h (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)，则h′(x )＝1－1x ＝x －1x＞0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增，得h (x )＞h (1)＝1－1－ln1＝0，即当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞ln x 恒成立．……………9分所以g (x )＝2e x －ax ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数．……………………………………10分所以g′(x )＝2e x －a ≥0，x ∈(0，＋∞)，故a ≤2．……………………………………………………………………………………12分 (2)解法2：由题意得f′(x )＝2ex －1－a (1－1x)－2，x ∈[1，＋∞)，令g (x )＝2ex －1－a (1－1x )－2，x ∈[1，＋∞)，则g′(x )＝2e x －1－a x2．①当a ≤2时，g′(x )＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，得g (x )＞g (1)＝2e 1－1－a (1－11)－2＝0，即f′(x )＝2ex －1－a (1－1x)－2＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，得f (x )＞f (1)＝0．故当a ≤2时，f (x )＞0．………………………………………………………………………7分 ②当a ＞2时，g′(x )＝2ex －1－ax2在(1，＋∞)上单调递增，因为g ′(1)＝2－a ＜0，当a ＞2时，2a 2＞1，g ′(2a2)＝2e2a 2－1－＝2(e2a2－1－1)＞0，所以存在唯一x 0∈(1，2a2)，使得g ′(x 0)＝0．……………………………………………9分当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )＜0，即g (x )在(1，x 0)上单调递减，又g (1)＝0，所以g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，x 0)上单调递减，又f (1)＝0，所以当x ∈(1，x 0)时，f (x )＜0，不符合题意．故a 的取值范围为(－∞，2]．………………………………………………………………12分 3．(2023·江苏海安9月期初)(12分) 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)e x．(1)求证：函数f (x )存在唯一的极大值点； (2)若f (x )≤kx (k ∈R )恒成立，求k 的值．【考点】函数与导数：证明函数的极大值点唯一，利用恒成立求参数【解析】(1)因为f (x )＝e －xln(1＋x )，所以f′(x )＝11＋x －ln(1＋x )e x (x ＞－1)．记p (x )＝11＋x－ln(1＋x )(x ＞－1)．则p′(x )＝－1(1＋x )2－11＋x ＜0，所以p (x )为(0，＋∞)上的单调减函数．又p (0)＝1＞0，p (1)＝12－ln2＜0，所以存在唯一的实数x 0(0＜x 0＜1)，使得p (x 0)＝0． …………3分所以当－1＜x ＜x 0时，f′(x )＞0；当x ＝x 0时，f′(x 0)＝0；当x ＞x 0时，f′(x )＜0，所以函数f (x )存在唯一的极大值点x 0． …………5分 (2)因为f (x )≤kx (x ∈R )恒成立，所以∀x ＞－1，kx e x －ln(1＋x )≥0．记q (x )＝kx e x－ln(1＋x )(x ＞－1)，则q′(x )＝k (1＋x )e x－11＋x ＝k (x ＋1)2e x －11＋x．记r (x )＝k (x ＋1)2e x －1．(*)若k ≤0，k (x ＋1)2e x －1＜0，即q ′(x )＜0，所以q (x )为(－1，＋∞)上的单调减函数，所以当x ＞0时，q (x )＜q (0)＝0，不符合题意，故舍去． …………7分若k ＞0，当x ＞－1时，则r′(x )＝k (x ＋1)(x ＋3)e x ＞0，所以r (x )为(－1，＋∞)上的单调增函数．若0＜k ＜1，r (0)＝k －1＜0，r (ln 1k )＝(ln 1k ＋1)2－1＞0，结合(*)知，存在实数c ，使得r (c )＝0．当0＜x ＜c 时，r (x )＜0，即q ′(x )＜0，所以q (x )为(0，c )上的单调减函数，所以q (x )＜q (0)＝0，不符题意，故舍去；若k ＞1，r (0)＝k －1＞0，r (－1)＝－1＜0，结合(*)知，存在实数s ，使得r (s )＝0．当s ＜x ＜0时，r (x )＞0，即q ′(x )＞0，所以q (x )为(s ，0)上的单调增函数，所以q (x )＜q (0)＝0，不符合题意，故舍去；若k ＝1，r (0)＝k －1＝0，所以当x ＜0时，q ′(x )＜0， q (x )为(－1，0)上的单调减函数，当x ＞0时，q ′(x )＞0， q (x )为(0，＋∞)上的单调增函数，所以q (x )≥q (0)＝0，符合题意，故k ＝1． …………11分综上，k ＝1． …………12分 4．(2023·江苏泰州中学9月期初)已知函数f (x )＝ax e x 和g (x )＝ln xax 有相同的最大值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y ＝b ，其与两条曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．【考点】函数与导数：函数的最值、函数的零点综合应用【解析】(1) 由题意，f (x )＝axe x 的定义域为R ，且f′(x )＝a －ax ex ，令f′(x )＝0，解得x ＝1，当a ≤0，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时无最大值，不符合题意；当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )max ＝f (1)＝ae，而函数g (x )＝ln xax 的定义域为(0，＋∞)，且g′(x )＝a (1－ln x )(ax )2，令g′(x )＝0，解得x ＝e ，当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，则g (x )max ＝g (e)＝1a e，因为函数f (x )＝ax e x 和g (x )＝ln xax 有相同的最大值，所以a e ＝1a e，a ＞0，解得a ＝1；(2)由(1)知f (x )＝ax e x ，g (x )＝f (ln x )＝ln xx ，由于x ＞0时，f (x )＞0，x ＞1时，g (x )＞0，因此只有0＜b ＜1e 才可能满足题意，记h (x )＝x ex －b ，0＜b ＜1e ，由(1)得h (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减，且h (1)＝1e －b ＞0，h (0)＝－b ＜0，所以存在x 1∈(0，1)，使得h (x 1)＝0，设φ(x )＝e x－x 2，则φ′(x )＝e x－2x ，设m (x )＝φ′(x )，则m′(x )＝e x －2，当0＜x ＜ln2时，m′(x )＜0，m (x )单调递减，当x ＞ln2时，m′(x )＞0，m (x )单调递增，所以m (x )min ＝m (ln2)＝2－2ln2＞0，所以φ′(x )≥φ′(ln2)＞0，φ(x )是增函数，当x ＞0时，φ(x )\＞φ(0)＝1＞0，φ(1b )＝e 1b －1b 2＞0，1b e 1b ＜b ，又h (1b )＝1be 1b－b ＜0，所以存在x 0∈(1，1b)，使得h (x 0)＝0，即此时y ＝b 与y ＝f (x )有两个交点，其中一个交点在(0，1)内，另一个交点在(1，＋∞)内，同理y ＝b 与y ＝f (i nx )＝g (x )也有两个交点，其中一个交点在(0，e)内，另一个交点在(e ，＋∞)内，若y ＝b 与y ＝f (x )和y ＝g (x )共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点，记其横坐标为x 2，令f (x 2)＝g (x 2)＝f (ln x 2)，则x 2∈(1，e)，ln x 2∈(0，1)，记y ＝b 与y ＝f (x )，y ＝g (x )的三个交点的横坐标从左到右依次为x 3，x 2，x 4，且满足x 3＜1＜x 2＜e ＜x 4，f (x 3)＝f (x 2)＝g (x 2)＝g (x 4)，且x 2e x 2＝ln x 2x 2，即x 22＝e x2ln x 2，又f (x 3)＝f (ln x 2)，f (x 2)＝f (ln x 4)，且x 3，ln x 2∈(0，1)，x 2，ln x 4∈(1，e)，且f (x )在(0，1)和(1，e)上分别单调，所以x 3＝ln x 2，x 2＝ln x 4，即x 4＝e x2，所以x 22＝x 3x 4，x 2为x 3，x 4的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标x 3，x 2，x 4成等比数列． 5．(2023·江苏南通上学期第一次调研9月)(12分)设函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝xx ＋1．(1)若直线y ＝12x ＋b 是曲线f (x )的一条切线，求b 的值；(2)证明：①当0＜x ＜1时，g (x )⋅f (x )＞12x (x －1)；②∀x ＞0，g (x )－f (x )＜2e．(e 是自然对数的底数，e ≈2.718)【考点】函数与导数：函数的切线方程、证明不等式【解析】(1)由()ln f x x x =，则'()ln 1f x x =+，设12y x b =+在()f x 上的切点为000(,ln )x x x ，从而1'20001()ln 1e 2f x x x -=+=⇒=，故12y x b =+在()f x 上的切点为11221(e ,e )2---，将11221(e ,e )2---代入12y x b =+得，11122211e e e 22b b ----=+⇒=-，故b 的值为12e --.(2)∈当01x <<时，()()()1112ln 02g x f x x x x x x⋅>-⇔-+>，不妨令1()2ln h x x x x =-+，则2'2221(1)()10x h x x x x-=--=-<，故()h x 在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x ∀∈，都有()(1)0h x h >=，故当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-. ∈(i)由∈知，当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-，从而21ln (1)2x x x >-，故()()211122x g x f x x x -<-++，欲证()()2e -<g x f x ，只需证2112()122ex x x x ϕ=-+<+，则2'2211(1)()(1)(1)x x x x x x ϕ-+=-=++，令2()1(1)x x x φ=-+，则'2()(1)2(1)0x x x x φ=-+-+<，从而()x φ在(0,1)上单调递减，因为22111119()1(1)1(1)10e e ee 24eφ=-+>-+=->，219191966139111040404064000φ⎛⎫⎛⎫=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在的基本定理可知，0119,e 40x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2000()1(1)0x x x φ=-+=，从而20000(1)1x x x x =++，结合()x φ在(0,1)上单调递减可知，'0()00x x x ϕ>⇒<<；'0()01x x x ϕ<⇒<<，故()ϕx 在0(0,)x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，从而222320max 00000000111111()()(1)1222222x x x x x x x x x x ϕϕ==-+=+-+=+++，故32max 1911912()()()0.72402402ex ϕ<+⋅+<<，即当01x <<时，()()2e -<g xf x ；(ii) 由'1()ln 10e f x x x =+>⇒>-，从而()f x 在1[,)e-+∞上单调递增，故当1≥x 时，()(1)0f x f ≥=，又因为()1111x g x x x ==-++在(0,)+∞上单调递增，故当1e x ≤≤时，()()e 2()11e 1ex x g x f x f x x x -=-<≤<+++，当e x >时，()(e)e f x f >=，此时()()121e<01eg x f x x -<--<+，综上所述，0x ∀>，()()2e-<g x f x . 6．(2023·江苏镇江9月期初)已知函数f (x )＝x 3－x 2－k (k 为常数，k ∈R )． (1)求函数f (x )不同零点的个数；(2)已知实数a ，b ，c 为函数f (x )的三个不同零点． ①如果b ＞0，c ＞0，求证：1＜b ＋c ＜43；②如果a ＜b ＜c ，且a ，b ，c 成等差数列，请求出a ，b ，c 的值．【解析】(1)由()0f x =可得32k x x =-，令()32g x x x =-，则函数()f x 的零点个数等价于直线y k =与函数()g x 图象的交点个数，()232g x x x '=-，由()0g x '=可得0x =或23x =，列表如下：如下图所示：由图可知，当0k >或427k <-时，直线y k =与函数()g x 的图象只有一个公共点；当427k =-或0k =时，直线y k =与函数()g x 的图象有两个公共点；当4027k -<<时，直线y k =与函数()g x 的图象有三个公共点.综上所述，当0k >或427k <-时，()f x 有1个零点；当0k =或427k =-时，()f x 有2个零点；当4027k -<<时，()f x 有3个零点． (2)证明：∈由（1）可知，当0b >，0c >时，不妨设b c <，则2013b c <<<<，由()()f b f c =可得3232b b k c c k --=--，可得3322b c b c -=-，因为b c ≠，则()222b c b bc c b c bc +=++=+-，所以，()()20bc b c b c =+-+>，0b c +>，则1b c +>，由基本不等式可得()()()()2222344b c b c b c b c bc b c +++=+->+-=，所以，43b c +<. 综上所述，413b c <+<； ∈因为a 、b 、c 是函数()32f x x x k =--的三个不同的零点，所以，()()()()()()32f x x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc =---=-+++++-，因为a 、b 、c 成等差数列，所以，2b a c =+所以，102a b c ab bc ca b a ca b c++=⎧⎪++=⎪⎨=+⎪⎪<<⎩，解得13a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 7．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax －a －1(a ∈R )．(1)若f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f (x )≤0.▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲解析：(1)f (x )的对称轴为x ＝－a 2，因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以－a2≤1，解得a ≥－2.(2)因为f (x )＝(x ＋a ＋1)(x －1)，当a ＋1<－1，即a <－2时，解集为{x |1≤x ≤－a －1}；当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，解集为{x |x ＝1}；当a ＋1>－1，即a >－2时，解集为{x |－a －1≤x ≤1}．8．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(12分)已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲解析：(1)因为函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋axx －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，所以a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1]． 9．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(12分)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且当0＜x ＜1时，f (x )＝9x9x ＋3，(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式和值域；(2)求f ⎝⎛⎭⎫12 022＋f ⎝⎛⎭⎫32 022＋f ⎝⎛⎭⎫52 022＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0212 022的值． ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲解析：(1)当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，f (－x )＝9－x9－x ＋3＝11＋3·9x ，因为f (x )是(－1,1)上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－11＋3·9x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以，f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧－11＋3·9x，－1＜x ＜00，x ＝09x 9x＋3，0＜x ＜1；当－1＜x ＜0时，9x ∈⎝⎛⎭⎫19，1，1＋3·9x ∈⎝⎛⎭⎫43，4，－11＋3·9x ∈⎝⎛⎭⎫－34，－14，当0＜x ＜1时，9x ∈(1,9)，1＋－39x ＋3∈⎝⎛⎭⎫14，34，所以，f (x )在(－1,1)上的值域为⎝⎛⎭⎫－34，－14∪{0}∪⎝⎛⎭⎫14，34； (2)当0＜x ＜1时，f (x )＝9x 9x ＋3，f (x )＋f (1－x )＝9x 9x ＋3＋91－x 91－x ＋3＝9x 9x ＋3＋99＋3·9x＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫12 022＋f ⎝⎛⎭⎫2 0212 022＝f ⎝⎛⎭⎫32 022＋f ⎝⎛⎭⎫2 0192 022＝f ⎝⎛⎭⎫52 022＋f ⎝⎛⎭⎫2 0172 022＝ (1)故f ⎝⎛⎭⎫12 022＋f ⎝⎛⎭⎫32 022＋f ⎝⎛⎭⎫52 022＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0212 022＝1 0112. 10．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(12分)设函数f (x )＝a 2x －(t －1)a x(a >0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求t 和a 的值；(2)若∀x ∈R ，f (kx －x 2)＋f (x －1)<0，求实数k 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使函数g (x )＝22x ＋2－2x －mf (x )在区间[1，log 23]上的最大值为1.若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲解析：(1)∵f (x )是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0，∴f (0)＝1－(t －1)1＝0， ∴t ＝2，经检验知符合题意，f (x )＝a x －a －x ，∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫1，32，∴a －a －1＝32，得2a 2－3a －2＝0，解得：a ＝2或a ＝－12，因为a >0且a ≠1，∴a ＝2. (2)由(1)得f (x )＝2x －2－x ，由f (kx －x 2)＋f (x －1)<0，得f (kx －x 2)<－f (x －1)，∵f (x )为奇函数，∴f (kx －x 2)<f (1－x )，∵2>1，∴f (x )＝2x －2－x 为R 上的增函数，∴kx －x 2<1－x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2－(k ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ＝(k ＋1)2－4<0，解得－3<k <1.(3)g (x )＝22x ＋2－2x －m (2x －2－x )，设t ＝2x －2－x ，则(2x －2－x )2－m (2x －2－x )＋2＝t 2－mt ＋2，∵x ∈[1，log 23]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤32，83，记h (t )＝t 2－mt ＋2， ∴函数h (t )＝t 2－mt ＋2在⎣⎡⎦⎤32，83有最大值为1，①若对称轴t ＝m 2>2512，∴h (t )max ＝h ⎝⎛⎭⎫32＝174－32m ＝1⇒m ＝136，不合题意． ②若对称轴t ＝m 2≤2512， ⎩⎨⎧ m 2≤2512h (t )max ＝h ⎝⎛⎭⎫83＝1⇒⎩⎨⎧ m ≤256m ＝7324⇒m ＝7324，综上所述：故存在实数m ＝7324，使函数g (x )在[]1，log 23上的最大值为1. 11．(2023·江苏如皋9月期初)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a ．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)∵()(2)e x f x x a =-+，∴()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，解得：1x =，所以()(),1,0x f x '∈-∞<，函数()f x 在(),1-∞上单调递减，()()1,,0x f x '∈+∞>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，即函数()f x 单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；(2)由题可知min ()0f x ≥，由(1)可知，当1x =时，函数()f x 有最小值(1)e f a =-+，∴e 0a -+≥，即e a ≥，故a 的取值范围为[e,+)∞.12．(2023·江苏如皋9月期初)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －2x (a ≠0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，不等式x a e2x －2 f (x )≥cos[f (x )]恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)函数()()ln 20f x a x x a =-≠的定义域为()0,∞+，且()22a a x f x x x-'=-=. 当0a <时，因为0x >，则()0f x '<，此时函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，由()0f x '<可得2a x >，由()0f x '>可得02a x <<. 此时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)()()()()()()()ln 222cos e 2cos 0e 2cos 0eaf x a x x x x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-≥⇔--≥⇔--≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设()e 2cos tg t t t =--，其中()t f x =，则()e 2sin tg t t '=-+，设()e sin 2t h t t =+-，则()e cos th t t '=+，当0t ≤时，e 1t ≤，sin 1t ≤，且等号不同时成立，则()0g t '<恒成立，当0t >时，e 1t >，cos 1t ≥-，则()0h t '>恒成立，则()g t '()0,∞+上单调递增，又因为()01g '=-，()1e 2sin10g '=-+>，所以，存在()00,1t ∈使得()00g t '=，当00t t <<时，()0g t '<；当0t t >时，()0g t '>.所以，函数()g t 在()0,t -∞上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，且()00g =，作出函数()g t 的图象如下图所示：由(1)中函数()f x 的单调性可知，①当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x +→时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以，()t f x =∈R ，此时()00g t <，不合乎题意；②当0a >时，()max ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()f x →-∞，此时函数()f x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，即,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦. (i)当ln 02a a a -≤时，即当02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，合乎题意； (ii)当ln02a a a ->时，即当2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合图象可知()10g t <，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围是(]0,2e .。

江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题(解析版)

2022-2023学年度第二学期期初考试
高三数学（答案在最后）
2023.02
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】（1）
（2）105
【解析】
【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后利用等面积法求出内切圆的半径，然后求出即可；（2）显然平分，然后利用角平分线的性质可得，然后得，最后计算即可.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：
，即
设内切圆的半径为，则
【小问2详解】
在中，由（1）结合余弦定理得，
【详解】，因为所以，所以
故选：B
7.已知一组数据的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：，，，，，1，2，3，4，5下列选项正确的是（）
A.平均数是3，方差是7B.平均数是4，方差是7
C.平均数是3，方差是8D.平均数是4，方差是8
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数和方差的定义计算即可.
【小问1详解】
取中点为 ,连接，
在三棱柱中，侧面是菱形，，
则为正三角形，取中点为，则，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为是中点，所以 .
小问2详解】
在边长为2 正中，，
在中，，则，又，
所以，所以，
所以两两垂直.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 .

高三数学：淮阴中学四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考试题和答案

2024届高三年级第二学期期初测试数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x ∈R |log 2(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝A .(－3,2)B .(－2,3)C .(－2,0)D .(－1,0)2．已知复数z 满足(1－i )z ＝3－i ，则复数|z |＝A .2BC .D 3．在∆ABC 中，“A ＝B ”是“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为A .47B .328C .1112D .3565．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为3π，则该圆台的体积为A .433B .533πC .733D .8336．若(2－x )10的展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝A .4095B .4097C .－4095D .－40977．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则233x y x y x y+++的最大值为A .2425B .98-C .98-D .348．若x 1，x 2是关于x 的方程3sin2x －cos2x ＝a 在［0,2π］内的两根，则tan (x 1＋x 2)的值为A .－3B .3D .－13D .13二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

湖北省2022_2023高三数学上学期九月开学起点考试试题pdf

湖北省2022-2023高三上学期9月起点考试数学试卷本试卷共4页，22题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：l ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.巳知集合A = (-oo, 1] U [ 2, + oo),B = ix a -I < x < a +If ，若AUB =R，则实数a的取值范围为A . (1,2)B . [ 1,2)C . (1,2]D . [ 1,2]3-i 2.巳知i 为虚数单位，复数z=．，则z2|＝1-i A.3B.4C.5D.253．已知a,B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是A．若m//a,m ///3，则a///3c ．若m..l a,n ..l a，则m//nB．若m //a,n //a，则m //n D.若a..l 'Y,/3..l 丫，则a ..l /34.已知a E (0, T ),2sin 2a = cos 2a +1，则sin a =l _5 ．A 5_5B 互3c D . 2,/55.巳知数列位几｝是公差不为零的等差数列，｛b n }为等比数列，且a 1=b 1 = I , a 2 = b 2, a 4 =b 3，设e n =a n +b n ，则数列飞｝的前10项和为A.1078B.1068C.566数学试卷第1页（共4页）D.5566．我国古代名著《张丘建算经》中记载：今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？大致意思：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：l 丈＝10尺）A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D. 11676立方尺7.已知a ,b ,c E (0,1),e 是自然对数的底数，若a e 4=4e a , b e 3= 3i,2c = e c ln2，则有A.a <b <c B. b <a< cC. b < c < aD. c <a< b8．一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个自球．第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的臼球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中臼球的个数为X，则E (X)= 5 3 2A .�B.__::__C.643D.— 2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市嘉定区第一中学2024学年高三3月期初测试数学试题

上海市嘉定区第一中学2024学年高三3月期初测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C ．10D ．22．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．45C ．35D ．353．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π4．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值5．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺6．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2B ．3C 2D 38．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（） A ． B ．C ．D ．9．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -10．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}12．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省仪征中学2023-2024学年高三下学期期初调研测试数学试题含答案

江苏省仪征中学2023-2024学年度第二学期高三数学期初调研测试注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（）A.40B.-40C.20D.-202.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于,A B 两点，且60AFB ∠= ，则AB =（）A.2B.C. D.43.在ABC 中，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（）条件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要4.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则ab ⋅=（）A.2B.52-C.-2D.1125.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列､B 系列､C 系列，其中A 系列的幅面规格为：01238,,,,,A A A A A ，所有规格的纸张的长度（以x 表示）和幅宽（以y 表示）的比例关系都为:x y =将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格；将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；，如此对开至8A 规格.现有01238,,,,,A A A A A 纸各一张，已知0A 纸的幅面面积为21m ，则01238,,,,,A A A A A 这9张纸的面积之和是（）A.2511m 256B.2511m 512C.2255m 128D.2255m 2566.某大学计算机学院的丁教授在2024年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的“语音识别”､“人脸识别”､“数据分析”､“机器学习”､“服务器开发”，共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A.480种B.360种C.240种D.120种7.若24,R x y x y -=∈，则x y -的最小值为（）A.12B.32 C.54D.48.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，棱111,A D CC 的中点分别是,E F ，点G 是底面ABCD 内任意一点（包括边界），则三棱锥1G B EF -的体积的取值范围是（）A.410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.45,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.25,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.如图，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向作匀速圆周运动，每3s 转一圈.则该质点到x 轴的距离y 是关于运动时间t 的函数，则下列说法正确的是（）A.函数y 的最小正周期是32B.函数y 的最小正周期是3πC.2ππ2cos 34y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.2ππ2sin 34y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭11.已知定义域为R 的函数()f x 满足以下条件：①对任意实数,x y 恒有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++；②当0x >时，()f x 的值域是()0,∞+；③()11f =.则下列说法正确的是（）A.()f x 值域为[)1,∞-+B.()f x 单调递增C.()8255f =D.()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+的解集为[)1,∞+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B x x k k Z ====∈∣，则U B A ⋂=ð__________.13.已知复数z 满足22z z -==，则3z =__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与直线(22:l x c c a b ==+交于,M N 两点（点M 位于第一象限），点P 是直线l 上的动点，点,A B 分别为C 的左､右顶点，当sin APB ∠最大时，PAB OMN aS S c= （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率e =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为π,,,sin 62a ba b c B c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若a b c +==，求角C 的平分线CD 的长度.16.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点B 是椭圆C 的上顶点，12BF F 是等边三角形，12BF F 的内切圆的面积为π3.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点T 在x 轴负半轴上且14OT OF =，过T 的直线与椭圆交于,M N 两点，求1MNF 面积的最大值.17.（本小题15分）某地政府为推动旅游业高质量发展､加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服各方式，培育新业态､新产品､新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m 个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为1591.（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题17分）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.（1）求,a b ；（2）证明：()35f x x>-.19.（本小题17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a ab b b a bc a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---若111222i j k a b x y z x y z ⨯=，则称a b ⨯为空间向量a与b的叉乘，其中(111111,,a x i y j z k x y z =++∈(){}222222R),,,R ,,,b x i y j z k x y z i j k =++∈ 为单位正交基底.以O 为坐标原点､分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()1,2,1,0,1,1A B -，求OA OB ⨯；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯.（3）证明：2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.江苏省仪征中学2023-2024学年度第二学期高三数学期初调研测试答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.B4.C5.A6.B7.C8.C二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.AD 10.AD11.BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.{}413.-8四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）解：（1）由πsin 62a b B c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭得π2sin sin cos 6a b c B B c B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭.由正弦定理得sin sin sin sin cos A B B C C B +=+，得()sin sin sin sin cos B C B B C C B ++=+，得cos sin sin sin C B B C B +=.因为sin 0B ≠cos 1C C -=，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πC <<，所以π3C =.（2）由余弦定理，22222cos ()3a b ab C a b ab =+-=+-，可得2ab =，又ABC CBD CAD S S S =+ ，即131111222222ab a CD b CD =⋅⋅+⋅⋅，则31CD a b==+16.（本小题15分）解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .因为12BF F 的内切圆的面积为π3，所以12BF F 的内切圆的半径为33r =，因为12BF F 是等边三角形，所以23tan303r OF ==，即2333OF =，解得21OF =，则1c =，所以12222F F OF ==，则1122a BF F F ===，则b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）144OT OF ==，则点()4,0T -，由题意知直线MN 的斜率存在且不为0.设直线MN 的方程为()()11224,,,,x my M x y N x y =-，代入椭圆方程，整理得()223424360m y my +-+=，由()22Δ(24)436340m m =--⨯⨯+>，可得24m >.由韦达定理，得1212222436,3434m y y y y m m +==++，所以1MNF 的面积1111212NTF MTF S S S TF y y =-=⋅-=2211318661616434433m m =⋅=⨯⨯+-++，当且仅当163=，即2283m =时（此时适合24m >的条件）取得等号.故1MNF面积的最大值为4.17.（本小题15分）解：（1）由题意知共有()6m +个团队，一次抽取2个团队的情况有2m 6C +种，其中全是私家游团队的情况有26C 种，故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是()()262m 6C 3015C 6591m m +==++，整理得2111520m m +-=，解得8m =或19m =-（舍去）.若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有3620C =种情况，若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有3856C =种情况，所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，这3个团队全是跟团游团队的概率为5614205619=+.（2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.()()()4132286868444141414C C C C C 703364200,1,2C 1001C 1001C 1001P P P ξξξ========，()()314686441414C C C 160153,4C 1001C 1001P P ξξ======.故ξ的分布列为ξ01234P701001336100142010011601001151001数学期望()70336420160151201234100110011001100110017E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.（本小题17分）解：（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2a b ==-.（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x >-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x =+'.所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,ex ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e eg ⎛⎫=-⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()g x h x >，即()35f x x >-.19.（本小题17分）解：（1）①因为()()1,2,1,0,1,1A B -，则()()()1212010133,1,1011i j kOA OB i k j i i j k ⨯==++-----=--=---.②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则()121212212121122112211221,,OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i y z y z z x z x x y x y ⨯=++---=---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯==.（2）证明：因为sin AOB ∠==故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅=故要证12AOB S OA OB =⨯，只需证OA OB ⨯=即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=--- ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又22222222111222|,|OA x y z OB x y z =++=++ ，()22121212()OA OB x x y y z z ⋅=++ ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ 成立，故12AOB S OA OB =⨯.（3）证明：由（2）12AOB S OA OB =⨯，得221()||222AOB OA OB OA OB OA OB OA OB S OA OB ⨯=⨯=⨯⋅⨯=⋅⨯ ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.。

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：函数的性质综合应用(原卷版)

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：函数的性质综合应用1．(2023·江苏南京9月期初零模)已知函数f (x )，任意x ，y ∈R ，满足f (x ＋y ) f (x －y )＝f 2(x )－f 2(y )，且f (1)＝2，f (2)＝0，则f (1)＋f (2)＋…＋f (90)的值为A ．－2B ．0C ．2D ．42．(2023·江苏南京9月期初零模)(多选题)已知函数f (x )＝3x －2x ，x ∈R ，则A ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．存在a ∈R ，使得函数y ＝f (x )a x为奇函数 C ．函数g (x )＝f (x )＋x 有且仅有2个零点D ．任意x ∈R ，f (x )＞－13．(2023·江苏海安9月期初)设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋8，g (x )＝log a x (0＜a ＜1)，则函数y ＝g (f (x ))的减区间为A ．(－∞，1)B ．(－2，1)C ．(1，＋∞)D ．(1，4)4．(2023·江苏海安9月期初)(多选题)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )f (x －y )＝f 2(x )－f 2(y )，且f (1)≠0，则下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的解析式唯一C ．若f (x )是周期为T 的函数，则T ≠1D ．若x ＞0时，f (x )＞0，则f (x )是R 上的增函数5．(2023·江苏南通上学期第一次调研9月)(多选题)对于定义域为[0，＋∞)的函数y ＝f (x )，若同时满足下列条件：①∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0；②∀x ≥0，y ≥0，f (x ＋y )≥f (x )＋f (y )，则称函数f (x )为“H 函数”．下列结论正确的是A ．若f (x )为“H 函数”，则其图象恒过定点(0，0)B ．函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数在[0，＋∞)上是“H 函数” C ．函数f (x )＝[x ]在[0，＋∞)上是“H 函数”([x ]表示不大于x 的最大整数)D ．若f (x )为“H 函数”，则f (x )一定是[0，＋∞)上的增函数6．(2023·江苏南通上学期第一次调研9月)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f ′(－x )＞2f (x )，且f (3)＝0，则不等式f (x )＞0的解集为．7．(2023·江苏镇江9月期初)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ⋅2x ＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f (log 296)的值是( )A ．－12B ．－2C ．2D ．128．(2023·江苏镇江9月期初)(多选题)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋1，则( )A ．f (x )有一个极值点B ．f (x )没有零点C ．直线y ＝x 是曲线y ＝f (x )的切线D ．曲线y ＝f (x )关于直线x ＝1对称9．(2023·江苏镇江9月期初)已知e 为自然对数底数，函数f (x )＝e x ＋4e x 的值域为[4，5]，请给出函数f (x )的一个定义域．10．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)设f (x )为定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝－f (x ＋2)，f (1)＝1，则f (－1)＋f (8)＝( ▲ )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)给定函数f (x )＝x 2，g (x )＝－x 2＋x ，x ∈R .用m (x )表示f (x )，g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x )，则m (x )的最大值为( ▲ )A.14B ．1C ．0D ．2 12．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)函数f (x )＝x 1＋|x |，则下列结论中错误的是( ▲ ) A ．y ＝f (x )的图象关于点(－1，1)对称 B ．f (x )在其定义域上单调递增C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．函数g (x )＝f (x )－x 有且只有一个零点13．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(多选题)下列命题中，错误的命题有( ▲ )A ．函数f (x )＝x 与g (x )＝(x )2是同一个函数B ．命题“∃x ∈[0，1]，x 2＋x ≥1”的否定为“∀x ∈[0，1]，x 2＋x <1”C ．函数y ＝sin x ＋4sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2的最小值为4 D ．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x <02x ，x ≥0，则f (x )在R 上单调递增 14．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ≤0x 3－6x 2＋9x ＋1，x ＞0，则下列结论正确的是( ▲ )A ．f (x )在(－1，1)上单调递减B ．f (log 23)>f (log 25)C ．当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域为[1,5]，则1≤a ≤4D ．当1<t <5时，函数g (x )＝[f (x )]2－(t ＋5)f (x )＋5t 恰有7个不同的零点15．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)函数y ＝4－x 2ln (x ＋1)的定义域为 ▲ ． 16．(2023·江苏连云港高级中学9月期初)若函数f (x )＝2＋a e x －1为奇函数．则a ＝ ▲ ． 17．(2023·江苏如皋9月期初)(多选题)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x 则下列结论正确的有( )A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )在[0，π2]上为减函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．函数f (x )的值域为[2，2] 18．(2023·江苏如皋9月期初)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x －2)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则f (log 210)的值为．。

高三数学期初考试卷

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的图像在区间（-∞，0）上的单调性为（）。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 下列命题中，正确的是（）。

A. 对于任意实数x，x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，x^5 ≥ 03. 函数y = 2x + 3的图像是（）。

A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 圆4. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an的值为（）。

A. a1 + (n-1)dB. a1 - (n-1)dC. a1 + ndD. a1 - nd5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）。

B. x = 2C. x = -1D. x = -26. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第n项an的值为（）。

A. a1 q^(n-1)B. a1 / q^(n-1)C. a1 q^nD. a1 / q^n7. 函数y = log2(x+1)的定义域为（）。

A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -18. 若函数f(x) = |x| + 1，则f(x)的最小值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 无最小值9. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）。

A. 1/2B. √2/2C. 110. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则|z| = （）。

A. √(a^2 + b^2)B. a^2 + b^2C. a - bD. a + b二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为______。

高三秋季开学考试卷数学

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$2. 已知函数$f(x)=2x+1$，则函数的增减性为（）A. 增函数B. 减函数C. 均有增减性D. 均无增减性3. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $a^2 + b^2 > 2ab$B. $a^2 - b^2 > 2ab$C. $a^2 + b^2 < 2ab$D. $a^2 - b^2 < 2ab$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1 + a_5 = 20$，$a_2 + a_4 = 18$，则该数列的通项公式为（）A. $a_n = 3n - 2$B. $a_n = 4n - 6$C. $a_n = 5n - 10$D. $a_n = 6n - 12$5. 已知函数$y = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，则该函数的图像（）A. 有两个渐近线B. 有一个渐近线C. 没有渐近线D. 无法确定6. 在$\triangle ABC$中，若$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$\sin A$的值是（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{6}$D. $\frac{6}{7}$7. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 58. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则该数列的前$n$项和$S_n$的表达式为（）A. $S_n = 2^n - n - 1$B. $S_n = 2^n - n$C. $S_n = 2^n - n + 1$D. $S_n = 2^n + n - 1$9. 若向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 2010. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$，若$\triangle ABC$为等边三角形，则$a$、$b$、$c$的关系为（）A. $a = b = c$B. $a = b \neq c$C. $a \neq b = c$D. $a \neq b \neq c$二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(2) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

2023-2024学年高三上学期数学9月开学摸底考试 (20)

3.已知则的值为（）
A B. C. D.
4．木升在古代多用来盛装粮食作物是农家必备的用具如图为一升制木升某同学制作了一个高为40 的正四棱台木升模型已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 的球O的球面上且一个底面的中心与球O的球心重合则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）
A． B． C． D．
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个则
11．如图所示有一个棱长为4的正四面体容器D是PB的中点E是CD上的动点则下列说法正确的是（）
A．若E是CD的中点则直线AE与PB所成角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入）则小球半径的最大值为
5.已知且则的最小值为（）．
A.4B.6C.8D.12
6.已知则abc的大小关系为（）．
A. B.
C. D.
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明后人称其为“赵爽弦图”它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示.在“赵爽弦图”中若则（）
（t万元的函数；
（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
22.
已知函数（是自然对数底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线求的值；
（2）若对于任意恒成立试确定实数的取值范围；
（3）当时是否存在使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在求符合条件的的个数；若不存在请说明理由.
城市学校
80
总计
100
160
（1）补全上面的列联表；

高三数学期初试卷答案

一、选择题1. 答案：D解析：根据等差数列的通项公式，第n项为a1 + (n-1)d，代入n=6，得a6 = a1+ 5d。

由于a6 = 25，且a1 = 3，解得d = 4。

所以a7 = a1 + 6d = 3 + 64 = 27。

2. 答案：B解析：根据等比数列的通项公式，第n项为a1 r^(n-1)，代入n=5，得a5 = a1 r^4。

由于a5 = 16，且a1 = 2，解得r = 2。

所以a3 = a1 r^2 = 2 2^2 = 8。

3. 答案：C解析：函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处取得极值，且f'(1) = 0。

由于f'(x) = 3x^2 - 3，解得x = ±1。

当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减。

因此，函数在x=1处取得极大值。

4. 答案：A解析：复数z = 1 + i，其模长为|z| = √(1^2 + 1^2) = √2。

复数z的共轭复数为z = 1 - i，模长也为√2。

5. 答案：D解析：根据向量的数量积公式，a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。

由于|a| = 5，|b| = 3，且cosθ = -1/2，代入公式得a·b = 5 3 (-1/2) = -15/2。

二、填空题6. 答案：x = -1 或 x = 2解析：根据一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的求根公式，得x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

代入a = 1，b = -3，c = 2，得x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 412)) / 21，即x = (3 ± √(9 - 8)) / 2，解得x = -1 或 x = 2。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三数学期初学前调查 2013-9-1一：填空题1．命题p ：对任意实数x 都有2x ＋ax ＋1>0恒成立，则⌝p 是 ▲ 。

2t 是时间，s 是位移），则物体在时刻3t = 时的速度为 ▲ ．3．已知集合),(},2log |{2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

4的虚部是 ▲ ．5．“1a >”是“函数xa x f )()(2=在定义域内是增函数”的 ▲ 条件。

6．已知函数y =x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c 的值为__ ▲ ___． 7．函数)53(log )(21-=x x f 的定义域是 ▲ 。

8．若方程0422=+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

9．设函数|log |)(2x x f =，则)(x f 在区间)12,(+m m （m >0）上不是单调函数的充要条件是 ▲ 。

10．已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，当0>x 时，x x x f 2)(2-=，则当0<x 时，)(x f = ▲ 。

11．已知函数⎩⎨⎧≤-->-=0 ,20 ,12)(2x x x x x x f ，若函数m x f x g -=)()(有3个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

12．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2 ,1)21(2 ,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

13．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于__ ▲ __．14．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()0f x '>，且()0f x <的解集为 ▲ 。

二：解答题 15．（本题满分14分）已知集合φ≠=+-==-=B b ax x x B x x A },02|{},01|{22，且A B A = ，求a 、b 的值。

16．（本题满分14分）已知函数)(x f 是偶函数，且xxa a x f -+=λ)(（a >0，且a ≠1）。

（1）求实数λ的值；（2）证明：函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数。

已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；（3的最小值及此时实数m 的值． 18．（本题满分15分）设命题p ：实数x 满足)0(03422><+-a a ax x ，命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 。

（1）若a =1，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若a =1，且q p ∨为假，求实数x 的取值范围；（3）若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

如图，l 1，l 2是通过某市开发区中心O 的南北和东西走向的两条道路，连接MN 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l 1对称，M 到l 1、l 2的距离分别是2km 、4km ， N 到l 1、l 2的距离分别是3km 、9km 。

（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN 的方程；（2）该市拟在点O 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O 的距离大于5km 而不超过8km ，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km ，求该厂离点O 的最近距离。

（注：工厂视为一个点） 20．（本题满分16分）已知函数f (x )＝e x (其中e 为自然对数的底数)，g (x )＝2nx ＋m (m ，n ∈R )．（1）若n ＝4时方程f (x )＝g (x )在[0,2]上恰有两个相异实根，求m 的取值范围；（2）若T (x )＝f (x )g (x )，m ＝1－2n，求T (x )在[0，1]上的最大值.Ol 2l 1MN2013-2014年高三数学期初学前调查参考答案一：填空题1、R x ∈∃，使得2x ＋ax ＋1≤0 2、6 3、a >4 4、1 5、充分不必要 6、±2 7、]2,35( 8、),25(+∞ 9、0<m <1 10、x x 22+ 11、（0, 1）12、]813,(-∞ 13、9 14二：解答题15、解：}1,1{}01|{2-==-=x x A ，…………………………………………1分因为A B A = ，所以A B ⊆，……………………………………………………2分又因为φ≠B ，所以B={–1}，或B={1}，或B={–1，1}，……………………4分当B={–1}时，⎩⎨⎧=-=++0440212b a b a ，解得：⎩⎨⎧=-=11b a ………………………………………7分当B={1}时，⎩⎨⎧=-=+-0440212b a b a ，解得：⎩⎨⎧==11b a …………………………………………10分当B={–1，1}时，⎩⎨⎧=+-=++021021b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==10b a ，………………………………13分综合得：⎩⎨⎧=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-==10b a 。

………………………………………………14分16、解：（1）因为函数)(x f 是偶函数，所以)()(x f x f -=，即x x xxa a a a λλ+=+--，所以)(x x xxa a aa ---=-λ，解得：λ=1；……………………………………6分（2）由（1）得：xx xx xxaaa a aa a x f a a x f ln )1(ln ln )()(2-=-='+=--……9分当0<a <1时，因为x >0，所以a x>0，0<a 2x<1，lna <0，所以xx a aa ln )1(2->0，即0)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，则函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数；……11分当a >1时，因为x >0，所以a x>0，a 2x>1，lna >0，所以xx aaa ln )1(2->0，即0)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，则函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数；………13分综合得：当a >0，且a ≠1时，函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数。

………………14分17、解：（1）由2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩ 解得6m =-………………………………4分6分9分10分12分 13分14分 15分18、解：（1）当a =1时，有0342<+-x x ，解得：31<<x ，……………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 解得：32≤<x ， ………………………………………………2分因为q p ∧为真，所以p ，q 都为真， ………………………………………………3分则⎩⎨⎧≤<<<3231x x ，即32<<x ； …………………………………………………………5分（2）由（1）知：p ⌝：1≤x 或3≥x ，………………………………………………6分q ⌝：2≤x 或3>x ，……………………………………………………………………7分因为q p ∨为假，所以p ，q 只要有一个为假，…………………………………………8分所以1≤x 或3≥x ；………………………………………………………………………10分（3）因为a >0，所以由03422<+-a xa x 解得：a x a 3<<，……………………11分因为p ⌝是q ⌝充分不必要条件，所以q 是p 充分不必要条件，……………………13分所以⎩⎨⎧>≤332a a ，解得：21≤<a 。

……………………………………………………15分19、解：（1）分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，……………1分则M(2, 4), N(3, 9)；…………………………………………………………………………2分设MN 所在抛物线的方程为,2c ax y +=则⎩⎨⎧+=+=c a c a 9944，解得⎩⎨⎧==01c a ，………………5分故所求抛物线弧MN 的方程为2x y =（2≤x ≤3）；………………………………6分（2）设抛物线弧MN 上任意一点),(2x x P （2≤x ≤3），厂址为点)85)(,0(≤<t t A ， (8)由题意得：6)((2222≥-+=t x x PA 在]3,2[∈x 即0)6()21(224≥-+-+t x t x 在]3,2[∈x 9分设u x =2，则]9,4[∈u ，从而0)6()21(22≥-+-+t u t u 在]9,4[∈u 上恒成立，……11分因为对称轴]9,4[]215,29(212⊂∈-=t u ，………………………………………………12分所以要使0)6()21(22≥-+-+t u t u 在]9,4[∈u 上恒成立，只需0≤∆，即0)6(4)21(22≤---t t ，解得：425≥t ，则]8,425[∈t ，…………15分所以t 的最小值为425，即该厂距离点O 的最近距离为25.6km 。

………………16分 20、解：(1) F (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －m ，F ′(x )＝e x －2，………………………………2分故F (x )在(0，ln 2)上单调递减；在(ln 2，＋∞)上单调递增； ………………3分因为F (x )＝e x －2x －m 在[0,2]上恰有两个相异实根，所以⎪⎩⎪⎨⎧>--=<--+>-=04)2(02ln 2)2(ln 01)0(2m e F m F m F ，解得：12ln 22<<-m ，故m 的取值范围是(2－2ln 2，1)。

………………………………………………7分(2) m ＝1－2n时，T (x )＝e x ⎝⎛⎭⎫n 2x ＋1－n 2(n ∈R )， ∴T ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫n 2x ＋1…………………………………………………………9分①当n ＝0时，T ′(x )＝e x ＞0，T (x )在[0,1]上为增函数，则此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……10分 ②当n ＞0时，T ′(x )＝e x ·n2⎝⎛⎭⎫x ＋2n ，T (x )在⎝⎛⎭⎫－2n ，＋∞上为增函数，故T (x )在[0,1]上为增函数，此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……………………………………12分 ③当n ＜0时，T ′(x )＝e x ·n2⎝⎛⎭⎫x ＋2n ，T (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2n 上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－2n ，＋∞上为减函数，若0＜－2n ＜1，即n ＜－2时，故T (x )在[0，－2n ]上为增函数，在⎣⎡⎦⎤－2n ，1上为减函数，此时T (x )max ＝T ⎝⎛⎭⎫－2n ＝e －2n (－1＋m )＝－2n ·e －2n ，……………………………………14分若－2n ≥1，即－2≤n ＜0时，T (x )在[0,1]上为增函数，则此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……15分综上所述：[T (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n e －2n ，n ＜－2，e ，n ≥－2.…………………………………………16分2013-2014年高三数学期初学前调查附加题1. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a A 21有一个属于特征值1的特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12. （1）求矩阵A ；（2）若矩阵⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1101B ，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下所得到的方程.2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；（2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式.3. 某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。