投资组合理论 马克维茨均值方差模型 CAPM

第8章 现代投资组合理论
8.1 资产组合理论
8.1.1资产组合理论的基本假设 8.1.2资产组合的风险与收益 8.1.源自文库资产组合的可行集和有效集 8.1.4最优风险资产组合的决定
第8章 现代投资组合理论
8.1.1资产组合理论的基本假设
1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于 在收益不确定条件下投资行为的理论， 它由美国经济学家哈里· 马科维兹在1952年率先提出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资 者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临 高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是， 分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾 而提出的。

第8章 现代投资组合理论
马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问 题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文， 1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还 给出了如何进行正确的分散方法。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进 行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法 证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人 们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供 最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。
将平方项展开得到
2
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E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]2 wi2 E (ri E (ri )) 2
i 1 n n n i 1 j 1,i j

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1952年在学术论文《资产选择：有效的多样化》 中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学 概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将 边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究 成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其 资金，以在风险一定时取得最大收益。 马科维茨的学术活动基本上是专注于金融微观分 析领域。1959年其代表作《资产组合：有效的多样化》 的出版是其学术生涯的顶峰，以后他继续进行他的研 究工作，但基本上是对他五十年代证券组合选择理论 的完善，及一些技术、方法方面的工作，没有重大的 理论突破。
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所有投资者都有相同的投资期限，即投资者的投资为 单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 对于所有投资者，无风险利率相同； 对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的； 投资者具有相同的预期（同质期望），所有投资者对 期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理 解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。 通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证 券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对 证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方 式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态度， 通过市场上投资者的集体行为，可以获得每一证券的 风险和收益之间均衡关系的特征。
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马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952 年在 Journal of Finance 发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。 马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大 学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助 研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导 师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股 票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险， 分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险， 马是第一人。当时主流意见是集中投资。
ij ij 则有：covij ij ij i j i j
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（3）资产组合的风险：
2 p covij xi x j i 1 j 1 N N
其中当i j时， covij 表示证券i证券j的收益的协方差， 反映了两种证券的收益 在一个共同周期中变动 的相 关程度。 协方差与相关系数 存在下列关系： covij ij i j 当i j时， covij i j ，即ij 1
萨缪尔森 Samuelson
蒙代尔 (Robert A. Mundell)
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现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M. Markowitz发表的《投资组合选择》为标志 1964、1965、1966年林特纳（John Lintner）、布 莱克（Fischer Black）和摩森（Jan Mossin）三人 分别独立提出资本资产定价模型。1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产 定价模型（Capital asset pricing model，CAPM） 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定 价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场 能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年， Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说 （Efficient market hypothesis，EMH）
100万
60万 房地产 20万 政府公债 20万 股票
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2. 资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期 收益(ri)的加权平均数。其中每一证券的权重(wi) 等于该证券在整个组合中所占的投资比例。 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种 证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组 合的投资收益为：
covij ij ji
Ri E Ri R j E R j E


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（2）相关系数：
为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把 协方差正规化，使用证券i和证券j的相关系数ij。 相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标 准差之积等于它们的相关系数。 相关系数范围在－ 1 和 +1 之间，－ 1 表明完全负相关， +1 表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之 间。 相关系数的计算公式为：
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8.1.2资产组合的风险与收益
1. 资产组合（portfolio）：是使用不同的证券和其他 资产所构成的集合。 任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴 随着较大的风险。资产组合的目的是：通过多样化来 分散或减少风险，在适当的风险水平下获得最大的预 期回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。
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（1）协方差(covariance)：是测量两个随机变量之间 的相互关系或互动性的统计量。 资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的 指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方 向与程度。 协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为 负则意味着反方向变动。相对小的或0值的协方差表 明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关 系或没有任何互动关系。 协方差的计算公式为：

3
3
wi w j ij
( w1w2 12 w1w3 13 ) ( w2 w1 21 w2 w3 23 )
n w ) ( w3 w1 31 w 3 2 32
Er E （ w rw w （ Er i1 i）＝ i） 2p w1 w2 12 2 w w3 23 3 13 2 w2i
i 1 i 1


n
同理，当i, j n 时
2 2 2 其中 w ＝ w i i i 1 p n n i i1 1 n n
Erp E （ wi ri）＝ w （ i Eri）
i 1 i 1
n
n
其中 wi 1
i 1
n
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3. 资产组合的风险： 作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报 的离散程度， 资产组合的方差不仅与其组成证券的方差有关， 还与组成证券之间的相关程度有关。 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协 方差COV和相关系数ρ来表示。
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Ch.8 现代投资组合理论
Modern Portfolio Theory (MPT)
8.1 8.2 8.3 8.4
资产组合理论 资本资产定价模型（CAPM） 套利定价理论（APT） 有效市场假说（EMH）
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米尔顿· 弗里德曼 (Friedman，Milton)
n
wi w j E{(ri E (ri )) (rj E (rj ))}
wi2 i2
i 1 n
n
i 1 j 1,i j

n
wi w j ij
wi w j ij
i , j 1
ii
2 i
E (ri E (ri )) 2 i2 , E{(ri E (ri )) ( rj E (rj )) ij i j
2 2
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资产组合方差的计算公式
2 p ＝Wi 2 i2 i 1 n n i 1 j i , j 1
WW
i j
n
ij
wi w j ij
i , j 1
n
证明：
证明：D(rp ) E[rp E (rp )]2 E[ wi ri E ( wi ri )]2
投 资 学
第 8 章 现代投资组合理论
主讲：丁辉关
联系方式：dinghg@niit.edu.cn
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哈里▪马科维茨
生于美国伊利诺伊州。在芝加哥大学 1950年获得经济学硕士、1952年博士 学位。 马科维茨是享誉美国和国际金融经济 学界的大师，曾任美国金融学会主席、 管理科学协会理事、计量学会委员和 美国文理科学院院士。 1989年美国运 筹学会、管理科学协会联合授予马科 维茨、冯?诺伊曼运筹学理论奖，以表 彰他们在证券组合选择理论、稀疏矩 哈里▪马科维茨 阵技术、SIMSCRIPT程序语言等方面所 （Harry M. Markowitz） 作的理论突破和技术创新工作。 (1927年8月24日-)
i 1 i 1 n n
E[ w1r1 w2 r2 ... wn rn w1E (r1 ) w2 E (r2 ) ... wn E (rn )]2 E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]
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i 1 j i , j 1 总结 3 3 3 对于包含 p，其总收益的期望值和方差 ＝ n个资产的组合 w1w j 1 j＋ w 2 w j 2 j w3 w j 3 j j i , j 1 j i , j 1 j i , j 1 分别为：

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2.现代证券组合理论的基本假设：为了弄清资产是如何 定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将 注意力集中在最主要的要素上，因此需要通过对环 境作一些假设，来达到一定程度的抽象。 投资者都是以期望收益率和方差（标准差）来评价 资产组合（Portfolio）的效用大小划或风险大小。 投资者是永不满足的和风险厌恶的，即是理性的。 因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择 具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。 单一资产都是无限可分的，可按一定比例购买一定 数量的资产。 投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。 税收和交易费用成本均忽略不计。