法向量的快速求法
平面法向量的快速求法叉乘
平面法向量的快速求法叉乘平面法向量的快速求法叉乘---------------------------------平面法向量（Plane Vector）是现代几何学中一种重要的概念，它被广泛应用于工程、科学、数学等多个领域。
平面法向量定义为一组三个元素的数组，由一条有向线段的起点（A）和终点（B）构成。
它可以用来表示一个平面上的向量或一个三维空间中的向量。
叉乘（Cross Product）是一种常见的矢量运算，它通常用来求两个三维向量的叉乘积。
平面法向量的叉乘也是一种有用的运算，它可以用来求出两个向量在平面上的叉乘结果。
在求解平面法向量叉乘时，最常用的方法是使用叉乘定理，即使用另外两个向量来表示原始向量，然后将这两个向量分别叉乘，最后将叉乘的结果相加求得最终的叉乘结果。
这是一种相对比较复杂的计算方法，而且在计算大量数据时会耗费大量时间。
为了解决上述问题，人们开发了快速求法叉乘法（Fast Cross Product Method），这是一种计算平面法向量叉乘的新方法。
该方法不需要使用叉乘定理，而是直接使用原始向量来计算叉乘。
其核心思想是：将原始向量分别作为三个平面法向量，然后将这三个向量相乘，最后得出最终的叉乘结果。
在实践中，使用快速求法叉乘的方法可以很大地提高计算效率。
因为它不需要使用叉乘定理来计算叉乘，而是直接使用原始向量来计算叉乘，这样就能大大减少计算时间。
此外，该方法还具有较好的计算准确性，因为它不会出现因叉乘定理而产生误差的情况。
总之，快速求法叉乘法是一种有效的计算平面法向量叉乘的新方法。
该方法不仅能够大大提高计算效率，而且还具有较好的计算准确性。
因此，快速求法叉乘法已成为计算平面法向量叉乘的常用方法。
法向量求法及应用方法
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
法向量的求法
法向量的求法
求法向量是物理学中一个重要的概念，它可用于描述物体在空间中的移动和变化之间的关系。
通过求法向量，物体的位置和动量在任何时间以及任何方向上都可以得到准确的表达。
因此，求法向量在物理学研究中占据十分重要的地位和作用。
法向量是由单位向量构成的，它可以用来描述物体的变化，特别是当物体的变化是在逐渐发生时，求法向量尤为重要。
举例来说，如果你要表达物体在不同时间和不同位置 t 的变化，你可以采用如下公式来求出法向量 f (t)。
f (t) = r(t) - r(t-1)
其中，r(t) 代表物体在t时间单位的位置，而 r(t-1) 则代表这物体在 t-1 时间单位的位置。
事实上，问题就是求出物体在 t 时刻和 t-1 时刻的位置之间的距离。
这种距离可以被认为是一种“ 变化率”，可以用来描述物体的移动过程。
几何学中的求法向量并不仅仅限于空间上的运动，而且也可以应用于函数的导数中。
函数的导数，可以用公式 d f (x) / d x 来表示，其中 d f (x) 表示函数在 x 时刻的变化率，而 d x 表示这个变化率与 x 之间的距离。
另外，在机器学习中也大量应用到求法向量方法。
通过求法向量，可以确定每一个变量和优化目标之间的关系，并对数据进行分析，从中学习出最佳的解决方案。
总之，求法向量是一种常用的数学方法，用来表达变量们的空间变化关系，在机器学习等领域有着重要的应用价值。
两点求法向量
两点求法向量
在平面直角坐标系中，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，如何求出由这两个点确定的直线的法向量呢？
方法一：
1.计算出向量AB的坐标表示，即AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
2.将向量AB逆时针旋转90度，得到向量的一个垂直向量，即法向量N = (- (y2 - y1), x2 - x1)。
3.将法向量N进行单位化，即将其长度归一化为1，得到单位法向量n = N/||N||，其中||N||表示向量N的长度。
方法二：
1.根据两点式求出直线的方程，即斜率为k，截距为b的直线方程为y = kx + b。
2.由于直线的法向量与直线垂直，所以其斜率为-k的直线与原直线垂直。
3.根据两条直线的斜率，可以求出它们构成的直角三角形的两条直角边的长度，即法向量的坐标表示为N = (-k,1)或N = (k,-1)。
4.将法向量N进行单位化，得到单位法向量n = N/||N||。
以上两种方法都可以求出直线的法向量，具体选择哪种方法取决于问题的具体情况和个人喜好。
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法向量简便求法
法向量简便求法
在三维空间中，我们经常需要求解一个平面的法向量。
平面的法向量是指垂直于该平面的向量，它的方向和大小都可以用来描述该平面的特征。
在计算机图形学、物理学、机器人学等领域中，求解平面的法向量是一个非常常见的问题。
本文将介绍一种简便的方法——以法向量简便求法。
以法向量简便求法的基本思想是：通过平面上的三个点，计算出两个向量，然后求出这两个向量的叉积，即可得到平面的法向量。
这个方法的优点是简单易懂，计算量小，适用于大多数情况。
具体来说，以法向量简便求法的步骤如下：
1. 选取平面上的三个点A、B、C。
2. 计算向量AB和向量AC。
3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即：
N = AB × AC
其中，N就是平面的法向量。
需要注意的是，向量的叉积满足右手法则，即如果将右手的四指从向量AB转向向量AC，那么大拇指所指的方向就是向量的叉积N的方向。
以法向量简便求法的优点在于，它不需要求解平面的方程，也不需要进行矩阵运算，计算量非常小。
同时，这个方法也非常容易理解，即使没有深厚的数学基础，也可以轻松掌握。
需要注意的是，如果三个点A、B、C共线，那么向量AB和向量AC就会共线，此时无法求解平面的法向量。
因此，在使用以法向量简便求法时，需要确保所选取的三个点不共线。
以法向量简便求法是一种简单易懂、计算量小的方法，适用于大多数情况。
在实际应用中，我们可以通过这个方法快速求解平面的法向量，从而更好地描述和分析三维空间中的各种问题。
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(1
12
2
y z y z ，－
112
2
x z x z ，
112
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处
略去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平
面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。
法向量秒求
法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b c n (x,y,z)b c x b c b c b c a c y (a c a c )a c a b z a b a b a b ===-=-=--==-uu u r uu r r 设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a (x ,y ,z )b (x ,y ,z )n (x,y,z)===r r r 已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n (y z z y ,z x x z ,x y y x )=---r 说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（）A．()4,9,16--B．()4,9,16-C．()16,9,4--D．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--r r ，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A．(1,1,1)-B．(1,1,1)-C．333,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D．333,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=- ,设(,,)n x y z = 为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C 解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（）A．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()2,1C．()1,1,1D．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y = ，由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=r ．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.解法二：叉乘法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（）A．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C．(15-，4，36)D．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩ ，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 或(15,4u = ，36)-．故选：BD．解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，， ()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2)【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n yz D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2).解法二：叉乘法1(1D E = ，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一）【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且2AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴= ，A(0,1,0)- ，B(1,0,0)，(1,1,0)AB ∴= ，11A B (1,1,0)∴= ，OA 1= ，1AA 2=1OA 211∴=-=，故1(0,0,1)OA = ，故1111OB OA A B (1,1,1)=+= ，∵向量(,,)n x y z = 是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅== ，1OB 0n x y z ⋅=++= ，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量；【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n = ，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =；解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r 为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+，即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+ ，即向量()3,4,1a =- 与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114.【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ，CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D = ，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2解法一：常规法如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC = ，()3,1,4AS =- ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可得34030y z x y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得()1,3,0n =-r为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n AC n AC n AC θ⋅-++=〈〉==+⨯+⋅ ，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114．解法二：叉乘法()3,1,4=-AS ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，1x 101440y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（）()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21515.【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC⊥又因为BC AC ⊥，=PA AC A∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥．∵PA AC =，D 为PC 中点，∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=，∴AD ⊥平面PBC ；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m = ．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则215sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法二：叉乘法()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289.【解析】()1因为AD CD ⊥，所以2242AC AD CD =+=又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，()223221PO =-=，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以1222OD AC ==.因为222OD OP PD +=，所以OP OD ⊥，又OD AC O = ，所以OP ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- ，()2,2,1DP = .设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n = .设直线DP 与平面PBC 所成角为θ，则88sin cos ,339DP n θ===⨯ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法二：叉乘法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥.∵PA AD A⋂=∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥，∵CD PD D = .∴AE ⊥平面PCD ，∵PC 平面PCD ，∴AE PC ⊥.（2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE = ，(2,0,0)AB =uu u r ，(2,2,0)AC =uuu r ，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z = ，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =- .设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z = .则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||m n m n m n ⋅<⋅>==-⋅ ，∴二面角B AE C --的正弦值33=解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD=∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅ ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .（2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0n PD C n D ==⋅⋅ ，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得112cos 2n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 2000002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- ()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos 22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.。
法向量的计算公式
法向量的计算公式平面的法向量怎么求建立恰当的直角坐标系；设平面法向量n=（x，y，z）；在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3），b=（b1，b2，b3）；根据法向量的定义建立方程组n·a=0与n·b=0；解方程组，取其中一组解即可。
1平面法向量的具体步骤（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0②n·b=05、解方程组，取其中一组解即可。
法向量公式是：由向量AB和BC可知，当B=(0，0，0)，则A(x1，y1，z1)，C(x2，y2，z2)。
则直线AB：x/x1=y/y1=z/z1，直线CB：x/x2=y/y2=z2。
因此，过B和直线AB垂直的面方程为：x1x+y1y+z1z=0，过B和直线CB垂直的面方程为：x2x+y2y+z2z=0，联立上述两方程可得过B和直线AB，CB都垂直的直线方程：x/(y2z1-y1z2)=y/(x1z2-x2z1)=z/(x2y1-x1y2)。
即所求法向量为(y2z1-y1z2，x1z2-x2z1，x2y1-x1y2)。
垂直于一个面的向量就是这个面的法向量先表示出这个面中两个不平行的向量设法向量n=(x,y,z)然后用n点乘找出的两个向量都等于零得出一个不等式组，里面有三个未知数令x,y,z其中任意一个为1，然后就可以表示出法向量n了，n可以为不同的值。
也可以相反，只要垂直这个面的就行然后任何一个向量与n相乘为O就与n垂直，也就与此面平行如果一个向量可以表示成λn（λ是任意实数，n是刚才的法向量），那么就与n平行，也就与此面垂直。
法向量的快速求解方法
法向量的快速求解方法引言法向量是计算机图形学中一个重要的概念，用于描述曲面或平面在某一点上的方向。
在许多图形渲染和计算机视觉任务中，需要准确、高效地求解法向量。
本文将介绍几种常用的快速求解法向量的方法，并对其进行比较和评价。
1. 离散法向量求解离散法向量求解是最直接、最简单的方法之一。
它通过对曲面或平面上的离散点进行采样，然后根据采样点周围的几何信息来估计法向量。
1.1 三角网格法三角网格法是离散法向量求解中最常用的方法之一。
它将曲面或平面离散化成一系列三角形，并在每个三角形上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面离散化成三角网格；2.对每个三角形，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算三角形的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
1.2 体素法体素法是另一种常用的离散法向量求解方法。
它将曲面或平面划分成一系列体素（三维像素），并在每个体素上计算法向量。
具体步骤如下：1.将曲面或平面划分成体素；2.对每个体素，计算其顶点坐标；3.根据顶点坐标计算体素的边长和角度；4.根据边长和角度计算每个顶点处的法向量。
2. 近似法向量求解近似法向量求解是一种通过近似计算来快速求解法向量的方法。
它通过对曲面或平面进行简化，减少计算量，从而提高求解速度。
2.1 PCA方法PCA（Principal Component Analysis）方法是一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的点云进行主成分分析，找到主要方向，并将其作为法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上的点云进行采样；2.对采样点云进行主成分分析，得到主要方向；3.将主要方向作为每个采样点处的法向量。
2.2 局部拟合方法局部拟合方法是另一种常用的近似法向量求解方法。
它通过对曲面或平面上的邻域进行拟合，得到局部的法向量。
具体步骤如下：1.对曲面或平面上每个点的邻域进行采样；2.对采样点进行拟合，得到局部法向量；3.将局部法向量作为每个点处的法向量。
求平面法向量的简便方式
求平面法向量的简便方式一、引言在几何学和向量代数中，平面法向量是一个重要的概念。
平面法向量垂直于给定平面的每一点，并且可以用于解决许多几何问题和物理问题。
本文将介绍一种简便的方式来求解平面的法向量，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、求解思路要求一个平面的法向量，需要知道平面上的两个线性无关的向量。
以下是一种简便的方式来求解平面的法向量：步骤1：确定两个平面上的点首先，在给定的平面上选择任意两个不共线的点，记作点A和点B。
步骤2：求得平面上的向量计算向量AB，并将其记作向量a。
步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。
法向量n垂直于平面上的任意向量，它的方向可以通过向量a叉乘自身得到。
n=a×a三、示例为了更好地理解上述求解思路，下面给出一个具体的示例。
假设我们有一个平面，它经过点P(1,2,3)、点Q(4,5,6)和点R(7,8,9)。
我们想要求解这个平面的法向量。
步骤1：确定两个平面上的点选择点P和点Q作为平面上的两个点。
步骤2：求得平面上的向量计算向量PQ，并将其记作向量a。
a=Q-P=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3)步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。
n=a×a=(3,3,3)×(3,3,3)=(0,0,0)根据计算结果，我们可以得出结论：这个平面的法向量是(0,0,0)。
四、总结通过以上的步骤，我们可以使用一种简便的方式来求解平面的法向量。
首先确定平面上的两个点，然后计算得到两点之间的向量。
最后，通过向量的叉乘得到平面的法向量。
这种方法适用于求解二维和三维平面的法向量，并且简单易用。
希望本文所介绍的求解方式能够帮助读者更好地理解和应用平面法向量的概念。
通过掌握这种简便的方式，读者可以更加轻松地解决与平面法向量相关的问题。
求法向量的方法
求法向量的方法法向量是一种在物理学和机器学习领域中非常重要的概念，这种想法被广泛用于估算物体表面的曲率、估算复杂几何体的几何特性等各种场景。
本文讨论如何求法向量的方法，包括五个主要部分：单位向量求法向量，内积求法向量，矩阵运算求法向量，特征值分解求法向量，固定的一般椭圆方程求法向量。
一、单位向量求法向量单位向量求法向量支持任意空间由维数确定的解析几何，假设X轴的单位向量为>$\hat{i}$，Y轴的单位向量为>${j}$，若将方程向量化话，则曲面方程为>$F(x, y)=ax \hat{i}+by \hat{j}$，则曲面的法向量为>$F_x \hat{i}+F_y \hat{j}$，其中$F_x=a$，$F_y=b$二、内积求法向量内积求法向量是基于内积运算的一种求法向量的方法，事实上是对导数的求取。
假设曲面的方程为>$F(x,y)=f(x,y)$，令曲面的法向量为>$\mathbf{N}=N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$，则有曲面的法向量和法线方向矢量>$\mathbf{k}$之间的矢量积恒为>$\mathbf{k} \cdot\mathbf{N}=0$，故有>$N_x \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}+N_y \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}=0$，解出>$N_x=-\frac{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partialy}}}}{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}}}N_y$，可得到曲面的法向量>$N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$三、矩阵运算求法向量通过矩阵的形式将曲面的坐标表达出来，以方便计算。
法向量求法及应用方法
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
法向量快速算法
详解法向量快速算法法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
法向量适用于解析几何。
由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。
曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。
法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。
在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
每一个平面存在无数个法向量。
1、内积求法：由题容易看出，面是垂直平面的，法向量比较好写，所以我们先讨论复杂的，即面。
设面 ABED的法向量为n，AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，则→解方程，解得一个n=(x,y,z)（懒得算了）。
【小结】这种方法容易理解，但是计算量大，有时候数据复杂，赋值困难。
2、外积求法还是写好要求的向量AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，运用向量的外积，用简单的算法解决计算问题：3、特殊情况：平面截距式方程平面上三个点都在坐标轴上。
此时我们类比直线的截距式方程，直接写出平面方程：[公式] ，从而法向量 [公式] ，perfect.普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
高等数学求法向量的方法
高等数学求法向量的方法
法向量是与给定曲面垂直的向量，常用于计算曲面的法线、书写方程
和求解垂直关系等。
在高等数学中，求法向量的方法有两种：隐式求法向
量和参数式求法向量。
1.隐式求法向量方法：
隐式方程是指以关系algebraic式的形式给出的曲面方程，求法向量
的方法如下：
-对于二次曲面来说，比如圆锥曲面、椭球面等，可以先求曲面方程
的1阶和2阶偏导数，构造方程组，解出偏导数为0的点的坐标，再通过
这些点来确定法向量。
-对于一般曲面来说，可以先将隐式曲面方程化为标准形式或者参数
方程形式，然后求标准形式或者参数方程形式中的1阶和2阶偏导数，构
造方程组，解出偏导数为0的点的坐标，再通过这些点来确定法向量。
2.参数式求法向量方法：
参数方程是指通过参数方程来表达的曲面方程，求法向量的方法如下：-先求曲面上其中一点的切向量，即求参数方程关于参数的导数。
-对于光滑曲线，需要求一阶导数；对于光滑曲面，需要求两个参数
的一阶偏导数。
-在点上，切向量的方向即为法向量的方向，可以将切向量标准化为
单位向量作为法向量。
以上是求法向量的两种常用方法，但在实际应用中，具体的求法向量
的方法会因曲面类型而有所不同，有时需要结合其他知识和方法进行求解。
另外，还可以利用矢量运算符的定义和性质来简化求解过程，例如利用梯
度算子或者向量积来求法向量。
在高等数学中，学生需要掌握以上两种常用的求法向量的方法，并在
实际应用中能够灵活运用，解决与曲面法线相关的问题。
同时，还需要了
解法向量的几何意义和应用范围，以及法向量在微分几何、向量分析和物
理学等领域的重要性。
空间向量法向量的求法
空间向量法向量的求法
空间向量是指一个具有大小和方向的量，可以用一个箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在 x、y、z 方向上的分量。
法向量是垂直于给定平面的向量。
对于平面方程 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 为平面法向量的分量，D 为平面到原点的距离。
为了计算平面的法向量，需要知道平面上的三个点 P1 (x1, y1, z1)、P2 (x2, y2, z2)、P3 (x3, y3, z3)。
1. 使用向量方法计算法向量，可以首先计算平面上的两个向量：向量 V1 = P2 - P1 和向量 V2 = P3 - P1。
这可以通过分别计算坐标差得到。
2. 然后，计算这两个向量的叉积，即V = V1 × V2。
叉积向量的方向垂直于 V1 和V2 所在的平面。
3. 对计算得到的向量进行归一化处理，即将向量的长度单位化为 1，得到单位法向量 N。
根据单位法向量 N 的分量，可以得出平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 的系数 A、B、C。
高考数学-整理法向量的快速求法
法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.a ＝(1，2，b ＝(4，5，时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，y ＝－(1×时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，∴n ＝(－3，6而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
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法向量的快速求法
在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(
112
2y z y z ，－1
122x z x z ，1
12
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略
去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
0x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平面
α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00
n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右
边“草稿纸上演算过程”.
而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
向量a r ＝(x 1，y 1，0 )，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，设平面α的法向量为n r
，先由0=⋅，直接设),,(11n z x y -=或),,(11n z x y -=；再通过0=⋅，可得等式022112=+-z z y x y x n 或022112=++-z z y x y x n ，从而求得n z ，再根据需要将法向量n
r
化简。
例、 向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，0)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向
量。
解：∵向量b r
中含有一个0，
∴设),4,5(z -=或),4,5(z -=，由0=⋅n a 得034215=⋅+⋅+⋅-z 或03)4(215=⋅+-⋅+⋅z 求得1-=z 或1=z 。
设)1,4,5(--=或)1,4,5(-=
此方法有一定局限性，当平面中的两个向量坐标中都找不到0的时候，此方法就难以用上。