衡水中学2019届高三周测试卷第1周理数答案

衡水中学2019届高三周测试卷第1周理科数学 一.CABBC DCBDC BD
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12.解：∵当2≤x≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x≤8时，2＜≤4，则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|），
此时当x=6时，函数取极大值c ．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c ）共线，∴=，解得c=1或2．故选．A
二.填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、函数
13、10,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 14、()0,e 15 3365
-
16：画出函数)(x f y =的图象如图，由)(06)()65()]([52
R a a x f a x f ∈=++-，可得
()()6,5f x f x a ==，有图象知当()65f x =时，由于65
154
<<，所以有四个根，x 的方程
)(06)()65()]([52R a a x f a x f ∈=++-有且仅有个6不同实数根，所以()f x a =有两个根，由图
象知，当10≤<a 或45=a 时，()f x a =有两个根，因此实数a 的取值范围是10≤<a 或4
5
=a ，故选
C.
三、解答题：
17. 【解析】
sin y α=
=
. 当0y =时，sin 0α=，cos 1α=-，tan 0α=.……………2分
当0y ≠
y =
，解得3
y =±………………4分
当y =3P ⎛ ⎝⎭
，r =.
∴3
cos 4α=-
，tan 3
α=-.……………7分
当y =时，3P ⎛- ⎝
⎭，r =，
∴3
cos 4α=-
，tan α=.……………10分
18.（1cos 2sin cos cos A C B A C A =,
)2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，
又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =，又A 为三角形内角， 因此，6
A π
=. …………6分
（2）255cos(
)2sin sin cos 1sin cos()1226
C B B C B B ππ
--=+-=+--，
553
sin cos
cos sin sin 1sin 1)16626
B B B B B B πππ
=++-=-=--由6A π=可
知，5(0,
)6B π∈，所以2(,)663B πππ-∈-，从而1
sin()(,1]62
B π-∈-,
)1(1]6
B π
-
-∈，
故25cos(
)2sin 22C B π--的取值范围为(1]. …………12分 19.【解析】（1）∵1a =,∴()2
2
2
19cos sin 1sin sin 2sin 24f x x x x x x ⎛
⎫=++=-++=--+ ⎪⎝
⎭,当
1sin 2x =
，即26x k ππ=+或526x k ππ=+，k Z ∈时，()m a x 9
4
f x =；当s i n 1x =-，即
22
x k π
π=-
，k Z ∈时，()min 0f x =.…………4分
（2）()2
2
cos sin 21sin sin 2f x x a x a x a x a =++-=-++,令[]
sin 1,1x t =∈-，则函数()f x 转化为()2
2g t t at a =-++，…………6分
①当
12
a
≤-，即2a ≤-时，()g t 在[]1,1-上单调递减，∴()()max 115f x g a =-=-+≤，即6a ≤，于是2a ≤-,…………8分
②当112a -<<，即22a -<<时，()2
m a x 2524
a a
f x
g a ⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭，即28200a a +-≤,∴
102a -≤≤，于是22a -<<,…………10分
③当
12
a
≥，即2a ≥时，()g t 在[]1,1-上单调递增，∴()()max 1135f x g a ==-+≤，即2a ≤，于是2a =.综上，a 的取值范围为(]
,2-∞.…………12分
20、解：（Ⅰ）()2ln f x a bx x bx '=++，则(1)1f a ==，(1)2f a b '=+=1=⇒b ；……4分
（Ⅱ）由题2
ln [1]x x x kx k x +≥+-⋅恒成立，即2ln 1
x x
k x +≤
+恒成立
令2ln ()1x x
g x x +=
+，22
(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++
显然ln 1y x x =+-单增，且有唯一零点1x = ∴()g x 在(0,1)上单减，在(1,)+∞上单增
∴min ()(1)1g x g ==∴1k ≤，故k 的最大值为1…………12分
21. 【解析】（1）令()()()()()2
2
321322ln 222g x f x a x a x x ax a x =----+=-+-+，
所以()()2
222g x ax a x '=-+-()22222ax a x x
-+-+=，
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>，所以()g x 是()0,+∞上的递增函数， 又
因
为
()1222340g a a a =
-+-+=-+>，所以关于x
的不等式
()()()232132f x a x a x ≤-+--不能恒成立. …………3分
当0a >时， ()()()21212222a x x ax a x a g x x x
⎛
⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='，
令()0g x '=，得1x a =
，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()0g x '>；当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0g x '<， 因此函数()g x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数，故函数()g x 的最大值为11112ln 2ln 0g a a a a a ⎛⎫
=+=-≤ ⎪⎝⎭
. 令()1
2ln h a a a
=
-，则()h a 在()0,+∞上是减函数， 因为()110h =>， (
)11
22ln2022
h =
-<-<， 所以当2a ≥时， ()0h a <，所以整数a 的最小值为2．…………6分
（3）由()()()
()22
1212124124f x f x x x x x +++++=，得
()()
()22
1212122ln 4x x x x x x ++++=，
从而()()()2
1212121222ln 4x x x x x x x x +++=-+， 令12t x x =，则由()22ln 4t t t ϕ=-+，得()()21t t t
ϕ='-，可知()t ϕ在区间()0,1上单调递减，
在区间()1,+∞上单调递增，
所以()()16t ϕϕ≥=，所以()()2
12126x x x x +++≥，又120x x +>， 因此122x x +≥成立. …………12分 22． 解：（1）a=1时，
，∴
，于是
，又
f （1）=0，即切点为（1，0），∴切线方程为
；…………2分
（2），，即a 2﹣a ﹣2=0，
∵a＞0，∴a=2，此时，，∴上递减，上递增，
又，∴；…………6分
（3）f′（x）=+2x﹣a==，
∵1＜a＜2，∴=＜0，即，
∴f（x）在[，2]上递增，∴f（x）max=f（1）=ln（）+1﹣a，
问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3）成立，
设h（a）=ln（+a）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）（1＜a＜2），
则h′（a）=﹣1﹣2ma﹣2m=，
又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤﹣，
设g（a）=﹣2ma2﹣（4m+1）a﹣2m，对称轴a=﹣1﹣≤1，
又﹣2m＞0，g（1）=﹣8m﹣1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3），于是，对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，m．…………12分。