离散数学课件第六章(第1讲)
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离散数学第六章 集合-包含与排斥原理
│A1∪A2│=│A1│+│A2│–│A1∩A2│ = 12+18-5 = 2Ar是r个有限集。则
| A1 A2 Ar | | Ai |
i 1
r
1i j r j
| A A
i
j
|
1i j k r
| A A
例 (p71-72) 求出在1和300之间，不能被2、3、5、7中 任意一个整除的整数的个数。
分析：
A1表示1和300之间能被2整除的整数集合 A2表示1和300之间能被3整除的整数集合 A3表示1和300之间能被5整除的整数集合 A4表示1和300之间能被7整除的整数集合
│A1∪A2∪A3∪A4 │=?
a1表示1和300之间能被2整除的整数集合a2表示1和300之间能被3整除的整数集合a表示1和300之间能被5整除的整数集合a3表示1和300之间能被5整除的整数集合a4表示1和300之间能被7整除的整数集合a1a2a3a4
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
例 (p71-72)求出在1和300之间，不能被2、3、5、7中
任意一个整除的整数的个数。
解：设A1,A2,A3,A4分别表示1和300之间能被2整除的、能被3整除的 、能被5整除的和能被7整除的整数集合。故有： │A1│=150，│A2│=100，│A3│=60，│A4│=42， │A1∩A2│=50，│A1∩A3│=30，│A1∩A4│=21 │A2∩A3│=20，│A2∩A4│=14，│A3∩A4│=8 │A1∩A2 ∩A3 │=10，│A1∩A2 ∩A4 │=7 │A1∩A3 ∩A4 │=4， │A2∩A3 ∩A4 │=2 │A1∩A2 ∩A3 ∩A4 │=1 于是，我们有： │A1∪A2∪A3∪A4 │ =150+100+60+42– (50+30+21+20+14+8)+(10+7+4+2)–1 =231 因此, 所求个数为 300-231=69.
离散数学6课件
注：真子集的符号化：BA (BA)∧(B A)。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
离散数学课件 离散6.1-6.2节PPT
k ∶= 0 for i1 ∶= 1 to n1
k ∶= k + 1 for i2 ∶= 1 to n2
k ∶= k + 1 ⋮ for im ∶= 1 to nm
k ∶= k + 1
4 / 15
Combining the product and sum rules
In a version of BASIC, a variable name is a string of 1 or 2 alphanumeric chars, where uppercase and lowercase letters are not distinguished. Moreover, a variable name must begin with a letter and must be different from the 5 strings of chars reserved for programming use. How many different variable names are there? Each user on a computer system has a password, which is 6 to 8 characters long, where each character is an uppercase letter or a digit. Each password must contain at least one digit. How many possible passwords are there?
3 / 15
Compare two Leabharlann rograms with loops
What is the value of k at the end of each program:
k ∶= k + 1 for i2 ∶= 1 to n2
k ∶= k + 1 ⋮ for im ∶= 1 to nm
k ∶= k + 1
4 / 15
Combining the product and sum rules
In a version of BASIC, a variable name is a string of 1 or 2 alphanumeric chars, where uppercase and lowercase letters are not distinguished. Moreover, a variable name must begin with a letter and must be different from the 5 strings of chars reserved for programming use. How many different variable names are there? Each user on a computer system has a password, which is 6 to 8 characters long, where each character is an uppercase letter or a digit. Each password must contain at least one digit. How many possible passwords are there?
3 / 15
Compare two Leabharlann rograms with loops
What is the value of k at the end of each program:
离散数学课件第六章(第1讲)
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
离散数学及其应用 第2版课件第6章 整除
第6章整除
定理6.8 在定理6.7的条件和符号下，有 (1)对任意给定的j(1≤j≤k＋1)，d|uj－1，d|uj当且仅 当d|uk＋1。 (2)对任意给定的j(1≤j≤k＋1)，必存在整数xj、yj， 使得uk＋1＝xjuj－1＋yjuj。 证明 (1)若d|uj－1，d|uj，由定理6.7第j式可得， d|uj＋1。依此由各式推出：d|uj＋2、d|uj＋3、…、d|uk＋1。
第6章整除
例2设f(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an是整系数多 项式，如果10|f(2)且10|f(5)，则10|f(10)。
证明 由于f(10)＝a0×10n＋a1×10n-1＋…＋an－ 1×10＋an，所以欲证10|f(10)，只需证10|an。
由已知10|f(2)，有2|f(2)。又因为2整除f(2)的前n项， 所以2|an。同理，由10|f(5)可得5|an。因为(2，5)＝1， 由定理6.16可得(2×5)|f(10)，于是10|f(10)。
第6章整除
6.2 素数和合数
定义6.2大于1且只有1和自身这两个正因数的正整数， 称为素数或质数；大于1且不是素数的正整数称为合数。 若正整数a有一个因数b，而b是素数，称b是a的素因数。
依据该定义，可以将所有的正整数分为三类：素数、 合数和1。 • 定理6.2 a是大于1的合数，当且仅当存在整数b和c， 使得a＝bc，其中，1＜b＜a，1＜c＜a。
第6章整除
解 (1)用方框标识余数 24871＝3468·7＋595 3468＝595·5＋493 595＝493·1＋102 493＝102·4＋85 102＝85·1＋17 85＝17·5 所以，(24871，3468)＝17。Fra bibliotek第6章整除
离散数学第六章的课件
05 离散随机变量
随机变量的定义与性质
随机变量定义
随机变量是从样本空间到实数的可测 函数，用于描述随机现象的结果。
随机变量性质
随机变量具有可测性、可加性和可数 性等性质，这些性质在概率论和统计 学中具有重要应用。
离散概率分布
离散概率分布定义
离散概率分布描述的是随机变量取离散值时的概率规律，通 常用概率质量函数或概率函数表示。
离散概率分布性质
离散概率分布具有非负性、归一性和可数性等性质，这些性 质是离散概率分布的基本要求。
期望与方差
期望定义
期望是随机变量所有可能取值 的概率加权和，是描述随机变 量取值“平均水平”的重要指
标。
期望性质
期望具有线性性、可加性和正 定性等性质，这些性质在概率 论和统计学中具有重要应用。
方差定义
感谢您的观看
THANKS
方差是描述随机变量取值分散 程度的重要指标，是随机变量 与期望之差的平方的期望。
方差性质
方差具有非负性、归一性和可 加性等性质，这些性质是方差
的基本要求。
06 离散概率论的应用
蒙提霍尔问题
总结词
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题，涉 及到概率论中的独立性概念和组合数学。
详细描述
蒙提霍尔问题是一个经典的组合数学问题， 它涉及到概率论中的独立性概念。该问题问 的是，如果有n个盒子，每个盒子被选中的 概率是1/2，那么在最优策略下，选中至少 一个盒子的最有可能的盒子数是多少？这个 问题涉及到概率论中的独立性概念和组合数
学。
抓阉问题
要点一
总结词
抓阉问题是一个经典的离散概率论问题，涉及到概率论中 的随机性和独立性概念。
要点二
离散数学课件_6.1
(vi,vj)E1 (<vi,vj>E1) 当且仅当 (f(vi), f(vj))E2 (<f(vi), f(vj)>E2)
并且 (vi,vj) (<vi,vj>) 与 (f(vi),f(vj)) (<f(vi),f(vj)>)的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
25
实例
26
实例
7
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV,
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
悬挂顶点: 度数为1的顶点
悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
G的最大度(G)=max{d(v)| vV}
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e1 v1 e2 v2
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
2正则图
3正则图
4正则图
19
圈图与轮图
无向圈图Cn=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, E={(v1,v2),(v2,v3), …,(vn-1,vn),(vn,v1)}, n 3 有向圈图Cn=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, E={<v1,v2>, <v2,v3>,…,<vn-1,vn>,<vn,v1>}, n 3 轮图Wn:无向圈图Cn-1内放一个顶点, 且与圈图的每个顶点 之间恰有一条边, n 4
20
方体图
n方体图Qn=<V,E>是2n阶无向简单图, 其中
V={v|v=a1a2…an, ai=0,1, i=1,2,…,n} E={(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同}.
并且 (vi,vj) (<vi,vj>) 与 (f(vi),f(vj)) (<f(vi),f(vj)>)的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
25
实例
26
实例
7
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV,
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
悬挂顶点: 度数为1的顶点
悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
G的最大度(G)=max{d(v)| vV}
G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e1 v1 e2 v2
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
2正则图
3正则图
4正则图
19
圈图与轮图
无向圈图Cn=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, E={(v1,v2),(v2,v3), …,(vn-1,vn),(vn,v1)}, n 3 有向圈图Cn=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, E={<v1,v2>, <v2,v3>,…,<vn-1,vn>,<vn,v1>}, n 3 轮图Wn:无向圈图Cn-1内放一个顶点, 且与圈图的每个顶点 之间恰有一条边, n 4
20
方体图
n方体图Qn=<V,E>是2n阶无向简单图, 其中
V={v|v=a1a2…an, ai=0,1, i=1,2,…,n} E={(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同}.
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
06离散数学课件资料
2024/7/3
离散数学
10
二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。
离散数学第六章 集合-全集和集合的补
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
ห้องสมุดไป่ตู้
全集
定义: 我们在研究某一个具体问题时，往往 规定一个集合，使所涉及的集合都是它 的子集合，称这个集合为全集， 记为U (或E )。
全集是个有相对性的概念，不同的问题， 可以规定不同的全集。
任一集合的补集合是唯一的。
推论
设A是任意一个集合，则
A A
定理3 德· 摩根定律
(Augustus De Morgan, 1806-1871, 英國數學家)
A B A B
A B A B
证明：( A B) ( A B)
[ A ( A B)] [ B ( A B)] [( A A) B] [(B B) A] [ B] [ A]
补运算： Ā
定义：设A是一个集合,U 是全集合，我们 称集合U–A为A的补集，记为Ā，即有： Ā={ x│x∉A且x∊U }
Ā
A
U
定理1 A是一个任意集合，则
A∪Ā= U A∩Ā= Ø
定理2 Ā=B当且仅当A∪B=U且A∩B=Ø
证明： “” 由定理1结论成立。 “” 设A∪B=U 且A∩B=Ø ，则 B =B∩U =B∩(A∪Ā)=(B∩A)∪(B∩Ā) =Ø∪(B∩Ā) = (A∩Ā) ∪(B∩Ā) =(A∪B)∩Ā=U∩Ā=Ā
因而结论得证。
例 (p68)
证明：
(A–B)∩(A–C)=A– (B∪C)
( A B) ( A C ) ( A B) ( A C ) A (B C) A (B C) A (B C)
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
ห้องสมุดไป่ตู้
全集
定义: 我们在研究某一个具体问题时，往往 规定一个集合，使所涉及的集合都是它 的子集合，称这个集合为全集， 记为U (或E )。
全集是个有相对性的概念，不同的问题， 可以规定不同的全集。
任一集合的补集合是唯一的。
推论
设A是任意一个集合，则
A A
定理3 德· 摩根定律
(Augustus De Morgan, 1806-1871, 英國數學家)
A B A B
A B A B
证明：( A B) ( A B)
[ A ( A B)] [ B ( A B)] [( A A) B] [(B B) A] [ B] [ A]
补运算： Ā
定义：设A是一个集合,U 是全集合，我们 称集合U–A为A的补集，记为Ā，即有： Ā={ x│x∉A且x∊U }
Ā
A
U
定理1 A是一个任意集合，则
A∪Ā= U A∩Ā= Ø
定理2 Ā=B当且仅当A∪B=U且A∩B=Ø
证明： “” 由定理1结论成立。 “” 设A∪B=U 且A∩B=Ø ，则 B =B∩U =B∩(A∪Ā)=(B∩A)∪(B∩Ā) =Ø∪(B∩Ā) = (A∩Ā) ∪(B∩Ā) =(A∪B)∩Ā=U∩Ā=Ā
因而结论得证。
例 (p68)
证明：
(A–B)∩(A–C)=A– (B∪C)
( A B) ( A C ) ( A B) ( A C ) A (B C) A (B C) A (B C)
离散数学第六章PPT课件
对任意e∈E(G) , 若G – e仍连通，则说明G中含
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
2021/3/9
授课：XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
2021/3/9
授课：XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
2021/3/9
授课：XXX
9
树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课：XXX
8
树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
2021/3/9
授课：XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
2021/3/9
授课：XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
2021/3/9
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9
树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课：XXX
8
树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
离散数学及其应用第6章-特殊关系模型课件.ppt
总结
2024/11/24
本节内容到此结束
2024/11/24
本章学习内容
2024/11/24
1 等价关系与元素分类
2
相容关系与元素聚类
3 偏序关系与元素比较
4
特殊关系的应用
特殊关系的应用
2024/11/24
计算机应用技术研究所
113
特殊关系的应用
☺ 粗集定义问题 得分评判问题
2024/11/24
2024/11/24
例题
2024/11/24
例题
【例题】设集合A={1,2,3}，关系R={〈1,2〉,〈1,3〉}，现对R依次求 自反、对称和传递三种闭包，共有如下6种不同顺序： rst(R),rts(R),str(R),srt(R),tsr(R),trs(R) 问其中哪些关系是等价关系？ 【分析】利用闭包运算的性质可以大大化简计算的步骤，然后 依次逐步画出对应的关系图，即可得出结果。 【解】由于sr(R)=rs(R);tr(R)=rt(R);st(R)⊆ts(R)，故有： tsr(R)=trs(R)=rts(R)；str(R)=srt(R)=rst(R)
最大相容类
2024/11/24
例题
2024/11/24
最大相容类性质
2024/11/24
例题
2024/11/24
例题
2024/11/24
例题
2024/11/24
相容关系与元素聚类
相容关系与相容类 ☺ 集合的覆盖
2024/11/24
计算机应用技术研究所
59
集合的覆盖
2024/11/24
2024/11/24
例题
2024/11/24
例题
离散数学第六章课件
2018/11/12 4
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
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格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
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最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
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6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
离散数学-第6章.ppt
S4={3, 4, 5}
S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如 果是，又与哪个集合相等？
（1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2=
（3）若 XS1且 X ⊈S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X ⊈ S1
28
解答
解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数，
A B AB = AB = AB = A
7
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )}
广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例
{{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a
8
关于广义运算的说明
2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1, A2, … , An}=A1A2…An {A1, A2, … , An}=A1A2…An
AB = {x | xA xB}
交
AB = {x | xA xB}
相对补 AB = {x | xA xB}
定义6.8 对称差 AB = (AB)(BA)
定义6.9 绝对补 A = EA
5
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
A
B
AB
A
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§2运算及其性质
例：（1）在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，求 任意元素的倒数运算； （2）在前例中,R,I集合中+,-,×运算； (Z)的元素中 ∩,∪,~,运算等均为封闭的； （3）在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的,在正整 奇数的集合中,对×运算是封闭的,而对+运算不是封闭的。
《定义》:一个非空集合S连同若干个定义在该集合上的 运算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统， 记作<S, f1,f2,… ,fk>。
一个代数系统需要满足以下条件： ① 有一个非空集合S； ② 有一些建立在集合S上的运算；
§2 运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。 在f：Z2Z二元运算的定义中,定义本身要求满足运算 是封闭的条件。
（3） (Z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴ ∩,∪ 满足等幂律；
（4）在(Z)中,对称差是可交换,可结合的。
∵ = ,而除以外的元素A (Z)，有A A≠A。
∴ 在集合(Z)中，是等幂元素，其它不是。 不满足等幂 律。
下面介绍左幺元，右幺元，幺元
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, (1) 若存在元素el Z,对任意x Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元； (2) 若存在元素er Z,对任意x Z有x* er=x；则称er为 Z中对于*的右幺元。 (3) 如果Z中存在元素 e,它既是左幺元,又是右幺元,则称 e为Z中关于运算*的幺元。即对于任意x∈Z,有e*x=x*e.
§7* 陪集与拉格朗日定理 §8 同态与同构 §9 环与域
§1 代数系统的概念
举例：
① 将实数集合 R 上的每一数 a0 映射成它的倒数 1/a，就可以将该映射称为集合R 上的一元运算；
② 在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘 法，都是集合R上的二元运算。
③ 对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的 三元运算。
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
例：设A是一个非空集合， ★是A上的二元运算，对 于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。 证：∵ 对于任意的a，b ，c A，
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴ ★是满足结合律的
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算,对任一 x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z） （y z） x=（y x） （z x）
代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构,故又叫代数结构, 它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多 分支中,它对程序理论,数据结构,编码理论的研究和 逻辑电路的设计具有理论和实践的指导意义。
本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。
第六章 代 数 结 构
§1 代数系统的概念 §2 运算及其性质 §3 半群和含幺半群 §4 群与子群 §5 交换群和循环群
∵ el和er分别是对*的左,右幺元， 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 再证明幺元e是唯一的。 用反证法：假设有二个不同的幺元e1和e2,则有 e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。 ∴（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e×=1 （2）在(Z)中,对∩而言, e ∩ =Z ；对∪而言,e ∪ =
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式） 对∧而言，e ∧ =T（永真式）
《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,则 el= er = e，且e Z是唯一的。 证明：
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
例： 在整合集合 I 上定义运算 ： 对任何a,b ∈I,a b=a·b-(a+b) 其中的 +，·分别表示数的加法和乘法。 是否满足交换律？
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有（x y） z=x （y z）,则称运算在S上 是可结合的（或者说*在S上满足结合律）。
在整数集合 I 上定义 如下： a,b I , a b a b a b
其中的+，· 分别表示数的加法和乘法。
在集合 I 上是封闭的，<I， >是一个代数系统。
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者说 在S上满足交换律）。