电路第四版答案 邱关源 第七章

u C (t ) = 8e −2t − 2e −8tV i L (t ) = −C du C = 4 × ( e − 2 t − e −8 t ) A dt
（2） 使电路在临界阻尼下放电，应满足 ( 即 R=2 L 0.25 =2 = 2Ω C 0.25 1 R 2 ) − =0 2L LC
7-3 已知图示电路中 R = 1kΩ, C = 2 µF , L = 2.5H 。设电容原先已充电，且 u C (0 − ) = 10V 。 在 t=0 时开关闭合。试求 u C (t ), i (t ), u L (t ) 以及 S 闭合后的 imax 。 解：t>0 后，电路的微分方程为 d 2uC du LC + RC C + u C = 0 2 dt dt 方程的特征根为 p= −R R 1 ± ( )2 − 2L 2L LC
而 所以
L
di L dt
0+
= u L ( 0 + ) = u C (0 + ) − 3 × i L (0 + ) = 6 − 3 × 2 = 0 （b） 题解 7-1 图 di L dt di R dt = = u L (0 + ) =0 L 1 = − × (−24) = 4 A / s 6
（a）
0+
0+
d 12 − u C 1 du C ( ) 0+ = − dt 6 6 dt
0+
7-2 图示电路中，电容原先已充电， u C (0 − ) = U 0 = 6V , R=2.5 Ω ,L=0.25H,C=0.25F。试 求 （1） 开关闭合后的 u C (t ), i (t ); （2） 使电路在临界阻尼下放电，当 L 和 C 不变时，电阻 R 应为何值。
p1 = −200 + j 400
p1 和 p 2 为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为 u C (t ) = Ae −δt sin(ωt + θ )ε (t )
式中 ω = 400 ， δ = 200 ，A 和 θ 为待定常数，由初始条件 u C (0 + ) = u C (0 − ) = 10V C 解得 du C dt = −i L (0 + ) = 0
解： （1）开关闭合后，电路的微分方程为 LC d 2uC du + RC C + u C = 0 2 dt dt
初始条件为 u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V i L (0 + ) = i L (0 − ) = −C 以上二阶齐次方程的特征方程为 LCp 2 + RCp + 1 = 0 方程的特征根为 du C dt =0
根据电容电压和电感电流的连续性，得 u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6 V i L (0 + ) = i L (0 − ) = 2 A
画出 0 + 等效电路如题解图（b）所示。由图（b）可求得 i R (0 + ) = du C dt 12 − u C (0 + ) 12 − 6 = =1 A 6 6
通解= Ae −δ t sin(ωt + β )
( 3) p 1 = p2 = p 为相等实根（称临界状态）
通解= ( A1 + A2t )e pt
( 4 ) 由激励源的函数形式确定方程的特解形式； ( 5 ) 由初始条件，确定 A1 , A2 或 A, β 等待定常数，得出确定的解。
二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。
−3
di(t ) u L (t ) θ 63.435 × π = = 0 时，即 ωt − θ = 0 ， t = = = 2.768 × 10 −3 s 时，电流达最大 dt L ω 400 × 180
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故电感电流和电容电压分别为 i L (t ) = 1.02e −10 t sin( 49.97t + 78.68°) A u C (t ) = u L (t ) = L di L = − LA δ 2 + ω 2 e −δt sin ωt = −200.1e −10 t sin 49.97t V dt
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图（a）得 u c (0 − ) = 12 × 3 12 × 3 = =6 V 6 // 6 + 3 6 u C (0 − ) 6 = =2 A 3 3
i L (0 − ) =
=− 即
p1 = −5 + 3 = −2, p 2 = −5 − 3 = −8
为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态。 微分方程的通解为 u C (t ) = A1e p1t + A2 e p 2t = A1e −2t + A2 e −8t 带入初始值，得 解得 所以 A1 + A2 = 6 − 2 A1 − 8 A2 = 0 A1 = 8 A2 = −2
C
0+
= iC (0 + ) = i R (0 + ) − i L (0 + ) = 1 − 2 = −1 = iC ( 0 + ) − 1 = = −24 V/s 1 C 24
du C dt
0+
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= 即
− 10 3 10 3 2 1 ± ( ) − = −200 ± j 400 2 × 2.5 2 × 2.5 2.5 × 2 × 10 −6 p 2 = −200 − j 400
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LC 由题意知，电路的初始条件为
d 2uC du + RC C + u = U 2 dt dt
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 0 ， i (0 + ) = C
故
u C (t ) = 11.18e −200 t sin( 400t + 63.435°)V 当 i (t ) = −C du C u C (0 + ) −δt e sin(ωt ) = 10e − 200 t sin 400t mA = dt ωL
u L (t ) = − Ae −δt sin(ωt − θ ) = −11.18e −200 t sin( 400t − 63.435°) V 当 值 imax = 10e −200×2.768×10 sin( 400 × 2.768 × 10 − 3) = 5.142 mA 7-4 图示电路中开关 S 闭合已久，t=0 时 S 打开。求 u C (t ) ， i L (t ) 。 解：t>0 后,电路的微分方程为
0+
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p=−
R R 1 ± ( )2 − 2L 2L LC 2.5 2.5 2 1 ± ( ) − = −5 ± 3 2 × 0.25 2 × 0.25 0.25 × 0.25
du C 0+ = 0 dt
因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题。设 u C (t ) 的解答为 u C = u ' C +u ' ' C 式中 u ' C 为方程的特解，满足 u ' C = U = 100 V u ' 'C 为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。根据特征方程 LCp 2 + RCp + 1 = 0 可得 p = − R ± ( R )2 − 1 LC 2L 2L
7-1 电 路 如 图 所 示 ， 开 关 未 动 作 前 电 路 已 达 稳 态 ， t=0 时 开 关 S 打 。 求
uC (0+ ), iL (0+ ),
duC dt
,
0+
diL dt
,
0+
diR dt
。
0+
解： 这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求 u C (0 − ) 和 i L (0 − ) 。t<0 时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a）所示。由
（1） 当 R = 3000Ω 时，有 p = − 3000 ± ( 3000 ) 2 − 1 − 6 = (−1.5 ± 1.118) × 10 3 2 ×1 2 ×1 1 × 10 即 p1 = −381.97 p 2 = −2618.03
特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程， u ' 'C 的形式为 u ' 'C = A1 e −381.97 t + A2 e −2618 .03t 根据初始条件，可得 u C (0 + ) = u 'C (0 + ) = u ' ' C (0 + ) = 100 + A1 + A2 = 0 i (0 + ) = C 解得 所以电容电压 du C dt
第七章
二阶电路
当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称 为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同与一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步 骤为： （1）根据 KVL，KCL 及元件的 VCR 写出以 uC 或 iL 为变量的二阶微分方程； （2）由 uC (0− ) = uC (0+ ) ， iL (0− ) = iL (0+ ) 确定电路的初始状态，即得出 uC (0+ ), diL dt duC dt
7-5 电路如图所示， t=0 时开关 S 闭合， 设 u C (0 − ) = 0 ，i (0 − ) = 0 ， L=1H， C=1 µ F， U=100V。 若： （1）电阻 R = 3kΩ ； （2）电阻 R = 2kΩ ； （3） R = 200Ω 。试分别求在上述电阻值时 电路的电流 I 和电压 u C 。 解：t>0 后，电路的微分方程为
为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为 i L (t ) = Ae −δt sin(ωt + θ ) 式中 δ = 10 ， ω = 49.97 。根据初始条件 i L (0 + ) = i L (0 − ) = 1 A， u C (0 + ) = L 可得 解得 A sin θ = 1 − Aδ sin θ + Aω cosθ = 0 θ = arctan ω 49.97 = arctan = arctan 4.997 = 78.68° 10 δ 1 1 A= = = 1.02 sin θ sin 78.69° di L 0+ = 0 dt
0+
= C × (−381.97 A1 − 2618.03 A2 ) = 0
A1 = −117, A2 = 17 u C (t ) = 100 − 117e −381.97 t − 17e −2618.03t mA
o+
或 iL (0+ ),
的值；
o+
（3）求出二阶微分方程的两个特征根 p1, p 2 ，根据的不同取值 p1, p 2 ，确定方程 的齐次通解（也是电路的零输入响应） ，一般分为三种情况：
(1) p1 ≠ p 2 为两个不相等的实根（称过阻尼状态）
通解= A1e p1t + A2 e p2t
( 2 ) p1,2 = −δ ± jω 为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态）
LCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征方程为
d 2 i L L di L + + iL = 0 R dt dt 2
LCp 2 + 解得特征根 p=−
L p +1 = 0 R
1 1 2 1 ± ( ) − 2 RC 2 RC LC
= −10 ± j 49.97 即 p1 = −10 + j 49.97 p 2 = −10 − j 49.97
0+
A sin θ = u C (0 + ) = 10 − δA sin θ + ωA cosθ = du C dt =0
0+
即
θ = arctan A=
ω 400 = arctan = arctan 2 = 63.435° 200 δ
2 2 u C (0 + ) u C (0 + ) (ω + δ ) 10 × 400 2 + 200 2 = = = 11.18 sin θ ω 400