双因素方差分析数据
双因素方差分析
（6.35）
MSE = SSE rn(m − 1)
则检验因素 A 与 B 影响是否显著的统计量分别是：
（6.36）
FA
=
MSA MSE
~
F (r
− 1, rnm
−
rn)
（6.37）
FB
=
MSB MSE
~
F (n
− 1, rnm
−
rn)
检验交互影响是否显著的统计量度是：
（6.38）
FAB
=
MSAB MSE
X rn1 X rn2 M X rnm
表中的 X ijl 表示的是在因素水平组合（ Ai ，B j ）下第l次试验的结果。在此组 合下试验结果的平均值为：
X
ij.
=
1 m
m
∑ X ijl
l =1
进一步记：
（6.23）
X
i..
=
1 nm
nm
∑ ∑ X ijl
j=1l =1
（6.24）
X . j.
=
1 rm
~
F[(r
− 1)(n
− 1), rnm
−
rn]
（6.39）
【例 6-3】为了分析光照因素 A 与噪音因素 B 对工人生产有无影响，光照效
应与噪音效应有交互作用，在此两因素不同的水平组合下做试验，结果如表 6-8
（表中数据为产量）：
表 6－8
因素 B
B1
B2
B3
因
15 15 17 19 19 16 16 18 21
各个方差对应的均方差是：
对因素A而言：
MSA = SSA r −1
（6.18）
对因素B而言：
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
无交互影响的双因素方差分析
1、无交互影响的双因素方差分析如果某一试验结果受到A和B两个因素的影响，这两个因素分别可取K和M个水平，则双因素分析实际上就是要比较因素A的K个水平的均值之间是否存在显著差异，因素B 的M个水平的均值之间是否存在显著差异。
假定试验的结果如下表所示（在假定两个因素无交互影响的情形下，通常采用不重复试验）。
表9-8 无交互影响的双因素分析试验观察值无交互影响的双因素方差分析结果如下表：表9-9 无交互影响的双因素分析表在显著性水平α下，如果F > 临界值Fα,则拒绝原假设，认为差异显著。
小案例9-1：有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每个品牌在各地区的销售量取得表9-10的数据。
试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(α=0.05)表9-10 不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据提出假设：对品牌因素提出的假设为：H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响)H1：mi (i =1,2, …, 4) 不全相等(有显著影响)对地区因素提出的假设为：H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响)H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等(有显著影响)表9-11 方差分析表结论：F品牌＝18.10777>Fα＝3.4903，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响。
F地区＝2.100846<Fα＝3.2592，不拒绝原假设H0，无证据表明销售地区对彩电的销售量有显著影响。
资料来源：贾俊平、何晓群、金勇进，《统计学》[M].北京: 中国人民大学出版社,2004.10第2版。
双因素试验的方差分析(精)
实验三 双因素试验的方差分析实验目的：1掌握单因素实验方差分析的方法与步骤；2正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。
试验内容：某种火箭使用4种燃料，3种推进器进行射程试验。
在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数据见表3.1。
表3.1 火箭的射程数据试在水平05.0=α下，检验不同燃料（因素)A 、不同推进器（因素)B 下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？操作步骤：1.在excel 的工作表中输入如表3.1所示的的样本数据。
2.点击“工具—数据分析—方差分析：可重复双因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A1:D9；每一样本的行数，输入2；显著性水平α设置为0.05，如图3.1所示。
图3.1 应用excel“数据分析”功能求双因素等重复方差分析的有关参数3．点击确定，输出参数的窗口如图3.2所示。
图3.2 应用excel“数据分析”功能求双因素等重复方差分析的有关参数结果分析：图3.2 中仅列示了输出结果中的方差分析表。
“样本”即燃料因子，“列”即推进器因子，“交互”为燃料和推进器因子的交互作用，SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。
由方差分析表可知，因子A （燃料）的作用是一般显著的（P-value的值为0.025969<0.05）;因子B（推进器）的作用是高度显著的（P-value的值为0.003506<0.01）；而交互作用是极其显著的（P-value的值为6.15E-05<<0.01）,这说明燃料的作用于与推进器之间有着密切的关系，也即每种推进器都有各自最合自得最佳燃料。
双因素方差分析
y ij ij ij 2 , ij ~ N ( 0, )
假定 ij 相互独立
i 1,2,, r , j 1,2,, s
沿用有重复试验的有关记号，模型可以改写为
yij i j ij ij ~ N (0, 2 ) i 0, j 0, j i
FA B
S A B ( r 1)( s 1) S E rs( t 1)
~ F (( r 1)( s 1), rs( t 1))
表1 双因素方差分析表
来源
因子A 因子B 交互作用 误差 总和
平方和
自由度
均方
SA SA r 1 SB SB s 1
S A B S A B ( r 1)(s 1)
1 t yij yijk t k 1 1 r t y j yijk rt i 1 k 1
引入总的偏差平方和（总变差）:
ST yijk y
i 1 j 1 k 1 r s t
2
可以证明
其中
ST S E S A S B S AB
S E yijk yij
§4.2
双因素方差分析
有重复试验的方差分析
无重复试验的方差分析
一、有重复试验的双因素方差分析
设有两个因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平 A1 , A2 , Ar ， 因素B有s个水平B1 , B2 ,, Bs , 现对因素A，B的每对组合 ( Ai , B j ) 都作 t (t 2)次试 验（称为等重复试验）。
表2 方差分析表
来源
因子A 因子B 误差 总和
平方和
双因素重复测量方差分析spss
双因素重复测量方差分析spss
一、双因素重复测量方差分析（two-way repeated measures ANOVA）
双因素重复测量方差分析（Two-Way repeated measures ANOVA）可以用来检测一个
变量的变化在两个或多个独立变量的作用下是否发生变化。
在双因素重复测量方差分析中，变量1是因素1，因素1有若干水平，变量2是因素2，因素2也有若干水平。
双因素重
复测量方差分析可以检验两个因素是否共同影响变量1的变化，或者检测某个因素是否单
独地影响变量1的变化。
1、打开spss统计软件，点击文件、数据，从窗口中打开需要分析数据文件；
2、点击“分析”菜单，然后从子菜单中点击“多维分析”，再单击“双因素重复测
量方差分析”；
3、在弹出的窗口中，在“变量”框中选择需要分析的变量；
4、在“因素”框中，选择双因素，比如实验组和对照组；
5、点击“定义”按钮，设定因素的水平，比如实验组的水平为A，对照组的水平为B；
6、在“多重比较”框中，勾选“重复测量”框，并且可以设定多重比较的参数；
7、选择“显著性水平”框，设定检验的显著性，通常设定为0.05；
8、单击“OK”按钮，查看分析结果，该分析结果将显示两个因素及其交互作用对变
量1的影响情况。
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
交互作用双因子方差分析
H 03 的 拒 绝 域 为
W 03
S A SE
B 2
2
k3
（6.35）
为 了 确 定 界 限 值 k1 、k 2 、k3 ， 按 照 显 著 性 检 验 的 一 般
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统
计量的分布，
可以证明，
在 H 01 成 立 时
S A 2 r 1 ~ F r 1, rs t 1 S E 2 rs t 1
后的剩余部分，称为水平组合
Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异 u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ：
i 1 j 1 k 1
S
2 A
r
s
t
x i•• x 2
A
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S
2 B
r
s
t
x • j• x 2
B
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S 2 A B
rst
A B
x ij • x i • • x • j • x 2 称 为
的交互效应
i1 j1 k 1
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST 2
SE2
SA2
SB2
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
6-3无交互作用双因素方差分析-精选文档
F值 Fcale
4.34 0.36
F临界值 Fcrif
6.94 6.94
11
6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析 通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
7
1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平 时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。 2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi 与其他不等 3、确定可接受的α风险系数 α=0.05 4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公 式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
12
SS SS A B R ( ) 100% 64.7% R ( ) 100% 5.4% A B SS SS T T SS e R ( ) 100% 64.7% e SS T R 为 A, B 因素和残差占总体平方 和的比率
13
2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
r s
2 SS ( x x ) 1 . 051 ij T i 1j 1
10
4）计算SSe。
SSe=SST-SSA-SSB=0.314
Excel数据管理与图表分析 双因素方差分析
Excel 数据管理与图表分析 双因素方差分析在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，还需要了解销售地区的不同是否影响销售量。
若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A ，饮料的销售地区则是影响因素B 。
对因素A 和因素B 同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容。
双因素方差分析的类型主要有两种，下面具体介绍其应用。
1．无重复双因素分析无重复双因素分析是指在假设两个因素之间是相互独立、不存在任何关系的情况下，对其进行分析。
与单因素方差分析类似，在分析前需将试验数据按一定的格式输入工作表中。
例如，对A 、B 、C 和D 地区上半年和下半年的销售额进行统计，其数据信息如图13-6所示。
图13-6 创建表格 图13-7 设置无重复双因素参数单击【分析】组中的【数据分析】按钮，在弹出的【数据分析】对话框中，选择【方差分析：无重复双因素分析】选项。
然后，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，设置相关的参数，如图13-7所示。
其中，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，各选项功能如下： ●输入区域 输入无重复双因素分析的数据区域。
● 标志 启用该复选框，则生成的分析数据结果工作表中包含数据标志。
若禁用该复选框，则选择的分析数据中只能是数值类型，不能为文本类型，且生成的分析数据结果工作表中不包含数据标志。
●α 显著性水平，一般输入0.05，即95%的置信度。
● 输出选项 输出无重复双因素分析数据的结果。
提 示 【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的参数与【方差分析：单因素方差分析】对话框中的参数相同。
单击【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的【确定】按钮，即可得到如图13-8所示的方差分析结果。
创建表格 选择分析结果图13-8 无重复双因素方差分析在生成的Sheet4无重复双因素方差分析工作表中，分为上下两部分。
其中，上部分为4个地区及上、下半年的计数、求和、平均和方差。
双因素方差分析 数据量不一样
双因素方差分析数据量不一样
双因素方差分析法的英文是Two-way analysis of variance，
是一种统计分析方法，这种分析方法可以用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响，以及双因素之间是否存在交互效应。
一般运用双因素方差分析法，先对两个因素的不同水平组合进行设计试验，要求每个组合下所得到的样本含量全部相同。
双因素方差分析包括两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相
互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
以饮料销售为例，除关心饮料颜色外，我们还想了解销售地区是否对销售量有影响。
如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。
采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该产品。
若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区则是影响因素B。
对因素A和因素B同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容。
双因素方差分析是对影响因素进行检验：究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
spss操作--双因素方差分析(无重复)
F 40.948 25.800
Sig. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
1）描述性统计结果
D es c ri p ti v e S ta t i st i cs
Dependent Variable: 含量比
PH 值 1 2 3 4 To ta l
浓度 1 2 3 To ta l 1 2 3 To ta l 1 2 3 To ta l 1 2 3 To ta l 1 2 3 To ta l
Me an 3. 50 0 2. 30 0 2. 00 0 2. 60 0 2. 60 0 2. 00 0 1. 90 0 2. 16 7 2. 00 0 1. 50 0 1. 20 0 1. 56 7 1. 40 0 .8 00 .3 00 .8 33 2. 37 5 1. 65 0 1. 35 0 1. 79 2
-1.180
-1.920
Байду номын сангаас
-.747
-1.320
-.147
结论：…..
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-.153
1.020
.447
1.620
1.180
2.353
-1.020
.153
1.350E-02
1.187
.747
1.920
-1.620
-.447
-1.187 -1.350E-02
.147
1.320
-2.353
2）将“含量比”设置为变量，将“PH值”、 “浓度”设置为因素
spss操作--双因素方差分析(无重复)
2
3
4
Total
2）多重比较
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) PH值 (J) PH值 (I-J) Std. 1 2 .433 3 1.033* 4 1.767* 2 1 -.433 3 .600* 4 1.333* 3 1 -1.033* 2 -.600* 4 .733* 4 1 -1.767* 2 -1.333* 3 -.733* Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -.153 1.020 .447 1.620 1.180 2.353 -1.020 .153 1.350E-02 1.187 .747 1.920 -1.620 -.447 -1.187 -1.350E-02 .147 1.320 -2.353 -1.180 -1.920 -.747 -1.320 -.147
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) 浓度 (J) 浓度 (I-J) Std. 1 2 .725* 3 1.025* 2 1 -.725* 3 .300 3 1 -1.025* 2 -.300 Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .275 1.175 .575 1.475 -1.175 -.275 -.150 .750 -1.475 -.575 -.750 .150
双因素试验的方差分析
设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各
X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t
ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r
1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .
得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),