实习五ANOVA及双因素方差分析

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第四章双因素方差分析

ab
ab
2
(yi y)(yj y)2
(yi y)(yij yi yj y)
i1 j1
i1 j1
ab
2
(yj y)(yij yi yj y)
=0
i1 j1
=0
=0
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
ab
(yiy)(yijyiyj y)
第四章双因素方差分析
第一节双因素无重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水平
A水平 A1
A2
…
双因素无重复实验的典型数据
B1
B2
…
Bj
…
y11
y12
…
y1j
…
y21
y22
…
y2j
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
…
y.j
y.1
y.2
y.j
…
Bb
yi.
y1b
ST
a

i1
b j1
yij2
T2 N
ab
T yij i1 j1
因素A总差分解:
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
a
SAb (yi22yiyy2)
i1
a
a
a
SAb yi22by yib y2
所以 FB Fa(3,6).

实习五ANOVA及双因素方差分析

练习5.2分析:
• 处理因素：即研究的主要因素，为不同时期（变量名：time）；
• 配伍因素：不同患者治疗前、中、后期各时点血液中粘蛋白含量不同，即研究对象的不同。
操作步骤：从analyze-普通线性模型（GLM）-进入，见下图。
因变量固定变量
自定义方差分析模型
随机因素变量
协变量:与自变量和因变量可能有关系的连续性变量加权最小二乘法的权重系数
将结果整理成方差分析的步骤和方法
1.建立检验假设（根据问题检验处理因素或配伍因素） 2.确定检验水平 3.计算检验统计量F值，并将方差分析的结果整理成表格
形式（方差分析表）：
变异来源（处理间、配伍间、误差、总）、离均差平方和、自由度、均方、F值、P值
4.确定P值 5.做出统计推断
常用的设计类型及分析方法
分析所有分类变量的主效应和交互作用。而 Custom只是比较主效应，不看交互作用。
将分析主效应的变量选入
方差分析进行变异分解的方法
用于对精细趋势检验和精确两两比较的选项进行定义，比较专业，少用。
各组均数间的多重比较：
输出非常重要指标
选入需要估计均数的因素和交互作用
进行均数间的多重比较
(p<0.05))；再写出相应的专业结论。
双因素方差分析(two-way ANOVA)
• 配伍组设计(或双因素无重复试验设计):是配对设计的扩展
– 在实验研究中将实验动物按窝别等特征配伍,再随机分配到各处理组中;
– 对同一受试对象不同时间点上（即多余两个时间点）的观察研究;
– 给同一样本不同的处理;
实习五
方差分析
实习目的：
1. 了解方差分析的基本思想 2. 掌握常用的方差分析的种类及适用条件 3. 掌握单因素和双因素方差分析的操作方法 4. 正确解释输出结果

补充：双因素方差分析

不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素品牌1 品牌2 品牌3 品牌4
地区因素地区1 365 345 358 288 地区2 350 368 323 280 地区3 343 363 353 298 地区4 340 330 343 260 地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
2 k r 2 k r i 1 j 1 i 1 j 1
2
SST = SSR +SSC+SSE
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
误差平方和除以相应的自由度
双因素方差分析
(two-way analysis of variance)
1. 分析两个因素 ( 行因素 Row 和列因素 Column)对试验结果的影响 2. 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析 (Two-factor without replication)
i 1 j 1 k r
2
SSE xij xi. x. j x
i 1 j 1
2
分析步骤
(构造检验的统计量)
总误差平方和(SST )、行因素平方和 (SSR)、
列因素平方和(SSC) 、误差项平方和(SSE) 之间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
• •
H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响) H1：mi (i =1,2, … , 4) 不全相等 (有显著影响)

方差分析(ANOVA)简介

方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。

它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。

ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。

一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。

组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。

如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。

二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。

2. 观测值是正态分布的。

3. 各组的方差是相等的。

三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。

2. 收集数据并进行数据清洗。

3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。

4. 计算均方和。

5. 计算F值。

6. 进行显著性检验。

四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。

2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。

五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。

它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。

六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。

2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。

3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。

方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。

2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。

七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。

方差分析(ANOVA)简介

方差分析(ANOVA)简介方差分析(ANOVA)是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。

它是一种实用而广泛应用的工具，常用于研究实验设计、质量控制、医学研究和社会科学等领域。

在本文中，我们将简要介绍方差分析的基本原理和应用，帮助你了解如何使用这一方法进行数据分析。

什么是方差分析？方差分析是一种通过比较组内差异和组间差异来确定不同组均值之间是否显著不同的统计分析方法。

它基于方差的概念，将总体方差分解为组内变异和组间变异，通过计算F值来判断各组均值是否存在显著差异。

方差分析最常见的形式是单因素方差分析，也就是比较一个因素（自变量）对一个因变量的影响。

然而，方差分析也可以应用于多因素实验设计，比较不同因素及其交互作用对因变量的影响。

方差分析的基本原理方差分析的基本原理是比较组内差异和组间差异，确定组间差异是否由于随机因素引起还是真实存在的。

组内差异是指同一组内个体之间的差异，组间差异是指不同组之间个体均值的差异。

方差分析使用方差比的概念来判断组间差异是否显著。

该概念定义为组间方差与组内方差的比值，当组间方差较大且组内方差较小时，该比值较大，表明组间差异显著；反之，该比值较小，表明组间差异不显著。

方差分析通过计算F值来判断组内差异和组间差异的相对大小。

F值是组间均方与组内均方的比值，如果F值大于给定的临界值，则可以推断组间差异显著，否则差异不显著。

方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。

它可以用于比较不同处理组的均值是否存在显著差异，评估实验结果的有效性和可靠性。

在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验组的平均值是否存在显著差异，例如测试新药物的疗效、评估肥料对作物产量的影响等。

在质量管理中，方差分析可以用于比较不同生产线、不同供应商或不同工艺参数对产品质量的影响，帮助确定最优的质量控制策略。

在社会科学研究中，方差分析可以用于比较不同人群、不同地区或不同时间点的数据，例如比较不同教育水平对收入的影响、比较不同性别对心理健康的影响等。

方差分析(ANOVA)简介

方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。

它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。

方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。

单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。

在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。

假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。

- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。

方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。

组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。

通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。

统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。

F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。

如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。

多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。

它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。

交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。

在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。

二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。

它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。

统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。

不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。

anova方差分析

anova方差分析在数据分析领域中，ANOVA（方差分析）是一种用于比较多个组之间差异的统计方法。

通过ANOVA，我们可以确定不同组之间是否存在显著的差异，并进一步确定这些差异是否是由于随机因素引起的。

本文将介绍ANOVA的基本原理、应用场景以及如何进行方差分析。

一、ANOVA方差分析的基本原理ANOVA方差分析是通过对组内变异与组间变异之比进行统计，来评估多个组之间是否具有显著差异。

其基本假设是：各组观测值来自于正态分布的总体，并且各组的方差相等。

方差分析基于方差分解原理，将总体方差分解为组间变异和组内变异。

组间变异反映了不同组之间的差异，而组内变异则是组内观测值的变异。

ANOVA的目标就是确定组间变异与组内变异之间的比例是否显著，从而判断各组之间是否存在显著差异。

二、ANOVA方差分析的应用场景ANOVA方差分析广泛应用于实验设计和数据分析领域。

以下是几个常见的应用场景：1. 实验设计：ANOVA可以用于评估不同处理组间的差异是否显著，例如药物疗效的比较、不同教育方法的效果等。

2. 市场调研：在市场调研中，可以使用ANOVA来比较不同市场细分（如不同年龄组、性别、地区等）之间的差异，以了解不同市场细分对产品偏好的影响。

3. 生物医学研究：医学研究中常常需要比较不同治疗方法或不同药物对实验组的影响，ANOVA方差分析可以用于评估不同处理组之间的差异。

三、如何进行ANOVA方差分析进行ANOVA方差分析通常包括以下几个步骤：1. 收集数据：根据实际需求，收集各组的观测数据。

2. 建立假设：明确研究的假设，包括原假设（各组之间无显著差异）和备择假设（各组之间存在显著差异）。

3. 计算统计量：根据ANOVA公式，计算组内均方、组间均方以及F值。

F值反映了组间变异与组内变异之间的比例。

4. 判断显著性：使用统计软件或查找F分布表，计算F值对应的显著性水平。

如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异。

anova方差分析

anova方差分析方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个样本之间的均值是否有显著差异。

它是通过将总变异拆分为组内变异和组间变异，然后比较两者的差异而得出结论的。

本文将介绍ANOVA的概念、原理、步骤以及在实际应用中的注意事项。

概念ANOVA是通过比较组间变异与组内变异的差异来判断样本均值是否存在显著差异的方法。

组间变异反映了不同组之间的差异，而组内变异则反映了同一组内样本之间的差异。

如果组间变异较大，且组内变异较小，则说明组间均值差异较大，样本之间存在显著差异。

原理ANOVA的原理基于以下假设：各组样本来自于正态总体且方差相等，各组样本之间相互独立。

在这些前提下，可以使用F检验方法来判断组间变异是否显著。

步骤进行ANOVA分析通常需要以下步骤：1. 确定假设：建立原假设和备择假设，通常原假设认为各组均值相等，备择假设认为至少有一组均值不相等。

2. 设置显著性水平：通常将显著性水平设定为0.05，表示以5%的置信水平来判断结果的显著性。

3. 收集样本数据：根据实验设计和需要收集各组的样本数据。

4. 计算统计量：计算组内变异和组间变异，然后计算F统计量。

5. 判断显著性：将计算得到的F值与临界F值进行比较，如果F值大于临界F值，则拒绝原假设，认为样本均值之间存在显著差异；如果F值小于临界F值，则接受原假设，认为样本均值之间不存在显著差异。

6. 进行事后分析（可选）：如果ANOVA结果显示有显著差异，可以进行事后分析，比如进行多重比较方法（如Tukey方法）来确定具体哪些组之间存在显著差异。

注意事项在进行ANOVA分析时，需要注意以下几点：1. 样本数据应满足正态性和方差齐性的假设，即各组样本数据应来自正态分布且方差相等的总体。

在违反这些假设时，可能需要进行数据转换或者使用非参数统计方法。

2. 样本量应足够大，以保证统计结果的可靠性。

双因素方差分析Two-WayANOVA-统计之都

1 2
6.2
7 k 2 21, t63 (0.025/ 21) 3.40 t60 (0.025/ 20) 3.39 t60 (0.025/ 20) 3.16 ?
多重比较
(3 Bonferroni Method)
S p 0.0606 , t60 (0.025/ 20) S p
J
j
0
6.3 双因素方差分析
6.3.3 无交互作用
平方和分解式：
2 ( Y Y ) J ( Y Y ) I ( Y Y ) ( Y Y Y Y ) ij i i ij i j 2 2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 I J I J I J
H0成立时F ~ F ((I 1), J1 J I I )
6.2
多重比较
(Multiple Comparisons)
6.2
多重比较
(1 LSD Method)
Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference) 方法，简记为LSD
LSD t I ( J 1) ( 2) S p 1 1 2 J J t I ( J 1) ( 2) S p J i2 i1
6.2
称 max
i1 ,i2
多重比较
Sp / J
(2 Tukey’s Method)
(Yi1 i1 ) (Yi2 i2 )
服从参数为I和I(J-1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100分位数记为 qI , I ( J 1) ( )
SSTOT SSA SSB SSE

双因素方差分析

由于存在两个因素的影响，就产生一个新问题，两因素对指标的影响是否正好是它们每个因素对指标的影响的迭加?
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析二、有交互作用的方差分析三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方差分析，就是双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都不显著．下面着重考察因素B.
方差来源平方和自由度
A B 误差总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用，则只需要在各个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．

两因素方差分析的步骤

两因素方差分析的步骤双因素方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

双因素方差分析（Two-way ANOVA）有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B 的结合会产生出一种新的效应。

分析过程：一.陈述假设三个部分：1.因素A的主效应。

2.因素B的主效应。

3.因素A和因素B之间的交互作用。

二、方差分析的准备1.有关统计量的计算2.自由度的计算：因素A的自由度，因素B的自由度，交互作用的自由度，处理内的自由度3.确定显著性水平：应分别对三个假设确定显著性水平4.确定临界值三、F统计量的计算1、和方分解（第一阶段：将总体和方分解为处理间的和方与处理内的和方两部分。

第二阶段：将上一阶段所得的处理间的和方继续分解为因素A的和方、因素B的和方以及交互作用的和方。

）2、计算均方3、计算F统计量的观测值4、作出方差分析表5、画出交互作用图四、得出检验结论分析策略小结：1. 先做两因素方差分析确定是否有交互作用a) 如果没有交互作用，看主效应的差别是否有统计学意义：若有统计学意义，考察相应的样本均数，确定哪种情况的均数高。

b)如果有交互作用，则不能分析主效应。

而化为单因素的方差分析(组数为各个因素的水平数之和)，作两两比较。

2. 在有交互作用的情况下，通过计算样本均数确认交互作用为协同作用还是拮抗作用。

双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。

双因素方差分析课件

双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果，而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析中，把它当成一种新原因来处理。

(方差分析)ANOVA

用控制图加以类比
“子群间的方差”
“子群内的方差 ”
总体 = 两者间 + 之内
ANOVA - 9
基本知识 – 平方和
70
65
60
55
1
2
3
4
Factor
yj = 群体均值
y = 实验的总均值
yi,j = 个别测量 i = 代表在 jth群体中的一个数据点 j = 代表 jth 群体 g = 群体总数
ANOVA - 2
从中学到什么?
从一个简单方法中获得经验，了解过程知识知道如何设计并分析一个简单实验提高从少量数据中获得结论的能力进一步认识图形工具在数据中应用分析多因素对一个同步反应的效果
ANOVA - 3
反应
是否存在差异?
50
40
x
30
20
x
x
10
1
2
3
因素A
ANOVA - 4
概念性ANOVA
总计
SS SS(Factor) SS(Error)
SS(Total)
df
MS (=SS/df)
g -1
g
n
j
1
j 1
g n j 1
j 1
SS (factor)/df factor SS(Error) / df error
F {=MS(Factor)/MS(Error)} MS(Factor) / MS(Error)
ANOVA - 30
双因素因素设计
一般双因素因素实验采用如下表格，在单因素ANOVA情况下，实验的随机性很重要：
1
1
Factor A
2
.

方差分析(ANOVA)简介

方差分析(ANOVA)简介方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间是否存在显著性差异。

通过ANOVA可以帮助我们判断不同因素对于数据的影响程度，进而做出科学的决策。

为什么需要方差分析在现实生活和科研领域中，我们经常会遇到需要比较多个组别或处理之间差异的情况。

例如，我们想知道不同教学方法对学生成绩的影响是否显著，或者不同药物治疗方法在疾病治疗中的效果是否存在差异。

此时，方差分析就是一种非常有效的工具。

ANOVA的基本原理方差分析通过比较组内变异和组间变异的大小来判断各组之间均值是否存在显著性差异。

如果组间差异显著大于组内差异，我们就可以认为因素之间的差异是显著的。

单因素方差分析与多因素方差分析在实际应用中，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析是指只考虑一个因素对结果的影响，而多因素方差分析则同时考虑多个因素之间的相互作用。

方差分析的假设进行方差分析时需要满足一些基本假设，如样本的正态性、方差齐性和独立性等。

只有在这些基本假设成立的情况下，我们才能对方差分析结果进行合理解释。

如何进行方差分析在实际应用中，进行方差分析通常需要借助统计软件进行计算和分析。

我们需要输入不同组别的数据，然后进行方差分析的步骤和计算，最终得出结果并进行统计推断。

方差分析作为一种强大的统计工具，能够帮助我们解决许多实际问题，提供科学依据和数据支持。

通过对数据的比较和分析，我们可以更清晰地了解不同因素之间的关系，有效地做出决策和优化方案。

在实际应用中，我们应当谨慎分析数据、合理选择模型，才能得出准确可靠的。

希望本文对您理解方差分析有所帮助，欢迎深入学习和实践应用！在统计分析中，方差分析（ANOVA）是一种重要的方法，可以有效比较不同组别或处理之间的均值差异。

通过合理的数据分析和实际应用，我们能够更好地理解数据背后的意义，为决策提供可靠的支持。

双因素方差分析方法

(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素的离差平方和, 的离差平方和对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素的离差平方和, 的离差平方和对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.

双因素试验的方差分析

第二节双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si i j j s μμ∙==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ∙==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ∙=-, i =1,2,…,r , j j βμμ∙=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ∙∙=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t ∙==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ∙∙===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ∙∙===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()r s tijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x ∙∙∙∙∙分别是μ,μi ·,μ·j,μij 的无偏估计.由 ()()()()i j k i j k i j i j i j i j x x x x x x x x x x x x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-=-+-+-+--+， 1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx ∙===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ∙∙=-∑，S B =21()sj j rtxx ∙∙=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j tx x x x ∙∙∙∙∙==--+∑∑. S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)B ES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111rstijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11s tijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11rtijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S ∙∙∙===∙∙∙∙∙=∙∙∙∙∙=∙∙∙⨯∙==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.S T =22111,r s tijki j k T xrst∙∙∙===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst∙∙∙∙∙=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst ∙∙∙∙∙=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst∙∙∙∙==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x ∙=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ 各相互独立 (9.22) 要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ∙∙=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),r ssT ijA i i j j S xx S s x x ∙====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x ∙∙∙====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92<F B,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.。

anova方差分析

anova方差分析在统计学中，ANOVA（Analysis of Variance）是一种用于比较两个或多个样本均值差异的方法。

它通过检验各组之间是否存在显著差异来推断总体均值是否一致。

本文将介绍ANOVA的基本原理、假设条件、计算步骤以及使用场景。

1. 原理ANOVA基于方差比较的原理，通过计算组内方差和组间方差的比值来判断各组均值是否相等。

如果组间方差远大于组内方差，则可以推断各组均值不相等；如果组内方差远大于组间方差，则可以推断各组均值相等。

2. 假设条件进行ANOVA分析时，需要满足以下假设条件：- 独立性：样本观测值之间相互独立，一个样本的观测值不会影响其他样本的观测值。

- 正态性：每个总体都服从正态分布。

- 方差齐性：各组总体方差相等。

3. 计算步骤进行ANOVA分析的计算步骤主要包括以下几个方面：- 计算组内平方和（SSW）：表示各组内部的变异程度。

- 计算组间平方和（SSB）：表示各组之间的变异程度。

- 计算均方（MSW和MSB）：将组内平方和和组间平方和除以自由度。

- 计算F值：F值等于均方之比。

- 进行假设检验：根据计算得到的F值与显著性水平进行比较，判断组间差异是否显著。

4. 使用场景ANOVA广泛应用于实验设计和数据分析领域，特别适用于以下场景：- 多组均值比较：当我们需要比较多个样本均值是否有显著差异时，可以使用ANOVA进行分析。

- 多因素分析：当我们同时考虑两个或多个因素对结果的影响时，可以使用多因素ANOVA。

- 方差分解：ANOVA可以将总体方差分解为组内方差和组间方差，从而分析各组之间的差异。

总结：ANOVA方差分析是一种有效的统计方法，通过比较多个样本均值差异来推断总体均值是否一致。

在使用时需要满足一定的假设条件，并按照特定的计算步骤进行分析。

它在实验设计和数据分析中有着广泛的应用，能够帮助我们深入了解组间差异的来源和影响因素。

双因素方差分析

1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明：构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),

双因素方差分析

(7-13)
三、双因素方差分析
在上述误差平方和的基础上计算均方，也就是将各平方和除以相应的自由度。与各误差平方和相对应的自由度分别为：
SST的自由度为kr－1，SSR的自由度为k－1，SSC的自由度为r－1，SSE的自由度为(k－1)(r－1)。
为构造检验统计量，需要计算下列各均方： ①行因素的均方，记为MSR。 ②列因素的均方，记为MSC。 ③随机误差的均方，记为MSE。
三、双因素方差分析
二、无交互作用的双因素方差分析
1. 数据结构
在无交互作用的双因素方差分析中，由于有两个因素，因而在获取数据时，需要将一个因素安排在“ 行”的位置，称为行因素；另一个因素安排在“列” 的位置，称为列因素。设行因素有k个水平，列因素有r个水平，行因素和列因素的每一个水平都可以搭配成一组，观察它们对试验指标的影响，共抽取kr个观察数据，其数据结构见表7-8。
三、双因素方差分析
“全因子”单选按钮为系统默认项，用来建立全模型。全模型中包括因素之间的交互作用。如果选择分析两个因素的交互作用，则必须在每种水平组合下取得两个以上的试验数据，才能实现两个因素的交互作用的分析。如果不考虑因素间的交互作用，则应当选择自定义模型。
三、双因素方差分析
“设定”单选按钮用来自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操作，如图7-12所示。
三、双因素方差分析
2. 分析步骤
与单因素方差分析类似，双因素方差分析也包括提出假设、构造检验统计量和决策分析等步骤。
（1）提出假设。
为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出如下假设：
①对行因素提出假设。
H0∶μ1=μ2=…=μk=μ
行因素（自变量）对因变量没有显著影响