小学六年级奥数系列讲座构造与论证

构造与论证1

内容概述

各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题。这里的最佳通常指某个量达到最大或最小。解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.

典型问题

2.有３堆小石子，每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有1９89块石子,第二堆有9８9块石子,第三堆有８9块石子.问能否做到：

(1）某２堆石子全部取光?

（２）3堆中的所有石子都被取走?

【分析与解】（１）可以,如(1９89,98９，89) →(1900，90０，0）→（９５0，9００，9５０）→

（5０，0,50)→(2５，２5，５０）→(O,0，25）．

(2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数,要么不变．

现在共有１９89+989+89=306７，不是３的倍数,所以不能将３堆中所有石子都取走．

4．在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分。问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得1０+2-3=９(分）．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2－2＋3＝1３（分)．所以，一位业余选手胜2场,不能确保他的得分比某位专业选手高。

当一位业余选手胜3场时,得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得１0+２＋2－2＝12(分）.此时，三位专业选手最多共得３0+0+４=34（分），其中专业选手之间的三

场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分。由三个人得３4分，３4÷３

=111

3

,推知,必有人得分不超过１1分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

6.如图35—1，将１，2,3,４，5，6，7，8,9,1０这１0个数分别填入图中的1０个圆圈内，使任意连续相邻的５个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求Ｍ的最小值并完成你的填图.

【分析与解】要使M最小,就要尽量平均的填写,因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小,有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次,所以10次的和为5×（1+2＋3

＋…+10）=275．

每次和都小于等于朋,所以ＩOM大于等于275,整数Ｍ大于２8。

下面来验证Ｍ=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，

所以肯定是一边五个的和是28,一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔４个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图。

8。1９98名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么,选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉,因为它们参与的乘式比较多,把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式,比较小的数肯定是用得最多的,因为它们的倍数最多,所以考虑先把它们去掉,但关键是除到何处？

考虑到44的平方为1936，所以去到４４就够了,因为如果剩下的构成了乘式,那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为对结果没有影响,所以可以将１保留,于是去掉２，3，4,…,４４这4３个数.

但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢？构造２×97,３×9６，4×９5，…，4４×45，发现这４3组数全不相同而且结果都比1998小,所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数,所以43位最小值，即为所求。

1０.在10×1９方格表的每个方格内,写上０或1,然后算出每行及每列的各数之和.问最多

能得到多少个不同的和数？

【分析与解】首先每列的和最少为０,最多是１0，每行的和最少是0，最多是19,所以不同的和最多也就是0，１，2,3,4，…，18,19这20个.

下面我们说明如果０出现，那么必然有另外一个数字不能出现。

如果0出现在行的和中,说明有1行全是0,意味着列的和中至多出现0到9,加上行的和至多出现１0个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现,所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法。

12.在１000×１000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求ｎ的最小值。

【分析与解】首先确定１９98不行。反例如下：

其次１9９9可能是可以的，因为首先从行看,1999个红点分布

在１０00行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点,因为含有０

或1个红点的行最多９99个,所以其他行含有红点肯定大于等于

1999-999=1００0,如果是大于10００，那么根据抽屉原理，肯定有

两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形;

如果是等于1０００而没有这样的２个红点在一列,说明有９99行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999．

14.在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个４×4的方阵。用线段连接其中4点,就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形,那么最少要去掉多少个点？