高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)

高中平面解析几何知识点总结
一.直线部分
1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做直线的倾斜角.
倾斜角 , 斜率不存在.
（2）直线的斜率： ．两点坐标为 、 .
2．直线方程的五种形式：
（2）过圆 上的点 的切线方程为: ．
（3）当点 在圆外时，可设切方程为 ，利用圆心到直线距离等于半径，
即 ，求出 ；或利用 ，求出 ．若求得 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线 ．
8. 圆的参数方程：
圆方程参数方程源于：
那么
设： 得：
9．把两圆 与 方程相减
即得相交弦所在直线方程: ．
10．对称问题：
如下：
韦达定理：⑴.
⑵.顶点坐标 ，推导采用配方法：
⑶ 求根公式：
从而零点坐标为 。
③ 平移
注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.
；
；
．
5．两圆位置关系:
设两圆圆心分别为 ，半径分别为 ，
；
；
；
；
．
6．圆系方程：
（1）过直线 与圆 : 的交点的圆系方程： ,λ是待定的系数．
（2）过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程：
,λ是待定的系数．
特别地，当 时， 就是
表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．
7．圆的切线方程：
（1）过圆 上的点 的切线方程为: ．
点 关于直线 对称 ．
② 直线关于直线对称：（设 关于 对称）
法1：若 相交，求出交点坐标，并在直线 上任取一点，求该点关于直线 的对称点．
若 ，则 ，且 与 的距离相等．
法2：求出 上两个点 关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程．
（3）其他对称：
点(a,b)关于x轴对称：(a,-b)；
关于y轴对称：(-a,b)；
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1）直线在两坐标轴上的截距相等 直线的斜率为 或直线过原点．
（2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点．
（3）直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点．
方向向量为 下面推导参数方程：
注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。
二.圆部分
1．圆的方程：
（1）圆的标准方程： （ ）．
（2）圆的一般方程： ．
（3）圆的直径式方程：若 ，以线段 为直径的圆的方程是： ．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是 ， ．
④由于两个焦半径和为2a
所以 得： 得：
⑤ 椭圆离心率，来源于圆的定义：
圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。
椭圆离心率为
四.双曲线部分
1.双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：
① 双曲线的标准方程：
② 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数2a.
三.椭圆部分
1.椭圆定义：
① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a
② 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。
③从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数2a。
为了推导抛物线标准式，设：定直线为x=-p，定点为O1（p，0），
（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性）
① 设：抛物线上任意一点坐标为M(x，y)
M点到定直线x=-p的距离为
M点到定点O1（p，0）的距离为
② 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成y，函数变成x；而二次函数自变量是x，函数是y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。
关于原点对称：(-a,-b)；
点(a,b)关于直线y=x对称：(b,a)；
关于y=-x对称：(-b,-a)；
关于y=x+m对称：(b-m、a+m)；
关于y=-x+m对称：(-b+m、-a+m).
11．若 ，则△ABC的重心G的坐标是 ．
12．各种角的围：
直线的倾斜角
两条相交直线的夹角
两条异面线所成的角
（1）中心对称：
① 点关于点对称：点 关于 的对称点 ．
② 直线关于点对称：
法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．
法2：求出一个对称点，在利用 由点斜式得出直线方程．
（2）轴对称：
① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．
8．直线系方程：
（1）平行直线系方程：
① 直线 中当斜率 一定而 变动时，表示平行直线系方程．
② 与直线 平行的直线可表示为 ．
③ 过点 与直线 平行的直线可表示为： ．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线 垂直的直线可表示为 ．
② 过点 与直线 垂直的直线可表示为： ．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数．
② 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线 交点的直线系方程为 (除开 )，其中λ是待定的系数．
9．两条曲线的交点坐标：
曲线 与 的交点坐标 方程组 的解．
10.平面和空间直线参数方程：
1平面直线方程以向量形式给出：
方向向量为 下面推导参数方程：
2空间直线方程也以向量形式给出：
（1）点斜式： (直线 过点 ，且斜率为 )．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 ．
（2）斜截式： (b为直线 在y轴上的截距).
（3）两点式： ( ， ).
注：① 不能表示与 轴和 轴垂直的直线；
② 方程形式为： 时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式： （ 分别为 轴 轴上的截距，且 ）．
4．两条直线的平行和垂直：
（1）若 ， ，有
① ； ② .
（2）若 ， ，有
① ；② ．
5．平面两点距离公式：
（1）已知两点坐标 、 ，则两点间距离 ．
（2） 轴上两点间距离： ．
（3）线段 的中点是 ，则 ．
6．点到直线的距离公式：
点 到直线 的距离： ．
7．两平行直线间的距离公式：
两条平行直线 的距离： ．
（其中 的求法是将直线和圆的方程联立消去 或 ，利用韦达定理求解）
3．点与圆的位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关系：
点 与圆 的位置关系有三种
1 在在圆外 ．
2 在在圆 ．
③ 在在圆上 ．
【 到圆心距离 】
4．直线与圆的位置关系：
直线 与圆 的位置关系有三种:
圆心到直线距离为 ( )，由直线和圆联立方程组消去 （或 ）后，所得一元二次方程的判别式为 ．
注：不能表示与 轴垂直的直线，也不能表示与 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．
（5）一般式： (其中A、B不同时为0)．
一般式化为斜截式： ，即，直线的斜率： ．
注：（1）已知直线纵截距 ，常设其方程为 或 ．
已知直线横截距 ，常设其方程为 (直线斜率k存在时， 为k的倒数)或 ．
已知直线过点 ，常设其方程为 或 ．
（2）一般方程的特点：
① 和 的系数相同且不为零；② 没有 项； ③
（3）二元二次方程 表示圆的等价条件是：
① ； ② ； ③ ．
2．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ，
则：“半弦长 +弦心距 =半径 ”—— ；
（2）代数法：设 的斜率为 ， 与圆交点分别为 ，则
③ 双曲线的渐近线：
由标准方程知：
若标准方程为 ，那么这时
注意y下面对应b，x下面对应a.
④取x=a及x=-a两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和y轴的交点称为虚焦点，
该轴称为虚轴。
⑤推导a、b、c之间的关系：
设双曲线上任意一点坐标M（x，y）
设：
从而得到:
五.抛物线部分
1.定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。
2.椭圆性质：
①由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从A点向焦点引两条焦半径
∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a
这是因为∣AO1∣=∣O2B∣(由图形比较看出)
②椭圆的标准方程：
③椭圆参数方程：
从圆方程知：
圆方程参数方程源于：
所以按上面逻辑将椭圆方程 视为
设 得：
同理椭圆参数方程为： 得：