高一上学期数学知识点总结(含答案)

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结

一、集合与命题

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）

2.遇到A

B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B

⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,

2

a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。 （答：7）

4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔

u u A B ⊇； ⑷u u A B A B =∅⇔⊆； ⑸u A B U A B =⇔⊆； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}

|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，

如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =_ _ （答：[4,)+∞）；

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关

于x 的不等式

250ax x a

-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ∉求实数a 的取值范围。 （答：(]519253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为

（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11

x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若

B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的

充要条件。如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必

要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2

） 二、不等式

1. 不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不

能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b c >）；

（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>

（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b

>。 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；

④b a b a 11,0<<<则若；⑤b

a a

b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：[]1,7）

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝

⎭） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；

（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如设2a >，12

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >） 3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b

>的形式，若0a >,则b x a >

；若0a <,则b x a

<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示

吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：