初中数学全等三角形知识点
全等三角形(知识点讲解)
全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。
在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。
一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。
简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。
2. SAS判定法：即边-角-边判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。
3. ASA判定法：即角-边-角判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。
4. AAS判定法：即角-角-边判定法。
当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。
需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。
即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。
4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。
通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。
四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。
全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。
下面我们来总结一下全等三角形的知识点。
1. 全等三角形的性质。
全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。
（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。
（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
2. 全等三角形的判定方法。
判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用。
全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。
例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。
此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。
例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。
总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。
《怎样判定三角形全等》 知识清单
《怎样判定三角形全等》知识清单在初中数学的学习中，三角形全等是一个非常重要的知识点。
能够准确判定三角形全等不仅有助于我们解决几何问题，还能为后续学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
那么，怎样判定三角形全等呢？下面就来为大家详细介绍。
一、全等三角形的定义首先，我们要清楚什么是全等三角形。
全等三角形指的是能够完全重合的两个三角形。
这意味着它们的三条边和三个角都分别对应相等。
二、三角形全等的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么就能够得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，这样就可以判定它们全等。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
就像在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形就是全等的。
5、 RHS（直角、斜边、边）在两个直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
这是专门用于判定直角三角形全等的方法。
三、三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等如果两个三角形全等，那么它们对应的边就相等。
所以，要证明两条线段相等，可以通过证明它们所在的三角形全等。
2、证明角相等同样，全等三角形的对应角相等。
因此，要证明两个角相等，可以先证明它们所在的三角形全等。
初中数学知识归纳全等三角形
初中数学知识归纳全等三角形全等三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用全等三角形。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
两个三角形全等的条件是：两边对应相等且夹角对应相等，或三边对应相等。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角都相等。
2. 全等三角形的各边对应的中点连线互相平行，且长度相等。
3. 全等三角形的高、中线、角平分线等都互相平行，且长度相等。
4. 全等三角形的高度、中线、角平分线等的交点都在各个对应边上。
三、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边分别相等且夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两角分别相等且夹边相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角分别相等且夹边的对应边相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题，如求线段长度、角度大小等。
2. 利用全等三角形的判定法可以帮助我们判断是否存在全等三角形，解决相应的几何问题。
3. 全等三角形在建筑、工程测量等实际问题中具有广泛的应用，如通过测量已知边长的三角形来计算未知边长的三角形。
五、常见的全等三角形1. 等腰三角形：如果一个三角形两边相等，则它是等腰三角形，等腰三角形的底角及顶角相等。
2. 等边三角形：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形，等边三角形的三个内角均为60°。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个角为90°，则它是直角三角形，直角三角形是全等三角形中常见的一种形式。
通过对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳，我们可以更好地理解和应用全等三角形。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。
下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。
2、全等三角形的对应角相等。
对应角的度数完全相同。
3、全等三角形的周长相等。
因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。
4、全等三角形的面积相等。
由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。
三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。
四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。
例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。
12.2 三角形全等的判定 初中数学模型
B1
A
E
D
C
7
知识点三：”旋转“ 模型
典例分析
AAS
例3：如图,∠A=∠B, AE= BE, 点D在AC边上 ,∠1=∠2,AE,BD
交于点O.求证:∆AEC≌∆BED.
证明：∵ ∠ADE3;∠C
又∵ ∠ ADE= ∠ 1+∠BDE
且∠ 1= ∠ 2
∴ ∠C= ∠BDE 在∆AEC和∆BED中，
△ABD,若∠ABC=25°,∠ADB=110°,
A3
1B
则∠DAC的度数是 90 ° .
D
2、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示
E
的图形.已知∠CEB'=60°,则
B
C
∠AEB′= 60 °.
B′
A
D
6
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
对顶角模型
3、如图，OA=OB,OC=OD,∠O=50°，∠D=35°,则∠AEC的度数 为 60 °.
∵ AD⊥CD AE⊥BE ∴ ∠AEB= ∠ADC=90 ° ∠BAE= ∠CAD （已证） 在△ABE和△ACD中， ∠AEB= ∠ADC （已证）
AB=AC（已知）
∴△ABE≌△ACD(AAS)
12
AAS
5
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
公共边模型
C
1、如图,△ABC沿直线AB向下翻折得到
“平移”模型
A
D
求证:AB∥DE.
证明：∵BE=CF ∴BE+EC=CF+EC（等式性质） B ∴BC=EF
AB=DE（已知）
在△ABC和△DEF中， AC=DF（已知）
初中数学 全等三角形的性质有哪些
初中数学全等三角形的性质有哪些全等三角形是指具有相等的三个内角和相等的对应边的三角形。
以下是关于全等三角形的性质：1. 对应角相等性质：全等三角形的对应内角是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个内角相等，那么它们的对应内角也相等。
2. 对应边相等性质：全等三角形的对应边的长度是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个边的长度相等，那么它们的对应边的长度也相等。
3. 全等三角形只有一个解：如果两个三角形的三个内角和三条边都相等，那么它们就是全等的。
这意味着全等三角形的相等条件是唯一的，不存在其他满足条件的三角形。
4. 全等三角形的对称性：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边和对应角都是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
5. 全等三角形的面积相等：如果两个三角形是全等的，那么它们的面积也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的面积相等，记作∠ABC∠∠DEF。
6. 全等三角形的角平分线相等性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角的角平分线也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的∠A的角平分线等于∠D的角平分线，∠B的角平分线等于∠E的角平分线，∠C的角平分线等于∠F的角平分线。
7. 全等三角形的重心、垂心、外心、内心等特殊点重合性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
8. 全等三角形的旁边关系：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边的旁边关系也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么∠A的旁边边BC=∠D的旁边边EF，∠B的旁边边AC=∠E的旁边边DE，∠C的旁边边AB=∠F的旁边边CD。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
初中数学知识点精讲精析 全等三角形知识讲解
.11·1 全等三角形要点精讲1. 全等形和全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.“全等”用符号“”来表示，读作“全等于”.注：（1）全等三角形①形状、大小相同；②能够完全重合.（2）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.注：寻找对应边、对应角的方法、规律（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.3．全等变形只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括以下三种：（1）平移变换： 把图形沿某条直线平行移动；（2）对称变换：将图形沿某直线翻折；（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.典型例题例1. 如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角.180分析：先将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.解析：对应角有：∠BAE 和∠CAD ；对应边有：AB 和AC ，AE 和AD ，BE 和CD. 评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE ≌△ACD ”，按字母的对应位置写出对应边：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD ；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.例2.如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB ∥CD ，只要∠ABE ＝∠CDF ，而这两个角是△ABE 和△CDF 的一对对应角，至于AE 与CF 的平行，只需∠AED ＝∠CFB ，这两个角不在△ABE 和△CDF 中，但却是∠AEB 与∠CFD 的邻补角. 证明：△ABE ≌△CDF ，AB ＝CD ，BE ＝DF∴∠ABE ＝∠CDF∠AEB ＝∠CFD （全等三角形的对应角相等）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）而∠AED ＝180°－∠AEB∠CFB ＝180°－∠CFD∴∠AED ＝∠CFB （等角的补角相等）则AE ∥CF评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.AB CD E 12。
人教版初中数学八年级上册第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何 图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形 变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知 下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状 完全相同
课后作业
作业 内容
12.1 全等三角形/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用 全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找 出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
初中数学知识点归纳精品教学-全等三角形知识点+练习题
9.如图，已知 AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____. 10.如图，F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.
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初中数学知识点归纳精品教学
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11.如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC，以 D,E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．
0
31.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD的长.
32.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E 是 AD上一点,延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE．
33.如图,在ΔABC 中, ∠ABC=60°,AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD。
已知：∠AOC=∠BOD
重叠线段问题：
已知：CE=AF
已知：CE=AF
角平分线的性质与判定 角平分线性质： 角平分线判定： 常见辅助线作法 截长补短题型： 倍长中线题型： 角平分线题型： ； ； ； ； ；
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初中数学知识点归纳精品教学
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1.如图∠1=∠2=20 ，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（ 0 0 0 A.20 B.70 C.50
度.
7.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B= ∠D=300， 则∠1的度数为 8.如图， △ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、 AC 边翻折1800形成的， 若∠1:∠2:∠3=28:5:3， 则∠a 的 度数为
初中二年级数学知识点全等三角形
初中二年级数学知识点全等三角形1、判别正确或错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.2、命题是由题设、结论两局部组成的.题设是事项;结论是由事项推出的事项.常可写成假设，那么的方式.用假设末尾的局部就是题设，而用那么末尾的局部就是结论.3、直角三角形的两个锐角互余.4、三角形全等的判定：方法1：假设两个三角形有两边及其夹角区分对应相等，那么这两个三角形全等.简记为S.A.S.(或边角边).方法2：假设两个三角形有两个角及其夹边区分对应相等，那么这两个三角形全等.简记为A.S.A.(或角边角)方法3：假设两个三角形有两个角和其中一个角的对边区分对应相等，那么这两个三角形全等.简记为A.A.S.(或角角边).方法4：假设两个三角形的三条边区分对应相等，那么这两个三角形全等.简记为S.S.S(或边边边).方法5(只能用于直角三角形)：假设两个直角三角形的斜边和一条直角边区分对应相等，那么这两个直角三角形全等.简记为H.L.(或斜边、直角边).5、普通来说，在两个命题中，假设第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题.6、假设一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.7、假设一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成等角对等边) 8、假设三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.(勾股定理的逆定理)9、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.10、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
初中数学全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
初中证明三角形全等的公式
初中证明三角形全等的公式三角形全等的公式，这可是初中数学里的一颗明珠，大家伙儿可得好好把握哦！我们说到三角形全等，咱得明白啥叫全等。
全等的意思就是这俩三角形，大小、形状、角度都一模一样，真是“形影不离”啊！你想想，如果两个三角形完全重合，那就是全等，像双胞胎一样。
不过，三角形全等可不是随随便便就能说的，得有几条公式来帮忙。
咱们得提到“边边边”原则。
就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那这俩三角形就全等。
这就好比你和你的小伙伴都是180斤，身高都是175厘米，穿的鞋也是一样大，哈哈，你们简直是双胞胎呀！边边边原则可好使了，大家在做题的时候，不妨把它当成金钥匙，轻松打开全等之门。
再来聊聊“角边角”原则。
这个就有点意思了，两个三角形如果有一条边相等，而与这条边相邻的两个角也相等，那这俩三角形也是全等的。
这就像你和朋友一起去看电影，座位正好在一排，坐的角度、位置都差不多，嘿，简直就是“兄弟同心，其利断金”嘛！想象一下，两三角形就是在进行一场亲密的舞蹈，舞步得一致，才能跳得动人哦。
还有个“边角边”原则，咱们也得提一下。
两条边和它们夹着的角相等的情况下，三角形也全等。
这就像你和朋友一起去打篮球，你们俩的投篮姿势、力道都差不多，那胜率自然是嗖嗖上涨，简直就是“势均力敌”了！不过，学习这些原则可不能仅仅停留在表面哦。
大家要“潜心钻研”，深入理解这几个公式的运用。
数学这门功课就像是个谜，得用心去探索，才能找到最终的真相。
谁知道，今天学会的这些，明天可能就能帮你在考试中加分呢！所以，复习的时候可以试着做些练习题，看看这些公式能不能灵活运用。
用心去做，就像在打磨一块璞玉，最终会变成璀璨的宝石。
做题的时候，要敢于提出问题，问问自己：“这个三角形和那个三角形，有什么关系呢？”这样才能更好地理解，掌握这些知识。
三角形全等的公式就像是你学习数学的好伙伴。
只要掌握了这些原则，数学的世界就会变得更加有趣。
没有什么比看着那些复杂的题目变得简单更让人开心的事了！就算有时候碰到困难，也别怕，咱们可以一起“加油”，共同面对挑战。
【初中数学】初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧
【初中数学】初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：缺条边的条件：构造辅助线的常用方法1.当题目的条件中出现角平分线时，要根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F 为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
初中数学(人教版)八年级上知识点最全总结
初中数学（人教版）八年级上知识点最全总结第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2 ．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3. 三角形全等的判定公理及推论有：（1 ）“ 边角边” 简称“SAS”（2 ）“ 角边角” 简称“ASA”（3 ）“ 边边边” 简称“SSS”（4 ）“ 角角边” 简称“AAS”（5 ）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）。
4. 角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式( 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一．知识框架二．知识概念1. 对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2. 性质：（1 ）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2 ）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3 ）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4 ）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5 ）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
全等三角形的模型归纳总结
全等三角形的模型归纳总结引言全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识点之一。
本文将从几何模型的角度出发，详细探讨全等三角形的特点、性质和应用，帮助读者更好地理解和运用全等三角形。
全等三角形的定义在几何学中，全等三角形是指具有相同形状和相等的对应边长的三角形。
在判断两个三角形是否全等时，需要比较它们的对应边长和对应角度。
对应边长全等三角形的对应边长是相等的，即三角形的对应边长分别相等或比例相等。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应边长满足AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判断这两个三角形全等。
对应角度全等三角形的对应角度也是相等的，即三角形的对应角度互相相等。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角度满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判断这两个三角形全等。
综上所述，两个三角形全等的条件可以归纳为“SSS”（边-边-边）、“SAS”（边-角-边）、“ASA”（角-边-角）、“AAS”（角-角-边）等。
全等三角形的性质全等三角形具有一些重要的性质，在解决几何题目和证明过程中起到重要的作用。
一一对应性质全等三角形的对应边长和对应角度一一对应。
这意味着，如果已知两个三角形的一对对应边长和一对对应角度相等，那么可以确定这两个三角形全等。
符号关系性质全等三角形的符号关系性质包括以下几个方面： 1. 全等三角形的对应边长相等可以表示为AB=DE、BC=EF、AC=DF； 2. 全等三角形的对应角度相等可以表示为∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F； 3. 全等三角形的对应中线相等可以表示为AM=DN、BP=EQ、CQ=FP，其中M、N、P、Q分别为对应边的中点。
对于解题和证明过程中，通过利用这些符号关系性质，可以简化问题，提高解题效率。
全等三角形的三辅线全等三角形的三辅线是指三角形的垂直平分线、中位线和角平分线。
全等三角形的辅线有以下几个性质： 1. 三角形三辅线的交点为三角形的内心，称为内心I； 2. 三角形的垂直平分线经过三角形三个顶点的中点； 3. 三角形的中位线经过三角形三个顶点的中点； 4. 三角形的角平分线分别经过三个内角的平分点。
新人教版初中数学——三角形及其全等-知识点归纳及例题解析
新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒， 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）． 答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ， 则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ． 故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。
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（ 3） 已知条件中有一边一角对应相等， 可找
①任一组角相等 (AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等 (SAS)
轴对称知识梳理
一、基本概念
1. 轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形，这条直线就叫做对称轴 . 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 .
全等三角形 知识总结
一、知识网络
全等形
性质 对应角相等 对应边相等
全等三角形
边边边 边角边 判定 角边角 角角边
SSS SAS ASA AAS
斜边、直角边 HL
作图 角平分线
性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
应用
1、 “全等 ”的理解 全等的图形必须满足： （ 1）形状相同的图形； （ 2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （ 1） 已知条件中有两角对应相等， 可找：
①夹边相等（ ASA ）②任一组等角的对边相等 (AAS)
（ 2） 已知条件中有两边对应相等， 可找
①夹角相等 (SAS) ②第三组边也相等 (SSS)
.
（ 3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合
.
三、有关判定
1. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
.
2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等
边”） .
3. 三个角都相等的三角形是等边三角形 .
4. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .
2、全等三角形的性质 （ 1）全等三角形对应边相等； （ 2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法 （ 1）三边对应相等的两个三角形全等。 （ 2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （ 3）两角和其中角形全等。
三条边都相等的三角形叫做等边三角形 .
二、主要性质
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线 . 或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
.
2. 线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
.
3. （ 1）点 P（ x， y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P′（ x， -y ）.
2/3
（ 2）点 P（ x,y ）关于 y 轴对称的点的坐标为 P″（ -x ，y） .
4. 等腰三角形的性质
（ 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ） .
（ 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
.
（ 3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线
就是它的对称轴 .
（ 4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等
.
（ 5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（ 6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边
.
5. 等边三角形的性质
（ 1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于
60° .
（ 2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴
3/3
2. 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3. 轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换
.
4. 等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 . 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
.
5. 等边三角形
（ 5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
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（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。