高等代数试题

向量空间

一 判断题

(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈o 作成实数域R 上

的向量空间. ( ) .

(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈o 作成实数域R 上

的向量空间. ( ).

(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121{(,,,)|1,}n

n i i i x x x x x R ==∈∑L 为n R 的子空间. ( ).

(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈L 为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++

是V 的一组基. ( ).

(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n αααL 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n αααL

线性表示, 则12,,,n αααL 是V 的一组基. ( ).

(11) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββL 与12,,,n αααL 等价, 则

12,,,n βββL 也是V 的一个基. ( ).

(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L .若12dim dim dim s V V V n +++=L , 则12s V V V +++L 为直和. ( ).

(14)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若121230,()0,V V V V V =+=I I 121,()0,S s V V V V -+++=L L I 则12s V V V +++L 为直和.

( ).

(15) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0},i j j i

V V ≠=∑I 则12s V V V +++L 为直和. ( ).

(16)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0},,i j V V i j =≠I 则12s V V V +++L 为直和. ( ).

(17) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 零向量表法是唯一

的, 则12s V V V +++L 为直和. ( ).

(18) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个

基是12(),(),,()n f f f αααL . ( ).

(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上

的n 维向量空间. ( ).

(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ).

答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)

正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确

(18)正确 (19)正确 (20)错误

二 填空题

(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.

(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==o 构成R 上的向量空间.

则此空间的零向量为___.

(3) 全体正集合R +,对加实数的法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==o 构成R 上的向量空间.

则a R +

∈的负向量为________.

(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),

2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+o

构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.

(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

o 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.

(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____. (7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________. (8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,

它的维数等于_____.

(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===

4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.

(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=

在此基下的坐标为 _______.

(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件

__________________________________________, 就叫做一个同构映射.

(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.

(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===I I I , 则123W W W ++

________直和.

答案

(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)

1a (4)(0,0) (5)2

(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)

2

n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)-

(14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意