《高等代数》第二章习题及答案
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习题2.1
1. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有
哪几个？
A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算
①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321
012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213332
31
232221
131211
32
1
x x x a a a a a a a a a x x x
解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-922147117
②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛213321=()11
④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-0713********=()111813
⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321
012100010501=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213332
31
232221
131211
32
1
x x x a a a a a a a a a x x x
=2
33323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++
3. 设A=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2
-B 2
③ (AB)T ④ A T B T
解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛4040002062223101312131013121 ② A 2
-B 2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121
③ (AB)T
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛9643946331013121T
T
④ A T B T
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121T
T 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++d c c b a a d c
d b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+d
c d c c b a d b a
c a
解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．
证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．
6. 设A=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k
．
解A 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a b
A 3=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …
A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kab
b b a b b ab k b 112
1
00)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2
=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2
=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．
证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则
(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA
9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．
必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．
充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．
习题2.2
1.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．
证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1
A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．
2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．
证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)
=P β，说