弹塑性力学与有限元绪论
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弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹性力学及有限元法1
弹性力学及有限元法
Elae Element Method
机械工程与自动化学院
现代设计与分析研究所
张瑞金 Rjzhang@
弹 性 力 学 及 有 限 元 法
第一章 绪论
了解弹性力学的定义；
了解弹性力学研究方法 ； 掌握有限单元法的基本思想； 了解常用有限元计算程序； 课程计划。
绪 论
现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和 再计算的一个循环过程。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能 解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的 大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡 胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析，则必须考虑材料非线性。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 求解线性结构问题，只要离散单元足够小，所得的解就可足够逼近于精 确值。现在发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热 问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即“热力耦 合”的问题。 5、程序面向用户的开放性 商业化的提高要求给用户一个开放的环境。
解析法：得出精确的函数解
数值法： 差分法：采用差商代替微商，将弹力中导 出的微分方程及其边界条件化为差分方程 （代数方程）进行求解。 变分法：根据变形体的能量极值原理，导 出弹性力学的变分方程，并进行求解。 有限单元法：离散模型的数值解
绪 论
弹 性 3. 有限元法基本思想 力 学 及 有 将求解区域划分为有限个互不重叠的单元，单元 之间仅依靠节点连接，单元内部点的待求量可由 限 元 单元节点量通过选定的函数关系插值求得，建立 法
Elae Element Method
机械工程与自动化学院
现代设计与分析研究所
张瑞金 Rjzhang@
弹 性 力 学 及 有 限 元 法
第一章 绪论
了解弹性力学的定义；
了解弹性力学研究方法 ； 掌握有限单元法的基本思想； 了解常用有限元计算程序； 课程计划。
绪 论
现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和 再计算的一个循环过程。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能 解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的 大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡 胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析，则必须考虑材料非线性。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 求解线性结构问题，只要离散单元足够小，所得的解就可足够逼近于精 确值。现在发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热 问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即“热力耦 合”的问题。 5、程序面向用户的开放性 商业化的提高要求给用户一个开放的环境。
解析法：得出精确的函数解
数值法： 差分法：采用差商代替微商，将弹力中导 出的微分方程及其边界条件化为差分方程 （代数方程）进行求解。 变分法：根据变形体的能量极值原理，导 出弹性力学的变分方程，并进行求解。 有限单元法：离散模型的数值解
绪 论
弹 性 3. 有限元法基本思想 力 学 及 有 将求解区域划分为有限个互不重叠的单元，单元 之间仅依靠节点连接，单元内部点的待求量可由 限 元 单元节点量通过选定的函数关系插值求得，建立 法
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
q=100Mpa
k
故应力集中因子为：
Kσφmax 279.42.794 q 100
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
误差分析
每边单元数10，最大应力288 每边单元数15，最大应力299
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
对比分析
网格划分的不同，对数据的拟合具有一定的影响， 划分的密集，计算结果更逼近理论值。
验证小孔处的应力集中系数
K σ φmax q
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
基于结构和荷载的对称性，只 取结构的 1/4 进行分析。
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
验证
圆孔边缘应力最大的部位在
90°处，与理论分析的结果
一致，且最大应力279.4Mpa。
右侧施加的均布荷载为
0.09406
380
0.150
437.00
0.13976
0.13831
400
0.200
480.00
0.18232
0.18072
弹性模量E 3.00E+05
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.03
有限元分析验证
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
平板圆孔应力
σρ
q 2
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
§1.3 发展与研究方法7
钱学森
钱伟长 胡海昌
§1.3 发展与研究方法8
杨桂通
徐芝伦
§1.3 发展与研究方法9
•弹性力学——促进数学和自然科学基本理论 的建立和发展； •广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械 制造等。 •发展——形成了一些专门的分学科； •现代科学技术和工程技术——仍然提出新的 理论和工程问题。 •对于现代工程技术和科研工作者的培养—— 对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都 有不可替代的作用。
§1.3
弹性力学的发展 和研究方法
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克 （R.Hooke）发现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法 探索物体的受力与变形之间的关系。
§1.3 发展与研究方法2
•近代弹性力学的研究是 从19世纪开始的。 •柯西1828年提出应力、 应变概念，建立了平衡微 分方程，几何方程和广义 胡克定律。 •柯西的工作是近代弹性 力学的一个起点，使得弹 性力学成为一门独立的固 体力学分支学科。
•——物理关系或者物理方程 •线性弹性体和非线性弹性体
§1.1 弹性力学任务11
研究方法的差别造成弹性力学与材料力 学问题的最大不同。
•常微分方程，数学求解没有困难。 •偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重 重，除了少数特殊问题，一般弹性体问题很难 得到解析解。 •这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事 实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要 的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。
三维数学问题，综合分析的结果是偏微分 方程边值问题。
§1.1 弹性力学任务4
建筑工程
§1.1 弹性力学任务5
建筑工程
§1.1 弹性力学任务6
弹塑性力学_绪论
1855-1856年，圣维南提出了 局部性原理和半逆解法同时 建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
•1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了 关于弹性力学的平面理论； •1881年，赫兹建立了接触应力理论； 19 世纪70年代，建立了各种能量原理， 并提出了这些原理的近似计算方法。
1948-1957年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度 问题；
钱学森
钱伟长
13
弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：
1954年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义余 能原理; 1955年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原 理，后来称胡海昌-鹫津久一郎变分原理。
弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：
2. 弹塑性力学的任务
根据对弹塑性体的实验观察结果寻求物体在弹塑性下的 变形规律，建立本构关系及有关基本理论。
建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论； 给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量； 确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济 效益； 为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂 等力学问题，奠定必要的理论基础。
正应力分析方法
平面假定
物性关系 应变分布 应力分布 静力方程
观察变形（外表） 应变分布 应力表达式
变形假设（内部） 应力分布
变形
应力公式
横截面上的应力
平面假设 杆件的任意横截面在杆件受力变形后仍保持 为平面，且与轴线垂直。
变形特点
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截 面上只有轴力一个内力分量。与轴力相 对应，杆件横截面上将只有正应力。
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
•1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了 关于弹性力学的平面理论； •1881年，赫兹建立了接触应力理论； 19 世纪70年代，建立了各种能量原理， 并提出了这些原理的近似计算方法。
1948-1957年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度 问题；
钱学森
钱伟长
13
弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：
1954年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义余 能原理; 1955年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原 理，后来称胡海昌-鹫津久一郎变分原理。
弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：
2. 弹塑性力学的任务
根据对弹塑性体的实验观察结果寻求物体在弹塑性下的 变形规律，建立本构关系及有关基本理论。
建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论； 给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量； 确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济 效益； 为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂 等力学问题，奠定必要的理论基础。
正应力分析方法
平面假定
物性关系 应变分布 应力分布 静力方程
观察变形（外表） 应变分布 应力表达式
变形假设（内部） 应力分布
变形
应力公式
横截面上的应力
平面假设 杆件的任意横截面在杆件受力变形后仍保持 为平面，且与轴线垂直。
变形特点
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截 面上只有轴力一个内力分量。与轴力相 对应，杆件横截面上将只有正应力。
弹性力学概述
Galileo
（1564-1642）
伽利略旳悬臂梁构造试验装置
伽利略旳杆受单向拉伸时旳阐明
Isaac Newton （1642-1727）
弹性关系旳概念首先为英国科学家罗 伯特·胡克提出。胡克定律发觉于1660年， 刊登时已经是1678年。在他旳论文《论弹 簧》中，原始形式旳弹性关系写为拉丁文 旳字谜形式“ceiiiosssttuu”,重新排列后 为“ut tensio sic vis”,也就是目前所谓 旳胡克定律,中文意思是“拉力与伸长成正 比”。胡克定律建立了线弹性旳概念,但还 未体现为应力和应变旳形式。
a Scientist and an Engineer
弹性力学在工程领域旳广泛应用应归功于铁木辛柯
旳发明性工作。铁木辛柯出身于前俄罗斯贵族，师从空 气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学旳工程应 用，在弹性基础梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动 等方面都做出了巨大旳贡献。铁木辛柯不但是一位科学 家、工程师，同步也是一名伟大旳教育家。由他编写旳 教材几十年来一直在美国工学院使用。他同冯·卡门一起 增进了应用力学在美国旳繁华。
• the point source theory and Love wave
• A treatise on the
mathematical theory
of elasticity(1892-1893)
《数学弹性理论》
Love
S.P.Timoshenko’s works
• Beams on elastic foundation • Timoshenko beam theory • Mechanics of plates and shells • Elastic vibration
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载（后继屈服）条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只 是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
量,硬化参量记为 .
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种：
1．塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2．有效塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
4．塑性体应变
p v
p x
p y
p z
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中， 是弹塑性柔度张量，表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来，则有 其中 从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
•
数学表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力
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矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
n i 1
ai
xi
• 另外 ( x y z )( x y z ) 应写成 ii jj ，不能写作 ii ii ，因为 后者的标号重复了4次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
定义：凡在同一项内不重复出现的指标,如 a ji xi bj , j 为自由指标
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
模型建立以后，对其采用适当的求解方法（解析 解和有限元）进行计算并对计算的结果进行分析整理 ，返回实际问题进行验证。
一般通过实验验证：直接实验验证：直接实验比 较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型 实验：相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件 和形态是几何相似的。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
教学内容：包括绪论和如下三部分内容：
（一）弹性力学理论
（三）有限单元法
1) 矢量与张量 2) 应力分析 3) 应变分析 4) 弹性应力-应变关系
（二）塑性力学理论
1) 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 2) 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 3) 单元和插值函数的构造 4) 等参元和数值积分 5) 有限元法应用中的若干实际考虑 6) 线性代数方程组的解法
a a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
若以 aij表示行列式中的普遍项，以 aij 表示行列式，则上述行列式可写成：
a aij eijka1ia2 ja3k
其中6个不为零,其标号中，每相邻两个互换一次位置，改变一次(奇
次)正负号,位置变换偶次，不改变它的正负号。
1
eijk e jik (e jki ) e jki ekji
3
2
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
置换符号主要可用来展开三阶行列式： a11 a12 a13
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
经典的连续介质力学将可能会被突破，新的力学模型
和体系, 将会概括某些对宏观力学行为起敏感作用的细观 和微观因素, 以及这些因素的演化, 从而使复合材料(包
括陶瓷、聚合物和金属) 的强化、韧化和功能化立足于科 学的认识之上。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
定义： eijk有27个元素，这些元素根据下标值规定为+1、-1或0,即：
1
eijk 1
0
当i, j, k按1, 2, 3顺序时(顺循环 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2) 当i, j, k按3, 2, 1顺序时(逆循环 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2) 当i, j, k有重复标号时(非循环 有二个或三个指标相等)
弹性力学是研究弹性材料组成的物体在外界环境（外力、温度等）作用 下在弹性阶段的受力、变形的规律。
塑性力学就是研究可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏 的受力、变形规律的力学问题。
当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分 永久变形时，我们称这种变形为塑性变形，研究这种变形和作用力之间 的关系，以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 《弹塑性力学与有限元》
新坐标系： Oe1e2e3
e i
lije j
单位基矢量：(e1, e2 , e3 )
方向余弦（lij）
e1 e2
e3
e2
e3
e1
l11 l12
l13
e2
l21 l22
l23
e3
l31 l32
l33
e1
O e1
e2
e3
e i
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(e图i,2.e2 j)
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —课程简介、矢量和张量
如：梁的弯曲问题
如：变截面杆受拉伸
弹性力学结果 材料力学结果 当 l >> h 时，两者误差很小
弹性力学以微元体为 研究对象，建立方程求解 ，得到弹性体变形的一般 规律。所得结果更符合实 际。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
主要内容
引言 指标记法与求和约定 克罗内克（Kronecker-δ）符号和ɛijk（交错张量） 坐标的变换 矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场 笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
指标记法
x1,x2 xn 记作 xi (i 1,2, n)
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般作三方面进行简化
结构简化：如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简 化，实体结构向板、壳结构的简化。
受力简化： 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。 材料简化：根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化 ：线性化：对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学问题
已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移 分量。 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系：形变与位移间的关系； （3）物理学关系：形变与应力间的关系。
《弹塑性力学与有限元》
• 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的；
• 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j
3
3
i 1
j 1 aij xi x j
kixi bj kixi bk
✓ 同一个方程中各项自由指标必须相同 a ji xi bj
✓ 不能仅改变某一项的自由指标，但所有项的自由指标可以改变.
1) 单轴状态下材料的特征和模型 7) 动力问题中的有限元方法
2) 屈服准则
8) 材料非线性问题
3) 塑性应力-应变关系
9) 大变形理论及几何非线性有限元
10) 大型桥梁静力及动力弹塑性有限元分析算例
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性力学理论和塑性力学 理论组成。
j=1
a11x a12 y a13z b1
a21x a22 y a23z b2
a31x a32 y a33z b3
aij x j bi
注意：这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
• 求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
xi x
xi, j
ij
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
② 因为aii=ajj=ajkjk，则
aii a jk
jk
③ 对于点的坐标xi有
xi x j
xi, j
ij
④ e i有如右侧的关系
ei
ej
ij
上式亦可作为ij 的定义。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
3 j A3
A1
A2
A3
j 1 j 2 Aj
j3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
① ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
aelmn eijkaliamjank
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
根据 ei叉积的定义，有:
ek
当i,
j,
k为顺循环
ei
ej
ek
当i,
j,
k为逆循环
0 当i, j, k为非循环
ei e j eijk ek
A B Aiei Bje j Ai Bjeijk ek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
ij 10
当i j 当i j
定义：克罗内克符号ij可看作是一个单位矩阵（9个元素）的缩写
形式,即：
1 0 0 11 12 13
I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
lij
e i
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(ei, e j)
l ji
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
坐标的变换
e i
e j
ij
lirl jk ek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
n i 1
ai
xi
• 另外 ( x y z )( x y z ) 应写成 ii jj ，不能写作 ii ii ，因为 后者的标号重复了4次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
定义：凡在同一项内不重复出现的指标,如 a ji xi bj , j 为自由指标
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
模型建立以后，对其采用适当的求解方法（解析 解和有限元）进行计算并对计算的结果进行分析整理 ，返回实际问题进行验证。
一般通过实验验证：直接实验验证：直接实验比 较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型 实验：相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件 和形态是几何相似的。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
教学内容：包括绪论和如下三部分内容：
（一）弹性力学理论
（三）有限单元法
1) 矢量与张量 2) 应力分析 3) 应变分析 4) 弹性应力-应变关系
（二）塑性力学理论
1) 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 2) 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 3) 单元和插值函数的构造 4) 等参元和数值积分 5) 有限元法应用中的若干实际考虑 6) 线性代数方程组的解法
a a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
若以 aij表示行列式中的普遍项，以 aij 表示行列式，则上述行列式可写成：
a aij eijka1ia2 ja3k
其中6个不为零,其标号中，每相邻两个互换一次位置，改变一次(奇
次)正负号,位置变换偶次，不改变它的正负号。
1
eijk e jik (e jki ) e jki ekji
3
2
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
置换符号主要可用来展开三阶行列式： a11 a12 a13
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
经典的连续介质力学将可能会被突破，新的力学模型
和体系, 将会概括某些对宏观力学行为起敏感作用的细观 和微观因素, 以及这些因素的演化, 从而使复合材料(包
括陶瓷、聚合物和金属) 的强化、韧化和功能化立足于科 学的认识之上。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
定义： eijk有27个元素，这些元素根据下标值规定为+1、-1或0,即：
1
eijk 1
0
当i, j, k按1, 2, 3顺序时(顺循环 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2) 当i, j, k按3, 2, 1顺序时(逆循环 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2) 当i, j, k有重复标号时(非循环 有二个或三个指标相等)
弹性力学是研究弹性材料组成的物体在外界环境（外力、温度等）作用 下在弹性阶段的受力、变形的规律。
塑性力学就是研究可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏 的受力、变形规律的力学问题。
当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分 永久变形时，我们称这种变形为塑性变形，研究这种变形和作用力之间 的关系，以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 《弹塑性力学与有限元》
新坐标系： Oe1e2e3
e i
lije j
单位基矢量：(e1, e2 , e3 )
方向余弦（lij）
e1 e2
e3
e2
e3
e1
l11 l12
l13
e2
l21 l22
l23
e3
l31 l32
l33
e1
O e1
e2
e3
e i
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(e图i,2.e2 j)
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —课程简介、矢量和张量
如：梁的弯曲问题
如：变截面杆受拉伸
弹性力学结果 材料力学结果 当 l >> h 时，两者误差很小
弹性力学以微元体为 研究对象，建立方程求解 ，得到弹性体变形的一般 规律。所得结果更符合实 际。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
主要内容
引言 指标记法与求和约定 克罗内克（Kronecker-δ）符号和ɛijk（交错张量） 坐标的变换 矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场 笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
指标记法
x1,x2 xn 记作 xi (i 1,2, n)
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般作三方面进行简化
结构简化：如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简 化，实体结构向板、壳结构的简化。
受力简化： 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。 材料简化：根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化 ：线性化：对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学问题
已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移 分量。 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系：形变与位移间的关系； （3）物理学关系：形变与应力间的关系。
《弹塑性力学与有限元》
• 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的；
• 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j
3
3
i 1
j 1 aij xi x j
kixi bj kixi bk
✓ 同一个方程中各项自由指标必须相同 a ji xi bj
✓ 不能仅改变某一项的自由指标，但所有项的自由指标可以改变.
1) 单轴状态下材料的特征和模型 7) 动力问题中的有限元方法
2) 屈服准则
8) 材料非线性问题
3) 塑性应力-应变关系
9) 大变形理论及几何非线性有限元
10) 大型桥梁静力及动力弹塑性有限元分析算例
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性力学理论和塑性力学 理论组成。
j=1
a11x a12 y a13z b1
a21x a22 y a23z b2
a31x a32 y a33z b3
aij x j bi
注意：这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
• 求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
xi x
xi, j
ij
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
② 因为aii=ajj=ajkjk，则
aii a jk
jk
③ 对于点的坐标xi有
xi x j
xi, j
ij
④ e i有如右侧的关系
ei
ej
ij
上式亦可作为ij 的定义。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
3 j A3
A1
A2
A3
j 1 j 2 Aj
j3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
① ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
aelmn eijkaliamjank
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
根据 ei叉积的定义，有:
ek
当i,
j,
k为顺循环
ei
ej
ek
当i,
j,
k为逆循环
0 当i, j, k为非循环
ei e j eijk ek
A B Aiei Bje j Ai Bjeijk ek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
ij 10
当i j 当i j
定义：克罗内克符号ij可看作是一个单位矩阵（9个元素）的缩写
形式,即：
1 0 0 11 12 13
I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
lij
e i
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(ei, e j)
l ji
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
坐标的变换
e i
e j
ij
lirl jk ek