弹塑性力学与有限元绪论

xi x
xi, j
ij
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
② 因为aii=ajj=ajkjk，则
aii a jk
jk
③ 对于点的坐标xi有
xi x j
xi, j
ij
④ e i有如右侧的关系
ei
ej
ij
上式亦可作为ij 的定义。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
lij
e i
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(ei, e j)
l ji
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
坐标的变换
e i
e j
ij
lirl jk ek
lirl jk erek
lirl jk rk
lirl jr
ij lirl jr
任一矢量u在新旧坐标中表示一致:
u uiei uiei
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学与有限元 —矢量与张量
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
四面体的应力分布
引言
问题的提出
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖
了物理本质；
坐标系引入后的相关表达式冗长。
如何解决
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
a a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
若以 aij表示行列式中的普遍项，以 aij 表示行列式，则上述行列式可写成：
a aij eijka1ia2 ja3k
本课程把培养从复杂的工程问题中建立力学模型能力放 在第一位，要求学会从复杂工程问题的高处来看, 在什么情 况下能采用弹性力学的模型, 什么情况下要考虑非线性因素, 例如采用弹塑性的模型。
基于这样的理念, 课程学习重点强调4 个方面: 弹塑性 力学和有限元的基本概念, 力学数学模型的建立和简化, 力 学规律的推导证明, 以及典型问题的解析求解和有限元求解 。
j 1
引入张量方法
SN 2 21l1 22l2 23l3 3 2 jl j
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SNi ijl j
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
弹性力学是研究弹性材料组成的物体在外界环境（外力、温度等）作用 下在弹性阶段的受力、变形的规律。
塑性力学就是研究可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏 的受力、变形规律的力学问题。
当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分 永久变形时，我们称这种变形为塑性变形，研究这种变形和作用力之间 的关系，以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学问题
已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移 分量。 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系：应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系：形变与位移间的关系； （3）物理学关系：形变与应力间的关系。
《弹塑性力学与有限元》
• 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的；
• 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j
3
3
i 1
j 1 aij xi x j
kixi bj kixi bk
✓ 同一个方程中各项自由指标必须相同 a ji xi bj
✓ 不能仅改变某一项的自由指标，但所有项的自由指标可以改变.
ui, j
ui x j
uk ,ij
2u xi x j
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指
标在它的取值范围内求和，a并i x称i (i这样1的,2指,标n为) 哑指标。如：
ai xi (i 1,2, n) a1x1 a2x2 an xn 又a1如x1：ai2i x2 jj a11n xn22 in13a3 ixi x y z
目前在科学的研究上, 正在采用对同一问题在不同尺度 上进行研究的方法, 力学也不例外, 例如为了更好地理解材 料的力学性能, 既需要在宏观层次上, 又需要在细观、甚至 微观层次上进行研究, 但是如何将不同层次的现象联系起来 , 无论对哪一学科都还是难题，从科学发展的历史看, 有理 由相信首先突破这一难点的有极大可能是力学, 其方法论的 意义因而也将是巨大的。
1) 单轴状态下材料的特征和模型 7) 动力问题中的有限元方法
2) 屈服准则
8) 材料非线性问题
3) 塑性应力-应变关系
9) 大变形理论及几何非线性有限元
10) 大型桥梁静力及动力弹塑性有限元分析算例
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性力学理论和塑性力学 理论组成。
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般作三方面进行简化
结构简化：如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简 化，实体结构向板、壳结构的简化。
受力简化： 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。 材料简化：根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化 ：线性化：对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。
矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
ij (i, j 1,2,3)～ 21
22
23
～
yx
y
yz
应力ij； 31 32 33 zx zy z
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
指标记法
应变ij
grad
xi
求导（微分）记号的缩写约定：
(
), j
x j
(
)
(
) ,ij
2( ) xi x j
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
教学内容：包括绪论和如下三部分内容：
（一）弹性力学理论
（三）有限单元法
1) 矢量与张量 2) 应力分析 3) 应变分析 4) 弹性应力-应变关系
（二）塑性力学理论
1) 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 2) 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 3) 单元和插值函数的构造 4) 等参元和数值积分 5) 有限元法应用中的若干实际考虑 6) 线性代数方程组的解法
j=1
a11x a12 y a13z b1
a21x a22 y a23z b2
a31x a32 y a33z b3
aij x j bi
注意：这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
• 求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
新坐标系： Oe1e2e3
e i
lije j
单位基矢量：(e1, e2 , e3 )
方向余弦（lij）
e1 e2
e3
e2
e3
e1
l11 l12
l13
e2
l21 l22
l23
e3
l31 l32
l33
e1
O e1
e2
e3
e i
Байду номын сангаас
e j
|
e i
||
e j
|
cos(ei, e j)
cos(e图i,2.e2 j)
n i 1
ai
xi
• 另外 ( x y z )( x y z ) 应写成 ii jj ，不能写作 ii ii ，因为 后者的标号重复了4次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
定义：凡在同一项内不重复出现的指标,如 a ji xi bj , j 为自由指标
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
ij 10
当i j 当i j
定义：克罗内克符号ij可看作是一个单位矩阵（9个元素）的缩写
形式,即：
1 0 0 11 12 13
I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
eijk
e
ji
k
A B B A
易证：ei (e j ek ) eijk
ɛ～δ恒等式：eijkeist jskt jtks eijk eijt 2 kt eijk eijk 6 3!
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
坐标的变换
旧坐标系： Oe1e2e3
e i
l
e
ji
j
单位基矢量： (e1, e2 , e3 )
主要内容
引言 指标记法与求和约定 克罗内克（Kronecker-δ）符号和ɛijk（交错张量） 坐标的变换 矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场 笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
指标记法
x1,x2 xn 记作 xi (i 1,2, n)
其中6个不为零,其标号中，每相邻两个互换一次位置，改变一次(奇
次)正负号,位置变换偶次，不改变它的正负号。
1
eijk e jik (e jki ) e jki ekji
3
2
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
置换符号主要可用来展开三阶行列式： a11 a12 a13
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
经典的连续介质力学将可能会被突破，新的力学模型
和体系, 将会概括某些对宏观力学行为起敏感作用的细观 和微观因素, 以及这些因素的演化, 从而使复合材料(包
括陶瓷、聚合物和金属) 的强化、韧化和功能化立足于科 学的认识之上。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
定义： eijk有27个元素，这些元素根据下标值规定为+1、-1或0,即：
1
eijk 1
0
当i, j, k按1, 2, 3顺序时(顺循环 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2) 当i, j, k按3, 2, 1顺序时(逆循环 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2) 当i, j, k有重复标号时(非循环 有二个或三个指标相等)
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
模型建立以后，对其采用适当的求解方法（解析 解和有限元）进行计算并对计算的结果进行分析整理 ，返回实际问题进行验证。
一般通过实验验证：直接实验验证：直接实验比 较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型 实验：相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件 和形态是几何相似的。
• 下标符号 i 称为指标；n 为维数,指标 i 可以是下标，如 xi,也可以是 上标，如 xi ,在本课程内，指标的取值范围如不作说明，均表示从1
～3。 坐标：xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z
位移：ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13 x xy xz
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —课程简介、矢量和张量
如：梁的弯曲问题
如：变截面杆受拉伸
弹性力学结果 材料力学结果 当 l >> h 时，两者误差很小
弹性力学以微元体为 研究对象，建立方程求解 ，得到弹性体变形的一般 规律。所得结果更符合实 际。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元——绪论
aelmn eijkaliamjank
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
ɛijk符号（交错张量）或 eijk排列(置换)符号
根据 ei叉积的定义，有:
ek
当i,
j,
k为顺循环
ei
ej
ek
当i,
j,
k为逆循环
0 当i, j, k为非循环
ei e j eijk ek
A B Aiei Bje j Ai Bjeijk ek
3 j A3
A1
A2
A3
j 1 j 2 Aj
j3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
克罗内克（Kronecker-δ）符号
① ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il