【弹塑性力学】变分原讲义理及有限元
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性问题变分法
对稳定材料（非软化），Drucker公设: （1）在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 即： d ij de ij 0 。 （2）在加载与卸载的整个闭合循环过程中，应 力增量所做的净功恒为非负。即：
0 ij
那么： a (
e
(
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij de ij
e
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij
a ij ) de ij 0
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
极值路径
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
Drucker公设
根据Drucker公设，对稳定材料（非软 化），加载路径中或应力循环中的净功非负。
~ 与 Ec
(a)
~
业已证明：应力空间中的极值路径与加载面 的变化规律有关。 等向强化材料：应力极值路径为比例加载路径。 随动强化材料：应力极值路径为与加载面正交路径。
(a)
~
ij
(c)
~ Ec
~ min 矛盾，则 E c
(a)
max 得证。
理想塑性材料：应力极值路径为弹性路径。
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
与等效应变
i
3 ' ' eij eij 2
m 之间有幂函数关系 i A i ；
（3）外载按比例增长。 说明：前两条近似满足偏差不大，第三条为基 本要求。有些工程问题与比例加载相差不大。
2
第0节
全量理论与增量理论
全量理论
塑性理论及有限元PPT学习教案
E
O
p e
f
F
第20页/共62页
> s 以后的点都可
以看成是重新加载时的
屈服 点 。 以 B点 为 例 ， b
C
若卸载则-ε关系为弹性
B
。卸载后再加载，只要
< B点，关系仍为弹
s p
A’ A
性。一旦超过B点， -ε
呈非线性关系，即B点
也是弹塑性变形的交界 O 点，视作继续屈服点。
一般有 s< B，这一现
s E1
o
Є
第30页/共62页
理想刚塑性应力应变关系模型
s
o
Є
第31页/共62页
• 应力状态与应变状态的进一步研究
• 前面我们已经阐明了有关应力与应变的 基本知识，为了今后论证问题的方便， 需要进一步补充相关知识
• 正八面体上的应力
在塑性理论中研究物体产生的塑性变 形条件时，除了用到最大 切应力外，还用到正八面体上的切应 力。正八面体的面就是通 过空间一点而和三个主平面夹角相等 的平面。取主平面为坐标 面，满足上述条件的八个面构成如图 所示的正八面体。
o
Є
式中，B为常数，n可取0—0.1之间的任意数，一般由实际 的应力—应变曲线拟合而定
第27页/共62页
线弹性幂指数硬化应力应变关系模型
EЄ
s
s BЄ n s
o
Є
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刚塑性幂指数硬化应力应变关系模型
s BЄ n
o
Є
第29页/共62页
线性强化刚塑性应力应变关系模型
p e
（称为包辛格效应）。表明材料的后续 f 屈服性质不仅与它所经历的塑性变形有
F
弹塑性力学问题的变分原理与变分法
若选取梁的挠度函数 w 为
w
n1
an
sin
n
l
x
所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。
一阶变分
虚位移
w
n1
an
sin
n
l
x
总虚功
W
P w
xa
P
an sin
n1
n a
l
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
基于位移的变分原理——虚位移原理
3）在位移变分方程中，外力是实际的体力 X i 和面力 X i，而应力 则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中， 对应力 ij，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
V
V
( Xi ij, j ) uidV ij ui, jdV
V
V
散度定理
ij, j X i 0 （平衡状态）
以及有
ij ui, j
ij
(
1 2
ui,
j
1 2
u
j ,i
)
ijij
W ijijdV U V
原理得证。
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
(v x
u ) y
yz
y
( w)
z
( v)
( w y
v
)
z
zx
x
(
w)
z
弹塑性有限元分析
自行证明！
3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑 性应变增量，即 p p
deij d ij
2016/9/23
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塑性本构关系（3/6）
Levy-Mises增量（流动）理论（续）
4）应力主轴与应变增量主轴重合； 5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 d ，则
ij
（非关联流动）
ij
非负比例因子，与 塑性势的量纲有关
垂直于等势面。称为 塑性流动法则。
若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。
（关联流动）
d ijp f d ij
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论 的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。 1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关 于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微 观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力 学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外， 普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实 验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
第二章 弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问 题）的有限元方法。 特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹 性的Hooke定律 内容：
引言 单轴试验下材料的弹塑性性态 屈服条件、屈服面与屈服函数 塑性本构关系 弹塑性问题的有限元解法
弹塑性力学讲义变分法24页PPT
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工Βιβλιοθήκη 总是说 工具不 好)。•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
弹塑性力学第11章—变分原理及其应用
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
李同林 弹塑性力学 第十章 变分法
0
dxdydz
x
x y y z z xy xy yz yz zx zx dxdydz
（3—36）
弹性应变比能为：
U0
1 2 2 2 2 2 2 e 2 2 ( x y z ) ( xy yz zx ) 2
§10—2 力学变分原理的基本概念
能量转化与守恒定律，是自然界最基本的运动规律之一，在弹塑性变形运动 中也不例外。 当可变形固体在受外力作用而变形时，外力与内力都将作功。 对于弹性体，由于变形的可逆性，外力对其相应的位移所作的功（实功） ， 在数值上就等于积蓄在物体内的应变能（实应变能） ，当外力撤除时，这种应变 能将全部转换为其它形式的能量——实功原理。 这一概念在第三章中已经作过介 绍。 上述能量方法不仅适用于线弹性力学（如在材料力学、结构力学中） ，而且 还可用于非线性弹性力学， 以至对于塑性力学问题（只需将应变能的概念改为耗 散能，或者形变功的概念。 ） 。 能量方法由于其与坐标选择无关等特点（见本书§8—7）应用极为广泛，更 由于它与数学工具——变分法的结合而导出了虚功原理， 使得用数学分析的方法 来解决力学问题的理论得到重大发展而更趋完善。 在理论力学中：
前者称为几何法（矢量法） ，后者称为变分法（能量法） 。在 一定条件下它们所讨论的内容可以互相转化， 它们所得到的结果 可以为函数解，两者的解答是等价的（殊途同归） 。 几何法（矢量法）和变分法（能量法）统称为力学分析的解 析法。
矢量法与能量法在应用上各有特点，一般说来：
216
（a） 矢量法：
以牛顿定律作为依据，其微分方程的形成是与矢量相联系的；
质点、质点系（刚体）的虚位移原理：质点或质点系（刚体） 在理想约束（不消耗能量）下，处于平衡状态的必要和充分条件 是作用在其上的各力，对于虚位移所作的总虚功为零。
第9章塑性力学变分原理简介(16K)
第9章 塑性力学变分原理简介§9.1 塑性力学形变理论的变分原理形变理论的特点是认为塑性体在瞬间，如果应变已知，则应力的决定是唯一的，但是反过来，应力已知，应变的决定可以是唯一的，也可以是不唯一的。
例如，我们可以唯一的用应变决定应力)(kl ij ij e σ=σ （9-1） 但是，其逆关系可能是唯一的，也可能不是唯一的。
本章在推导变分原理时，将只限于在加载过程中，有不变的应力应变关系，这就是说，只限于单向加载的形变理论。
因此，除材料服从屈服条件的限制以外，这种理论与第七章讨论的非线性弹性理论没有什么区别。
此外，我们还将本章的问题限于小位移的范围。
这样，我们讨论的全量的塑性形变理论的问题为 （1）平衡方程0=+σi ij F （在V 内） （9-2）（2）应变位移关系)(21,,i j j i ij u u e +=（在V 内） （9-3） （3）应力应变关系（加载过程）)(kl ij ij e σ=σ， 或)(ij kl kl e e σ= （9-4a,b ）（4）边界条件i j ij T n =σ （在σS 上） （9-5）i i u u = （在u S 上） （9-6）根据上面要求，我们与弹性理论一样引出了应变能密度和余应变能密度，即)(ij e A 和)(ij B σ，并有最小位能原理和最小余能原理⎰⎰σ--=∏S i i Vi i ij S u T V u F e A d d ])([ （9-7）⎰⎰σ-σ=∏uS i j ij Vij S u n V B d d )(C （9-8）其中ij ijij ij e Be A=σ∂∂σ=∂∂， （9-9a,b ） 进一步说明的是，如果假定关系式（9-4b ）是关系式（9-4a ）的唯一逆关系，并且反之亦真，那么我们就可以用第四章（或第七章）的推演方法把最小位能原理变换成最小余能原理，亦可作相反的变换。
这样，在这种假设的前提下，两个泛函（9-7）和（9-8）的驻值性质是确定的。
弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例
06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹 塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在 接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效 地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时 具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂 接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行 为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模 型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元 方程的求解，得到各节点 的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元 模型的建立和网格划分，为 求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进 行可视化、分析和评估，为工 程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态
弹塑性问题有限元分析概述
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.c om/powerpoint/ Excel 教程：www.1ppt.c om/excel/ PPT课件下载：/kejian/ 试卷下载：www.1ppt.c om/shiti /
2 2 n p 2 n 2 12 n x 2 2 n y 3 2 n z n （3 ）
由于
n p1nx p2 n y p3 nz 1n 2 x 2 n 2 y 3 n 2 （ ） z 4
由（ 3 ）、（ 4）可得 :
PPT模板下载：/moban/ 节日PPT模板：/jieri/ PPT背景图片：/beijing/ 优秀PPT下载：/xiazai/ Word教程： /word/ 资料下载：/ziliao/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/
若要得到（ 5） , 根据（4）可得： n x ny n z 1 / 3
该八面体上的切应力为 1 8 ( xx yy ) 2 ( yy zz ) 2 ( zz xx ) 2 6( 2 xy 2 yz 2 xz ) 3 它是决定材料是否屈服的力学参量，因此初始屈服条件为
p x nx n , p y n y n , p z nz n 代入上式可得： nx ( xx n ) n y xy nz xz 0 nx yz n y ( yy n ) nz yz 0 nx zx n y zy nz ( zz n ) 0 这是关于nx , n y , nz的齐次线性方程组，其 非零解的条件为行列式 等于零 展开可得：
【2019年整理】弹性直梁问题的变分原理及有限元素法
后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法●讨论的问题：一变剖面的梁，一端()0=x 固支，另一端()l x =简支。
承受轴向拉力N ，分布横向载荷()x q 以及端点弯矩l M 的作用。
●控制微分方程及边界条件（以梁的挠度w 表示）q Nw dx w d EJ dxd q dx w d N dx w d EJ dx d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇐=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222222 支）基本边界条件（广义固处：在处：在⎪⎭⎪⎬⎫=====lw w l x dx dw w w x 00,0ϕ 0)(22=+=-l lM M M dxwd EJ 自然边界条件● 称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。
i) 最小势能原理（变分原理）● 把载荷看作是不变的已知函数，把挠度看作是可变的自变函数。
● 整个系统的势能包括三部分： （1） 梁的应变能：⎪⎭⎫⎝⎛⇐⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏⎰⎰θMd dx dx w d EJ l b 212102222(2) 轴向应变能：⎰⎪⎭⎫⎝⎛=∏l Ndxdx dw N 02221(3) 横向载荷势能：()l w M qwdx l lp'+-=∏⎰0(4) 系统总势能∏：()⎰'+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏ll l w M dx qw dx dw N dx w d EJ 022222121 * 除w 为可变外，其余变量假定为已知的不变量。
●最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值。
w+d w222111⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-+⎪⎭⎫⎝⎛=-dx dw dx dw dxdxds●由于()w ∏是w 的二次函数，不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。
证明过程：设()x w 是精确解，它满足微分方程及所有边界条件。
【弹塑性力学】变分原理及有限元
dw 任意，则
dx
d 2w dx2
0
支承点上弯矩为零的力边界条件
例题7-3:用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 解： （1）设位移函数为
w(x) = c1x(lx) 显然，该挠度函数满足位移边界w(0) = 0，w(l) = 0。
（2）求总势能
U V
l 1 EI w2 dx
s yz
s z
Z
0
x y z
ji, j Fi 0
• 在静力边界上满足静力边界条件
s z
l
syx m
s zx
n
X
szy l
s y
m
s zy
n
Y
ji n j Ti
sxz l
s yz
m
s z
n
Z
• 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
•在物体内位移与应变满足几何方程
dx
ud x
d xy
l
qwdx
02
0
l 0
1 2
EI
2c1
2
c1qxl
xdx
2EIc12l
c1q
l
1 2
x2
l
0
1 3
x3
l
0
2EIc12l
1 6
c1ql 3
（3）求总势能的极值
c1
0 4EIc1l
1 ql3 6
c1
ql2 24EI
7.5 有限元法
变分法近似求解： 整个物体（求解区域）构造近似位移函数， 对于复杂的几何形状，这往往比较困难。
l 0
d 2w dx 2
d 2w dx 2
弹性直梁问题的变分原理及有限元素法
第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法讨论的问题：一变剖面的梁，一端 （x =0 ）固支，另一端（x = l ）简支。
承受轴向拉 在 x= l 处：w = W |称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条 件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。
i ） 最小势能原理（变分原理）把载荷看作是不变的已知函数， 整个系统的势能包括三部分:（1）梁的应变能：f . 2 ¥d w—r I dx I dx 丿（3）横向载荷势能:力N ，分布横向载荷q （x ）以及端点弯矩M i 的作用。
4J控制微分方程及边界条件（以梁的挠度 w 表示）叮 EjdV dx 2 Idx 2丿.2M d w -Ny^q udx 2丿=q在x= 0处：w = w 0,也 dxN o＞基本边界条件（广义固支）.2d w — -EJ —- M | dx自然边界条件（M + M i ） = O21 l □厂Jo EJ（2）轴向应变能:□N1 i rON 2w \dx、2dxdxgs 气㈣+1十丄dx Vl dx 丿2把挠度看作是可变的自变函数。
I w+dwOT 11(w ^^f lf EJ d 2wd^w.dx 2 dx 2 +N 叢詈-计严+恥心在 X =0处，人w=0, i w ' = 0 在X =丨处，A w = 0与W k 相应的总势能:=口(w k )= n(w + A w )= ri(w )+z n 11(w, A w )中n 2(A w )其中:Ij P = —[qwdx +M |W '(I )后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果⑷系统总势能口:n/g EJ(d 2w )2 1 X 厂㊁々w V一——I-qw>dx + M i w '(l )I dx 丿*除w 为可变外，其余变量假定为已知的不变量。
最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值 。
弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程
刚体位移：所有应变为零时的位移
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
xy
v x
u y
0
yz
w y
v z
0
zx
u z
w x
0
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
u f1y, z v f2 x, z w f3x, y
2
f1y,
y 2
z
0
对y求导
f2x, z f1y, z 0 对x求导
x
y
2
f 2 x,
x2
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
变形位移：位移不仅使 得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相 对位置。
位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析 位移函数具有连续的3阶导数。
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
刚体位移：物体内部 各点位置变化，但仍 保持初始状态相对位 置不变（无变形）。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
弹塑性力学及有限元法_
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43
弹塑性有限元课件
DB
J
d
d
d
Ve
二维问题
K e
B T
DBt d x d
y
1 1 B T 1 1
DBt
J
d
d
平面应力
K e 66
BT 63
D 33
B
tA
36
Kiei
K
e ji
K
e ij
K
e jj
Kiem
K
e jm
Kme i
Kme j
K
e mm
1
•
D
E
1
2
0
1 0
1
2
K
1
3 2
4
5
(a)
s r 1 (2) 3 4 5 6
1 (2) 3 4 5 66
(b)
d 3, f 2; B 312 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(a)
1
3
5
7
9
11
2
4
6
8
10
12
(b)
b比a情况可节省存贮单元
（5）[K]是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。
m
K
u
m
K
e
u
m
BT
2 22
11 22
3
2 12
Dp
E
11 22 2
Q 1 2
11 22 22 11 22 11 2
1
11
22
12
1
22 11 12 1 2 122
1-弹塑性力学第一章 绪 论 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
弹塑性力学能量原理与变分法
∂vε = σ x, ∂ε x
∂vε =σ y, ∂ε y ∂vε = τ zx , ∂γ zx
∂vε =σz, ∂ε z
∂vε = τ yz , ∂γ yz
并整理可得：
E ⎡ μ 1 2 2 2 2 2 2 2 ⎤ vε = e + (ε x + ε y + ε z ) + (γ yz + γ zx + γ xy )⎥ ⎢ 2(1 + μ ) ⎣1 − 2μ 2 ⎦
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
（g）
E ⎡ μ 1 2 2 2 2 2 2 2 ⎤ Vε = ∫∫∫ e + (ε x + ε y + ε z ) + (γ yz + γ zx + γ xy )⎥dxdydz ⎢ 2(1 + μ ) ⎣1 − 2 μ 2 ⎦
= f ( x + Δx)
lim [ f ( x0 + Δx) − f ( x0 )] = 0
当 有
y1 ( x) − y0 ( x) → 0
称函数 z 在 x0 点连续。
δU = U [ y1 ( x)] − U [ y0 ( x)] → 0
1 Vε = ∫∫∫ σ xε x + σ yε y + σ z ε z + τ yzγ yz + τ zxγ zx + τ xyγ xy dxdydz 2
若用张量表示： 形变比能： （c）
[