平面及其方程.ppt

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平面及其方程
M0M n 0
平面上任一点M ( x, y, z),
z
已知点M0( x0 , y0 , z0 ),
M0
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
O
法向量n A, B,C
x
n
M
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 平面的点法式方程
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平面及其方程
例 设平面与x, y, z 三轴分别交于 P(a,0,0),Q(0,b,0),
R(0,0,c) (其中a 0,b 0,c 0),求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A
D,
B
D,
C
平面上的点都满足上方程, 不在平面上的 点都不满足上方程, 上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形.
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平面及其方程
平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
例 求经过点P1(1,1,1), P2(2,0,1)及P3(1,1,0)的 平面方程.
解 法一 P1P2 (1, 1,0) P1P3 (2, 2,1)
设平面方程是 Ax By Cz D 0
点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, 得 D A 0,
从而平面方程是 By Cz 0 B 2C 0 即 B 2C. 从而平面方程是 2Cy Cz 0.
即
2 y z 0.
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平面及其方程
求平面方程常用两种方法:
(1) 用平面的点法式方程. 主要是利用条件用向量代数的方法找出
平面的一个法向量. (2) 用平面的一般方程.
利用条件定出其中的待定的常数, 此方 法也称待定常数法.
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平面及其方程
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量的夹角称为 两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2 n1
2
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 2 : A2 x B2 y C2z D2 0
(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0
解 cos | 1 0 21 1 3 | ,
(1)2 22 (1)2 12 32
cos 1 两平面相交,
60 夹角 arccos 1 .
60
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平面及其方程
(2) 2x y z 1 0, 4x 2 y 2z 1 0
n1 ( A1, B1,C1 )
1
n2 ( A2 , B2 ,C2 )
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平面及其方程
取锐角
按照两向量夹角余弦公式有
cos | nn11||nn22 |
nn12
( A1, B1,C1 ) ( A2 , B2 ,C2 )
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
解 n1 (2,1,1), n2 (4, 2,2) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M (1,1,0) 1, M (1,1,0) 2
第五节 平面及其方程
(plane)
平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 点到平面的距离 小结 思考题 作业
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第七章 空间解析几何与向量代数
平面及其方程
在空间内,确定一个平面的几何条件 是多种多样的. 如: 不共线的三点确定、 点法确定、相交两直线确定等.
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平面及其方程
一、平面的点法式方程 z
时,才有截距式方程.
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平面及其方程
设平面过点 M 0 (3,1,2) 及x轴,求其方程.
解 法一 用平面的点法式方程.
z
求法向量
n
i
OM0
n
i jk
O
y
1 0 0 2jk
x
•M 0
3 1 2
由点法式方程得平面方程: 2( y 1) 1(z 2) 0
即
2y z 0
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平面及其方程
设平面过点 M0(3,1,2)及x轴, 求其方程. 法二 用待定常数法.
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：两平面垂直、平行的充要条件
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
(2)
1
// 2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
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平面及其方程
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
例 研究以下各组里两平面的位置关系:
平面一般方程的几种特殊情况
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
(2) A 0,
D 0,
D
0,
平面通过 x轴；(由柱面可知) 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0
y轴 z 轴
(3) A B 0,平面平行于xOy 坐标面；
类似地可讨论A C 0, B C 0
xOz面 yOz面
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
AAx By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n A, B,C
任意一个形如上式的x、y、z的三元一次
方程都是平面方程.
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平面及其方程
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
n
如果一非零向量垂直于 一平面, 这向量就叫做该平面
•
M0
•
M
的 法线向量 (法向量).
O
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.
一块平面可以有许多法向量.
已知 n ( A, B, C ), M0( x0 , y0 , z0 )
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
D .
a
b
c
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
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ห้องสมุดไป่ตู้
平面及其方程
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
今后,由截距式方程作平面的图形特别方便! 将3x 4 y 2z 12 0 化为截距式方程, 并作图. 当平面不与任何坐标面平行,且不过原点
取 n P1P2 P1P3
i jk
P1
1 1 0 (1, 1,4),
2 2 1 A, B,C 1,1,4
n
P3
P2
平面方程为 ( x 1) ( y 1) 4(z 1) 0, 化简得 x y 4z 2 0.
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平面及其方程
二、平面的一般方程
平面的点法式方程