3.2构件轴向载荷分析
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max ②应力：
N 4F 4 25103 162.5MP a 2 2 A πd 3.1414
170MPa ③强度校核： max 162.5MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
四、拉压杆的变形 胡克定律
1）拉压杆的变形及应变 1、杆的纵向总变形：
1）低碳钢的拉伸性能
（一）弹性阶段ob： 比例极限 p
F
' f
a c
e
d
b
e p
e
s
p
b
弹性极限 e o 弹性模量 E tg (二）屈服阶段bc： 屈服极限 s 强度 （三）强化阶段cd： 强度极限 b 指标
' l
局部尺寸缩小断裂 （四）颈缩阶段de： 冷作硬化：比例极限提高，屈服消失，塑性降低
五、材料在拉伸时的力学性质
● 材料在外力作用下表现出来的与变形和破坏有关的 性质，称为材料的力学性质，又称机械性质。 ● 通过实验的方法，按照有关国家标准，来测定材料 的力学性质。 ● 标准拉伸圆截面试件：
d
5倍试样：l 5d
10倍试样：l 10d
l ● 低碳钢和灰铸铁的力学性质比较典型。
而且：
由于构件的失稳往往是在低应力 下突然发生的，因而其危害性也 较大。工程上因构件失稳会引起 的重大事故。
（2）物体的稳定性
所谓“稳定”和“不稳定” 是指物体的平衡性质状态而言。
干扰
稳定平衡
干扰
2
临界平衡 干扰 随遇平衡
不稳定平衡
1
3
（3）压杆的稳定性
中心受压直杆（亦称理想压杆） 同样存在类似的平衡性质问题。
N ( x) x max max( ) A( x)
其中：[]--许用应力， x max--危险点的最大工作应力.。 依强度准则或条件可进行三种强度计算：
①校核强度：
x max
[ ]
②设计截面尺寸： Amin N max
③确定许可载荷： Nmax A
例2-3、电机重量 W=1.2 kN，M8吊环螺栓外径 D=8mm， 内径 d=6.4mm ， =40MPa，校核螺栓强度。 d2 F 解： N = W = 1.2kN A 4
项目三 材料力学基础
任务一 任务二
材料力学基本认识 应力分析
任务二
§ 2–1 § 2–2 § 2–3 § 2–4 § 2–5
应力分析
构件轴向载荷分析 梁的弯曲变形分析 圆轴扭转变形强度分析 剪切与挤压 任务小结
§2-1
构件轴向载荷分析
一、概述
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与 杆的轴线重合。
九、压杆稳定
（1）问题的引入
A=5×30mm2
P=30N
σ=40MPa
P=6000N
0.2米
1米
细长压杆在轴向压力下不能 保持直线平衡状态而导致屈 曲破坏。
另一个例子：狭长截面梁弯曲
Y
X O
Z
平面弯曲
狭长截面梁的侧向失稳
受均匀压力的薄圆环，突然变为 非圆对称的形式而破坏。
以上例子说明：
构件失去平衡形式而导致的破 坏，统称为稳定失效，简称为 失稳。
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN 5kN 3kN
5kN + 8kN – 3kN
2） 直杆横截面上的应力
问题提出：
F F
F F
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小； 2. 欲进行强度计算必须了解应力概念。
变形规律试验及平面假设：
变形前
a c
b d
受载后
0 0
● 脆性材料：当应力达到强度极限时，将发生破坏， 0 故 b ● 为何要引入安全系数？ 2、必要的强度储备 1、误差和不确定因数 ● 安全系数的选取，应考虑： 1、材质均匀性；2、载荷准确性；3、计算精确性； 4、构件重要性；5、使用时间性；
基本解题思路
外力 截面法 内力（轴力N） 强度条件 max [ ] 刚度条件
2l
15 kN
a/2 2-2 a
N
x -30 kN
N3 F 15kN
N1 N 2 2F 30kN 2) 杆的变形
A1 A3 a 2 400mm2 , A2 200mm2 l1 l3 0.5m, l2 1m N1l1 N 2l2 N 3l3 l l1 l2 l3 EA1 EA2 EA3 0.1875 0.75 0.094 0.844mm
N 4W 2 A d 4 1.2 103 MPa 37.3MPa＜ 2 3.14 6.4
螺栓强度安全! W
作业：已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，
许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解：① 轴力：N = F =25kN
破坏发生在与轴线成55°的斜面上 破坏与 max 有关
铸铁的特点：抗压性能好；易浇铸；吸震性能好
七、许用应力与安全系数
[ ] 0 n 0 : 危险应力；n : 安全系数
● 塑性材料：当应力达到屈服极限时，将产生显著的 塑性变形，从而导致构件失效，故
s ( 0.2 s )
N F
强度计算提供依据。
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x
例2－2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、
8F、4F、F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB P C P D 0
讨论：
20 20
30
A
40 B
C
NA
30
NB
50 10
由于A、B、C三个截面上 的轴力未知，所以先假设其 为正值，最后求出来若为正， 说明假设正确，其值就是为 正。此方法称为设正法。
N （kN）
-20
x
轴力图
轴力图—— N (x) 的图象表示。 意义
①反映出轴力与截面位置变化关系，比较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向
伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩，对应的力称为压力。
F
二、直杆横截面上的应力
1）直杆横截面上的内力
F
m
m
F
● N 称为轴力，方向与轴线重合F ● 轴力的符号规则： N 与截面外法线方向 一致为正，相反为负
0 .2 名义屈服极限：
3） 脆性材料的拉伸性质
● 脆性材料有灰铸铁、水泥、石料、砖、玻璃、陶 瓷、粉笔等。
● 灰铸铁应力-应变曲线如图所示。 特点：
没有直线段，没有屈服阶段，只有强度极限 b 变形小，弹性模量 E 采用割线弹性模量
b
● 灰铸铁材料特点：抗拉强度低，不宜制成受拉构件
l l1 l
F
b
b1
F
l＞0: 拉伸 l＜0: 压缩
l
l1
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变：
l l1 l l l
2）胡克定律
F F
实验表明：当轴向拉伸或压缩杆件的正应力不超 过比例极限时，其轴向绝对变形△l与轴力N、长 l成正比，与杆件的横截面面积A成反比。
N1 5F 8F 4F F 0 N1 2 F
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： N2= –3F N3= 5F N4= F
N2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
N3
D
PD D
N4
PD
轴力图如右图
N 2F +
5F
+ F x
–
3F
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： (自左向右)
● 轴力的符号是通过截面的 方向定义的，而与坐标方向 无关，这样可以确保同一截 面上的轴力符号一致！ ● 轴力为正，直杆受拉； 轴力为负，直杆受压。
F
N=F
m m
N=F
F
F
F N=F
N=F F
例２-1、求图示等截面直杆的内力
轴力图
20
解：分三段求解轴力
N A 20
N B 10
同理 N C 50
l1 l 100％ 延伸率 l A A1 100％ 断面收缩率 A
塑性 指标
＞5％: 塑性材料 ＜5％: 脆性材料
四个阶段四极限， 四个指标两应变， 弹性模量看斜率， 冷作硬化颈缩面。
2） 其它塑性材料的拉伸性质
高强钢
低合金钢
低碳钢
0 .2
0.2 ％
铝合金 黄铜
压杆稳定
P < Pcr 干扰 干扰
压杆失稳 临界平衡
P > Pcr P = Pcr
（a）
（b）
（c）
临界压力——压杆微弯状态平衡 所受的轴向压力称为临界压力， 用Pcr表示。
问题的关键——确定压杆
的临界压力 Pcr 。如何确定 Pcr？
F
N=F
N A
（1）外力的合力的作用线与杆轴线重合；
（2）离作用力较远的横截面 (均布载荷除外) 。
危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，或截面尺寸最小的面。 危险点：危险截面上应力最大的点。
N ( x) x max max( ) A( x)
三、 许用应力与强度条件
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的准则或条件。
2）对构件强度的影响
对于由塑性材料制成的构件，应 力集中对其在静载荷作用下的强度则 几乎无影响。所以，在研究塑性材料 构件的静强度问题时，通常不考虑应 力集中的影响。
2）对构件强度的影响
避免应力集中造成构件破坏，可 采取消除尖角、改善构件外形、局部 加强孔边以及提高材料表面光洁度等 措施；另外还可对材料表面作喷丸、 辊压、氧化等处理，以提高材料表面 的疲劳强度。
Nl l A
2）胡克定律
此外， △l还与杆的材料性能有关，引入与材料 有关的比例常数E，得
Fl Nl l EA EA
材料的弹性模量
抗拉（压）刚度
l N l EA E
E
拉(压)胡克定律
1-1 2-2
3-3
3F
l 2 l
F a
2
a
1-1 3-3
例2-5 F=15kN，l=1m， a=20mm, E=200GPa 求： l 解： 1) 求内力并作轴力图
F
a´ c´
b´ d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，导致内力均匀分布。
● 实验表明：当直杆受轴向外力时，横截面上各点的 变形是均匀的，轴力在横截面上均匀分布，应力分布 也是均匀的。 ● N 0， 0 拉应力 N 0， 0 压应力 ● 公式的适用条件：
0
n
N 应力 A
Nl 变形 l EA
八、应力集中
1）概念
应力集中是指受力构件由于外界因素或自身因 素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内 应力显著增大的现象。
2）对构件强度的影响
对于由脆性材料制成的构件，应 力集中现象将一直保持到最大局部应 力到达强度极限之前。因此，在设计 脆性材料构件时，应考虑应力集中的 影响。
六、材料在压缩时的力学性质
1） 压缩试件
金属材料： 非金属材料：
2） 低碳钢的压缩试验 P P , e e , s s , E E 3） 灰铸铁的压缩试验
没有直线段，没有屈服阶段，
只有强度极限 b
b
b (3 ~ 5) b
N 4F 4 25103 162.5MP a 2 2 A πd 3.1414
170MPa ③强度校核： max 162.5MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
四、拉压杆的变形 胡克定律
1）拉压杆的变形及应变 1、杆的纵向总变形：
1）低碳钢的拉伸性能
（一）弹性阶段ob： 比例极限 p
F
' f
a c
e
d
b
e p
e
s
p
b
弹性极限 e o 弹性模量 E tg (二）屈服阶段bc： 屈服极限 s 强度 （三）强化阶段cd： 强度极限 b 指标
' l
局部尺寸缩小断裂 （四）颈缩阶段de： 冷作硬化：比例极限提高，屈服消失，塑性降低
五、材料在拉伸时的力学性质
● 材料在外力作用下表现出来的与变形和破坏有关的 性质，称为材料的力学性质，又称机械性质。 ● 通过实验的方法，按照有关国家标准，来测定材料 的力学性质。 ● 标准拉伸圆截面试件：
d
5倍试样：l 5d
10倍试样：l 10d
l ● 低碳钢和灰铸铁的力学性质比较典型。
而且：
由于构件的失稳往往是在低应力 下突然发生的，因而其危害性也 较大。工程上因构件失稳会引起 的重大事故。
（2）物体的稳定性
所谓“稳定”和“不稳定” 是指物体的平衡性质状态而言。
干扰
稳定平衡
干扰
2
临界平衡 干扰 随遇平衡
不稳定平衡
1
3
（3）压杆的稳定性
中心受压直杆（亦称理想压杆） 同样存在类似的平衡性质问题。
N ( x) x max max( ) A( x)
其中：[]--许用应力， x max--危险点的最大工作应力.。 依强度准则或条件可进行三种强度计算：
①校核强度：
x max
[ ]
②设计截面尺寸： Amin N max
③确定许可载荷： Nmax A
例2-3、电机重量 W=1.2 kN，M8吊环螺栓外径 D=8mm， 内径 d=6.4mm ， =40MPa，校核螺栓强度。 d2 F 解： N = W = 1.2kN A 4
项目三 材料力学基础
任务一 任务二
材料力学基本认识 应力分析
任务二
§ 2–1 § 2–2 § 2–3 § 2–4 § 2–5
应力分析
构件轴向载荷分析 梁的弯曲变形分析 圆轴扭转变形强度分析 剪切与挤压 任务小结
§2-1
构件轴向载荷分析
一、概述
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与 杆的轴线重合。
九、压杆稳定
（1）问题的引入
A=5×30mm2
P=30N
σ=40MPa
P=6000N
0.2米
1米
细长压杆在轴向压力下不能 保持直线平衡状态而导致屈 曲破坏。
另一个例子：狭长截面梁弯曲
Y
X O
Z
平面弯曲
狭长截面梁的侧向失稳
受均匀压力的薄圆环，突然变为 非圆对称的形式而破坏。
以上例子说明：
构件失去平衡形式而导致的破 坏，统称为稳定失效，简称为 失稳。
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN 5kN 3kN
5kN + 8kN – 3kN
2） 直杆横截面上的应力
问题提出：
F F
F F
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小； 2. 欲进行强度计算必须了解应力概念。
变形规律试验及平面假设：
变形前
a c
b d
受载后
0 0
● 脆性材料：当应力达到强度极限时，将发生破坏， 0 故 b ● 为何要引入安全系数？ 2、必要的强度储备 1、误差和不确定因数 ● 安全系数的选取，应考虑： 1、材质均匀性；2、载荷准确性；3、计算精确性； 4、构件重要性；5、使用时间性；
基本解题思路
外力 截面法 内力（轴力N） 强度条件 max [ ] 刚度条件
2l
15 kN
a/2 2-2 a
N
x -30 kN
N3 F 15kN
N1 N 2 2F 30kN 2) 杆的变形
A1 A3 a 2 400mm2 , A2 200mm2 l1 l3 0.5m, l2 1m N1l1 N 2l2 N 3l3 l l1 l2 l3 EA1 EA2 EA3 0.1875 0.75 0.094 0.844mm
N 4W 2 A d 4 1.2 103 MPa 37.3MPa＜ 2 3.14 6.4
螺栓强度安全! W
作业：已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，
许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解：① 轴力：N = F =25kN
破坏发生在与轴线成55°的斜面上 破坏与 max 有关
铸铁的特点：抗压性能好；易浇铸；吸震性能好
七、许用应力与安全系数
[ ] 0 n 0 : 危险应力；n : 安全系数
● 塑性材料：当应力达到屈服极限时，将产生显著的 塑性变形，从而导致构件失效，故
s ( 0.2 s )
N F
强度计算提供依据。
+wenku.baidu.com
x
例2－2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、
8F、4F、F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O A PA N1 A PA B PB B PB C PC C PC
D
PD D
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB P C P D 0
讨论：
20 20
30
A
40 B
C
NA
30
NB
50 10
由于A、B、C三个截面上 的轴力未知，所以先假设其 为正值，最后求出来若为正， 说明假设正确，其值就是为 正。此方法称为设正法。
N （kN）
-20
x
轴力图
轴力图—— N (x) 的图象表示。 意义
①反映出轴力与截面位置变化关系，比较直观； ②确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向
伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩，对应的力称为压力。
F
二、直杆横截面上的应力
1）直杆横截面上的内力
F
m
m
F
● N 称为轴力，方向与轴线重合F ● 轴力的符号规则： N 与截面外法线方向 一致为正，相反为负
0 .2 名义屈服极限：
3） 脆性材料的拉伸性质
● 脆性材料有灰铸铁、水泥、石料、砖、玻璃、陶 瓷、粉笔等。
● 灰铸铁应力-应变曲线如图所示。 特点：
没有直线段，没有屈服阶段，只有强度极限 b 变形小，弹性模量 E 采用割线弹性模量
b
● 灰铸铁材料特点：抗拉强度低，不宜制成受拉构件
l l1 l
F
b
b1
F
l＞0: 拉伸 l＜0: 压缩
l
l1
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变：
l l1 l l l
2）胡克定律
F F
实验表明：当轴向拉伸或压缩杆件的正应力不超 过比例极限时，其轴向绝对变形△l与轴力N、长 l成正比，与杆件的横截面面积A成反比。
N1 5F 8F 4F F 0 N1 2 F
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： N2= –3F N3= 5F N4= F
N2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
N3
D
PD D
N4
PD
轴力图如右图
N 2F +
5F
+ F x
–
3F
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： (自左向右)
● 轴力的符号是通过截面的 方向定义的，而与坐标方向 无关，这样可以确保同一截 面上的轴力符号一致！ ● 轴力为正，直杆受拉； 轴力为负，直杆受压。
F
N=F
m m
N=F
F
F
F N=F
N=F F
例２-1、求图示等截面直杆的内力
轴力图
20
解：分三段求解轴力
N A 20
N B 10
同理 N C 50
l1 l 100％ 延伸率 l A A1 100％ 断面收缩率 A
塑性 指标
＞5％: 塑性材料 ＜5％: 脆性材料
四个阶段四极限， 四个指标两应变， 弹性模量看斜率， 冷作硬化颈缩面。
2） 其它塑性材料的拉伸性质
高强钢
低合金钢
低碳钢
0 .2
0.2 ％
铝合金 黄铜
压杆稳定
P < Pcr 干扰 干扰
压杆失稳 临界平衡
P > Pcr P = Pcr
（a）
（b）
（c）
临界压力——压杆微弯状态平衡 所受的轴向压力称为临界压力， 用Pcr表示。
问题的关键——确定压杆
的临界压力 Pcr 。如何确定 Pcr？
F
N=F
N A
（1）外力的合力的作用线与杆轴线重合；
（2）离作用力较远的横截面 (均布载荷除外) 。
危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，或截面尺寸最小的面。 危险点：危险截面上应力最大的点。
N ( x) x max max( ) A( x)
三、 许用应力与强度条件
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的准则或条件。
2）对构件强度的影响
对于由塑性材料制成的构件，应 力集中对其在静载荷作用下的强度则 几乎无影响。所以，在研究塑性材料 构件的静强度问题时，通常不考虑应 力集中的影响。
2）对构件强度的影响
避免应力集中造成构件破坏，可 采取消除尖角、改善构件外形、局部 加强孔边以及提高材料表面光洁度等 措施；另外还可对材料表面作喷丸、 辊压、氧化等处理，以提高材料表面 的疲劳强度。
Nl l A
2）胡克定律
此外， △l还与杆的材料性能有关，引入与材料 有关的比例常数E，得
Fl Nl l EA EA
材料的弹性模量
抗拉（压）刚度
l N l EA E
E
拉(压)胡克定律
1-1 2-2
3-3
3F
l 2 l
F a
2
a
1-1 3-3
例2-5 F=15kN，l=1m， a=20mm, E=200GPa 求： l 解： 1) 求内力并作轴力图
F
a´ c´
b´ d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，导致内力均匀分布。
● 实验表明：当直杆受轴向外力时，横截面上各点的 变形是均匀的，轴力在横截面上均匀分布，应力分布 也是均匀的。 ● N 0， 0 拉应力 N 0， 0 压应力 ● 公式的适用条件：
0
n
N 应力 A
Nl 变形 l EA
八、应力集中
1）概念
应力集中是指受力构件由于外界因素或自身因 素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内 应力显著增大的现象。
2）对构件强度的影响
对于由脆性材料制成的构件，应 力集中现象将一直保持到最大局部应 力到达强度极限之前。因此，在设计 脆性材料构件时，应考虑应力集中的 影响。
六、材料在压缩时的力学性质
1） 压缩试件
金属材料： 非金属材料：
2） 低碳钢的压缩试验 P P , e e , s s , E E 3） 灰铸铁的压缩试验
没有直线段，没有屈服阶段，
只有强度极限 b
b
b (3 ~ 5) b