七年级数学下册 5.2 旋转 一道图形旋转的典型例题及其变式素材 (新版)湘教版

一道图形旋转的典型例题及其变式

典例 已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°. 求证： BE +FD =EF

分析：可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ，再证△AF ′E ≌△AFD ，则

EF ′=EF ，又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以，BE +FD =EF .

证明：如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90?，到△ADF ′的位置. ∵AD =AB ，∠DAB =90° ∴点B 与D ′重合

∵∠ABE +∠ABF ′=180°，∴F ′、B 、E 在一条直线上，即F ′E =BE +DF ∵∠EAF =45°，∴∠BAE +∠DAF =45° ∴∠F ′AB +∠BAE =45°， ∴∠F ′AB =∠FAE =45°

又∵AF =AF ′，AE =AE ，∴△F ′AE ≌△FAE ∴EF =EF ′，∴BE +FD =EF

点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的.

本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。以本典例为原型的中考题近几年出现很多，下面例举两道，供同学们学习参考。

变式1 （牡丹江市）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图3），易证BM DN MN +=．

（1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图4），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图5的位置时，线段BM DN ，和MN

之间又有怎样的数

图2

量关系？请直接写出你的猜想．

解：（1）BM DN MN +=成立．

如图4，把AND △绕点A 顺时针90，得到ABE △， （证明过程与典例相同，所以略）。 （2）DN BM MN -=

点拨：本题是典例的变式，第（1）小题与典例完全相同；第（2）小题是在典例的基础上，变换MAN ∠的位置，如图5.

变式2 （甘肃陇南）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；

（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系， 并证明你的猜想． （1） 证明： 如图6，

∵ AD =CD ，DE =DG ，∠ADC =∠GDE =90o

， 又 ∠CDG =90o

+∠ADG =∠ADE ， ∴ △ADE ≌△CDG ． ∴ AE =CG ． （2）猜想： AE ⊥CG ． 证明： 如图6，

设AE 与CG 交点为M ，AD 与CG 交点为N ． ∵ △ADE ≌△CDG ， ∴ ∠DAE =∠DCG ． 又∵ ∠ANM =∠CND ， ∴ △AMN ∽△CDN ． ∴ ∠AMN =∠ADC =90o

．∴ AE ⊥CG ．

点评：本题也是典例的一个变式题，不仅有正方形旋转的情形（正方形ABCD 可绕点D 旋转），还隐含着三角形的旋转（△ADE 绕点D 旋转某一角度与△CDG 重合）.第一小题是常规题，只需找到相应的全等三角形即可证明，较易解决；第（2）小题是一开放探索题，可大胆猜想，细

M

B

C

N

A D

图3

图4

图5

M B C

N

A D E

A

C

N

D

图6

心求证.