向量法求线面角(二)(人教A版)(含答案)

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专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。

用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

β
m n
α
β
m n
α
n,m
β
m
n
α
cos | cos n , m |
β
m
n
α
n,m
用空间向量求平面 α 和平面 β 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题进行向量运算
① 转化为平面 α 的法向量 n 和平面 β 的法向量 m 的夹角 ② 计算| cos n , m | | n m |
| u || v |
③ 两直线 l1，l2 夹角 θ 的余弦值 cos | cos u , v |
设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则直线 a 和 b 所成的角为___6_0____．
在三棱柱 ABC － A1B1C1 中， AA1⊥ 底面 ABC ， AB ＝ BC ＝ AA1 ， ∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线 EF 和 BC1 所成角的大小. 60
u
v
l1
u,v
l2
vu
l1
cos | cos u , v |
l2
u v
l1
u,v
用空间向量求两条直线 l1，l2 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题进行向量运算
① 转化为求两直线 l1，l2 的方向向量 u，v 的夹角 ② 计算 | cos u , v | | u v |
| u || v |
① 求直线 l 的方向向量 u 和平面 α 的法向量 n ② 计算 | cos u , n | | u n |
| u || n |
③ 直线 l 和平面 α 所成角 θ 的正弦值 sin | cos u , n |

高中数学 3.2.3用空间向量求空间角课件新人教A版选修

uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
z
（1）求证：直线B1O 面MAC;
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，

高中试卷-1.4.2 空间向量的应用(二)(精讲)(含答案)

1.4.2 空间向量应用（二）考点一空间向量求线线角【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA AB ^，PA AD ^，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是（）A B C D 【答案】B【解析】因为AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.又因为PA AB ==1AD =，所以()0,0,0A，)B，)C，()0,1,0D，(P 因为E 是棱PB的中点，所以E ，所以EC =uuu r，(0,1,PD =-uuu r，所以cos ,EC PD áñ==uuu r uuu r B.【一隅三反】1．（2020·河南高二）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11C D 上的动点，则直线1BC 与直线AP 所成角余弦值的范围是（）A．ùúûB．ùúûC．D．【答案】A【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图所示，以1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则有1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)A B C ．设(0,,1)(01)P t t ……，则(1,,1)AP t =-uuu r ，1(1,0,1)BC =-uuu r，所以1cos ,AP BC áñ==uuu r uuuu r．又因为01t ……1cos ,1AP BC áñuuu r uuuu r …．故选：A ．2.三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，N ，M 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为( )A.110 B.35 C.710 D.45【答案】　C【解析】如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC ＝2，则A (0，－1，0)，M (0，0，2)，B (0，0)，N (，－12，2)，所以AM →＝(0，1，2)，BN →＝，－12，2)，所以cos 〈AM → ，BN → 〉＝AM → ·BN→|AM → |·|BN →|＝7＝710，故选C.3．已知四棱锥S ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A ．13BCD ．23【答案】C 【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S ABCD 则A (0，－1,0)，B (1,0,0)，S (0,0,1)，D (－1,0,0)，∴E 点坐标为(12，0，12)，AE →＝(12，1，12)，SD → ＝(－1,0，－1)，∴cos 〈AE → ，SD →－1故选C考点二空间向量求线面角【例2】（2020·全国高二）如图所示，SA 是四棱锥S ABCD -的高，四边形ABCD 为正方形，点M 是线段SB 的中点，45SDA Ð=°.（1）求证：AM SC ^；（2）若点N 是线段BC 上靠近C 的四等分点，求直线AB 与平面AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）因为SA ABCD ^底面，BC ABCD Ì平面，所以SA BC ^.因为ABCD 为正方形，所以AB BC ^，又因为SA AB A Ç=，所以BC SAB ^平面.因为AM SAB Ì平面，所以AM BC ^.因为45SDA Ð=°，故SA AD AB ==，而M 为线段SB 的中点，所以AM SB ^，又因为SB BC B Ç=，所以AM SBC ^平面.而SC SBC Ì平面，故AM SC ^；（2）因为SA ABCD ^底面，AB AD ^，以A 为坐标原点，分别以AB uuu r ，AD uuu r ，AS uuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,0,2S ，()1,0,1M ，32,,02N æöç÷èø，∴()1,0,1AM =uuuu r，32,,02AN æö=ç÷èøuuu r ，设()111,,n x y z =r 为平面AMN 的法向量，则0,0,n AM n AN ì×=í×=îuuuu v v uuu vv所以11110,320,2x z x y +=ìïí+=ïî取12y =，则33,2,22n æö=-ç÷èør ，而()2,0,0AB =uuu r ，故直线AB 与平面所成角的正弦值为sin AB n AB nq ×==×uuu r ruuu r r 【一隅三反】1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥S ABCD -中，//ADBC ，AD AS ^，2AD =，CD =，1AB BC AS ===，23SAB pÐ=．（1）求证：AD BS ^；（2）求直线CD 与平面SAC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）如下图所示，取AD 的中点E ，连接CE .1BC =Q ，2AD =，E 为AD 的中点，则112AE AD ==，BC AE \=，又//AD BC ，可得//BC AE ，\四边形ABCE 为平行四边形，//CE AB \，且1DE =，1CE AB ==，CD =Q ，222CE DE CD \+=，2CED p\Ð=，则CE AD ^，AD AB \^，AD AS ^Q ，AB AS A Ç=，AD \^平面SAB ，BS ÌQ 平面SAB ，因此，AD BS ^；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则点()0,0,0A 、()0,1,1C 、()0,0,2D、1,02S ö-÷÷ø，所以，()0,1,1CD =-uuu r ，()0,1,1AC =uuu r，1,02AS ö=-÷÷øuuu r.设平面SAC 的法向量为(),,n x y z =r，由00n AC n AS ì×=í×=îuuu v v uuu v v，得0102x y =-=，可得y z y ì=ïí=-ïî，令1x =，可得y =，z =，则n =r，cos ,n CD <=r uuu r .因此，直线CD 与平面SAC .2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ；（2）求证：1A E ^平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE ，求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3【解析】如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n ®=(x ，y ，z )，DB ®=(1，1，0)，DE =u u u r(0，1，1)由00n DB n DE ì×=í×=îuuu v r uuu v r ，即00x y y z +=ìí+=î，取1x =，得n ®=(1，-1，1)，又1AC ®=(-1，1，2)，因为()11111210AC n ®®×=-´+´-+´=，所以1AC n ®®^，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n ®=(1，-1，1)，1A E ®=(-1，1，-1)，1A E n ®®=-，所以1//A E n ®®，所以1A E ^平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，l )，1A F ®=(0，1，2l -)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为a ，则sin 解得1l =，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF ®=(1，1，1)，||DF ®=所以DF .3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线PA 夹角的余弦值；(2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值.【答案】；.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C (0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)，()1331,1,3,,,222PA CE æö=--=ç÷èøuuu r uuu r 设直线CE 与直线PA 夹角为q，则cos q整理得cos q =；\直线CE 与直线PA；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0q ，设平面DEC 的法向量为(,,)m x y z =u r ，因为()1,1,0CD =uuu r ，133,,222CE æö=ç÷èøuuu r 所以有01330222x y x y z +=ìïí++=ïî取1x =，解得1y =-，23z =，即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-u r ，()1,1,3CP =uuu r ，0sin q \=\直线PC与平面DEC .考点三空间向量求二面角【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥D BCE -中，,,2,1DE BE DE CE BE CE BC DE ^^====．（1）证明：BE ^平面CDE ；（2）求二面角D BC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）,,DE BE DE CE BE CE E ^^Ç=Q ，BE Ì平面BCE ，CE Ì平面BCE ，DE \^平面BCE ．又BE ÌQ 平面BCE ，DE BE \^．Q 在BCE V 中，2BE CE BC ===，222BE CE BC \+=，90BEC °\Ð=，即BE CE ^．又,DE CE E DE Ç=ÌQ 平面,CDE CE Ì平面CDE ，BE \^平面CDE ．（2）据（1）求解知，,,DE BE CE 两两互相垂直．以,,BE CE DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，则(0,0,1)B C D，((0,BD CD \==uuu r uuu r ．设平面BCD 的一个法向量()000,,=u r m x y z，则0000010,010,y z x z ì+´=ïí´+´=ïî00,.z z ì=ï\í=ïî令0z =，则001,1x y ==，m \=u r ．又平面BCE 的一个法向量(0,0,1)ED =uuu r ，cos ,||||m ED m ED m ED ×\áñ==u ruuu r ur uuu r u r uuu r = 又分析知二面角D BC E --的平面角为锐角，\二面角D BC E --．【一隅三反】1．（2020·全国）如图，圆的直径2AC =，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，PA 垂直于圆所在平面，30ACB Ð=o，sin BPC Ð=.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角B PC A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）如图，连接AB ，因为PA ^平面ABC ，所以PA BC ^.又因为B 在圆周上，AC 为圆的直径，所以AB BC ^，PA AB A =I .故BC ⊥平面PAB .（2）因为90ABC Ð=o ，直径2AC =，30ACB Ð=o ，所以1AB =，BC =，由（1）得BC PB ^，sin BC BPC PC Ð===，=PC PA 垂直于圆所在的平面，所以2PA =.因为90ABC Ð=o ，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 为x 、y 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0B 、()0,1,0A、)C、()0,1,2P，)BC =uuu r ，()0,1,2BP =uuu r ，设平面PBC 的法向量()1,,n x y z =ur ，则11n BC n BP ì^ïí^ïîuv uuu v uv uuu v，即020y z =+=ïî，取1z =，得()10,2,1n =-ur.同理可求得平面PAC的一个法向量()2n =uu r.设1n u r 与2n u u r 的夹角为q，故121212cos ,n n n n n n ×<>==×ur uu r ur uu r ur uu r ，又由图知B PC A --为锐二面角，二面角B PC A --.2．（2020·全国）如图，已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，AB AC ^，平面PAB ^平面ABCD ，PA PB ^，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若PA PB =，AB AC =，求二面角D PA C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）证明：如图，取PD 的中点Q ，连接AQ ，NQ ，因为N ，Q ，M 分别为PC ，PD ，AB 的中点，所以//NQ CD ，12NQ CD =，又因为//AM CD ，12AM CD =，所以//NQ AM ，且NQ AM =，所以四边形NQAM 是平行四边形，所以//MN AQ .因为MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）因为平面PAB ^平面ABCD ，平面PAB Ç平面ABCD AB =，AC Ì平面ABCD ，AB AC ^，所以AC ^平面PAB .因为PB Ì平面PAB ，所以AC PB ^，又PA PB ^，PA AC A =I ，所以PB ^平面PAC .所以以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，过点A 和平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z 轴在平面PAB 内.令2AB AC ==，又PA PB =，PA PB ^，所以(0,0,0)A ，(2,2,0)D -，(1,0,1)P ，(2,0,0)B ，()2,2,0AD =-uuu r ，()1,0,1AP =uuu r ，设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n AD n AP ì×=í×=îuuu v r uuu v r 所以220,0,x y x z -+=ìí+=î令1x =，则1y =，1z =-，所以(1,1,1)n =-r.又PB ^平面PAC ，所以()1,0,1PB =-uuu r 是平面PAC 的一个法向量.所以cos ,n PB ==uuu r r .所以二面角D PA C --.3．（2020·全国）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ^底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ^，//AB CD ，22AB AD CD ==，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ^平面PBC ；（2）若二面角P AC E --，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）因为PC ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，所以PC AC ^.因为22AB AD CD ==，所以AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC BC ^.又BC PC C Ç=，所以AC ^平面PBC .因为AC Ì平面EAC ，所以平面EAC ^平面PBC .（2）如图，以C 为原点，uur CB ，CA uuu r ，CP uuu r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设2CB =，2CP a =()0a >，则()0,0,0C ，()0,2,0A ，()2,0,0B ，()0,0,2P a ，则()1,0,E a ，()0,2,0CA =uuu r ，()0,0,2CP a =uuu r ，()1,0,CE a =uuu r ，易知()1,0,0m =u r 为平面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z =r 为平面EAC 的一个法向量，由00n CA n CE ì×=í×=îuuu v v uuu v v ，即200y x az =ìí+=î∴0y =，取x a =，则1z =-，(),0,1n a =-r .依题意，cos m =u ra =.于是，)1n =-r，(0,2,PA =-.则sin cos ,PA n PA n PA nq ×===×uuu r r uuu r r uuu r r .所以直线PA 与平面EAC.【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．考点四空间向量求距离【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（）A ．12BCD 【答案】B【解析】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C111(,,0)22OD \=--uuuu r 由于AB ^平面111,ADD A AD Ì平面11ADD A 1AB A D \^，又11AD A D ^，1AB AD I 1A D \^平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA =uuu u rO \到平面11ABC D 的距离为：111||||OD DAdDA×===uuuu r uuu u ruuu u r故选：B【一隅三反】1．（2019·湖南高二期末）已知平面a的一个法向量为(2,2,1)n®=，点(1,3,0)A-在平面a内，则点(2,1,3)P到平面a的距离为（）A．53B．43C．1D．23【答案】A【解析】由题意(3,2,3)PA®=--，则||53||n PAdn®®®×===，故选：A2．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC BD==，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD的距离为（）ABCD【答案】D【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BA t =，0t >，()0,0,0B，)C，()D ，()0,0,A t .()0,0,AB t uuu r =-，()CA t uuu r =-，()CD uuu r =-.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =r ，则00n CA n CD ì×=+ïí×=+=ïîuuu v v uuu v v ，令1x =，得1y =，z =故n æ=ççèr .因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，所以直线AB 与平面ACD .=，解得2t =.所以平面ACD 的法向量n æ=ççèr ，故B 到平面ACD的距离为d =.故选：D 3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB =PC =1，则点P 到平面ABC 的距离是（）ABCD【答案】D【解析】分别以PA ，PB ，PC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1).()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=-uuu r uuu r .设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00n AB n AC ì×=ïí×=ïîr uuu r r uuu r 得：00x y x z -+=ìí-+=î.令1x =，则1y z ==.则平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =r .所以点P 到平面ABC的距离||||n PA d n =×=u r uu r r 故选：D.。

专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)

专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证．（2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =．又222BD AB AD =+,所以2AB =．则23AE =,6ED =．以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22．【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。

人教A版高中数学选修2-1课件【29】用向量方法求空间角(二)

解析：设 CB＝1，则 A(2,0,0) ， B1(0,2,1)， C1(0,2,0)， B(0,0,1)， → → BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)． → → BC AB1 3 5 1· → → cos〈BC1，AB1〉＝＝＝5. → → 5×3 |BC1|· |AB1|
a· b 解析：cos〈a，b〉＝|a|· |b|＝ |1，－2，1· 2，－2，0| |2＋4| 3 ＝ . 2 2 2 2 2＝ 6· 8 2 1 ＋2 ＋1 · 2 ＋－2
答案：D
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CA ＝CC1＝2CB，BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( 5 5 2 5 3 A. 5 B. 3 C. 5 D.5 )
解析：如图，以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)， → C1(0,1,1)，易证AC1是平面 A1BD 的一个法向量．
→ → AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)． 1＋1 6 → → cos〈AC1，BC1〉＝＝ . 3× 2 3 6 ∴BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 3 .
答案：A
4．正方体 ABCDA1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( )
2 3 2 6 A. B. C. D. 3 3 3 3
解析：建系如图，设正方体棱长为 1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)， → B(1,1,0)，则BB1＝(0,0,1)．
∵B1D⊥平面 ACD1， → ∴DB1＝(1,1,1)为面 ACD1 的法向量．设 BB1 与面 ACD1 所成的角为 θ， → → |BB1· DB1| 1 3 则 sinθ＝＝＝3， → → 3 |BB1||B1D| 6 ∴cosθ＝ 3 .

141用空间向量研究直线平面的位置关系(2)教学设计-人教A版高中数学选择性

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是垂直。

在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

1.教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.教学难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系多媒体一、情境导学类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？二、探究新知空间中直线、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得μ=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=01.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√2.设平面α的法向量为(1,2,2),平面β的法向量(2,4,k ),若α⊥β,则k=( ) A.2 B.5C.4D.2答案:B解析:因为α⊥β,所以282k=0,解得k=5.例1如图,在四棱锥PABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,PA=AB=1,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.求证:无论点E 在边BC 上的何处,都有PE ⊥AF.思路分析只需证明直线PE 与AF 的方向向量互相垂直即可. 证明:(方法1)以A 为原点,以AD ,AB ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AD=a ,则A (0,0,0),P (0,0,1),B (0,1,0),C (a ,1,0),于是F (0,12,12).∵E 在BC 上,∴设E (m ,1,0),∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,1,1), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12). ∵PE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PE ⊥AF . ∴无论点E 在边BC 上何处,总有PE ⊥AF .(方法2)因为点E 在边BC 上,可设BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(01+1+0+0+0)=0,因此PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故无论点E 在边BC 上的何处,都有PE ⊥AF . 延伸探究本例条件不变,求证:AF ⊥BC. 证明:同例题建系,易知AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12,12,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0),因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AF ⊥BC.利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.跟踪训练1在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E 为AC 的中点.求证:(1)BD 1⊥AC ;(2)BD 1⊥EB 1.(2)∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1),∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1)×12+(1)×12+1×1=0,∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD 1⊥EB 1.证明:以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B (1,1,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E (12,12,0),B 1(1,1,1).(1)∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1), AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1)×(1)+(1)×1+1×0=0. ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD 1⊥AC.例2在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别为棱AB ,BC ,B 1B 的中点.求证:D 1M ⊥平面EFB 1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB 1的法向量,然后说明D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与法向量共线,从而证得结论.证明:(方法1)因为E ,F ,M 分别为棱AB ,BC ,B 1B 的中点, 所以D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=00+012+12−14×0=0,因此D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .同理D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,因此D 1M ⊥平面EFB 1.(方法2)分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则D 1(0,0,1),M (1,1,12),B 1(1,1,1),E (1,12,0),F (12,1,0),于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-12),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,-1),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,-1), 因此D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×0+1×(-12)+(-12)×(1)=0,故D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 又D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-12)+1×0+(-12)×(1)=0,故D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,因此D 1M ⊥平面EFB 1.(方法3)分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,1),M (1,1,12),B 1(1,1,1),E (1,12,0),F (12,1,0),于是D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-12), B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,-1),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,-1), 设平面EFB 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 于是n ⊥B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此{-12y -z =0,-12x -z =0, 取x=2,则y=2,z=1,即n =(2,2,1),而(1,1,-12)=12(2,2,1),即D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12n , 所以D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n ,故D 1M ⊥平面EFB 1.利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.跟踪训练2如图,在四棱锥PABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB=4 ,CD=2, AD=2√2,PA ⊥平面ABCD ,PA=4. 求证:BD ⊥平面PAC.证明:因为AP ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD ,所以以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则B (4,0,0),P (0,0,4), D (0,2√2,0),C (2,2√2,0), 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2√2,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4). 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4)×2+2√2×2√2+0×0=0, BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4)×0+2√2×0+0×4=0,所以BD ⊥AC ,BD ⊥AP . 因为AP ∩AC=A ,AC ⊂平面P AC ,AP ⊂平面P AC , 所以BD ⊥平面P AC.例3如图所示,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,AB ⊥BC ,AB=BC=2,BB 1=1,点E 为BB 1的中点,证明:平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C.思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n 1,n 2,证明n 1·n 2=0.解:由题意得AB ,BC ,B 1B 两两垂直.以点B 为原点,BA ,BC ,BB 1所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0),A 1(2,0,1),C (0,2,0),C 1(0,2,1),E 0,0,12,则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1), AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,0,12. 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1).则{n 1·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{z 1=0,-2x 1+2y 1=0.令x 1=1,得y 1=1.∴n 1=(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2). 则{n 2·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-2x 2+2y 2+z 2=0,-2x 2+12z 2=0, 令z 2=4,得x 2=1,y 2=1.∴n 2=(1,1,4).∵n 1·n 2=1×1+1×(1)+0×4=0, ∴n 1⊥n 2,∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C.利用空间向量证明面面垂直的方法1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.跟踪训练3如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD , AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD 求证:平面AMD ⊥平面CDE.分析:因为FA ⊥平面ABCD ,所以可以以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系.证明:如图,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点,设AB=1,依题意得A (0,0,0),M(12,1,12),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,12),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CE ⊥AM ,CE ⊥AD.又AM ∩AD=A ,∴CE ⊥平面AMD.又CE ⊂平面CED ,∴平面AMD ⊥平面CED.金题典例如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a ,BB 1=3a ,D 是A 1C 1的中点,E 是B 1C 的中点.(1)求cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >.(2)在线段AA 1上是否存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF ?若存在,求出|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |;若不存在,请说明理由.解:(1)以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a ,∠ABC=90°,∴AB=BC=√2a. ∴B (0,0,0),A (√2a ,0,0),C (0,√2a ,0),B 1(0,0,3a ),A 1(√2a ,0,3a ),C 1(0,√2a ,3a ),D (√22a ,√22a ,3a),E (0,√22a ,32a), CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a ,√2a ,3a ), BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22a ,32a). ∴|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13a ,|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√112a ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0a 2+92a 2=72a 2. ∴cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=7√143143.(2)存在.理由如下:假设存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF.不妨设AF=b ,则F (√2a ,0,b ),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a ,√2a ,b ),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a ,0,b 3a ),B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a ,√22a ,0). ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2a 2+0=0,∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立.由B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2+b (b 3a )=b 23ab+2a 2=0,得b=a 或b=2a , ∴当|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 或|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a 时,CF ⊥平面B 1DF . 应用空间向量解答探索性(存在性)问题立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在. 三、达标检测B.平面AED ⊥平面A 1FD 1C.平面AED 与平面A 1FD 1相交但不垂直D.以上都不对答案:B 解析:以D 为原点, DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ,y ,z 建立空间直角坐标系,求出平面AED 的法向量n 1与平面A 1FD 1的法向量n 2.因为n 1·n 2=0,所以n 1⊥n 2,故平面AED ⊥平面A 1FD 1.3.若直线l 的方向向量是a =(1,0,2),平面β的法向量是b =(1,0,2),则直线l 与β的位置关系是 . 答案:l ⊥β 解析:因为a ∥b ,所以l ⊥β.4.如图,在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC=CD , ∠BCD=90°,∠ADB=30°,E ,F 分别是AC ,AD 的中点, 求证:平面BEF ⊥平面ABC.证明:建立空间直角坐标系,如图,取A (0,0,a ),则易得B (0,0,0), C√32a ,√32a ,0,D (0,√3a ,0),E√34a ,√34a ,a2,F (0,√32a ,a2).∵∠BCD=90°,∴CD ⊥BC.∵AB ⊥平面BCD ,∴AB ⊥CD.又∵AB ∩BC=B ,∴CD ⊥平面ABC. ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32a ,√32a ,0)为平面ABC 的一个法向量.设平面BEF 的法向量n =(x ,y ,z ),∴n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(x ,y ,z )·(-√34a ,√34a ,0)=0.∴x=y. 由n ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x ,y ,z )·(0,√32a ,a 2)=0,有√32ay+a2z=0,∴z=√3y. 取y=1,得n =(1,1,√3). ∵n ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)·(-√32a ,√32a ,0)=0, ∴n ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴平面BEF ⊥平面ABC.5．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：//NM 平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1MN =，0，1)-，平面11A ADD 的法向量(0n =，1，0)，∴0MN n =，MN ⊂/平面11A ADD ，//MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-，∴11·0MN A B =，1·0MN AM =，11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．四、小结五、课时练教学中主要突出了几个方面：一是突出类比学习，让学生类比向量解决平行问题，进而学习运用空间向量解决垂直问题，发展学生的类比思想和逻辑推理能力。

1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)

探究交流
向量与的夹角
例 7 如图 1.4-19，
ABCD 中， M，N
例 7 如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）
ABCD 中， M，N 分别为 BC ,AD 的中点，求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值.
夹角的余弦值.
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个
=
=
，
3
3
∙
×1
2
2
.
所以直线与平面所成的角正弦值等于
3
z E
A
N
B
O
M
x
C
y
D
探究交流
用空间向量求直线与平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与
平面的法向量的夹角
②计算cos ， =
∙
∙
的值
③直线与平面所成的角的
立体几何问题转化成向量问题？几何法基底法
坐标法
解：取中点，过作⊥平面，

z E
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立
A
如图所示的空间直角坐标系.
N
B
O
y
D
M
x
C
请同学们课后完成！
探究交流
将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉
求直线与平面所成
角的正弦值.
夹角的余弦值.
3
( ，0，0)，
2
角
向量与平面的法向量的夹角
1
(0，，0)，
2
3

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：向量法求空间角(二)

(1)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.( × ) (2)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等.( × ) (3)二面角的范围是[0，π].( √ )
(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2的夹角为θ，则二
面角α－a－β的大小是π－θ.( × )
教材改编题
(1)求证：AB∥CD；
在题图 1 中，CD＝DE＝1，AD⊥CD，则 CE＝ 2，∠DEC＝45°，而 AD∥BC，即∠ECB＝45°，在 △BCE 中， BE ＝ CE2＋BC2－2CE·BC·cos∠ECB ＝
2＋4－2 2×2× 22＝ 2，则∠AEB＝∠EBC＝45°，又 AE∥BC 且 AE＝BC，所以四边形 ABCE 为平行四边形，所以 AB＝ CE＝ 2，所以∠EAB＝∠AEB＝45°，
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， BC∥y轴，设AB＝BC＝2，取AS＝AD＝2m(m>0)，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2m)，E(1,1，m)，由A→B＝(2,0,0)，A→E＝(1,1，m)，设平面 EAB 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则2x1x＋1＝y10＋，mz1＝0，令 y1＝ m，则 n1＝(0，m，－1)，
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
m·E→D＝则
22b＋
22c＝0，
m·E→A＝ 2a－b＋c＝0，
取 c＝1，得 m＝(－ 2，－1,1)，
设直线BD与平面ADE所成的角为θ，
sin θ＝|cos〈B→D，m〉|＝
2－
22＋
2
2
2＋1＋1× 2＋12＋21
＝ 33，
所以直线

立体几何中的向量方法-人教版高中数学

知识图谱-利用向量方法求线线角与线面角-利用向量方法求二面角-利用向量方法求距离直线与直线的夹角直线与平面的夹角向量法求二面角含有参数的二面角求法点到点线面的距离线与线面的距离第03讲_立体几何中的向量方法错题回顾利用向量方法求线线角与线面角知识精讲一．用向量方法求线线角与线面角1．两条异面直线所成的角（1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角；（2）范围：两异面直线所成的角的取值范围是；（3）向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有．2．直线与平面所成的角（1）定义：直线与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角；（2）斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所称角中最小的角；（3）范围：直线和平面所成角的取值范围是；（4）向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有或，此外还可以根据定义得到直线与平面所成的角如下图：．三点剖析一．方法点拨1．在用向量法求两条直线的夹角时，如果两条直线方向向量的夹角余弦值是负数时，则取绝对值，要正数，因为两条直线的夹角范围是．2．在用向量法求直线与平面的夹角时，如果算出的是负值时，则线面角的正弦值也需要取正值．题模精讲题模一直线与直线的夹角例1.1、已知是异面直线，，且，则所成的角是( )B、A、C、D、例1.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，A B=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．例1.3、如图所示，正四面体的高的中点为的中点为．（1）求证：两两垂直；（2）求．题模二直线与平面的夹角例2.1、若斜线段的长度是它在平面内的射影长的倍，则与所成角的正切值为__________．例2.2、直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是的中点，点在平面上的射影是．求与平面所成角的大小（结果用正弦值表示）．例2.3、已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．例2.4、如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值．随堂练习随练1.1、若异面直线的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于( )A、B、C、D、随练1.2、在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

高二数学人教A版选修2-1(第3.2 立体几何中的向量方法) Word版含解析

绝密★启用前人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则 ( )A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直2．【题文】已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是（） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．13．【题文】已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（）A ．14B ．13C ．23D ．115．【题文】长方体1111ABCD A BC D -中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 ( ) A. 1010B.3010 C. 21510D.310106．【题文】在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11A C D 间的距离为（）A ．63B ．33 C ．332 D ．237．【题文】如图，在四面体OABC 中，G 是底面△ABC 的重心，则OG 等于（）GCABOA.OC OB OA ++B.111222OA OB OC ++C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++8．【题文】在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32 B ．37C ．23D ．73二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是______．三、解答题12．【题文】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上异于A 、B 的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A --的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)若AB ＝BB 1＝2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面A B C D为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC .设2AB =. (1)求二面角1E AC D --的大小；(2)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由.人教版选修2-1 课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题 1．【答案】A【解析】∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题【难度】较易 2．【答案】A【解析】|a |＝2222+4+6x =，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3. 考点：直线的方向向量. 【题型】选择题【难度】较易 3．【答案】B【解析】由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，又u ，分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，故选B. 考点：空间向量在解决空间垂直中的应用. 【题型】选择题【难度】较易 4．【答案】B【解析】因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，22202313∴=++=OB ．故选B ．考点：空间中两点间的距离．【题型】选择题【难度】较易 5．【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A (1, 0, 0)，E (0, 2, 1)，B (1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)，则1BC ＝(－1, 0, 2)，AE ＝(－1，2, 1)．cos 〈1BC ，AE 〉＝11AE BC AE BC ⋅⋅＝3010. 所以异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为3010.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法. 【题型】选择题【难度】较易 6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()(),,11,0,10,,,10,1,10x y x y ⋅-=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩()1,1,1,1,1,x n y =⎧⇒∴=⎨=⎩又(1,0,0)AD =-，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离()()2221,0,01,1,133111AD n d n⋅-⋅===++，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法. 【题型】选择题【难度】一般 7．【答案】D【解析】由题意知，()()11=+=+=33OG OA AG OA AC AB OA OC OA OB OA ++-+- =111333OA OB OC ++，故选D. 考点：空间向量的运算. 【题型】选择题【难度】一般 8．【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则(),0,0A a ，()0,,0B a ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ，则）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，则）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴⊥GE 平面ABD ，∴0=⋅BD GE ，解得2=a ．∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量．32323634||||,cos 111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角的余弦值为37，故选B.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】选择题【难度】较难二、填空题 9．【答案】66【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 2)，B (0, 1, 0)，A (1, 0, 0)，C (0, 0, 0)，则1A B ＝(－1, 1，－2)，AC ＝(－1, 0, 0)，cos 〈1A B ，AC 〉＝11A B AC A B AC⋅⋅＝1114++＝66. 考点：异面直线夹角的向量求法. 【题型】填空题【难度】较易 10．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a ，由已知可得正四棱锥的高为62a ，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，D 2,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P 60,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,44a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则DM ＝226,,244a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 〈DM ，n 〉＝n DM n DM⋅⋅＝22，所以DM 与平面PAC 所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法. 【题型】填空题【难度】一般 11．【答案】平行【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M 2(,,)33a a a ，N 22(,,)33a a a ，∴MN ＝2(,0,)33a a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴11C D ＝(0，a,0)，∴MN ·11C D ＝0，∴MN ⊥11C D .∵11C D 是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .考点：向量法求线面关系. 【题型】填空题【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）见解析（2）64【解析】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC . (2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)，故CB ＝(3，0,0)，CP ＝(0,1,1)，设平面BCP 的法向量为1n ＝(x 1，y 1，z 1)，则110,0,n CB n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＋＝，令y 1＝1，则1n ＝(0,1，－1)．AP ＝(0,0,1)，AB ＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为2n ＝(x 2，y 2，z 2)，则220,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222300x y z ⎧⎪⎨⎪⎩-＝，＝，令x 2＝1，则2n ＝(1，3，0)．于是cos 〈1n ，2n 〉＝322＝64.由题意可知二面角C PB A --的余弦值为64. 考点：空间二面角的向量求法. 【题型】解答题【难度】一般 13．【答案】（1）见解析（2）23535【解析】(1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，则O 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在△A 1BC 中，OD ∥A 1B ，因为A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1. (2)因为△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -.由已知AB ＝BB 1＝2，得D (0,0,0)，A (3，0, 0)，A 1(3，0, 2)，C 1(0，-1, 2)，则DA ＝(3，0, 0)，1DC ＝(0，-1，2)，设平面AC 1D 的法向量为＝(x ，y ，z )，则10,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z ＝1，则x ＝0，y ＝2，∴＝(0,2,1)，又1DA ＝(3，0,2)，∴cos 〈1DA ，〉＝257⋅＝23535，设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1DA ，〉|＝23535，故A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为23535.考点：线面角的向量求法. 【题型】解答题【难度】一般 14．【答案】（1）45︒（2）存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE = 【解析】(1)设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --- (0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1D AC ，111,D E AC D E D A ∴⊥⊥,220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E .1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则,,m CA m AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即230,330,x x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1z =-，则0,3x y ==，()0,3,1m ∴=-. 又平面1D AC 的一个法向量为()10,2,1D E =，1112cos ,==2m D E m D E m D E⋅∴⋅， ∴二面角1E AC D --大小为45.(2)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++ 111121(3,1,0)(0,,)(3,,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==--+=-++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-⨯+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =考点：空间向量法求二面角. 【题型】解答题【难度】一般。

2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)

专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。

其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。

方法介绍一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ，则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值（2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ．（1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1）求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模）（1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．（广东省二模T19）题型五转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、题型六投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。

空间向量求线面角公式

空间向量求线面角公式空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述点、直线、平面等几何对象。

线面角是两条直线或直线与平面之间的夹角，它是空间几何中的重要概念。

本文将介绍如何利用空间向量来求解线面角的公式。

在三维空间中，我们可以用向量来表示直线或平面。

设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n。

对于直线L上的一点P和平面P 上的一点Q，连接向量PQ即可得到一条从直线L到平面P的向量。

设这个向量为d。

根据向量的定义，我们知道向量d与直线L垂直。

而向量d与平面P的夹角则可以通过向量点乘来求解。

向量的点乘公式为：a·b = |a| |b| cosθ，其中a和b分别为向量a和向量b的模，θ为a 和b之间的夹角。

将向量d与直线L的方向向量a进行点乘，得到：d·a = |d| |a| cosα其中α为向量d与直线L的夹角。

由于向量d与平面P垂直，所以d·n = 0。

将这个条件带入上式，得到：0 = |d| |a| cosα解得：cosα = 0α = π/2这说明线面角的大小为90度，即直线和平面垂直。

当直线与平面不垂直时，我们需要使用法线向量来求解线面角的大小。

设直线L上的一点P和平面P上的一点Q，连接向量PQ即可得到一条从直线L到平面P的向量。

设这个向量为d。

由于向量d在平面P上，所以它可以表示为平面P的法向量n与某个向量b的线性组合。

即：d = λn + b其中λ为标量。

将这个表达式代入向量点乘公式，得到：(λn + b)·a = |λn + b| |a| cosα化简得：λn·a + b·a = |λn + b| |a| cosα我们知道，向量n垂直于平面P，所以n·a = 0。

将这个条件带入上式，得到：b·a = |λn + b| |a| cosα由于向量b在平面P上，所以b·n = 0。

将这个条件带入上式，得到：b·a = |b| |a| cosα将向量b的模用向量d和法向量n表示，即|b| = |d - λn|，代入上式，得到：(d - λn)·a = |d - λn| |a| cosα展开并化简上式，得到：d·a - λn·a = |d - λn| |a| cosαd·a = |d - λn| |a| cosα我们知道，向量d在平面P上，所以d·n = 0。

向量法求空间角(含解析)

高中数学︵向量法求空间角︶培优篇考点1：异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v||u||v|．考点2：直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向高中数学︵向量法求空间角︶培优篇量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝ u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n|．考点3：平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．【常用结论总结】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,2．【例1】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示，AB =4，BC=3，AC =5，D 为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为（）高中数学︵向量法求空间角︶培优篇A ．5B ．25C ．5D ．25【例2】如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAD 是正三角形，AB =2，平面PAD ⊥平面ABCD ，则PC 与BD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．4C ．13D 【例3】如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（）A 6B C ．13D ．12学霸笔记用向量法求异面直线所成的角的一般步骤（1）建立空间直角坐标系；（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）注意两异面直线所成角的范围是(0,]，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇【对点训练1】如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）AB ．13C ．4D 【对点训练2】 “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA ⊥面ABCD ，AA 1=4，底面扇环所对的圆心角为π2，AD 的长度是BC 长度的2倍，CD =1，则异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正弦值为（）A ．3B ．13C ．3D ．4【对点训练3】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AC=AB=2，BC =2√2，Q 为A 1B 1的中点，E 为AQ 的中点，F 为BC 1的中点，则异面直线BE 与AF所成角的余弦值为（）A． BC ．D高中数学︵向量法求空间角︶培优篇【例4】在正方体ABCD −A B C D 中，如图E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．（1）求证：平面AD F ⊥平面ADE ；（2）求直线EF 与AD F 所成角的正弦值．【例5】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD=2AB=8，点M 在棱PD 上，且PA =PM ⋅PD ，AM ⊥MC．（1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求BM 与平面ACM 所成角的余弦值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求线面角的解题步骤【对点训练4】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点．（1）求证：D 1 F ∥平面A 1EC1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇【对点训练5】如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AB =2，AA 1=2√3，E 为线段DD 1上一点．（1）求证：AC ⊥B 1D ；（2）若平面AB 1E 与平面ABCD 的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB 1E 所成角的正弦值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇【例6】在如图所示的空间几何体中，△ACD 与△ACB 均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE ⊥BE ．（1）求证：平面ABC ⊥平面ADC ；（2）求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值．【例7】如图，三棱锥A −BCD 中，DA =DB =DC ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠ADC =60∘，E 为BC 的中点．（1）证明：BC ⊥DA ；（2）点F满足EF⃗=DA ⃗，求二面角D −AB −F 的正弦值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤【对点训练6】直三棱柱ABC −A B C 中，AA =AB =AC =2,AA ⊥AB,AC ⊥AB ，D 为A B 的中点，E 为AA 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线BE 与平面CCD所成角的正弦值；（3）求平面A CD 与平面CC D 夹角的余弦值．高中数学︵向量法求空间角︶培优篇【对点训练7】如图，在棱长为2的正方体ABCD −A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A EC ；（2）求直线AC 与平面A EC 所成角的正弦值．（3）求二面角A −A C −E 的正弦值．【对点训练8】如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．（1）证明：OE ∥平面PAC ；（2）若∠ABO=∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值．。

用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是1 和2 ，则平面α与
平面β的夹角即为向量1 和2 的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ
＝|cos〈1 ，2 〉|＝
1 ∙2
1 2
.
【说明】二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各
所以PB//平面ACN；

=

1
=2
（三）典型例题
（2）由PD ⊥平面ABCD，∠ = 90°.
以 D 为原点，以DA,DC ,DP 分别为, , 轴建立空间直角坐标系,如图.
由PD=3，PN=2ND，BC=2AD=2DC=3
3
2
3
2
则 N(0,0,1) , A( , 0,0), C(0, , 0),P(0,0,3)
∙

.
3
【做一做】已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈，〉＝－ 2 ，则l与α所成
的角为( B )
A．30° B．60° C．150° D．120°
（二）用空间向量研究夹角
∙

【思考】设平面α的斜线l的方向向量为，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝
由（1）易知CD⊥平面AA1B1B，且 CD= 3．
如图，以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
【做一做】平面α的法向量 1 为(1,0，－1)，平面β的法向量 2 为(0，－1,1)，则平面α与平面β

的夹角为_______．
3

线面角的计算(一)(人教A版)(含答案)

线面角的计算（一）（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD 所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角2.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则直线PA与平面ABC所成角的大小为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦值等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，PA=AC，则直线PC与平面PAB所成的角是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角5.如图，已知△ABS是等边三角形，四边形ABCD是正方形，平面ABS⊥平面ABCD，则直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角6.如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，则直线SB与平面SAC所成角的正弦值为( )A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角7.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则直线BC1与平面ACC1A1所成角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=90°，则直线PA与底面ABC所成角为( )A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角10.如图，在四棱锥A-BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，则直线AE与平面ABC所成的正切值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角。