三角形的内切圆
三角形的内切圆课件
△ABC ⊙O的外 三角形三条 到三角形的
的内切 切三角 角平分线的 三条边的距 一定在三角形内部
圆
形
交点
离相等
知2－讲
导引：根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ BC2 AC2 82 62 ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
2. 要点精析： (1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆； (2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．
知1－讲
例1 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ C ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
知2－练
1 (202X·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容 圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长 为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆 形 (内切圆)直径是多少？”( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
导引：由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案． 解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的 定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形 的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正 确的说法为：①②④.
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质三角形内切圆与外接圆是几何学中常见且重要的概念，它们在三角形的性质研究以及解决相关的几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆完全位于三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
根据三角形内切圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 内切圆的圆心是三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离都相等，也就是说，内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内切圆的半径是内心到三角形三条边的距离的一半。
我们可以利用这个性质来计算内切圆的半径。
3. 三角形的三条角平分线与内切圆的半径相交于内切圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时经常会用到。
二、三角形外接圆的定义和性质三角形外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，并完全包含三角形在内。
根据三角形外接圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形的外心。
三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等，也就是说，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外接圆的半径是外心到三角形的任意一个顶点的距离。
我们可以利用这个性质来计算外接圆的半径。
3. 三角形的三条中垂线与外接圆的半径相交于外接圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时也经常会用到。
三、三角形内切圆和外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在一些重要的关系：1. 内切圆的半径和外接圆的半径满足一个重要的关系：内切圆的半径是外接圆半径的一半。
这个关系在解决几何问题时常常会用到。
2. 如果一个三角形的内切圆和外接圆存在，则它们的圆心连线经过三角形的垂心。
垂心是三角形三条高线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等。
3. 在某些特殊的情况下，三角形的内切圆和外接圆的圆心可能重合，此时称为等圆三角形。
等圆三角形的特点是三个顶点到圆心的距离相等，换句话说，等圆三角形的内切圆和外接圆是同一个圆。
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆定义一、什么是三角形的内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，圆心位于三角形的内部。
三角形的内切圆是三角形内切圆心运动学的重要对象。
在三角形的内切圆中，圆心到三角形三边的距离是相等的，而且内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
因此，研究三角形的内切圆不仅有助于理解三角形的性质，还有助于解决与三角形相关的问题。
二、三角形内切圆的性质1.圆心到三角形三边的距离相等：三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三边的距离是相等的。
这个距离称为内切圆的半径。
2.内切圆的半径公式：内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，即r =A / s，其中r表示内切圆的半径，A表示三角形的面积，s表示半周长。
3.内切圆的圆心重心和内心重合：圆心、内心和重心在三角形的同一条高线上，且重心将内心和圆心一分为二。
4.内切圆的圆心和外心的连线垂直于三角形的内心和外心连线：内切圆的圆心和外心之间的连线与三角形的内心和外心之间的连线垂直。
5.内切圆的半径不超过外接圆的半径：对于任意三角形，内切圆的半径小于或等于外接圆的半径。
三、如何构造三角形的内切圆构造三角形的内切圆需要以下步骤：1.首先，画出给定的三角形ABC。
2.然后，分别作出三角形的三条角平分线，将角A、角B、角C分别平分为两部分。
这样可以得到三个交点，分别记为D、E、F，分别位于三角形的内部。
3.接下来，连接交点D、E、F和三角形的顶点A、B、C，得到三条边DA、EB和FC。
4.最后，以边DA、EB和FC为直径，画出三个圆。
这三个圆的交点即为三角形的内切圆的圆心O。
四、三角形内切圆的应用1.几何问题的解决：三角形的内切圆可以用来解决与三角形相关的几何问题，如计算三角形的面积、周长等。
通过内切圆的半径公式，可以简便地计算三角形的面积和半周长，进而得到三角形的各种性质。
2.工程测量：三角形的内切圆可以应用于工程测量中。
通过测量三角形的三个顶点和内切圆的圆心，可以确定三角形的形状和尺寸，为工程设计和施工提供参考。
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆是指可以恰好嵌入一个三角形内部，且与三条边相切
的圆。
该圆被称为三角形的内切圆，也称为唯一的内切圆。
三角形的
内切圆的圆心被称为三角形的内心，其半径被称为三角形的内切圆半径。
三角形的内切圆在三角形的几何性质研究中有着广泛的应用。
三角形的内切圆有着很多独特的性质。
首先，内切圆的圆心是三角形
三条角平分线的交点。
其次，内切圆半径等于三角形的半周长与面积
的比值，也就是r=(s-a)(s-b)(s-c)/s，其中r表示三角形的内切圆半径，s表示三角形的半周长，a、b、c分别表示三角形三条边的长度。
在计算三角形的面积方面，内切圆也是非常有用的工具。
因为三角形
的内切圆半径r等于三个角的平均值与面积的比值，也就是
r=(A+B+C)/2S，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角，S表示
三角形的面积。
除此之外，三角形的内切圆还可以用来判断三角形的形状。
如果三角
形的内心和外心重合，那么该三角形一定是等腰三角形或等边三角形。
如果三角形的内心和重心重合，那么该三角形一定是等边三角形。
总之，三角形的内切圆是三角形中非常重要的一个概念，它在数学和
物理等多个领域中都有着广泛的应用，是我们研究三角形的性质和口算面积的一个重要工具。
4.5 三角形的内切圆
5.已知，如图，PA、PB是 5.已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点. 已知 的两条切线， 为切点. 直线OP 直线OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； 写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. 写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 的长. 求半径 OA 的长. E O C B A D P
切线长概念 在经过圆外一点的切线上， 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的 这点到圆的切线长 叫做这点到圆的切线长 A
O · B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 是一回事吗
P
切线和切线长
A
O P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 切线是一条与圆相切的直线 2.切线长是线段的长， 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 切线长是线段的长 一点和切点，可以度量. 一点和切点，可以度量.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 是等腰三角形 ∴OP垂直平分AB OP垂直平分AB 垂直平分
跟踪训练 B
1.若延长PO交 1.若延长PO交⊙O于点C， 若延长PO 于点C 连结CA、CB， AC和BC相等 连结CA、CB， AC和BC相等 CA 吗？为什么？ 为什么？ AC=BC
例
题 B O M A P
若连结两切点A 若连结两切点A、B，AB交OP于点 AB交OP于点 M.你又能得出什么新的结论? M.你又能得出什么新的结论?并给 你又能得出什么新的结论 出证明. 出证明. OP垂直平分AB OP垂直平分AB 垂直平分
三角内切圆面积公式
三角内切圆面积公式
三角形的内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，也被称为内心圆。
内切圆具有一些特殊的性质，例如它的圆心是三角形的内心，而且它与三角形的三条边的切点构成的三角形是等边三角形。
此外，内切圆的半径通常用字母 r 表示。
当我们想要计算三角形的内切圆面积时，可以使用以下公式：
内切圆面积 = s * r
其中，s 表示三角形的半周长。
半周长的计算公式为：
s = (a + b + c) / 2
其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度。
因此，如果我们已知三角形的三条边的长度，就可以使用上述公式计算出内切圆的面积。
例如，如果三角形的三条边分别为 3、4 和5，那么它的半周长为：
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
接下来，我们需要计算内切圆的半径。
根据三角形内切圆的性质，我们可以使用以下公式计算出半径：
r = A / s
其中，A 表示三角形的面积。
三角形面积可以使用海伦公式计算： A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
将 a、b、c 和 s 带入上式，可以得到：
A = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6*3*2*1] = 3√6
因此，内切圆的半径为：
r = A / s = (3√6) / 6 = √6 / 2
最后，我们可以使用内切圆面积公式计算出内切圆的面积：
内切圆面积 = s * r = 6 * (√6 / 2) = 3√6
因此，当三角形的三条边分别为 3、4 和 5 时，它的内切圆面积为 3√6。
三角形的内切圆
三角形的内切圆简介在几何学中，三角形的内切圆是指与三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
该圆被称为三角形的内切圆，也被称为三角形的两内切圆之一。
内切圆具有一些独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用具有重要意义。
构造和性质三角形的内切圆可以通过以下方式进行构造：1.连接三角形的任意两个顶点，得到三条边；2.分别作三条边的垂线段，垂线段的交点即为内切圆的圆心；3.连接圆心和三个顶点，得到三条以圆心为中心的边；4.三个顶点与圆心的连线组成的三个角度相等，且都是直角；内切圆具有以下的性质：1.内切圆与三角形的三条边相切；2.内切圆的圆心是三角形的重心；3.内切圆的半径是三角形三条边长度的函数；4.内切圆的半径等于三角形的面积除以其半周长；5.内切圆的半径与三角形的三个角度都有关系；6.内切圆的半径与三角形的外接圆半径有关系。
应用三角形的内切圆在几何学和工程学中有广泛的应用。
1.几何学：内切圆是三角形的基本性质之一，对于研究三角形的性质和定理具有重要作用。
通过分析内切圆的半径和三角形的各个角度之间的关系，可以推导出很多三角形的性质和定理。
2.工程学：内切圆在工程学中有多种应用，例如在建筑设计中，内切圆可以用于确定三角形的重心，从而确定建筑物的平衡和稳定性。
在制造业中，内切圆可以用于确定三角形的内切角度，从而确定零件的装配位置和拼接方式。
3.数学建模：内切圆在数学建模中有广泛的应用，可以用于解决各种与三角形有关的问题，例如确定最大面积的三角形，确定最短路径的三角形等等。
结论三角形的内切圆是几何学中的重要概念，具有独特的构造和性质。
内切圆在几何学、工程学和数学建模中有广泛的应用，对于研究和解决与三角形有关的问题具有重要意义。
通过深入研究内切圆的构造和性质，可以进一步拓展其应用领域，促进数学和工程学的发展。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何形状中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中有两个特殊的圆，分别是内切圆和外接圆。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆，包括它们的定义、性质以及应用。
一、内切圆内切圆指的是可以与三角形的三条边相切的圆。
对于任意一个三角形，都存在唯一的内切圆。
这个内切圆的圆心称为三角形的内心，内切圆的半径称为三角形的内切圆半径。
内切圆与三角形的关系有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合，即内切圆的圆心与三角形的内心重合。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边的切点构成的线段相等，即内切圆的半径与三角形的三个切点之间的距离相等。
3. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
内切圆在几何学中有广泛的应用，例如可以用来求解三角形的面积、周长等问题。
同时，内切圆也是许多三角形性质的基础，可以用来推导三角形的内角平分线、垂心、重心等重要概念。
二、外接圆外接圆指的是可以通过三角形的三个顶点构成的圆。
对于任意一个三角形，都存在唯一的外接圆。
这个外接圆的圆心称为三角形的外心，外接圆的半径称为三角形的外接圆半径。
外接圆与三角形的关系有以下性质：1. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，即外接圆的圆心与三角形的外心重合。
2. 外接圆的直径等于三角形的对边之和，即外接圆的直径等于三角形的周长。
3. 三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线，这条直线称为欧拉线。
外接圆同样在几何学中有重要的应用，例如可以用来构造等边三角形、判断三角形是否为直角三角形等。
外接圆的性质还可以用来推导三角形的垂直平分线、角平分线等重要概念。
三、内切圆与外接圆的关系内切圆与外接圆之间存在一定的关系。
具体来说，内切圆的圆心、外接圆的圆心和三角形的顶点共线，这条直线称为欧拉线。
此外，内切圆的半径是外接圆半径的1/2。
这个欧拉线具有很多有趣的性质，可以用来推导三角形的一些特殊性质。
而内切圆和外接圆的关系也是几何学中的重要概念，深入理解它们的关系对于研究三角形的性质有着重要的意义。
三角形内切圆外接圆的关系
三角形内切圆外接圆的关系一、内切圆和外接圆的定义1.内切圆：一个圆能够同时和三角形的三边相切，这个圆就被称为三角形的内切圆。
内切圆的圆心称为内切圆圆心。
2.外接圆：一个圆能够同时和三角形的三个顶点相切，这个圆就被称为三角形的外接圆。
外接圆的圆心称为外接圆圆心。
二、内切圆和外接圆的关系1.内切圆和外接圆的圆心是同一点。
即内切圆圆心就是外接圆圆心，这个点称为三角形的垂心。
2.内切圆和外接圆的半径之间存在一定的关系。
设三角形的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则有：R = (a + b + c) / (4 * r)同时，根据三角形的面积公式，有：S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)将R的表达式代入上式，可以得到：(1/2) * a * r = (1/2) * ((a + b + c) / (4 * r)) * (a + b + c)化简后可得：r^2 = (a + b + c) / (4 * a)三、内切圆和外接圆的性质1.三角形的内切圆圆心、外接圆圆心和垂心是同一点。
2.三角形的内切圆和外接圆的半径之间存在固定的比例关系，即R = (a + b + c) / (4 * r)。
3.三角形的面积可以用内切圆半径和外接圆半径表示，即S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)。
4.内切圆和外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。
四、内切圆和外接圆的应用1.在解决三角形相关的问题时，可以利用内切圆和外接圆的关系来简化计算。
2.内切圆和外接圆的性质在证明几何问题时非常有用，可以帮助我们找到证明的线索。
3.在实际应用中，如建筑工程、土地测量等领域，内切圆和外接圆的关系可以帮助我们快速计算三角形的面积和其他相关参数。
习题及方法：1.习题：设三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，且AB=6,BC=8, AC=10。
三角形中的内切圆与外接圆性质
三角形中的内切圆与外接圆性质三角形是几何学中的基础概念之一，而与三角形密切相关的内切圆和外接圆更是常见的几何形状。
本文将介绍三角形中的内切圆和外接圆的性质，以及它们与三角形的关系。
一、内切圆性质内切圆指的是与三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
我们先来看一下内切圆的性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的角平分线的交点上。
三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的一条线段。
内切圆的圆心恰好位于三角形的三个角的平分线的交点上。
2. 内切圆的半径和三角形的三条边之间存在特定的关系。
设三角形的三个边长为a、b、c，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r与三条边有以下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)]/s其中，s = (a+b+c)/2是三角形的半周长。
3. 内切圆与三角形的接触点构成一个等边三角形。
内切圆与三角形的接触点是指内切圆与三角形的三条边相切的点。
这些接触点构成的三角形是一个等边三角形，即三条边的长度相等。
二、外接圆性质外接圆指的是可以将三角形的三个顶点放到一个圆上的圆。
接下来我们来介绍一下外接圆的性质。
1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
三角形的垂直平分线是指从一个顶点出发，与对边垂直且平分对边的线段。
外接圆的圆心位于三个垂直平分线的交点上。
2. 三角形的三条边是外接圆上的弦。
外接圆的弦是指连接圆上两点的线段。
三角形的三条边恰好是外接圆上的三条弦。
3. 外接圆的半径等于外接圆的直径，即三角形三个顶点与外接圆圆心的距离都相等。
三角形的三个顶点与外接圆圆心的距离相等，且等于外接圆的半径。
三、内切圆与外接圆的关系三角形中的内切圆与外接圆之间存在一定的关系。
1. 内切圆的圆心、外接圆的圆心和三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上。
内切圆和外接圆的圆心以及三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上，这条直线被称为欧拉直线。
2. 内切圆的半径是外接圆半径的一半。
三角形的内切圆与外接圆的性质比较
三角形的内切圆与外接圆的性质比较三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。
本文将比较三角形的内切圆和外接圆的性质，从而更好地理解和应用这两个概念。
一、内切圆的性质内切圆指的是可以刚好与三角形的三条边相切的圆。
接下来我们将讨论内切圆的几个重要性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的内部：对于任意一个三角形，它的内切圆的圆心必定在三角形的内部。
这是因为内切圆是与三角形的三条边相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此内切圆的圆心必然在三角形的内部。
2. 内切圆的圆心与三角形的各边的连线垂直：内切圆的圆心与三角形的各边的连线是垂直的。
这是由内切圆的定义和切线与半径垂直的性质所决定的。
3. 内切圆的半径为三角形三条边的连线的交点到相应边的距离：内切圆的半径可以看作是三角形三条边的连线的交点到相应边的距离。
这个距离等于半周长与面积的比值，即r = S / p，其中r表示内切圆的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。
二、外接圆的性质外接圆指的是可以刚好与三角形的三个顶点相切的圆。
下面我们将讨论外接圆的一些重要性质。
1. 外接圆的圆心在三角形的外部：对于任意一个三角形，它的外接圆的圆心必定在三角形的外部。
这是因为外接圆是与三角形的三个顶点相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此外接圆的圆心必然在三角形的外部。
2. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线：外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，且在共线的直线上切割成两个互补的弧。
这个共线的直线被称为三角形的欧拉线。
3. 外接圆的直径等于三角形的对边：外接圆的直径等于三角形的对边。
即在外接圆上，连接三角形的两个顶点和对边的中点，这条线段的长度等于外接圆的直径。
三、内切圆与外接圆的联系与应用内切圆和外接圆有着密切的联系，在很多数学问题和几何证明中都会使用到这两个概念。
1. 内切圆与外接圆的圆心连线垂直：由于内切圆和外接圆的性质，它们的圆心与三角形的对边均垂直。
内切圆三角形公式
内切圆三角形公式内切圆三角形是指一个三角形内含有一个内切圆的情况。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边相切，并且与三角形的内角位于边的中垂线上。
内切圆对于三角形的性质和特征有很大的影响，它们之间存在一些有趣的关系和公式。
在讨论内切圆三角形的公式之前，我们先来了解一下内切圆的性质和特征。
内切圆的圆心与三角形的三条边的中垂线的交点组成一个三角形，在这个三角形中，圆心与各边的交点分别是圆心角的平分点。
另外，内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：三角形的面积等于内切圆的半径与三条边的长度之积的一半。
接下来，我们将介绍一些与内切圆三角形相关的公式。
1.费马点公式：费马点是指一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
对于任意一个内切圆三角形，费马点就在内切圆的圆心上。
费马点公式给出了费马点到三角形三个顶点的距离之和与内切圆半径的关系：r=d1+d2+d3其中，r表示内切圆的半径，d1、d2、d3分别表示费马点到三个顶点的距离。
2.角平分线长度公式：内切圆对于三角形的内角位于边的中垂线上，因此可以得到如下关系：l1+l2=l3+l4其中，l1、l2、l3、l4分别表示三角形两个内角的平分线长度。
3.角平分线长度与半角公式：内切圆的半角是指内切圆的半径与边的长度之比。
相邻两条边的内切圆半角之和等于对角边内切圆半角的两倍。
即：α+β=2γ其中，α、β、γ分别表示相邻两条边的内切圆半角和对角边的内切圆半角。
4.内切圆半径与三角形面积的关系：内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：S=r·p其中，S表示三角形的面积，r表示内切圆的半径，p表示三角形的半周长。
5.勾股定理公式：a=p-rb=p-rc=p+r其中，a、b、c分别表示直角边的长，p表示三角形的半周长，r表示内切圆的半径。
上述是内切圆三角形的一些公式，它们可以帮助我们理解和计算内切圆三角形的性质和特征。
根据这些公式，我们可以推导和证明一些内切圆三角形的定理和性质。
三角形内切圆
三角形内切圆概念三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆(一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
)，且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
面积法;1/2lr(l周长)用于任意三角形折叠编辑本段推论以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形A'B'C'是ABC的内接三角形之一。
名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点<1>到三个顶点的距离相等<2>外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点<1>到三边的距离相等<2>内心在三角形内部ABC的内切圆就是A'B'C'的外接圆。
而A'A、B'B和C'C三线交于一点，它们的交点就是勒莫恩点(Lemoine point)(或称热尔岗点(Gergonne point))，或类似重心，即三条类似中线的交点。
内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点(见九点圆)。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆(半径都等于内切圆半径的一半)。
三角形的外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系:r^2+OI^2=(R-r)^2在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式:1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
1、r=(a+b-c)/2(注:r是Rt△内切圆的半径，a,b是Rt△的2个直角边，c是斜边)2、r=ab/(a+b+c)三角形外接圆与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。
三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
《三角形的内切圆》 讲义
《三角形的内切圆》讲义一、三角形内切圆的定义在平面几何中，三角形的内切圆是一个与三角形的三边都相切的圆。
这个圆位于三角形的内部，它的圆心被称为三角形的内心。
内心是三角形三条角平分线的交点，具有到三角形三边距离相等的性质。
二、三角形内切圆的性质1、圆心位置三角形内切圆的圆心（即内心）是三角形三条角平分线的交点。
这意味着内心到三角形三边的距离相等。
2、半径内切圆的半径可以通过三角形的面积和周长来计算。
假设三角形的三边分别为 a、b、c，面积为 S，半周长（即周长的一半）为 p（p ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 ），则内切圆的半径 r 为：r ＝ S ／ p 。
3、与三角形边的关系内切圆与三角形的三边都相切，切点分别为三角形三条边的中点。
三、三角形内切圆的作图方法1、角平分线法（1）分别作出三角形三个角的角平分线。
（2）角平分线的交点就是内切圆的圆心。
（3）过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径。
（4）以圆心为圆心，以半径为半径作圆，即为三角形的内切圆。
2、面积与周长法（1）计算三角形的面积和周长。
（2）根据公式 r ＝ S ／ p 计算出内切圆的半径。
（3）任选三角形的一个顶点，以该顶点到对边的距离为直径作圆，该圆即为内切圆。
四、三角形内切圆半径的计算1、已知三角形的三边长度假设三角形的三边分别为 a、b、c，根据海伦公式先求出三角形的面积 S：＼S ＝＼sqrt{p(p a)（p b)（p c)｝＼其中，＼（p ＝＼frac{a ＋ b ＋ c}｛2}＼），然后再根据＼（r ＝＼frac{S}｛p}＼）求出内切圆的半径 r。
2、已知三角形的某些角度和边长如果已知三角形的某个角和对应的边长，可以利用三角函数来计算内切圆的半径。
五、三角形内切圆的应用1、计算三角形的面积当知道三角形的内切圆半径和周长时，可以通过面积公式＼（S ＝pr\）计算三角形的面积。
2、实际问题中的应用在工程、建筑等领域，经常会遇到与三角形内切圆相关的问题。
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D O
F
B
E
C
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作 法. 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心” 与 “外心”的区别， 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
3、角平分线性质定理与逆定理
25.6 三角形的内切圆
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A A B B C C
作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论： （1）作圆的关键是什么? （2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三 角形三边都相切，圆心I应满足什么 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
。 E
.O
G F
如上图，四边形DEFG是⊙O的
外切 四 圆，O
边形，⊙O是四边形DEFG的 内切 是四边形DEEG的 内心
各边与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 外切 三角形； △ABC是⊙O的 内接 三角形； ⊙I叫△ABC的 内切 ⊙O叫△ABC的 △ABC的 外 A O ． ． I 外接 心 圆，点I是△ABC的 内
形 三个角的角平分线 的交点。
D
． I
E
图2
F
三角形内心的性质：
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2、三角形的内心在三角形的角平分线交点上；
3、三角形内心位置
A I． B C
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
O B
1.OA=OB=OC ； 2. 外心 不一定在三角形的内 部．
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
定义：和三角形各边都相切的圆
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这 个三角形叫做 圆的外切三角形 。 1 如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
（2）若∠A=80 °，则∠BOC=
130
度。
度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样 的数量关系？请说明理由。
A
1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A 2
理由： ∵点O是△ABC的内心，
O
B C
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = 2 （∠ABC+ ∠ACB） 1 1 = （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心，
1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 21 2
A
O
C
同理 ∠OCB= ∠OCA=
∠ACB=35 ° B
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
三角形 三条角 平分线 的交点
B
A
O C
1. 到三边的距离相等； 2.OA 、 OB 、 OC 分别平分 ∠ BAC 、 ∠ABC、∠ACB； 3.内心在三角形内部．
定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 多边形的内切 圆 ，这个
D
多边形叫做 圆的外切多边形
圆心叫做 多边形的内心
练一练：填空：如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的
圆；
心，点O是
B
C
知识回顾：
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， 1 三边中垂线 它是三角形 的交点。
A
． O
B
图1
C
2.三角形外心的性质：
（1）、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； （ 2）、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线交点； D （3）、 三角形外心位置 E ． O F
2 2
1 1 ∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB 2 2 1
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
1 1 = 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A 2 2
例3：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设 s=（a+b+c）/2，内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。
B A
N I M
D
C
（4）圆心I确定后半径如何找？
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
例1、判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（错）
2、三角形的外心到三心重合； （对） 4、三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ） 5、菱形一定有内切圆（对） 6、矩形一定有内切圆（ 错）
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c a+b-c R= — r =—— 2 2
B O c a I
A
b
C